【文档说明】广东省汕头市金山中学2022-2023学年高三上学期第二次月考试题 数学 含答案.docx，共(11)页，632.170 KB，由小赞的店铺上传

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汕头市金山中学2023届高三第一学期第二次月考数学一、单选题1．己知i为虚数单位，则ii++221在复平面上对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合+−=01

3xxxA，}01|{+=axxB，若ABA=，则实数a的取值范围是()A．−1,31B．),0[)1,(+−−C．−1,31D．)1,0(0,31−3．直

线nm,，平面nm,,,，则“//m且//n”是“//”的()条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要4．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为

解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图是按照的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是()A．89B．55C．34D．1445．将6名新教师安排到CBA,,三所学校去任教，每所学校至少一人，其中教师甲不能去A学校，则不同的安排方案的种数是()A．54

0B．360C．240D．1806．函数xxxxf−−=22cos)(的图象大致为()7．设函数)1(1)(−+=xxxaxxf，若a是从0，1，2三个数中任取一个，b是从1，2，3，4，5五个数中任取一个，那么bxf

)(恒成立的概率是()A．53B．157C．52D．218．sin10°的值落在区间()中．A．61,71B．51,61C．41,51D．63,62二、多选题9．如果某函数的定义域与其值域的交

集是],[ba，则称该函数为“],[ba交汇函数”，下列函数是“]1,0[交汇函数”的是()．A．xy=B．xy−=1C．21xy−=D．21xy−=10．如图，正方体1111DCBAABCD−的棱长为1，点P是线段1AD上的动点，则()A．1P

C与CB1不垂直B．二面角11ABCP−−的大小为定值C．三棱锥PBCC−1的体积为定值D．若Q是对角线1AC上一动点，则QCPQ+长度的最小值为3411．已知双曲线)0,0(12222=−babyax的左、右两个顶点分别是

21,AA，左、右两个焦点分别是PFF,,21是双曲线上异于21,AA的任意一点，给出下列结论，其中正确的是()A．aPAPA2||||||21=−B．直线21,PAPA的斜率之积等于定值22abC．使得21FPF为等腰三角形的点P有且仅有四个D．若221bPAPA=，则021=PFPF1

2．已知函数++=0,)1(0,)1()(2xexxexxfxx，下列选项正确的是()A．函数)(xf在(-2，1)上单调递增B．函数)(xf的值域为+−,12eC．关于x的方程0|)(|)]([2=−xfaxf有

3个不等的实数根，则实数a的取值范围是ee4,12D．不等式0)(−−aaxxf在),1(+−恰有两个整数解，则实数a的取值范围是ee2,32三、填空题13．中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象．如图(1)是八卦模型图，将其简化成图(2

)的正八边形ABCDEFGH，若1=AB，则||DBAB−=.14．已知函数)0,0(sin)(=AxAxf，若至少存在两个不相等的实数]2,[,21xx使得Axfxf2)()(21=+，则实数的取值范围是．

15．如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点）篮球的影子是椭圆，篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，

影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e=.16．若函数)10(1|log|)(−=axaxfax恰有两个零点，则a的值为.四、解答题17．已知数列na的各项均为正数，记nS为}{na的前n项和，nnnnnSSSSaa11,1111+==−−Nn

(且).2n(1)求证：数列}{nS是等差数列，并求}{na的通项公式：(2)当2,nNn时，求证：.4111111122322−++−+−naaa18．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚

的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占21，通过电视收看的约占31，其他为未收看者(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；(2)从被调查对象中随机选取3人，用X表示通过电视收看的人数，求X的分布列和期望

．19．在锐角三角形ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，且.)(sin22cbaAbc−−=(1)求Atan；(2)求222cbay+=的取值范围20．如图1，在边长为4的菱形ABCD中，6

0=DAB，点NM,分别是边CDBC,的中点，1OBDAC=，.GMNAC=沿MN将CMN翻折到PMN的位置，连接、、PBPAPD，得到如图2所示的五棱锥.ABMNDP−(1)在翻折过程中是否总有平面⊥P

BD平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥MNDBP−体积最大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得平面QMN与平面PMN夹角的余弦值为1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．21．已知直线1:1+=myxl过椭圆)0(:222222=+babayaxbC的右焦点F，且交

椭圆C于BA,两点，点BA,在直线22:axl=上的射影分别为点ED,．若||3||1||122FAeOAOF=+，其中O为原点，2A为右顶点.e为离心率．(1)求椭圆C的方程；(2)连接BDAE,，试探索当m变化时，直线BDAE,是否相交于一定点N．若交于定点N，请求出N点的坐

标，并给予证明：否则说明理由．22．已知函数.2)1(2)(2exeeexfxx++−=(1)若函数axfxg−=)()(有三个零点，求a的取值范围．(2)若)()()()(321321xxxxfxfxf==，证明：.021+xx数学参考答案

1-8．AABCBDAB9．BD10．BCD11．BD12．ACD13．12+14．+,41325,4915．9716．eea1−=17．解：(1)nnnnnSSSSa1111+=−−*(

Nn且)2n，1−+=nnnSSa，当2n时，11−−+=−nnnnSSSS，111))((−−−+=+−nnnnnnSSSSSS，又0na，所以01+−nnSS，)2(11=−−nSSnn，数列}{nS是以111==aS为首项，公差为1的等差数列，nnSn=

−+=1)1(1，所以.2nSn=当2n时，1211−=−+=+=−nnnSSannn，又11=a满足上式，数列}{na的通项公式为.12−=nan(2)当2n时，−−=−=−nnnnan111414411122.故411141111312121

11411111222−=−−++−+−=−++−nnnaan所以对2,*nNn，都有.411111222−++−naa18．解：(1)记事件A为至少有1人通过手机收看，则.872111)(3=−−

=AP(2)依题意X～31,3B，则X的可能取值为0，1，2，3，所以2783231)0(3003===CXP；943231)1(2113===CXP；923231)2

(1223===CXP；2713231)3(0333===CXP.所以X的分布列为：X0123P2789492271所以.1313)(==XE19．解：由条件知AbcbcacbbccbaAbccos22)(2)

(sin22222−=−+−=−−=，即AbcbcAbccos22sin−=，即.cos22sinAA−=由角A为锐角知，.0cos,0sinAA联立=+−=,1cossin,cos22sin22AAAA解得==.53cos,54sinAA故.34535

4cossintan===AAA由ABC为锐角三角形知2+AC，即AC−2，.43tan1sincos)2cos()2sin()2tan(tan===−−=−AAAAAAC)35,53(tan15453sinsincoscossins

in)sin(sinsin+=+=+==CCACACCACCBcb，即)35,53(cb.)178,52[222+=cbay20．解：(1)在翻折过程中总有平面⊥PBD平面PAG，证明如下：点NM,分别是边CD,CB的中点，又=60DAB，MNBD//，且PMN是

等边三角形，G是MN的中点，,PGMN⊥菱形ABCD的对角线互相垂直，ACBD⊥，ACMN⊥，GPGAC=，AC平面PGPAG,平面⊥MNPAG,平面⊥BDPAG,平面BDPAG,平面PBD，平面⊥PBD平面.PAG

(2)由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且4=DB，2=MN，31=GO，所以等腰梯形MNDB的面积3323)42(=+=S，要使得四棱锥MNDBP−体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，当⊥PG平面MN

DB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为3=PG．假设符合题意的点Q存在．以G为坐标原点，GPGMGA,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则)0,0,33(A，)0,1,0(M，)0,1,0(−N，)3,0,0(P，又

PGAG⊥，又MNAG⊥，且GPGMN=，MN平面PMN，PG平面PMN，⊥AG平面PMN，故平面PMN的一个法向量为，设)10(=APAQ，)3,0,33(−=AP，)3,0,33(−=AQ，故)3,0),1(33

(−Q，)0,2,0(=NM，)3,1),1(33(−−=QM，平面QMN的一个法向量为),,(2222zyxn=，则02=NMn，02=QMn，即=−+−=,03)1(33,02222

2zyxy令12=z，所以−==)1(3,022xy))1(3,0,()1(311,0,)1(32−−=−=n，则平面QMN的一个法向量))1(3,0,(−=n，设二面角PMNQ−−的平面角为，则1010)1(9|||||c

os|2211=−+==nnnn，即1019181022=+−，解得：21=，故符合题意的点Q存在且Q为线段PA的中点．21．解：(1)椭圆C的方程为)0(12222=+babyax，1:1+=myxl过定点(1，0)，由题意可得1=c，由|

|3||1||122FAeOAOF=+，可得caeac−=+311，即1311−=+aaa，则2=a，所以322=−=cab，所以椭圆C的方程为.13422=+yx(2)当0=m时，直线1:=xAB垂

直于x轴，可得四边形ABED为矩形，直线4:2=xl，所以直线BDAE,相交于点0,25，猜想定点.0,25N当0=m时，分别设BA,的坐标为),(),,(2211yxyx，由题

意可得),,4(),,4(21yEyD由=++=134122yxmyx，可得096)34(22=−++myym，221346mmyy+−=+，221349myy+−=，由2522−=xykBN，2

541−=ykDN，得−−−=−252325232212xxyykkDNBN，又2121212)(2325123ymyyymyyy−+=−+−，03493462322=+−

+−=mmmm则0=−DNBNkk，即DNBNkk=，所以NDB,,三点共线.同理可得NEA,,三点共线.综上，直线BDAE,相交于一定点.0,25N22．解：(1)令tex=换元得函数0,ln

2)1(2)(2++−=ttetetth，然后通过导数求极值，根据ay=与函数图象有三个交点可得；(2)构造函数)1()()(ththtm−=，通过导数研究在区间),1(e上的单调性，然后由单调性结合己知可证．(1)令tex=，则txln=，记0,ln2)1(2)(2++−=

ttetetth令0))(1(22)1(22)('=−−=++−=tettteetth，得ett==21,1当10t时，0)('th，et1时，0)('th，et时，0)('th所以当1=t时，)(th取得极

大值12)1(−−=eh，et=时，)(th取得极大值2)(eeh−=，因为函数axfxg−=)()(有三个零点)(thy=与ay=有三个交点，所以122−−−eae，即a的取值范围为).12,(2−−−ee(2)记tetettetetththtm1ln

21)1(21ln2)1(2)1()()(22++−++−=−=tettetet)1(21ln4)1(222++−++−=3234232)1(24)1(22)1(224)1(22)('tteettettetteettm++−++−=+−+++−=记2)1(24)1(22)(234+

+−++−=teettettn则)1(28)1(68)('23+−++−=eettettn记)1(28)1(68)(23+−++−=eettetts则etetts8)1(1224)('2++−=易知)('t

s在区间),1(e上单调递增，所以0412)1(')('−=ests所以)(ts在区间),1(e上单调递增，所以0)1()(=sts所以)(tn在区间),1(e上单调递增，所以0)1()(=ntn所以

)(tm在区间),1(e上单调递增因为)()()()(321321xxxxfxfxf==，记321321,,tetetexxx===所以)()()()(321321tttththth==由(1)可知，32110tett所以0)1()1()()(222=

−=mththtm，即)1()(22thth又)()(21thth=，所以)1()(21thth因为et21，所以1102t由(1)知)(th在区间(0，1)上单调递增，所以121tt，即12121=+ttexx所以021+xx获得更多

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