【文档说明】湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.docx，共(28)页，1.209 MB，由小赞的店铺上传

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“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2020届高三元月联考理科数学试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z满足(1)zii−=，则z在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三

象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由题意可得1=−izi,根据复数的除法运算得1122zi=−+，可得选项.【详解】由题意可得(1)1111(1)(1)222iiiiziiii+−+====−+−−+,对应的点

在第二象限，故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的坐标表示，属于基础题.2.已知全集U=R，集合2230{|}Axxx=−−，集合2{log1}Bxx=|，则()UAB=ð()A.(2,3]B.C.[1,

0)(2,3]−D.[1,0](2,3]−【答案】D【解析】【分析】根据对数不等式的解法可求得集合{|02}Bxx=,根据一元二次不等式的解法可求得集合13{|}Axx=−,再根据集合的补集运算可求得{|0UCBxx

=或2}x,从而可得选项.【详解】集合U=R,2|230{|13}Axxxxx=−−=−，集合2|log1{|02}Bxxxx==,所以{|0UCBxx=或2}x,所以(){|10UACBxx=−或23}[1,0][2,3]x=−故

选：D.【点睛】本题考查对数不等式和一元二次不等式的解法，以及集合的交集、补集运算，属于基础题.3.已知0.20.8512,(),2log22abc−===，则()A.cabB.cbaC.abcD.bac【答案】A【解析】【分析】先判断指数函数底数21，故指数函数2x

y=在R上单调递增，可得0.800.20.8112222−==，再由对数函数底数51，故对数函数5logyx=在(0,)+上单调递增，故5552log2log4log51==，从而可得选项。【详解】由指数函数底数21，故指数函数2xy=在R上单调递

增，故0.800.20.8112222−==，由对数函数底数51，故对数函数5logyx=在(0,)+上单调递增，故5552log2log4log51==.综上所述，1cab.故选：A.【点睛】本题考查指数函数的单调性，对数函数的单调性，在比较指数、对数和

幂函数的大小时，常常化成同底数、同指数、同真数或找中介数0或1，属于基础题。4.据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多n（n为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（）A.2盏B.3盏C.26盏D.27盏【答案】C【解析】分析：

每次灯的个数成等差数列，设最顶层有x盏灯，则最下面一层有()8xn+盏，利用等差数列求和公式列方程可得详解：设最顶层有x盏灯，则最下面一层有()8xn+盏，813,813xnxnxx+==−，2812,3nxxn==，()()()()23...8126xxnxnxnxn+++

+++++=，()9123...8126xn+++++=，936126xn+=，29361263nn+=，636126,42126nnn+==，126423n==，2323x==（盏），所以最下面一层有灯，13226=（盏），故选C.点睛：本题主要考查等差

数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnadnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.5.若直线()200,0axbyab++=截得

圆()()22211xy+++=的弦长为2，则12ab+的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】A【解析】【分析】利用已知条件求出,ab的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可.【详解】解：圆()()22211xy+++=的半径为1，圆

心()2,1−−，直线()200,0axbyab++=截得圆()()22211xy+++=的弦长为2，直线经过圆的圆心，可得：220ab−−+=，即22ab+=则1111(2)2224222244babaababaaabbb+=++=++++=，当且仅当1,1

2ab==时，等号成立，故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题.6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，

也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数()21cos21xxfxx+=−的图象大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数的奇偶性的判断得()()fxfx−=−，函数()fx是奇函数，故排除A选项和C选项，再由当0x时，0x→，()21cos21xxfxx+=

→+−，可排除D选项，可得选项.【详解】因为()21cos21xxfxx+=−，所以()()()2121coscos2121xxxxfxxxfx−−++−=−=−=−−−，所以函数()fx是奇函数，故排除A选项和C选项，在

0x时，当0x→，121,210,21xxx→−→→+−，所以21212121xxxy+==+→+−−，而当0x→时，cos1x→，所以在0x时，当0x→，()21cos21xxfxx+=→+

−，所以排除D选项，所以只有B选项符合条件.故选：B.【点睛】本题考查由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,属于基础题.7.函数sin3co

syxx=−的图像可由函数sin3cosyxx=+的图像至少向右平移()个单位长度得到．A.6B.3C.2D.23【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简sin3cos2sin3yxxx=+=+,和2sin3co

s2sin2sin333yxxxx=−=−=+−，可得选项.【详解】因为sin3cos2sin3yxxx=+=+,2sin3cos2sin2si

n333yxxxx=−=−=+−，所以函数sin3cosyxx=−的图像可由函数sin3cosyxx=+的图像至少向右平移23个单位长度得到.故选：D.【点睛】本题考查运用辅助角公式化简和三角函数的图像的平移，在图像平移时注意平

移的对象和平移的方向，属于基础题.8.若向量a与b的夹角为60o，(2,0)a=，223ab+=，则b＝()A.B.1C.4D.3【答案】B【解析】【分析】先利用向量的模的平方等于向量的平方,展开得到()()22222224cos60423bbaaabba+=+

=++=，代入已知条件得到关于b的方程,解之可求得.【详解】因为()2,0a=r，所以2=a，又因为()()22222224cos60423bbaaabba+=+=++=,所以220bb+−=,解得1b=（-2舍去），故选：B.【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积运

算,注意在求向量的模时常常需求向量的平方,属于基础题.9.如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以OA,OB,OC,OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A.21π−B.112π−C.2πD.

1π【答案】A【解析】【分析】根据圆的对称性只需看四分之一即可，利用面积比即可得到结果.【详解】解：根据圆的对称性只需看四分之一即可，设扇形的半径为r，则扇形OBC的面积为214r，连接BC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位

移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：221142rr−，∴此点取自阴影部分的概率是22211242114rrr−=−．故选A．【点睛】本题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以

转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．10.设函数()fx的定义域为R，满足2(1)()fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−−.若对任意[,)xm+，都有8()9fx，则m的取值范围是()A.7[,)6−

+B.5[,)3−+C.5[,)4−+D.4[,)3−+【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出当(2,1x−−时，函数()()()()()()2111112fxfxxxxx=+=−+++=−++，做出示意图如下图所示：要使()89fx，则

需1xx，而由()()8129xx−++=可解得143x=−，从而得出m的范围.【详解】当(1,0x−时，(10,1x+，而(0,1x时，()()1,fxxx=−−所以()()()()11

111,fxxxxx+=−++−=−+又()()21fxfx+=，所以当(1,0x−时，()()()2121fxfxxx=+=−+，当(2,1x−−时，()()()()()()2122111412fxfxxxxx=+=−+++=−++，做出示意图如下图所示：要使()8

9fx，则需1xx，而由()()84129xx−++=解得143x=−，所以43m−，故选：D.【点睛】本题考查函数不等式的求解问题，解决问题的关键在于根据已知条件()()21fxfx+=求出相应区间的解析式，运用数形结合的思想巧妙求解不等式，属于中档题.11.SC是球O的直径

，A、B是该球面上两点，3AB=，30ASCBSC==o，棱锥SABC−的体积为3，则球O的表面积为()A.4B.8C.16D.32【答案】C【解析】【分析】设三棱锥的高为2h,球的半径为R,由三棱锥的

体积为13SABCV−=×12×3×234R−23h=，可以求得2334hR−=,再利用三角形面积公式可得12234hR−=2133244RR−,即可求得球的半径,然后利用球的表面积公式即可得到答案.【详解】如下图所示,由于SC为球O的直径,所以903,0SACSBCASCBSC

====，所以12CBCASC==，设球O的半径为R,连接,OAOB则OAOBOCACCBR=====,取AB的中点D,连接,ODCD,又3AB=,则234ODCDR==−，设三棱锥SABC−的高为2h,又三棱锥OABC−的高为△ODC的边DC上

的高,所以三棱锥OABC−的高为h,故13SABCV−=×12×3×234R−23h=，所以2334hR−=,在△ODC中有12234hR−=2133244RR−,故32=12R·23344R−,解得2R=,故球O的表面积为24

16R=，故选：C.【点睛】本题考查球的内接棱锥的体积、球的表面积等知识,考查考生的空间想象能力以及基本运算能力，属于中档题.12.关于函数()2lnfxxx=+，下列说法正确的是()（1）2x=是()fx的极小值点；（2）

函数()yfxx=−有且只有1个零点；（3）1()2fxx恒成立；（4）设函数2()()4gxxfxx=−++，若存在区间1[,][,)2ab+，使()gx在[,]ab上的值域是[(2),(2)]kakb++，则92l

n2(110],k+.A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(2)(4)D.(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】【分析】对于（1），对函数()fx求导，得出函数()fx的单调性，可判断；对于（2）令2()lnyfxxxxx=−=+−，对其求导，得出其单调性，且可得出当1

xe=时,1210yee=−−可判断；对于（3），令()()121ln22hxfxxxxx=−=+−，对其求导，得出其单调性，取特殊函数值()2221121210,2022heheeeee=−−=+−，可判断；对于（4），对函数()2ln2gx

xxx=−++求导可得()'ln21gxxx=−+−，分析判断出()gx在1,2+上单调递增，也即是，()gx在1[,],2ab+单调递增，将已知条件转化为g()(2)xkx=+在1,2+上至少有两个不同的正根,可得

()2gxkx=+，令()()2ln21,222gxxxxFxxxx−+==++对()Fx求导，分析()Fx的单调性，可得出k的范围，可判断命题.【详解】对于（1），由题意知,()'22xfxx−=，令()'0,fx=得2x=，所以函数()

fx在区间()0,2上单调递减,在区间(2,)+上单调递增，所以2x=是()fx的极小值点,故（1）正确;对于（2）令2()lnyfxxxxx=−=+−，则2220xxyx−+−=.函数y在(0,)+上单调递减,又当1xe=时,1210yee=−−，所以函数()yfxx=−有且只有1

个零点，故（2）正确；对于（3），令()()121ln22hxfxxxxx=−=+−，则()2'2221124022xxhxxxx−+=−+−=−，所以函数()hx在()0,+单调递减，且()2221121210,2022heheeeee=−−=+−，所以函数()hx在()0,

+内()0hx不是恒成立的，所以()12fxx不是恒成立的，故（3）不正确；对于（4），因为()()22224ln4ln2gxxfxxxxxxxxx=−++=−+++=−++，所以()'ln21gxxx=−+−，令()()'ln21mxgxxx==−+−，则()'1212xmx

xx−=−+=，所以当12x时，()'0mx，所以()mx在1,2+上单调递增，且111ln21ln20222m=−+−=，所以当12x时，()'0gx，所以()gx在1,2+

上单调递增，也即是，()gx在1[,],2ab+单调递增，又因为()gx在[,]ab上的值域是[(2),(2)]kakb++，所以()()()()12,2,2gakagbkbab=+=+,则g()(2)xkx=+在1,2+

上至少有两个不同的正根,则()2gxkx=+，令()()2ln21,222gxxxxFxxxx−+==++求导得()()2'232ln41,22xxxFxxx+−−=+令()2132ln42Gxxxxx=

+−−，则()()()'2122230xxGxxxx−+=+−=，所以()Gx在1,2+上单调递增，且10,(1)02GG=，所以当1,12x时，()()'0,0GxFx，当)1,x+时，

()()'0,0GxFx，所以()Fx在1,12是单调递减，()Fx在)1,+上单调递增，所以()121FkF，而()11,F=2111ln2192ln2222,

121022F−++==+所以92ln2110k+，故（4）正确；所以正确的命题有：（1）（2）（4），故选：C.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、极值、零点、交点的个数、不等式恒成立等综合问题，在解决这些综

合问题时常常需合理地构造新函数，并对其求导，得出导函数的正负，从而得出所构造的函数的单调性，继而得出函数的极值、最值等，解决不等式的恒成立、函数的零点个数、函数图象的交点个数的问题，属于难度题.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知曲线2sinxye

x=−，则其在点(0,2)处的切线方程是______．【答案】20xy−+=【解析】【分析】根据曲线方程求出切点(0,2),对2sinxyex=−进行求导,求出函数在切点处的值即为在该点的切线的斜率01xky=

==,利用点斜式可求出切线方程.【详解】由曲线2sinxyex=−,得cos2xyxe−=,所以切线的斜率为01xky===,又当0x=时,2y=,所以切线过点(0,2),曲线2sinxyex=−在0x=处的切线方程是:20yx−=−，即20xy−+

=,故答案为:20xy−+=.【点睛】此题主要考查运用导数研究曲线在某点的切线方程,根据导函数在切点的值就是过切点的切线的斜率是解决本题的关键，属于基础题.14.已知nS是等比数列{}na的前n项和，396,,SSS成等差数列，362aa+=，则9a=___．【答案】1【解析】【分析】由39,SS

，6S成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用等比数列的前n项和公式化简,得到关于q的关系式,再利用等比数列的性质化简()52231111236112,2aaaqaqaqqaq+=+==+=将得到的关于q的关系式，整理后代入826911aqaaqq==,即可得值.【详解】nSQ是等比

数列na的前n项和,且39,SS，6S成等差数列,9362SSS=+,显然1q=不满足此式，所以1q，所以()()()9361112111111aqaqaqqqq−−−=+−−−,整理得:()9362111qqq−=−+−,即3

612qq+=,即()()332110qq+−=，解得312q=−，又()52231111236112,2aaaqaqaqqaq+=+==+=所以214aq=，所以28269111412aaqqaq==−

==,故答案为:1【点睛】本题考查等差数列的性质,等比数列的通项公式及求和公式,熟练掌握其性质和相应的公式是解本题的关键，属于基础题.15.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为_

___．【答案】78【解析】【分析】先求得基本事件的总数4216=，然后求得周一、周二都有专家参加调研活动的情况可分为两种：第一种：一天1人，一天3人，共有12428CA=种情况；第二种：每天2人，共有2242162CA

=种情况，根据古典概型概率计算公式求得概率.【详解】4位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，共有4216=种情况，周一、周二都有专家参加调研活动的情况可分为两种：第一种：一天1人，一天3人，共有12428CA=种情况；第

二种：每天2人，共有2242162CA=种情况，所以周一、周二都有专家参加调研活动的概率为867168P+==，故答案为：7.8【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查分组方法数的计算，常常采用先分组再排列的方法，属于基础题.16.在平

面直角坐标系xOy中，双曲线22221(0,0)yxabab−=的上支与焦点为F的抛物线22(0)ypxp=交于,AB两点．若4AFBFOF+=，则该双曲线的渐近线方程为___．【答案】2yx=【解析】【分析】先将双曲线的方程和抛物线的方程联立得2222212yxabypx−=

=，消元化简得2222220axpbxab−+=，设()()1122,,,AxyBxy，则21222pbxxa+=，再根据抛物线的定义得1212,22ppAFBFxxxxp+=+++=++代入已知条件4AFBFOF+=可得2221ba=，从而可得双曲线的渐近线方程.【

详解】由双曲线的方程()222210,0yxabab−=和抛物线的方程22ypx=联立得2222212yxabypx−==，消元化简得2222220axpbxab−+=，设()()1122,,,AxyBxy，则21222pbxxa+=，由抛物线的定

义得1212,22ppAFBFxxxxp+=+++=++又因为4AFBFOF+=，所以1242pxxp++=，所以2222pbppa+=，化简得2221ba=，所以222ab=，所以双曲线的渐近线方程为2yx=，故答案

为：2yx=.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程的求解与抛物线的定义的运用，关键在于联立方程得出关于交点的横坐标的韦达定理，再根据抛物线的定义转化抛物线上的点到焦点的距离，属于中档题。三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且abc，2sin2aAb=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2a=，5b=，求c及ABC的面积.【答案】（Ⅰ）4B=（Ⅱ）32【解

析】【分析】（1）由正弦定理化简得2sin2sinsinABA=，再由abc得BC，根据三角形的内角的范围可求得角B的大小；（2）根据余弦定理得2222cosbacacB=+−建立关于c的方程，解之

可得c，再根据三角形的面积公式可求得三角形的面积.【详解】（Ⅰ）2sin2aAb=，22sinabA=，由正弦定理可得2sin2sinsinABA=，又0A，sin0A，2sin2B=，abc，BC，所以02B，故4B=.（Ⅱ）2a=，5b=，由

余弦定理可得：()222252222cc=+−（），即2230cc−−=,解得3c=或1c=−（舍去），故3c=.所以1123sin232222ABCSacB===.【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的

运用，运用时注意根据条件进行合理的选择和三角形的角的范围，属于基础题.18.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，ABC和PAC都是正三角形，2AC=，E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D.（Ⅰ）证明：直线DE⊥平面PEF；（Ⅱ

）求二面角DAPE−−的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）255【解析】【分析】（Ⅰ）根据正三角形的性质和面面垂直的性质得PE⊥面ABC，继而可得出,DEEFDEPE⊥⊥，由线面垂直的判断可得证；（Ⅱ）以点E为坐标原点，EA所在的

直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，，得出点,,,EAPB的坐标，继而求得面的法向量，根据二面角的坐标计算公式可得出二面角的正弦值.【详解】（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF//AB，在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面

PAC平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC，∴PEDE⊥且PE⊥AB，又PD⊥AB，PEPD=P，∴AB⊥平面PED，ABDE⊥又EF//AB，∴DEEF⊥，又DEPE⊥，PEEFE=，∴直线DE⊥平面PEF.（Ⅱ）∵平面PAC⊥

平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，∴BE⊥平面PAC，以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示：则()()()0,0,01,0,0,0,3,0EAB，()0

,0,3P,()()()0,3,01,0,3,1,3,0EBPAAB==−=−，，设(),,mabc=为平面PAB的一个法向量，则由mABmPA⊥⊥，得3030acab−=−+=，令1c=，得3,1ab==，即()3,1,1m=，设二面角DAP−的大小为

，则0，则15cos55mEBmEB===,225sin1cos5=−=，即二面角DAP−的正弦值为255.【点睛】本题考查线面垂直的证明和二面角的求解，属于基础题.19.为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁

汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，

每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：时间t（分）(20,30(30,40(40,50(50,60频数218201

0将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,60分．（1）写出王先生一次租车费用y（元）与用车时间t（分）的函数关系式；（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望.【

答案】(1)0.2015,20400.211.8,4060ttytt+=+;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，分别求出2040t和4060t时，函数的解析式，得到相应的分段函数；（2）由题意，求得“路段畅通”的概率p，进而得到随机可取0,1,2

,3，利用n的独立性检验的概率计算公式，求解随机变量取每个值对应的概率，求得分布列，最后利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）当2040t时，0.1215yt=+当4060t时，()0.12400.2040150.211.8ytt=+−+=+.得：0.201

5,20400.211.8,4060ttytt+=+（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率2182505p+==可取0，1，2，3.()03032327055125pC===

，()2132354155125pC===()2232336255125pC===，()3033238355125pC===的分布列为0

123P2712554125361258125275436801231.2125125125125E=+++=或依题意23,5B，231.25E==【点睛】本题主要考查了离散型随

机变量的分布列及数学期望等基础知识，其中解答中认真审题，正确理解题意，得到随机变量的取值，利用概率的计算公式求解相应的概率是解答本题的关键，着重考查了运算求解能力，以及分析问题和解答问题的能力.20.已知椭圆C：22221xyab+=（0a

b）的离心率为32，短轴长为2.（Ⅰ）求椭圆T的标准方程；（Ⅱ）若直线():0lykxmk=+与椭圆C交于不同的两点,MN，且线段MN的垂直平分线过定点(1,0)，求实数k的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214xy+=（Ⅱ

）55(,)(,)55−−+【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意建立关于,,abc的方程组，解之可得椭圆的方程；（Ⅱ）联立直线的方程和椭圆的方程，得到关于交点坐标的关系，并且由根的判别式得出关于,km的不

等式，从而得到线段MN的中点，和线段MN的垂直平分线的方程，由点()1,0在其垂直平分线上得出关于,km的方程，可得到关于k的不等式，解之可得k的范围.【详解】（Ⅰ）由题意可知：2222232bcaabc=

==+，得213abc===，故椭圆C的标准方程为2214xy+=.（Ⅱ）设()11,Mxy，()22,Nxy，将ykxm=+代入椭圆方程，消去y得()222148440kxkmxm+++−=，所以()()()2228414440kmkm=−+−

，即2241mk+…………①由根与系数关系得122814kmxxk+=−+，则122214myyk+=+，所以线段MN的中点P的坐标为224,1414kmmkk−++．又线段MN的垂直平分线l的方程为()11yxk=

−−，由点P在直线l上，得221411414mkmkkk=−−−++，即24310kkm++=，所以()21413mkk=−+…………②由①②得()222241419kkk++，所以215k，即55

k−或55k，所以实数k的取值范围是55,,55−−+．【点睛】本题考查椭圆的简单的几何性质，椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，在求解此类综合题目时，常常采用联立方程，得到关于交点坐标的韦达定理的表示

式，将所需求的目标条件转化到与交点有关的表达式上，属于中档题.21.已知函数()2lnfxxax=−，aR.（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）当1a=−时，令2()()gxxfx=−，其导函数为()gx，设12,xx是函数()gx的两个零点，判断122xx

+是否为()gx的零点？并说明理由.【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当0a时，()fx在2(0,)a单调递增，在2(,)a+上单调递减.（Ⅱ）不是，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）对函数()fx求导

，对a分0,0aa分类讨论，得出导函数()fx的正负，从而得函数()fx的单调性；（Ⅱ）当1a=−时，得()()222lngxxfxxxx=−=−−.由1x，2x是函数()gx的两个零点，不妨设120xx，可得22111111222222222ln02ln2

ln02lnxxxxxxxxxxxx−−=−=−−=−=，两式相减可得：()1212122lnln1xxxxxx−+−=−，再()221gxxx−=−.则()()121212121222lnln2xxxxgxxxxxx−+

=−−−+.设12xtx=，01t，令()()21ln1tttt−=−+，()()()()22211411tttttt−=−=++.研究函数()t在()0,1上是増函数，得1202xxg+，可得证.【详解】（Ⅰ）依题意知

函数()fx的定义域为()0,+，且()2fxax=−,（1）当0a时，()0fx，所以()fx在()0,+上单调递增.（2）当0a时，由()0fx=得：2xa=，则当20,xa时()0fx；当2,xa+时()0fx.所以()fx

在20,a单调递增，在2,a+上单调递减.综上，当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当0a时，()fx在20,a单调递增，在2,a+上单调递减.（Ⅱ）122xx+不

是导函数()gx的零点.证明如下：当1a=−时，()()222lngxxfxxxx=−=−−.∵1x，2x是函数()gx的两个零点，不妨设120xx，22111111222222222ln02ln2ln02lnxxxxxxx

xxxxx−−=−=−−=−=，两式相减得：()()()12121212lnlnxxxxxx−+−=−即：()1212122lnln1xxxxxx−+−=−，又()221gxxx−=−.则()(

)()121212121212121212122lnln24421lnln2xxxxxxgxxxxxxxxxxxxxx−−+=+−−=−=−−+−+−+.设12xtx=，∵120xx，∴01t，令()(

)21ln1tttt−=−+，()()()()22211411tttttt−=−=++.又01t，∴()0t，∴()t在()0,1上是増函数，则()()10t=，即当01t时，()21ln01ttt−−+，从而()()12

12122lnln0xxxxxx−−−+，又121200xxxx−所以()()1212121222lnln0xxxxxxxx−−−−+，故1202xxg+，所以122xx+不是导函数()gx的零点.【点睛】本题考查运用导函数研究函

数的单调性和研究函数的零点问题，解决此类问题常需构造合适的新函数，并对其求导函数，研究此函数的单调性，从而得出函数的最值、极值、零点等相关问题，属于难度题。22.在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为()2的直线l的参数方程为cos1sinx

tyt==+（t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是2sin4cos0−=.（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l经过曲线C的焦点F且与

曲线C相交于,AB两点，设线段AB的中点为Q，求FQ的值.【答案】（Ⅰ）tan1yx=+;24yx=（Ⅱ）22【解析】【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去参数t得直线的普通方程，再根据极坐标方程与直角坐标方

程的转化关系可得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）根据已知条件可得直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，根据直线参数方程中的参数t的几何意义和交点的中点可得FQ的值.【详解】（Ⅰ）∵直线l的参数方程为1xtcosytsin

==+（t为参数），∴直线l的普通方程为tan1yx=+，由2sin4cos0−=，得22sin4cos0−=，即240yx−=，∴曲线C的直角坐标方程为24yx=，（Ⅱ）∵直线l经过曲线C的焦点()1,0

F∴tan1=−，直线l的倾斜角34=．∴直线l的参数方程为21222xtyt=−=（t为参数）代入24yx=，得24280tt+−=，设,AB两点对应的参数为12,tt．∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为12222tt+=−．又点()1,0F，则12222tt

FQ+==.【点睛】本题考查直线的参数方程和普通方程之间的转化，以及极坐标方程和直角坐标方程之间的转化，熟练掌握其转化关系和其中的参数的几何意义是解决此类问题的关键，属于基础题.23.设函数f（x）=丨x+a+1丨+丨x-4a丨，（a＞0）．(1)证明：f

（x）≥5；（2）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）见解析（2）（1,4）【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的性质即可证得题中的结论；(2)由题意得到关于

实数a的不等式，然后求解绝对值不等式可得实数a的取值范围是（1,4）.试题解析：f（x）=丨x+a+1丨+丨x-4a丨≥丨（x+a+1）-（x-4a）丨=丨a+1+4a丨∵a＞0，∴f（x）≥a+1+4a≥24aa+1=5（II）由f（1）＜6得：

丨a+2丨+丨1-4a丨＜6∵a＞0，∴丨1-4a丨＜4-a，a-4a丨丨＜4-a①当a≥4时，不等式a4a−丨丨＜4-a无解；②当a＜4时，不等式a44aa−−丨丨＜，即1a＜1，a＞1，所以1＜a＜4综上，实数a的取值范围是（1,4）获得更多资源请扫码

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