【文档说明】《新八年级数学暑假精品课程（浙教版）》第十六讲 第二章 特殊三角形 单元测试（提高）（解析版）.doc，共(37)页，1.513 MB，由管理员店铺上传

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1第十六讲第二章特殊三角形单元测试（提高）一、单选题1．等腰三角形两边长为2和4，则其周长为（）A．8B．10C．8或10D．12【答案】B【解析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．解：①当2为腰时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不存在；②当4为

腰时，符合题意，则周长是2+4+4=10．故选：B．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．2．在等腰ABCV中，ABAC=，O为不同于A的一点，且OBOC=，则直线AO与底边BC的位置关系为（）A．AO平分BCB．BC平分AOC．AO垂直平分

BCD．BC垂直平分AO【答案】C【解析】由中垂线的逆定理判断即可．QVABC中，AB=AC，OB=OC，AO垂直平分BC．故选：C．【点睛】2本题主要考查中垂线的逆定理，熟记定理是解题关键．3．下列命题的逆命题能成立的有（）①两条直线平行，内错角相等；②如

果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】写出各个命题的逆命题后判断真假即可．【详解】解：①两条直线平行，内错角相等的逆命题是内

错角相等，两直线平行，成立；②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个实数相等，不成立；③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；④在角的内部，到角的两边距离相等

的点在角的平分线上的逆命题是角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，成立的有2个，故选：C．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大．4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有

槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OCCDDE==，点D，E可在槽中滑动，若72BDE=，则CDE的度数是（）A．84B．82C．81D．78【答案】A【解析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性

质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．3解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠

ODC，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性

质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．5．如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，AC＝AE，则∠B的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解析】先ASA证

明△BAC≌△EDC，再利用全等三角形的性质，等腰三角形的两底角相等即可求解．解：∵∠BCE＝∠ACD，又∵∠BCE＝∠BCA＋∠ACE，∠ACD＝∠DCE＋∠ACE，∴∠BCA＝∠DCE，∵∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，∴△BAC≌△EDC（ASA），∴AC＝CD，∴∠CAE＝∠D＝4

0°，∵AC＝AE，4∴∠AEC＝∠ACE＝12（180°﹣∠CAE）＝70°，∵∠AEC＝∠D＋∠DCE，∴∠DCE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝110°．故选：B．【点睛】考查了全等

三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是根据ASA证明△BAC≌△EDC．6．如图，ABC和CDE都是等边三角形，且62EBD=o，则AEB的度数是（）A．124oB．122oC．120oD．118o【答案】B【解析】由等边三角形的

性质，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后证明△ACE≌△BCD，则∠CAE=∠CBD，由角的关系，求出∠ABE+∠BAE=58°，即可得到答案．【详解】解：如图：∵ABC和CDE都是等

边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，5∴∠ACE+∠BCE=∠BCD+∠BCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，即6062BAEEBC−=−，∵60EBCABE

=−，∴6062(60)BAEABE−=−−，∴58ABEBAE+=，∴18058122AEB=−=；故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角的和差关系，解题

的关键是掌握所学的知识，正确求出58ABEBAE+=．7．如图，D、E分别是VABC的边BC和AB上的点，VABD与VACD的周长相等，VCAE与VCBE的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列结论错误的

是（）A．若AD是BC边中线，则CE是AB边中线B．若AB＝BC，则BD的长度为2bC．若AC＝BC，则AE的长度为2cD．若∠BAC＝90°，VABC的面积为S，则S＝AE·BD【答案】A【详解】【解答】当AD是BC边的中线时，BD＝CD，∵△ABD与△ACD的周长相等，∴AB＝A

C，但此时，不能得出AC＝BC，即不能得出CE是AB边的中线，故A错误；∵△ABD与△ACD的周长相等，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴AB＋BD＋AD＝AC＋CD＋AD，∴AB＋BD＝AC＋CD，∵AB＋BD＋CD＋

AC＝a＋b＋c，∴AB＋BD＝AC＋CD＝.∴BD＝－c＝，若AB＝BC，则BD的长度为，同理AE＝，若AC＝BC，则AE的长度为，故B、C都正确；当∠BAC＝90°时，b2＋c2＝a2，∴AE·BD＝×＝6[a

＋(c－b)][a－(c－b)]＝[a2－(c－b)2]＝[a2－(c2＋b2－2bc)]＝×2bc＝bc＝S，故D正确．8．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F

，若PF＝2，则BP＝（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】【解析】首先证△ABD≌△CAE，推出∠ABD=∠CAE，求出∠BPF=∠APD=60°，得出∠PBF=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出BP=2PF即可．【详解】∵△

ABC是等边三角形，.∴AB=AC，.∠BAC=∠C，.在△ABD和△CAE中，ABACBADCADCE＝＝＝，.∴△ABD≌△CAE，.∴∠ABD=∠CAE，.∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°，.∴∠BPF=∠A

PD=60°，.在Rt△BFP中，∠PBF=30°，.∴BP=2PF，7∵PF=2，∴BP=4.故选B.【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出∠PBF=30°．9．如图，在RtABCV中，90

ACB=，将ABCV绕顶点C逆时针旋转得到ABCV，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM，若43BCAC==，，则在旋转的过程中，线段PM的长度不可能是（）A．5B．4.5C．2.5D．0.5【答案】A【解析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求

出PC=2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．【详解】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵BC=4，AC=3，∴AB=5，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=5，∴A′P=PB′，∴PC=1

2A′B′=2.5，∵CM=BM=2，8又∵PM≤PC+CM，即PM≤4.5，∴线段PM的长度不可能是5．故选：A．【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．10．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD和边B

C的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F，若AB＝8，AC＝5，则CF＝（）A．1.5B．2C．2.5D．3【答案】A【解析】连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，证明△AF

D≌△AMD，得到AF＝AM，FD＝DM，证明RtCDFRtBDMVV≌，得到BM＝CF，结合图形计算，得到答案．【详解】连接CD，DB，过点D作DM⊥AB于点M，∵AD平分∠FAB，∴∠FAD＝∠MAD，在△AFD和△A

MD中，FADMADAFDAMDADAD=＝＝∴△AFD≌△AMD（AAS）∴AF＝AM，FD＝DM，∵DE垂直平分BC∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDM中，9DCDBDFDM==，∴Rt△

CDF≌Rt△BDM（HL）∴BM＝CF，∵AB＝AM+BM＝AF+MB＝AC+CF+MB＝AC+2CF，∴8＝5+2CF，解得，CF＝1.5，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质和角平分线的性质等知识，根据已知角平分线以及垂直

平分线作出相关辅助线从而利用全等求出是解决问题的关键．11．在RtABCV中，ACBC=，点D为AB中点，90GDH=，GDH绕点D旋转，,DGDH分别与边AC，BC交于E，F两点，下列结论：①22AEBFAB+=；②222AEBF

EF+=；③12ABCCEDFSS=四边形△；④DEFV始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．③④D．①②③④【答案】D【解析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出ADECDF，就

可以得出AECF=，进而得出CEBF=，就有AEBFAC+=，由勾股定理就即可求出结论．【详解】10解：连接CD，ACBC=Q，点D为AB中点，90ACB=，12ADCDBDAB===．45ABACD

BCD====，90ADCBDC==．90ADEEDC+=，90EDCFDCGDH+==Q，ADECDF\??．在ADE和CDF中，ADCBADCDADECDF===，()ADECDFASA，AECF∴=，DEDF=，ADECD

FSS=．ACBC=Q，ACAEBCCF−=−，CEBF=．ACAECE=+Q，ACAEBF=+．222ACBCAB+=Q，22ACAB=，22AEBFAB+=．DEDF=Q，90GDH=，DEF始终为等腰直角三角形．222CECFEF+=Q，222AEBFE

F+=．EDCCDFCEDFSSS=+Q四边形，12EDCADEABCCEDFSSSS=+=四边形．正确的有①②③④．故选D．11【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾

股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明ADECDF是关键．12．如图，在ABCV中，点D是边AB上的中点，连接CD，将BCD△沿着CD翻折，得到ECDV，CE与AB交于点F，连接AE．若6,42ABCDAE===,，则点C到AB的距离为（

）A．72B．42C．823D．22【答案】C【解析】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，由折叠的性质及中点性质，可得△AEB是直角三角形，且G点是BE的中点，从而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的长，则根据△ABC的面积相等一方面可表示为12ABCHg

，另一方面其面积为△BCD与△ACD面积的和，从而可求得CH的长．【详解】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=12BE12∵D点是AB的中点∴BD

=AD，BCDACDSS=VV∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA∵BD=ED∴∠DEB=∠DBE∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠

AEB=90°在Rt△AEB中，由勾股定理得：2236442BEABAE=−=−=∴22BG=∵BCDACDABCSSS+=VVV∴11222CDBGABCH=gg∴224228263CDBGCHAB===g故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、

勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得13出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积．二、填空题13．如图，在ABCV中，ABBC=，30C=，过点B作BDBC⊥，交AC于点D，若2CD=，则AD的长为_________

_．【答案】1.【解析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD，利用直角三角形中30°角的性质计算BD即可得解.【详解】∵ABBC=，30C=，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BDBC⊥，2CD=，∴∠CBD=90°，B

D=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A，∴BD=AD，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.14．已知△ABC和△A′B′C′关于MN对称，并且AB＝5，BC＝3，则A′C′的取值范围是_________．【答案】

2＜AC＜8【解析】14根据△ABC和△A′B′C′关于MN对称，得出△ABC≌△A′B′C′，即可得出AC=A′C′，再利用三角形三边关系得出A′C′的取值范围．【详解】∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，∴得出△

ABC≌△A′B′C′，∴AC=A′C′，∵AB-BC＜AC＜AB+BC，∴5-3＜AC＜5+3∴A′C′的取值范围是：2＜A′C′＜8．故答案为：2＜A′C′＜8【点睛】本题考查轴对称的性质及三角形的三边关系，成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；三角形任意两边之和大于第三边，

任意两边之差小于第三边；熟练掌握相关性质是解题关键．15．若△ABC三边a、b、c满足20aabacbc−−+=，则△ABC是___________三角形．【答案】等腰【解析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可

作出判断．【详解】∵20aabacbc−−+=，∴()()0aacbac−−−=，∴()()0abac−−=，∴0ab−=或0ac−=，∴ab=或ac=，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考察因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．1516．在△ABC中

，AB＝AC，现将△ABC折叠，使点A、B两点重合，折痕所在的直线与直线AC的夹角为56°，则∠B的度数是_____°．【答案】17或73．【解析】首先根据题意画出图形，当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1，由翻折的

性质可知：EF⊥AB，从而可求得∠A，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B；当等腰三角形的顶角是钝角时，如图2，由翻折的性质可知：EF⊥AB，从而可求得∠DAE，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可求得∠B

．【详解】当等腰三角形的顶角是锐角时，如图1：由翻折的性质可知：EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠B＝12×（180°﹣∠A）＝73°；当等腰三角形的顶角是钝角时，如图2：由

翻折的性质可知：EF⊥AB，∴∠D+∠DAE＝90°．∴∠DAE＝90°﹣56°＝34°，∵AB＝AC，16∴∠B＝∠C．∵∠B+∠C＝∠DAE，∴∠B＝12∠DAE＝17°，故答案为：17或73．【点睛】本题主要考查了翻折的性质、等腰

三角形的性质；这里要分类讨论：分别就等腰三角形的项角是锐角和钝角两种情况进行讨论．17．如图所示，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点1P，2P，连接12PP交OA于M，交OB于N，若1214

0PPP=，则NPM=__．【答案】100【解析】首先求出∠P1+∠P2=40°证明∠PNM=∠P2+∠NPP2=2∠P2，∠PMN=∠P1+∠MPP1=2∠P1，推出∠PNM+∠PMN=2(∠P1+∠P2)=80°，可得结论．【详解】∵P点关于OA、OB的对称点为P1

，P2，∴NP=NP2，MP=MP1，∴∠P2=∠NPP2，∠P1=∠MPP1，∵∠P1PP2=140°，∴∠P1+∠P2=40°，∵∠PNM=∠P2+∠NPP2=2∠P2，∠PMN=∠P1+∠MPP1=2∠P1，∴∠PNM+∠PMN=2

(∠P1+∠P2)=80°，∴∠NPM=180°-(∠PNM+∠PMN)=100°，故答案为：100°．17【点睛】本题考查了轴对称，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题．18．RtABCV中，90C=，12ACcm=，16BCcm=，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于点E，交斜边于点F，则CDE△的周长为__________.【答案】20cm或22cm【解析

】根据轴对称的性质：折叠前后图形的形状和大小不变分折叠∠A和∠B两种情况求解即可．【详解】当∠B翻折时，B点与D点重合，DE与EC的和就是BC的长，即DE+EC=16cm，CD=12AC=6cm，故△CDE的周长为16+6=22cm；当∠A翻折时，A点与D点

重合．同理可得DE+EC=AC=12cm，CD=12BC=8cm，故△CDE的周长为12+8=20cm．故答案为20cm或22cm．【点睛】本题考查图形的翻折变换．解题时应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称.19．在等边ABCV中，点D是边BC上一点，点E在

BA延长线上，EDEC=，2BD=，3CD=，则BE=____．【答案】322+【解析】作EG∥AC，可得等边三角形EBG，利用全等三角形的性质证明BD=CG即可解决问题.【详解】作EG∥AC交BC的延长线

于G，18∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°∴∠G=∠ACB=60°，又∠B=60°∴△EBG是等边三角形，∴EB=EG=BG∴CG=AE，∵ED=EC∴∠EDC=∠ECD，又∠B=∠G∴∠BED=∠GEC∴△BED≌△GEC(AAS)∴BD

=CG=2∴BE=BG=BD+CD+CG=2+3+2=3+22,故答案为:3+22【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，

属于中考常考题型.20．如图，在等边VABC中，AD=BE，BD、CE交于点P，CF⊥BD于F，若PF=3cm，则CP=_____cm．【答案】6【详解】19试题分析：利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△ABD≌△BCE，进而求出∠ABP+∠PBC=∠FPC=60°

，所以∠PCF=30°，由含30度的直角三角形的性质进行解答即可．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=60°．∴在△ABD与△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠ABD=∠BCE，∴∠FPC=∠FBC+∠ECB=∠FBC+∠ABD=60°，又∵C

F⊥BD，PF=3cm，∴∠PCF=30°，∴CP=2PF=6cm．故答案是：6．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．难点在于根据题意画图，由于没任何角的度数，需要充分挖掘隐含条件．21．如图，在平行

四边形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝114°，则∠ADE的度数为_____．【答案】16.5°【解析】根据AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，得到AE=ED=DC，得到等腰三角形AED，

等腰三角形EDC，利用等腰三角形的性质计算即可．【详解】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴AE=EF=DE，∵AE=EF=DC，∴AE=ED=DC，20∴△AED，△EDC是等腰三角形，∴∠ADE=∠DAE，∠DEC

=∠DCE，∵∠EDC＝114°，∴∠DEC=∠DCE=180-1142=33°，∵∠DEC=∠ADE+∠DAE=2∠ADE，∴∠ADE=2DEC=16.5°，故答案为：16.5°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的

内角和定理和外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．22．如图，VABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，若CE=12，CF=9，则OC的长是____．【答案】7.5．

【详解】试题分析：已知MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，由角平分线的定义可得∠2=∠5，∠4=∠6，所以∠2+∠4=∠5+∠6=90°，△ECF为直角三角形，由勾股定理得EF=15；又因MN∥BC，由平行线的性质可得∠1=∠5，所以∠1=∠2，根据等腰三角形的判定可得EO

=CO，同理可得OE=OF；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OC=EF=7.5．21考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．23．如图，在RtABCV中，90ACB=，60B=，2BC=，将ABCV绕点C逆时针旋转得到ABC

V，且B恰好落在AB上，连接AA，取AA的中点D，连接BD，则BD的长为__________．【答案】7【解析】先根据30°的直角三角形的性质得出BC的长，进而求出AC的长，再根据旋转的性质可得出90BAD=，最后利用勾股定理计算即可．【

详解】解：Q∠90,60ACBB==，∴∠30,24,BACABBC===∴2223ACABBC=-=由旋转的性质得，△ABCABC，∴2BCBC==，23ACAC==，ACABCB=又∵∠60,BBCBC==，∴△BCB是等边三角形60B

CBB==，2BBBC==2260ACABCB==AAC△为等边三角形23,60AAACAAC===Q点D为AA的中点132ADAA==4,2ABBB==Q422ABABBB

=−=−=3060BACAAC==Q，90BAD=在RtADB中，222ADABBD+=∴2222(3)27BDADAB=+=+=故答案为：7．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，勾股定理，图形旋转的性质，等边三

角形的判定是解决本题的关键．24．如图，ABCV中，ABC、EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的有_______．（将所有正确序号填在横线上）①CP平分ACF；②2180ABCAPC+=，③2ACBAPB=∠∠；④若PMB

E⊥，PNBC⊥，则AMCNAC+=．【答案】①②③④【解析】①作PD⊥AC于D．由角平分线的性质得出PM=PN，PM=PD，得出PM=PN=PD，即可得出①正确；②首先证出∠ABC+∠MPN=180°，证明Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），得出∠AP

M=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），得出∠CPD=∠CPN，即可得出②正确；③由角平分线和三角形的外角性质得出∠CAE=∠ABC+∠ACB，23∠PAM=12∠ABC+∠APB，得出∠ACB=2∠

APB，③正确；④由全等三角形的性质得出AD=AM，CD=CN，即可得出④正确；即可得出答案．【详解】解：①作PD⊥AC于D．∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②

∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，PAPAPMPD==，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）

，∴∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD=∠CPN，∴∠MPN=2∠APC，∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE=2∠PAM，∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠PAM=12∠AB

C+∠APB，∴∠ACB=2∠APB，③正确；24④∵Rt△PAM≌Rt△PAD（已证），∴AD=AM，∵Rt△PCD≌Rt△PCN（已证），∴CD=CN，∴AM+CN=AD+CD=AC，④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的判定与性质，三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解．三、解答题25．已知：如图，在等边ABCV中，点D、E分别在边AC、BC上，BD与AE交于点F，CDBE=．（1）求证：BDAE=；（2）求证：

60AFD=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）根据SAS证明△ABE≌△BCD即可解决问题；（2）利用全等三角形的性质和三角形外角的性质即可解决问题；【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠ABE

=∠C=60°，在△ABE和△BCD中，BABCABECBECD===，∴△ABE≌△BCD（SAS），25∴BD=AE；（2）∵△ABE≌△BCD，∴∠BAE=∠CBD，∴∠AFD=∠ABF+∠BAE=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°．【点睛】本题考查全等三角形的判定

和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．在ABCV中，AD平分,BACE是BC上一点，,//BECDEFAD=交AB于F点，交CA的延长线于,//PCHAB交AD的延长线于点H．（1）求证：APFV是等腰三

角形；（2）猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．【答案】（1）见解析；（2）AB=PC，证明见解析【解析】（1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得14=，同位角相等可得2P=，再根据角平分线

的定义可得12=，然后求出4P=，根据等角对等边的性质即可得证；（2）根据两直线平行，内错角相等可得5B=，再求出13H==，然后利用“AAS”证明BEF和CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BFCH=，再求出ACCH=，再根据ABAFBF=+，PCAPA

C=+，整理即可得解．【详解】解：（1）证明：//EFADQ，14=，2P=，ADQ平分BAC，12=，264P=，AFAP=，即APF是等腰三角形；（2）ABPC=．理由如下：证明：//CHABQ，5B=，1H=，//E

FADQ，13=，3H=，在BEF和CDH中，Q53BHBECD===，()BEFCDHAAS，BFCH=，ADQ平分BAC，12=，2H=，ACCH=，ACBF=，ABAFBF=+Q，PCAPAC=+，ABPC=．【点睛】27本题

考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观．27．如图，△ABC和△A1B1C1关于直线PQ对称，△A1B1C1和△A2B2C2关于直线MN对称．（1）用无刻度直尺画出直线MN；（2

）直线MN和PQ相交于点O，试探究∠AOA2与直线MN，PQ所夹锐角α的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）∠AOA2＝2α．【解析】（1）连接A1C2，A2C1，A1B2，A2B1，过两个交点作直线即可得到MN；（2）根据轴对称的性质，

即可得到∠AOP＝∠A1OP，∠A2OM＝∠A1OM，进而得出∠AOA2与直线MN，PQ所夹锐角α的数量关系．【详解】（1）如图，直线MN即为所求；（2）如图，由轴对称可得：∠AOP＝∠A1OP，∠A2OM＝∠A1OM，∴∠AOA2＝2∠POM，即∠AOA2＝2α．

28【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：先由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；再直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线

段的另一端点，即为对称点；然后连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．28．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ上AD于点Q．(1)求证：AD=BE；(2)求∠PBQ的度数；(3)若

PQ=3，PE=1，求AD的长．【答案】（1）证明详见解析；（2）∠PBQ=30°；（3）AD=7.【解析】【解析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得△AEB≌△CDA，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三

角形外角的性质求得∠BPQ=60°，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论；（3）由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=6，则易求BE=BP+PE=7．【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°．在△AEB与△CDA中，∵ABCABAE

CAECD===，∴△AEB≌△CDA（SAS），∴AD=BE；（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=60°．29在

Rt△PBQ中，∠PBQ=90°－∠BPQ=90°－60°=30°；（3）∵∠PBQ=30°，∴PQ=12BP=3，∴BP=6，∴BE=BP+PE=7，即AD=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与

性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．29．如图，在ABCV中，ABBC=，90ABC=，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且AECD=．（1）求证：RtRtABECBD≌△△；（2）

若过B点作//BFCD，且22CAE=，求FBA度数．【答案】（1）证明见解析；（2）67°【解析】（1）利用“HL”可证明Rt△ABE≌Rt△CBD；（2）由等腰直角三角形的性质得出∠BCA=∠B

AC=45°，求出∠BAE=23°，由直角三角形的性质求出∠CDB的度数，根据平行线的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∠ABC=∠DBC=90°，在Rt△ABE和Rt△CBD中，AECDABCB==，∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL）；（2）解：∵

AB=BC，∠ABC=90°，30∴∠BCA=∠BAC=45°，∵∠CAE=22°，∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-22°=23°，∵Rt△ABE≌Rt△CBD，∴∠BAE=∠DCB=23°，∵∠ABC=∠DBC=90°，∴∠CDB=90°

-∠DCB=90°-23°=67°，∵BF∥CD，∴∠FBA=∠CDB=67°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．30．如图，点O是等边ABCV内一点，将BOCV

绕点B逆时针旋转60得到BDAV，连接OD．（1）求证：BODV是等边三角形；（2）若ADAO=，100AOC=时，求BOC的度数．【答案】（1）详见解析；（2）130【解析】（1）根据旋转的性质得到BD=BO，∠DBO

=60，即可证得结论；（2）利用SSS证明△ADB和△AOB，推出∠ADB=∠AOB，由旋转得∠BOC=∠ADB，求得∠BOC=∠AOB，根据∠BOC+∠AOB+∠AOC=360计算得出答案．【详解】（1）∵将BOCV绕点B逆时针旋转60得到BDAV，∴BC=BA，BD=BO，∠DBO=60

，∴BODV是等边三角形；（2）在△ADB和△AOB中，31ADAOBDBOABAB===，∴△ADB和△AOB（SSS），∴∠ADB=∠AOB，由旋转得∠BOC=∠ADB，∴∠BOC=∠AOB，∵∠BOC+∠AOB+∠AOC=3

60，100AOC=，∴∠BOC=∠AOB=130．【点睛】此题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，熟记旋转的性质是解题的关键．31．如图，在RtABC△中，90ACB=

，ACBC=，15CADCBD==，延长AD交BC于点E．求证：（1）ACDBCD△≌△．（2）DE平分CDB．（3）若CDDM=，EMFM=，8CE=，求线段FB的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8【解析】

（1）易证AD=BD，即可证明△ACD≌△BCD，即可解题；（2）由（1）结论和∠ACB=90°，可得∠ACD=∠BCD=45°，即可求得∠BDC=∠ADC=120°，可得∠CDE=60°，即可解题；（3）易证△CDE≌△MDE，可得CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，即可求

得∠MEF=30°，即可求得MF=BF，即可解题．【详解】解：（1）证明：∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，∵∠CAD=∠CBD，32∴∠DAB=∠DBA，∴AD=BD，在△ACD和△BCD中，ACBCCADCBDADBD===，∴△ACD≌△BCD（SA

S）；（2）∵△ACD≌△BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCD=45°∴∠BDC=∠ADC=120°，∴∠CDE=60°，∴DE平分∠CDB；（3）∵在△CDE和△MDE中，CDDMCDEMDEDEDE===，∴

△CDE≌△MDE（SAS），∴CE=EM，∠DEM=∠AEC=75°，∴∠MEF=30°，∵EM=FM，∴∠MFE=30°，∵∠CBD=15°，∴∠FMB=15°，∴MF=BF，∴BF=MF=EM=CE=8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了

全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BCD和△CDE≌△MDE是解题的关键．32．已知在Rt△AOB中，∠AOB＝90°（如图1）．（1）将Rt△AOB绕点B逆时针旋转一定的角度，使BO边落

在Rt△AOB原位置的AB边上得Rt△NEB，延33长NE交Rt△AOB原位置的AO边于F点（如图2）．①若此时∠OBN＝140°，则∠N＝度；②求证：EN＝EF+AF；（2）已知Rt△AOB中，AO＝8，BO＝6，AB＝10，将Rt△AOB沿B

O边所在直线折叠得Rt△COB，再将△ABC沿AC边所在直线折叠得△ADC，组成对角线AC、BD互相垂直于点O的四边形ABCD，若点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥BC于M点，作PH⊥AB于H点，连结PD（如图

3）．试探索：在点P运动过程中，是否存在点P，使PM+PH+PD的值最小．若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①20；②见解析；（2）存在点P，使PM+PH+PD的值最小15.6【解析】（

1）①由旋转的性质可得BE＝BO，∠O＝∠BEN＝90°，∠ABO＝∠NBE＝70°，由直角三角形的性质可求解；②由“HL”可证Rt△BFO≌Rt△BFE，可得OF＝EF，可得结论；（2）连接BP，由三角形的面积公

式可求PM＋PH＝9.6，则当PD⊥AC时，PM＋PH＋PD有最小值，即可求解．【详解】解：（1）①∵将Rt△AOB绕点B逆时针旋转得Rt△NEB，∴BE＝BO，∠O＝∠BEN＝90°，∠ABO＝∠NBE，OA＝EN，∵∠OBN＝140°，∴∠ABO＝∠NBE＝70°

，∴∠N＝90°﹣∠BNE＝20°，故答案为：20；②如图2，连接BF，34在Rt△BFO和Rt△BFE中，BEBOBFBF==，∴Rt△BFO≌Rt△BFE（HL），∴OF＝EF，∴EN＝OA＝

OF+AF＝EF+AF；（2）存在点P，使PM+PH+PD的值最小．如图3，连接BP，由折叠的性质可得：AB＝BC＝CD＝10，AO＝CO＝8，BO＝6，∵S△ABC＝S△ABP+S△BCP，∴12×8

×6+12×8×6＝12×10×MP+12×10×PH，∴PM+PH＝9.6，∴PM+PH+PD＝9.6+PD，∴PD⊥AC时，PM+PH+PD有最小值，∴点P与点O重合时，PM+PH+PD有最小值，∴PD＝6，∴PM+PH+PD的最小值为9.6+6＝15.6．【点睛】本题是

三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，折叠的性质，旋转的性质，三角形的面积公式等35知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．33．已知ABCV和ADEV都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点（点D不与B，C重合），连接CE．（1）在图1中，当点D在边BC上时，求证：BCCE

CD=+；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BCCECD=+是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数

量关系及直线CE与直线BC的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）结论BCCECD=+不成立，猜想BCCECD=−，理由见解析；（3）BCCDCE=−；CEBC⊥；理由见解析．【解析】（1）只要证明△ABD≌△ACE（SAS），可得BD=C

E，即可推出BC=BD+CD=EC+CD；（2）不成立，存在的数量关系为BCCECD=−．利用全等三角形的性质即可证明；（3）结论：BCCDCE=−；CEBC⊥．同（1）一样证明△ABD≌△ACE（SAS）即可．【详解】（1）证明：QABCV和ADEV都是等腰直角三角形36A

BAC=，ADAE=，90BACDAE==90BADDACCAEDAC+=+=BADCAE=()BADCAESASVVBDCE=BCBDCDCECD=+=+（2）结论BCCECD=+不成立，猜想BCCECD=−，理由如下：Q90BACDA

E==BACCADDAECAD+=+BADCAE=又QABAC=，ADAE=()BADCAESASVVBDCE=BCBDCDCECD=−=−（3）BCCDCE=−；CEBC⊥；理由如下：补全图形如图3，∵ABCV是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠

ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，ABACBADEACADAE===，37∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，∴CEBC⊥．【

点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用及等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．