【文档说明】河南省正阳县高中2020-2021学年高一下学期第三次素质检测数学（理）试卷 含答案.doc，共(15)页，1.336 MB，由小赞的店铺上传

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1正阳高中2020-2021学年度下期20级第三次素质检测数学试题（理）2021.6.12一、单选题1．半径为2，中心角为3的扇形的面积等于（）A．43B．C．23D．32．市场调查发现，大约35的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局抽样

调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为45，而实体店里的儿童玩具的合格率为910.现工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）A．12B．34C．45D．563．执行右面的程序

框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么空白的判断框中应填入（）A．?abB．?baC．?xbD．?bx4．将函数2sin23yx=+的图像向左平移14个最小正周期后，所得图像对应的函数为（）

A．2cos23yx=+B．2cos23yx=−+C．2sin23yx=−+D．22sin23yx=−5．向量,ab满足||1,()0,(2)aabaabb=+=+⊥，则||b=（）A．2B．1C

．2D．226．在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2cosbaC=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形7．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”

选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（）2A．16B．12C．23D．568．在一次科普知识竞赛中共有200名

同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A．可求得0.005a=B．这200名参赛者得分的中位数为64C．得分在()60,80之间的频率为0.5D．得分在()40,60之间的共有80人9．若()1

cos30sin3−−=，则()sin302−=（）A．13B．13−C．79D．79−10．赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽

.“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.设3ADAF=，若

在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）的概率是（）A．413B．926C．21313D．91311．在ABC中，O是三角形的外心，过点B作BGAO⊥于点G，8AB=，则AOAG→→=（）A．16B．8C．24D．3212．ABC的内角A，B，C的对边为

a，b，c，满足2coscoscos()cBbAaAC+=+，2c=，4a=，D为边AC上一点满足2CDDA=，则||BD=（）A．433B．169C．43D．23二、填空题13．已知对于一组数据()11,xy，()22,xy，…，()1010,xy，y关于x的

线性回归方程为ˆ27.2yx=−+，若1016iix==，则101iiy==______．314．若对任意xR，()cossinxx−=恒成立，则常数的一个取值为________.15．已知两个非零向量a，b满足2abab==−=，则a在b方向上的投影为______．

16．公元1231年，南宋著名思想家，教育家陆九渊的弟子将象山书院改建于三峰山徐岩（徐岩旧址，现为贵溪市第一中学），在信江河畔便可望见由明正德皇帝御笔亲题的“象山书院”红色题刻．为测量题刻CD的高度，在A处测得仰角分别为45，30°，前进40米后，又在B处测得仰角分别为60，45

，则题刻CD的高度约为__________米．三、解答题17．已知()()1,0,2,1ab==.（1）当k为何值时，kab+与2ab+共线？（2）当k为何值时，kab+与2ab+垂直？（3）当k为何值时，kab+与2ab+的夹角为锐角？18．设向量

()3sin,sinaxx=，()cos,sinbxx=，0,2x．（1）若ab=rr，求实数x的值；（2）设函数()fxab=，求()fx的最大值．19．公2021年初，疫情防控形势依然复杂严峻，防疫任务依然艰巨.为了引起广大市

民足够重视，某市制作了一批宣传手册进行发放.手册内容包含“工作区域防护知识”“个人防护知识”“居家防护知识"“新型冠状病毒肺炎知识”“就医流程”等内容.为了解某市市民对手册的掌握情况，采取网上答题的形式，从本

市10~60岁的答题的人群中随机抽取了100人进行问卷调查，统计结果如下频率分布直方图所示∶（1）求a的值，并估计样本数据的平均数（用区间中点值代替落在区间内的数值）；（2）现从年龄在[20，40)的人中利用分层抽样抽取45人，再从5人中随机抽取3人

进行问卷调查，年龄在[20，30)的回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，题目都不同.用X表示抽取的3人中回答题目的总个数，求事件“X=13”的概率.20．已知ABC满足___________，且5,4bB==，从条件①､条件②､条件③中选择一个作为已知填在横线上，并求解下列问题：（1

）sinC；（2）求ABC的面积.条件①tan2A=，条件②22225bcac+−=，条件③35bc=.注：如果选择条件①､条件②､条件③分别解答，按第一个解答计分.21．在游学活动中，在A处参观的第1组同学通知在B处参观的第2组同学：第1组正离开A处向A的东南方向

游玩，速度约为20米/分钟．已知B在A的南偏西75方向且相距200米，第2组同学立即出发沿直线行进并用10分钟与第1组同学汇合．（1）设第2组同学行进的方位角为，求cos．（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）（2）求

第2组同学的行进速度为多少？22．已知函数21()sinsincos6122fxxxx=++−−.（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3,322Bfb==，

求acosB﹣bcosC的取值范围.5正阳高中2020—2021学年度下期20级第三次素质检测数学理科参考答案1．C【分析】根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：因为扇形的半径2r=，中心角3=，所以扇形的面积2211222233Sr===，故选：C.2．B【分析】根

据已知条件，利用比例求得这个儿童玩具是在网上购买的可能性.【详解】工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是313355253121445551025==+.故选：B3．D【分析】根据程序的功能可

得出合适的选项.【详解】要求输出这三个数中最小的数，原理是将较小者与另一个数比较，直到输出，类比可知空白之处应填?bx，故选：D.4．A【分析】由题意知：图象向左平移44T=个单位，即可写出平移后的解析式.【

详解】由题意知：图象平移44T=个单位，∴()2sin[2()]2cos(2)433fxxx=++=+.故选：A5．C【分析】6根据题意得()0(2)0abaabb+=+=，进而解得2b=.【详解】由题意易知：()0(2)0abaabb+=+=，即21

020babab+=+=，222bab=−=，即2b=.故选：C【点睛】知识点点睛：=0abab→→→→⊥.6．A【分析】应用正弦定理，结合三角形内角的性质及两角和差公式可得sin()0AC−=，即可判断ABC的形状.【详解】由题设，结合正弦定理有sin2sinco

sBAC=，而()BAC=−+，∴sin()sincoscossin2sincosACACACAC+=+=，即sin()0AC−=，又0,AC，∴AC=.故选：A7．D【分析】采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果.【详解】从4门学科中

任选2门共有：政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共6种情况，其中满足化学和生物至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为56.故选：D8．B【分析】利用直方图的面积之和为1求出a的值，可判断A选项的正误；利用频率分布直方图

计算中位数，可判断B选项的正误；利用频率分布直方图可判断CD选项的正误.【详解】对于A选项，由于直方图的面积之和为1，则100.350.30.20.11a++++=，解得0.005a=，A选项正确；对于B选项，前两个矩形的面积之和为0.050.350.40.5+=

，前三个矩形的面积之和为0.050.350.30.70.5++=，7设中位数为x，则()60,70x，则()0.4600.030.5x+−=，解得63.33x，B选项错误；对于C选项，得分在()60,80之间的频率为0.30.20.5+=，C选项正确；对于D选项，得分在()40,60之间

的人数为()0.050.3520080+=，D选项正确.故选：B.【点睛】方法点睛：从频率分布直方图中得出相关数据的方法（1）频率：频率分布直方图中横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，=频率频率组距组距，即每个小长方形的面积表示相应各组的频率．（2）众数：频率分布直方图中最高的小长方形

底边中点对应的横坐标．（3）中位数：平分频率分布直方图中小长方形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．（4）平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和．9．D【分析】化简()1cos30sin3−−=得()1c

os303+=，再利用诱导公式和二倍角公式化简求解.【详解】由()1cos30sin3−−=，得311cossin223−=，即()1cos303+=，所以()()()217sin302cos6022cos3012199−=+=+−=−=−．故选：D．

【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值，常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.10．D【分析】利用余弦定理求出大等边三角形边长即可得解.【详解】依题意，令1AF=，则3A

D=，1BDAF==，120ADB=，ABD△中，由余弦定理得2222cos13ABADBDADBDADB+−==，所以在大等边三角形中随机取点，此点取自三个全等三角形(阴影部分)的概率82223(941334)△△阴△△ABCDEFABCABCABDFSSSPSSAB−−

====.故选：D11．D【分析】根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.【详解】如图，()AOAGAOABBGAOABAOBG→→→→→→→→→=+=+,因为BGAO⊥,所以AOAGAOAB→→→→=，又因为O是三角形的外心，所以1

||cos||2AOBAOAB→→=,所以211||643222AOAGAOABAB→→→→→====.故选：D【点睛】关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知AO→在向量AB→上的投影为1||2AB→，是

解题的关键，属于中档题.12．C【分析】由三角形中的三角恒等关系，结合正弦定理易得1cos2B=−，再根据平面向量加减运算的几何意义有2133BDBABC=+，应用向量数量积的运算律，即可求||BD.【详解】由2coscoscos()cBbAaAC+=+得：2sincossincossinc

osCBBAAB+=−，∴2sincossin()sinCBABC=−+=−，而sin0C，91cos2B=−，由2CDDA=，有2()BDBCBABD−=−，即2133BDBABC=+，∴22222141416161616cos33999999

9BDBABCBABCBABCB=+=++=+−=，∴4||3BD=.故选：C【点睛】关键点点睛：利用正弦定理及三角恒等变换，求角B的余弦值，根据向量加减的几何意义得到BD与,BABCuuruuur的数量关系，再由向量

数量积的运算律求模.13．60【分析】求出0.6x=，将(),xy代入可求出y，即可得出所求.【详解】由1016iix==可得0.6x=，把(),xy代入回归方程可得20.67.26y=−+=，故10161060iiy===．故答案为：60.14．2（2,2kkZ+的任何一个

值均可）【分析】由诱导公式三和诱导公式五可推导结果.【详解】解：由诱导公式可知：当2=时，有coscossin22xxx−=−=.故答案为：2.15．1【分析】把已知式2ab−=平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影．【

详解】解：由2ab−=，得2224aabb−+=，10又2ab==rr，∴44222cos,4ab+−=，即1cos,2ab=rr，∴a在b方向上的投影为1cos,212aab==．故答案为：1．16．40【分析】根据仰角的关系可得//ACBD，结

合等腰直角三角形的性质可求CD的高度.【详解】因为在A处看C的仰角分别为45，在B处看D的仰角分别为45，//ACBD，且,OACOBD均为等腰直角三角形，故40CDAB==．故答案为：40.17．（1）12；（2）125−；（3）125k−且12k.【分析】（1）

利用向量共线的坐标表示：12210xyxy−=即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：12120xxyy+=即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需12120xxyy+且不共线即可求解.【详解】解：（1）()()2,1,25,2k

abkab+=++=.kab+与2ab+平行，()22150k+−=，解得12k=.（2）kab+与2ab+垂直，()()20kabab++=，即()52210k++=，125k=−（3）由题意可得()52210k++且不共线，解得1

25k−且12k.18．（1）6x=；（2）32.【分析】（1）条件是ab=，由向量模的坐标运算可得x的方程，可解得x；（2）首先由向量积的定义求得()fx的表达式，并利用二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式1()sin(2)

62fxx=−+，再由正弦函数的性质可求得()fx的最大值．【详解】11（1）由()()22223sinsin4sinaxxx=+=，()()222cossin1bxx=+=，根据ab=rr，得24s

in1x=又0,2x，从而1sin2x=，所以6x=．（2）()23sincossinfxabxxx==+3111sin2cos2sin222262xxx=−+=−+，∵0,2x,∴52,6

66x−−,∴当226xππ−=，即3x=时，max3()()32fxfp==，∴()fx的最大值为32.【点睛】根据正弦函数值求解角度时，一定要规定角度的范围，往往多解或少解；求三角

函数的性质时，一定要将其函数化为一个三角函数形式.19．（1）0.005a=，平均数为38.5；（2）310【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的频率之和为1得到方程，解得a即可，再用区间中点值估计

平均数；（2）按照分层抽样计算出)20,30和)30,40中抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（1）根据频率分布直方图可得()0.020.030.0250.02101a++++

=，解得0.005a=，用区间中点值估计平均数为5.382.05525.0453.0352.02505.015X=++++=（2）因为)20,30和)30,40频率比为0.0220.033=，按照分层抽样抽取5人，则)20,30中抽2人，

)30,40中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[20，30)的12回答5道题，年龄[30，40)的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从)20,30的2人中抽2人，从)30,40的3人中抽1人。用21AA，表示在[20，30)内二人；3

21,,BBB表示在区间)30,40内三人，在五人中任选出3人的选法有如下10种：321322312212321311211321221121;;;;;;;;;BBBBBABBABBABBABBABBABAABAABAA其中

从)20,30的2人中抽2人，从)30,40的3人中抽1人的选法有3种：321221121;;BAABAABAA由古典概率计算公式得所求概率为103=P因此，当13=X的概率是10320．（1）31010（2）见解析.【分析】（1）若选①，根据同角公式求出s

inA、cosA，再根据两角和的正弦公式求出sinC；若选②，由22225bcac+−=以及5b=，结合余弦定理求出sinA、cosA，再根据两角和的正弦公式求出sinC；若选③，根据正弦定理求出sinC；（2）求出边长，利用三角形的面积公式可求出结果.【详解】（1）若选①，由tan2A

=得sin2cosAA=，所以224coscos1AA+=，得21cos5A=，因为tan0A，所以A为锐角，所以5cos5A=，25sin5A=，所以sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+2525231

0525210=+=.若选②，由22225bcac+−=以及5b=得22225bcbca+−=，得2225cos25bcaAbc+−==，所以2525sin155A=−=，所以sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+2525231

0525210=+=.13若选③，因为35bc=，则35cb=，则sin3sin5CB=，得233102sin105C==,（2）选①、②：由（1）知310sin10C=，25sin5A=，由正弦定理得3105sin1035sin22bC

cB===，所以1125sin53515225ABCSbcA===△.选③：由（1）得35c=，由余弦定理得2222cos22acbBac+−==，解得10a=或210，所以11215sin10352222ABCSacB===△或112sin2103515222ABCSacB=

==△.【点睛】关键点点睛：熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.21．（1）264−（2）203【解析】分析：(1)先根据条件7530=+，再根据两角和余弦公式求cos．

(2)先根据条件得三角形，再根据余弦定理求BC，除以时间得速度.详解：（1）假设第2组同学与第1组同学在C处汇合，如图，建立数学模型，14则7545120BAC=+=，2010200AC==米，∴ABAC=，ABC是等腰三角形，∴30ABC=

，∴7530105=+=，()coscos105cos456045cos60sin45sin60cos==+=−21232622224−=−=．（2）在ABC中，由余弦定理可得：2222212cos1202002002200200120000

2BCABACABAC=+−=+−=．∴2003BC=，故第2组同学的行进速度为200320310=米/分钟．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决

问题的目的.22．（1）3,44kk++，kZ；（2）11,22−【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简函数的解析式，再利用整体代换解不等式的方法求函数()fx

的单调递减区间即可；（2）先根据322Bf=求得3B=，再利用正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换等知识将coscosaBbC−化简为cos6A+，最后结合角A的范围求解即可.【详解

】解：（1）由题意21()sinsincos6122fxxxx=++−−311sinsincoscos22226xxxx=++−()31cos2131sin2cos2

sin24444xxxx−=+++13sin224x=+．15令322222kxk++，kZ，解得344kxk++，kZ，故函数()fx的单调递减区间为3,44kk+

+，kZ；（2）由（1）知133sin2242BfB=+=，解得3sin2B=，因为0,2B，所以3B=．由正弦定理可知32sinsinsin32acbACB====，则2sinaA=

，2sincC=，所以coscos3cossin3cos23aaBbCCAA−=−=−−−33sin3cossincossin322AAAAA=++=+−31cossincos226AAA=−=+在锐角

ABC中，易知230202ACAC+=，得62A，因此2363A+，则11cos,622A+−．故coscosaBbC−的取值范围为11,22−．