【文档说明】湖北省武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(31)页，2.644 MB，由小赞的店铺上传

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武汉市部分重点中学2023-2024学年度上学期期中联考高二数学试卷命审题单位：武汉六中数学学科组审题单位：圆创教育研究中心湖北省武昌实验中学本试卷共6页，22题.满分150分.考试用时120分钟.考试时间：2023年11月9日下午14：00-16：00★祝考

试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签

字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.两条

不同直线1l，2l的方向向量分别为()1,1,2m=−，()2,2,1n=−，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行【答案】A【解析】【分析】令mn=，利用空间向量的坐标运算判断即可.

【详解】令mn=，即()()1,1,22,2,1−=−，则12122==−−=，此方程组无解，则直线1l，2l不平行，即相交或异面.故选：A．2.已知椭圆C：2211xymm+=+的离心率为12，则m=（）A.13B.1C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质计算

即可.【详解】由题意可知11312mmemm+−===+.故选：C3.一束光线从点()3,3A−射出，沿倾斜角为150的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）A.32yx=−B.32y

x=−+C.323yx=−+D.323yx=−【答案】D【解析】【详解】先求得入射光线与x轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程.【分析】倾斜角为150的直线，斜率为33−，所以入射光线为()333331,2333yxxyx−=−+=−−

=−+，令0y=，解得23x=，所以入射光线与x轴的交点为()23,0，反射光线的斜率为33，设反射光线的方程为()33023,233yxyx−=−=−.故选：D4.实数x，y满足224690xxyy−+−+=，则11yx−+的取值范围是

（）A.5,12+B.12,5+C.120,5D.50,12【答案】C【解析】【详解】判断出点(),xy的轨迹，根据斜率、直线与圆的位置关系等知识求得正确答案.【分析】方程224690xxyy−+−+=，

即()()22234xy−+−=，所以(),xy是以()2,3，半径为2的圆上的点，11yx−+表示点(),xy与点()1,1−连线的斜率，设直线()11,10ykxkxyk−=+−++=与圆()()22234x

y−+−=相切，()2,3到直线10kxyk−++=的距离2223132211kkkkk−++−==++，解得0k=或125k=，所以11yx−+的取值范围是120,5.故选：C5.已知ABC的顶点()2,1A−，AC边上的高BE所在直线方程为50xy+−=，AC边

上中线BD所在的直线方程为3510xy−+=，则高BE的长度为（）A.22B.2C.22D.32【答案】C【解析】【详解】先求得C点的坐标，然后求得E点的坐标，进而求得BE.【分析】由503510xyxy+−=−+=解得32xy=

=，所以()3,2B.设(),Cst，则21,22stD−+，所以21351022st−+−+=，3590st−−=①，直线BE的斜率为1−，则直线AC的斜率为1，所以11,302tsts−=−+=+

②，由①②解得129st=−=−，则()12,9C−−，直线AC的方程为()112,30yxxy−=+−+=，由3050xyxy−+=+−=，解得14xy==，则()1,4E，所以()()223

12422BE=−+−=.故选：C6.在四面体ABCD中，已知ABD△为等边三角形，ABC为等腰直角三角形，斜边4AB=，27CD=，则二面角CABD−−的大小为（）A.5π6B.2π3C.π3D.π4【答案】A【解析】【分析】根据给定条

件，作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得.【详解】在四面体ABCD中，取AB的中点O，连接,CODO，如图，由4,,90ADBDABACBCACB=====，得,OCABODAB⊥⊥，因此COD是二面角CABD−−的平面角，在COD△中，2,23,27OCODCD==

=，由余弦定理得222412283cos222223OCODCDCODOCOD+−+−===−，而0πCOD，则5π6COD=，所以二面角CABD−−的大小为5π6.故选：A7.已知椭圆()222210xyabab+=的右焦点为

(),0()Fcbc，上顶点为B，直线l：334210xy−−=交椭圆于P，Q两点，若F恰好为BPQV的重心，则椭圆的离心率为（）A.55B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】设线段PQ的中点为M，利用点差法可得22433O

Mbka=−，由三角形重心的性质知2BFFM=可求得3,22cMb−，从而可得234abc=，即可求离心率．【详解】设1122(,),(,)PxyQxy，线段PQ的中点为00(,)Mxy，又,PQ为椭圆上两点，则2222

112222221,1xyxyabab+=+=，以上两式相减得1212121222()()()()0xxxxyyyyab+−+−+=，即012012222()2()0xxxyyyab−−+=，所以201220122()2

()yyybxxxa−=−−，即22PQOMbkka=−，因为334PQk=，所以22433OMbka=−，由三角形重心的性质知2BFFM=，又()(),0,0,FcBb，则00(,)2(,)cbxcy−=−，解得003,22cbxy==−，即3,22cMb−，所以

22423332OMbkcab−==−，化简得234abc=，即()2234bcbc+=，即23430bbcc−+=，解得3bc=或33bc=，又bc，所以3bc=，即3bc=，从而222abcc=+=，则椭圆的离心率为12cea==．故选：B．8.

已知中心在原点O，焦点在y轴上，且离心率为23的椭圆与经过点()2,0C−的直线l交于,AB两点，若点C在椭圆内，OAB的面积被x轴分成两部分，且OAC与OBC△的面积之比为3:1，则OAB面积的最大值为（）A.873B.473C.2477D

.1277【答案】D【解析】【分析】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出2y，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得OAB面积的最大值.【详解】设椭圆的方程为22221(0)yxabab+=，直线l的方程为2xmy=−，1122(,),(,

)AxyBxy，联立22221,2yxabxmy+==−整理得：22222222()440bamymayaab+−+−=，由椭圆的离心率22213cbeaa==−=，得2279ba=，带入上

式并整理得：222(79)363670mymya+−+−=，则212122236367,7979mayyyymm−+==++，由OAC与OBC△的面积之比为3:1，则123yy=−，则221879mym−=+，所以OAB的面积为

121122OACOBCSSOCyOCy+=+1224yyy=−=2241841841812779767279mmmmmm===+，当且仅当2797,3mm==时，等号成立，故OAB面积的最大值为127.7故选：D.二、多项

选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知椭圆C：22143xy+=，1F，2F分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（）A.椭圆离心率为

32B.1PF的最小值为1C.122PFPF+=D.12π03FPF【答案】BD【解析】【分析】根据椭圆方程求得,ac的值，即可求出离心率，判断出A；当点P位于椭圆的左顶点时，1PF最小，可判断出B；由椭圆的定义可知122PFPFa+=，可判断出C；

当点P位于椭圆的左右顶点时，12FPF最小，当点P位于椭圆的上下顶点时，12FPF最大，可求出12FPF的范围，判断出D.【详解】对于选项A，根据椭圆方程可得2,3ab==，则221cab=−=，故离心率12c

ea==，故A错误；对于B，当点P位于椭圆的左顶点时，1PF最小，且最小值为1ac−=，故B正确；对于C，由椭圆的定义知，1224PFPFa+==，故C错误；对于D，当点P位于椭圆的左右顶点时，12FPF最小，且最小值

为0，当点P位于椭圆的上下顶点时，12FPF最大，此时12122PFPFFF===,12FPF△为等边三角形，12π3FPF=，所以12π03FPF，故D正确，故选：BD.10.下列说法正确的是（）A.已知点()2,1A，()1,

23B−，若过()1,0P的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角范围为π2π,43B.“1a=”是“直线10axy−+=与直线20xay−−=互相平行”的充要条件C.曲线1C：2220xyx+

+=与2C：22480xyxym+−−+=恰有四条公切线，则实数m的取值范围为420mD.圆222xy+=上有且仅有2个点到直线l：10xy−+=的距离都等于22【答案】AC【解析】【详解】根据直线与线段的交点、直线平行、充要条件、圆与圆的位

置关系、圆和直线的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【分析】A选项，10121PAk−==−，所以直线PA的倾斜角为π4，230311PBk−==−−−，所以直线PB的倾斜角为2π3，所以直线l的倾斜角范围为π2π,4

3，A选项正确.B选项，由()()211,1aaa−=−=解得1a=，当1a=时，两直线为10,20xyxy−+=−−=，两直线平行；当1a=−时，两直线为10,20xyxy−−+=+−=，即10,20

xyxy+−=+−=，两直线平行，所以“1a=”是“直线10axy−+=与直线20xay−−=互相平行”的充分不必要条件，所以B选项错误.C选项，1C：2220xyx++=，即()2211xy++=，是圆心为

()11,0C−，半径11r=；2C：22480xyxym+−−+=，即()()222420xym−+−=−，要表示圆，则200,20mm−，此时圆心为()22,4C，半径为20m−，两圆有四条公切线，所以两圆外离，所以12120,5120CCmm+−+

−，解得420m，C选项正确.D选项，圆222xy+=的圆心为()0,0，半径为2，圆心到直线10xy−+=的距离为1222=，所以圆222xy+=上有且仅有3个点到直线l：10xy−+=的距离都等于22，所以D选项错误.故选：AC11.如图，在多面体A

BCDEP中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且DEPA∥，22PAABDE===，M，N分别是线段BC，PB的中点，Q是线段DC上的一个动点（不含端点D，C），则下列说法正确的是（）A.存在点Q，使得NQPB⊥B.不存在点Q，使得

异面直线NQ与PE所成的角为30C.三棱锥QAMN−体积的取值范围为12,33D.当点Q运动到DC中点时，DC与平面QMN所成的余弦值为66【答案】BC【解析】【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设(,2,0)(02)Qmm，根据向量垂直的

坐标表示和异面直线所成角的向量求法可确定m是否有解，从而判断AB；利用等体积法可知QAMNNAMQVV−−=，可求得体积的表达式，即可判断C；利用向量法求线面角即可判断D.【详解】以A为坐标原点，分别以,

,ABADAP所在直线为,,xyz轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,(2,2,0),(0,2,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,1,0)ABCDEPNM，对于A，假设存在点(,2,0)(02)Qmm

，使得NQPB⊥，因为(1,2,1)NQm=−−，(2,0,2)PB=−，所以()2120NQPBm=−+=，解得0m=，不合题意，故A错误；对于B，假设存在点(,2,0)(02)Qmm，使得异面直线NQ与PE所成的角为30

，因为(1,2,1)NQm=−−，(0,2,1)PE=−,所以()253cos,cos302155NQPENQPENQPEm====−+，解得1513m=，不符合02m，则不存在点Q，使得异面直线NQ与PE所成的角为30，故B正确；对于C，连接,,AQAMAN，(02),

2mCQmDQm==−，因为()1412222AMQABCDABMQCMADQmSSSSSmm=−−−=−−−−=−△△△△，点N到平面AMQ的距离112dPA==，所以1223236QAMNNAMQmmV

V−−==−=−，因为02m，所以12,33QAMNV−，故C正确；对于D，当点Q运动到DC中点时，()1,2,0Q，又()()1,0,1,2,1,0NM，则()0,2,1NQ=−，(1,1,1)N

M=−，设(),,nxyz=是平面QMN的法向量，则200nNQyznNMxyz=−==+−=，令1y=，则()1,1,2n=，因为(2,0,0)DC=，设直线DC与平面QMN所成角为，

所以26sincos,626nDCnnDCDC====，故D错误.故选：BC.12.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为1F、2F.一束光线从1F射出，经椭圆镜面反射至2

F，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为53，左顶点和上顶点分别为,AB.则下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程为22194xy+=B.若点P在椭圆上，则12sinFPF的最大值为19C.若点P在椭圆上，BP的最大值为955D.过直线2yx=+

上一点M分别作椭圆的切线，交椭圆于P，Q两点，则直线PQ恒过定点9,22−【答案】ACD【解析】【分析】利用椭圆的定义及离心率大小可求得椭圆方程，判断A,利用余弦定理121cos9FPF−，可得的顶角的最大为钝角，故12sinFPF最大值为1，可判断B;

设出点P的坐标为(3cos,2sin)Pxx，利用两点间的距离公式求得范围即可判断C;利用椭圆22221(0)xyabab+=在点00(,)xy处的切线方程为00221(0)xxyyabab+=，及点M在直线2yx=+上，求出P，Q两点满足的方程，即可求

得所过定点，判断D.【详解】一束光线从1F射出，经椭圆镜面反射至2F，如下图所示：所以可得1226,EFEFa+==即3,a=又椭圆的离心率为53cea==，可得5c=，所以2224bac=−=，故椭圆方程为22194xy+=，所以A正确；由椭圆的定义知，126,P

FPF+=不妨设12,,(0,0)PFmPFnmn==，22222124()24cos22mncmnmncFPFmnmn+−+−−==162812mnmnmn−==−，因为62mnmn=+，可得09,

mn所以12881cos1199FPFmn=−−=−，当且仅当mn=时等号成立，此时12FPF最大为钝角设为π()2，则120FPF，故当12π2FPF=时，12sinFPF的最大值为1，故B错误；易得(0

,2)B,设点(3cos,2sin)Pxx，则2229cos(2sin2)5sin8sin13BPxxxx=+−=−−+24165(sin)1355x=−+++当4sin5x=−时，max16951355BP=+=，故C正

确；易知椭圆22221(0)xyabab+=在点00(,)xy处的切线方程为00221(0)xxyyabab+=，证明如下：当切线斜率存在时，设直线ykxm=+与22221(0)xyabab+=相切与点00(,)xy，联立

222222222222()2()01ykxmakbxakmxambxyab=++++−=+=，所以22222222Δ(2)4()()0akmambakb=−−+=，整理可得2222makb

=+，又易知00ykxm=+，即00mykx=−，所以2222200();mykxakb=−=+整理可得222220000()20kaxbykxy−+−+=①；又切点在椭圆上，即2200221xyab+=，整理可得2222002

2222002ayaxbbxbya−=−=②，联立①②，可得2222200002220,aybxkkxyba++=即2200020()0akybxbxkbaay+==−，所以切线方程为200020()bxyyxxay−=−−，化简得00221xxyy

ab+=，经检验，直线斜率不存在时也符合上式，即椭圆22221(0)xyabab+=在点00(,)xy处的切线方程为00221xxyyab+=，设1122(,2),(,),(,)MttPxyQxy+，所以椭圆22194xy+=

在点P处的切线PM的方程为11194xxyy+=，在点Q处的切线MQ的方程为22194xxyy+=，两线相交于点M，所以可得1122(2)194(2)194xtytxtyt++=++=，即点,PQ满足方程(2)194txty++=，所以直线PQ方程为(2)

194txty++=，整理可得()10942xyyt++−=，令909422102xyxyy+==−=−=，故直线PQ的方程过定点9,22−，故D正确，故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题在求解

直线过定点问题时，关键是利用结论:椭圆22221(0)xyabab+=在点的00(,)xy处的切线方程为00221(0)xxyyabab+=，分别求得两个切线方程即可得出直线过的定点.三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.13.圆1C：

221xy+=与圆2C：()()22124xy−++=的公共弦所在的直线方程为______.【答案】210xy−−=【解析】【分析】两圆的方程相减即可得公共弦所在直线方程.【详解】圆1C：221xy+=与圆2C：()

()22124xy−++=，两圆方程相减可得()()22221214xyxy−+++−=−，即210xy−−=，则两圆的公共弦所在直线方程为210xy−−=.故答案为：210xy−−=.14.所有棱长都为1的平行六面体

1111ABCDABCD−中，若M为11AC与11BD的交点，60BAD=，1130DAABAA==，则BM的值为______.【答案】52【解析】【分析】根据空间向量的线性运算法则，可得11122BAMABAAD=−++，再将其两边

平方，由向量数量积的运算法则，可得解．【详解】因为()11111111111222BMBBBMBBBABBAACAAD=+=++=−++，所以2211122BMABAADA=−++222111111442AAAAABADABADAAABAD=++−−+1115111cos60

11cos3011cos304424++−−+==11，所以52BM=.故答案为：52．15.已知椭圆C：()2222111xyaaa+=−的左，右焦点分别为1F，2F，过点1F且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，2AF、2BF分别交y轴于P、Q两点，

2PQF的周长为4.过2F作21FAF外角平分线的垂线与直线BA交于点N，则ON=______.【答案】17【解析】【分析】根据//PQAB和椭圆定义可得a，求出椭圆方程，设()01,Ay−代入椭圆方程求得0

y，利用2222112AFAFFF=+求出2AF，再根据2=AFAN求出1NF，利用22211=+ONNFFO可得答案.【详解】因为//PQAB，所以22221=2==PQPFQFABAFBF，因为2PQF的周长为4，所以2ABF△的

周长121248+++==AFAFBFBFa，所以2a=，所以椭圆方程为22143xy+=，2431c=−=，所以()11,0F−，直线AB垂直x轴，设()01,Ay−，代入201143y+=，求得31,2A−，所以222211

2925444=+=+=AFAFFF，252AF=，因为21FAF外角平分线AT垂线与直线BA交于点N，所以252==AFAN，可得153422=+=NF，则2222114117=+=+=ONFONF，所以17=ON.故答案为：17.的16.已知直线l与圆O：224xy+=交于()11,A

xy，()22,Bxy两点，且23AB=，则112234103410xyxy+−++−的最大值为______.【答案】30【解析】【分析】1122|34||34|551010xyxy−++−+的几何意义为点,AB到直线34100xy+−=的距离之和，根据梯形中位线知其最大值是AB的中点M

到直线34100xy+−=的距离的2倍．由题意1OM=，所以AB的中点M的轨迹是以原点O为圆心，1为半径的圆，利用圆的性质即可得解.【详解】1122|34||34|551010xyxy−++−+的几何意义为点,AB到直线34100xy+−=的距离之

和，根据梯形中位线知其最大值是AB的中点M到直线34100xy+−=的距离的2倍，由题可知，圆O：224xy+=的圆心()0,0O，半径为2，23AB=，则22232()12OM=−=，所以AB的中点M的轨迹是以原点O为圆心，1为半径的圆，故点M到直线34

100xy+−=的最大距离22101334+=+，所以1122|34||34|551010xyxy−++−+的最大值为236=，则112234103410xyxy+−++−的最大值为30．故答案为：30．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直

角坐标系中，已知射线OA：()00xyx−=，OB：()200xyx+=.过点()3,0P作直线分别交射线OA，OB于点A，B.（1）已知点()6,3B−，求点A的坐标；（2）当线段AB的中点为P时，求直线AB的方程.【答案】（1）33,22A

（2）260xy+−=【解析】【分析】（1）根据已知先求出直线BP的方程，与OA的方程联立，即可得出答案；（2）设(),Aaa，()2,Bbb−，0a，0b，根据中点坐标公式以及已知求出,ab的值，即可得出,AB的坐标，求出斜率，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，()0

3136BPk−−==−−，所以直线BP的方程为()3yx=−−，即为30xy+−=.与()00xyx−=联立()3000xyxyx+−=−=解得3232xy==，即33,22A.【小

问2详解】由题意设(),Aaa，()2,Bbb−，0a，0b，则线段AB的中点为2,22abab−+.因为线段AB的中点为P，所以23202abab−=+=，解得：22ab==−.所以()2,2A，()4,2B−，则直线AB的斜

率22abkab−==−+.所以直线AB的方程为()23yx=−−，即260xy+−=.故直线AB的方程为260xy+−=.18.如图，ABCD和ABEF是不在同一平面上的两个矩形，13DMDB=，13ANAE

=，记ABa=，ADb=，AFc=.请用基底,,abc，表示下列向量：（1）FC；（2）MN；【答案】（1）FCabc=+−（2）2133MNbc=−+【解析】【分析】利用空间向量的运算求解即可.【小问1详解

】FCFAABBCAADFABabc=++=−++=+−.【小问2详解】()1133MNANAMANADDMAEADDB=−=−+=−+()()()()11113333ABADABADacbaAFb

=−+−=+−+−+112113333bcbc=−+=−+.19.已知圆C，圆1C：()2239xy++=，圆2C：()2219xy−+=，这三个圆有一条公共弦.（1）当圆C的面积最小时，求圆C的标准方程；（2）在（1）的条

件下，直线l同时满足以下三个条件：（i）与直线1930xy+−=垂直；（ii）与圆C相切；（iii）在y轴上的截距大于0，若直线l与圆2C交于D，E两点，求DE.【答案】（1）()2215xy++=（2）655【解析】

【分析】（1）联立圆1C与圆2C的方程，求得公共弦的两个端点坐标分别为()1,5M−−，()1,5N−，当圆C的面积最小时，MN是圆C的直径，求解即可；（2）由题意设直线l的方程为190xym−+=，结合条件直线l与圆C相切，l在y轴上的截距大于0，求得11m=，然后利用弦长公式求解.【

小问1详解】依题意，由()()22223919xyxy++=−+=，解得15xy=−=−或15xy=−=，因此圆1C与圆2C的公共弦的两个端点坐标分别为()1,5M−−，()1,5N−，当圆C的面积最小时，MN是圆C的

直径，则圆C的圆心为()1,0−，半径为5，所以圆C的标准方程是()2215xy++=.【小问2详解】因为直线l与直线1930xy+−=垂直，则设直线l的方程为190xym−+=，而直线l与圆C相切，则有10

525md−++==，解得11m=或9m=−，又因为l在y轴上的截距大于0，即019m，所以11m=，即直线l的方程为19110xy−+=，而圆2C的圆心()21,0C，半径23r=，点2C到直线l：19110xy−+=

的距离为2101165525d++==，于是得22222656522955DErd=−=−=.20.如图，在四棱锥PABCD−中，底面是边长为2的菱形，π3ABC=，H为BC的中点，2PAPBPH===.E为PD上的一点，已知4P

DPE=.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3913【解析】【分析】（1）取AB中点O，连接PO，HO利用已知条件先证明线面

垂直，然后再证明面面垂直即可；（2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，找出面的法向量，利用向量法求解面面角的余弦值即可.小问1详解】取AB中点O，连接PO，HO，∵PAPB=，O为AB中点，∴POAB⊥，∵2PA=，112OAAB==，∴221PO

PAOA=−=，∵四边形ABCD为菱形，π3ABC=，∴ABC为等边三角形，∴2AC=，又O，H分别为AB，BC中点，∴112OHAC==，∴222OHPOPH+=，即POOH⊥，∵OHABO=，,OHAB平面ABCD，PO平面AB

CD，∴PO⊥平面ABCD，∵PO平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD.【小问2详解】【连接CO，由（1）知：ABC为等边三角形，∴COAB⊥，3CO=；以O为坐标原点，OC、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直

角坐标系，则()()()()310,1,0,3,2,0,0,0,1,,0,0223,,0,ADPHC−−，∴()()()313,1,0,3,2,1,,,0,1,11,22ADPCPHA

P==−−=−=−−，由4PDPE=得：311,,424PE=−−，∴313,,424EAPAPE=−=−−−，设平面EAC的法向量(),,mxyz=，则300330

0424xyACmACmyEAmEAmxz+=⊥=⊥=−−−=，令1z=，解得：=33,xy−=，∴()3,3,1m=−，∵x轴⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量()1,0,0h=，设平面EAC与平面

PAB的夹角为，则339coscos,1313mhmhmh====，所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为3913.21.已知()3,1A−，B，M是椭圆C上的三点，其中A、B两点关于原点O对称，直线MA和MB的斜率满足13MAMBkk=−.（1）求椭圆C的标准方程

；（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P、N，若11PQQN+为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.【答案】（1）22162x

y+=（2）存在，()2,0Q，理由见解析【解析】【分析】（1）设(),Mxy，由13MAMBkk=−化简可得椭圆C的标准方程；（2）设直线PN的方程为0xmyx=+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得12yy+，12yy，又211P

Qmy=+，221QNmy=+，从而可求11PQQN+的表达式，即可求解.【小问1详解】设(),Mxy，易知()3,1B−，由13MAMBkk=−，得111333yyxx−+=−+−，化简得22162x

y+=，故椭圆C的标准方程为22162xy+=.【小问2详解】∵点Q是椭圆C长轴上的不同于A、B的任意一点，故可设直线PN方程为0xmyx=+，()11,Pxy，()22,Nxy，的由022162xmyxxy

=++=，得()222003260mymxyx+++−=，∴012223mxyym−+=+，2012263xyym−=+，Δ0恒成立.又211PQmy=+，221QNmy=+，∴1222121211111111yyPQQNyyyymm−+=+=−++，()2200222

12122220122264433116113mxxyyyymmxyymmm−−−+−++==−−++−+2202202222006626318226161xmmxxmxm−+−+==−

+−+，要使其值为定值，则20612x−=，故当204x=，即02x=时，116PQQN+=.综上，存在这样的稳定点()2,0Q.22.已知椭圆E：()222210xyabab+=的焦距为43，且点()2

3P,在椭圆E上.（1）求椭圆E的方程；（2）若ABQ、、是椭圆E上的三点，且直线AB与x轴不垂直，点O为坐标原点，OQOAOB=+，则当AOB的面积最大时，求22+的值.【答案】（1）221164xy+=（2）1【解析】【分析】（1）利用椭圆的性质，及待定系数法计算即可；（2）设A

BQ、、的坐标及直线AB，利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积，根据基本不等式求出面积最值时的结论，再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.【小问1详解】由题意得，22222243431c

ababc=+=−=，解之得2216423abc===，故椭圆E的方程为221164xy+=；【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Qxy，直线AB的方程为ykxt=+.将ykxt=+代入221164xy+=，整理得()2221484160k

xktxt+++−=，()()222Δ(8)4144160ktkt=−+−，即221640kt+−，则122814ktxxk+=−+，212241614txxk−=+，故()22222212121224164114114ktABkxxkxxxx

kk−+=+−=++−=++.又原点O到直线AB的距离为21tdk=+，所以22222114164122141AOBtktSABdkkk−+==+++()222222216416441414kttkkk−++==++，当且仅当222164ktt−+=，即2228kt+=（*）时，等号

成立.由OQOAOB=+，得012012,xxxyyy=+=+，代入22001164xy+=，整理得2222221122121221164164164xyxyxxyy++

+++=，即22121221164xxyy+++=（**）.而()()()()22121212121212144416416416kxxktxxtkxtkxtxxyyxx

+++++++=+=()()222222224168144428141416214tktkktttkkkk−++−+−−++==+，由（*）可知12120164xxyy+=，代入（**

）式得221+=.故221+=的值为1.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com