【文档说明】山东省滨州市北镇中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题word版含解析.docx，共(17)页，1.566 MB，由小赞的店铺上传

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山东省北镇中学高69级第一次考试数学试题考试时间：120分钟满分：150分出题人：张伟旭审核人：毕小岩一、单选题1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4A−关于平面xOy对称的点坐标是（）A.()2,1,4−

−B.()2,1,4−−−C.()2,1,4−D.()2,1,4−【答案】A【解析】【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案.【详解】依题意，点()2,1,4A−关于平面xOy对称的点坐标是()2,1,4−−.故选：A2.已知向量()()1,4

,3,2,4,1abxy=−=+分别是直线12,ll的一个方向向量，若12ll//，则xy+=（）A.-3B.-4C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得.【详解】由1l//2l，可得//ab，所以24114

3xy+==−，解得2,5xy=−=，所以3xy+=.故选：C.3.已知圆222410xyxy++−+=关于直线0xyt−+=对称，则实数t=（）A.3−B.1C.1−D.3【答案】D【解析】【分析】求出圆心并将其代入

直线0xyt−+=即可得解.【详解】由222410xyxy++−+=得22(1)(2)4xy++−=，则圆心坐标为()1,2−，又因为圆22240xyxy++−=关于直线0xyt−+=对称，故由圆的对称性可知：圆心()1

,2−在直线0xyt−+=上，则()231tyx=−=−=−.故选：D.4.在直三棱柱111ABCABC−中，ABAC⊥，1ABAC==，12AA=，则异面直线1AC与BC所成角的余弦值为（）A.33B.33−C.66D.66−【答案】C【解析】【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，

求出向量1ACuuur与BC的坐标，即可求得异面直线1AC与BC所成角的余弦值．【详解】由题意可知，1,,ABACAA三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：则𝐴(0,0,0)，()()()11,0,2,1,0,

0,0,1,0CCB．∴()()11,0,2,1,1,0ACBC==−．∴11116cos,632ACBCACBCACBC===．异面直线1AC与1CB所成角的余弦值为66．故选：C．5.已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD−内有一内切球O，点P在球O的表面

上运动，则PAPC的取值范围为（）A.22−,B.0,2C.2,4−D.0,4【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点(,,)Pxyz，可知()()222112PAPCxyz=−+−+−，所以()()2

2211xyz−+−+表示点(,,)Pxyz与点(1,1,0)M之间距离的平方，分析求解即可.【详解】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,2,0)C，设点(,,)Pxyz，所以(2,,)PAxyz=−−−，(,2,)PCxyz=−−−，所

以()()()()22222222222112PAPCxxyyzxxyyzxyz=−−−−+=−+−+=−+−+−，因为()()22211xyz−+−+表示点(,,)Pxyz与点(1,1,0)M之间距离的平方

，所以当点P的坐标为(1,1,2)P时，PAPC取得最大值为2222−=，当P与点(1,1,0)M重合时，PAPC取得最小值2−，所以PAPC的取值范围为：22−,.故选：A.6.若圆222610xyxy+−−+=上恰有三点到直线ykx=的距离为2，则k的值为（）A12B.3

4C.43D.2【答案】C.【解析】【分析】圆222610xyxy+−−+=的圆心()1,3C，半径3r=，由圆上恰有三点到直线ykx=的距离为2，得到圆心()1,3C到直线ykx=的距离为1，由此能出k的值．【详解】由222610xyxy+−−+=得()()221

39xy−+−=，所以圆心()1,3C，半径3r=，因为圆上恰有三点到直线ykx=的距离为2，所以圆心()1,3C到直线ykx=的距离为1，即2311kdk−==+，解得43k=，故选：C．7.已知曲线214y

x=+-与直线()24ykx=−+有两个相异的交点，那么实数k的取值范围是（）A.54,123B.53,124纟çúçú棼C.17,412D.17,612【答案】B【解析】【分析】先得到曲线214yx=+-轨迹为以(0,1)为

圆心，2为半径的上半圆，求出()24ykx=−+恒过定点()2,4，把半圆和直线画出，数形结合得到有两个相异的交点时实数k的取值范围.【详解】2141yx=+-?，变形得到()2214xy+−=，故曲线214yx=+-轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，()24

ykx=−+恒过定点()2,4，把半圆和直线画出，如下：当()24ykx=−+过点()2,1−时，满足两个相异的交点，且此时k取得最小值，最小值为()413224−=−−，当()24ykx=−+与214yx=+-相切时，由(0,1)到直线距离等于半径可得224121

kk−+−=+，解得512k=，故要想曲线214yx=+-与直线()24ykx=−+有两个相异的交点，则53,124k.故选：B8.已知点P在直线4xy+=上，过点P作圆22:4Oxy+=的两条切线，切点分别为A，B，点M在圆

22:(4)(5)1Gxy−+−=上，则点M到直线AB距离的最大值为（）A4B.6C.101−D.131−【答案】B【解析】【分析】根据题意，设(,)Pmn为直线:4lxy+=上的一点，由切线的性质得点A、B在以O

P为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆O的方程联立可得直线AB的方程，将其变形分析可得直线AB恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．【详解】根据题意，设(,)Pmn为直线4xy+=上的一点，则4mn+=，过点P作圆22:

4Oxy+=的切线，切点分别为A、B，则有OAPA⊥，OBPB⊥，则点A、B在以OP为直径的圆上，以OP为直径的圆的圆心为C(2m，)2n，半径221||22mnrOP+==，则其方程为2222()()224mnmnxy+−+−=，变形可得220xym

xny+−−=，联立222240xyxymxny+=+−−=，可得圆C和圆O公共弦AB为：40mxny+−=，又由4mn+=，则有(4)40mxmy+−−=，变形可得()440mxyy−+−=，则有0440xyy−=−=，解可得1xy==，故直线AB恒过定点()1,1Q，.

点M在圆22:(4)(5)1Gxy−+−=上，则点M到直线AB距离的最大值为22||1(41)(51)16GQ+=−+−+=．故选：B．二、多选题9.给出下列命题，其中正确的命题是（）A.若直线l的方向向量为()1,0,3e=，平面的法

向量为22,0,3n=−，则直线//lB.若对空间中任意一点O，有111442OPOAOBOC=++，则P、A、B、C四点共面C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线D.已

知向量()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b上的投影向量为()1,2,2【答案】BCD【解析】【分析】利用线面位置关系与向量的关系可判断A选项；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；利用空间向量基底的概念可判断C选项；利用投影向量的定义可判断

D选项.【详解】对于A选项，直线l的方向向量为()1,0,3e=，平面的法向量为22,0,3n=−，则()2120303en=−++=，则en⊥，所以，//l或l，A错；对于B选项，对

空间中任意一点O，有111442OPOAOBOC=++，则()()()111442OPOAOPOBOCOP−+−=−，整理可得1122PCAPBP=+，故P、A、B、C四点共面，B对；对于C选项，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两

个向量共线，C对；对于D选项，已知向量()9,4,4a=−，()1,2,2b=，则a在b方向上的投影向量为()()2988cos,1,2,21,2,29babbabaababbabbb+−====，D对.故选：BCD.

10.下列四个选项中，说法错误．．的是（）A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线260axy++=与直线2(1)10xaya+−+−=互相平行，则1a=−C.过()()1122,,,xyx

y两点()1212,xxyy的所有直线的方程为112121yyxxyyxx−−=−−D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=.【答案】AD【解析】【分析】根据直线的倾斜

角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为0与都不为0两种情况讨论，即可判断D.【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，但是与y轴平行（重合）的直线的倾斜角为90，斜率不存在，故A错误；对于B：因为直线260axy++=与直线2(1)10

xaya+−+−=互相平行，则()121aa−=，解得2a=或1a=−，当2a=时直线260axy++=与直线2(1)10xaya+−+−=重合，故舍去，当1a=−时直线260xy−++=与直线20xy−=平行，符合题意，综上可得1a=−，故B正确；对于C：过()()1122,,,xyxy两点(

)1212,xxyy的所有直线的方程为112121yyxxyyxx−−=−−，故C正确；对于D：当截距都为0时直线方程为yx=，当截距都不为0时，设直线方程为()10xyaaa+=，则111aa+=，解得2a=

，所以直线方程为20xy+−=，综上可得满足条件的直线方程为0xy−=或20xy+−=，故D错误.故选：AD11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内到两个定点,AB的距离之比为定值(1)的点的

轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知(1,0)A−，(2,0)B，动点P满足||1||2PAPB=，直线:10lmxym−++=，则

（）A直线l过定点()1,1−B.动点P的轨迹方程为22(2)4xy++=C.动点P到直线l的距离的最大值为21+D.若点D的坐标为()1,1−，则2PDPA+的最小值为10【答案】ABD【解析】【分析】根据定点的求解

可判定A,根据等量关系列方程可求解B，根据点到直线的距离即可求解C，根据三点共线即可求解D.【详解】对A,直线:10lmxym−++=，(1)10mxy+−+=，所以直线l过定点(1,1)M−，A正确

；.对B，设(,)Pxy，因为动点P满足||1||2PAPB=，所以2222(1)12(2)xyxy++=−+，整理可得2240xyx++=，即22(2)4xy++=，所以动点P的轨迹是以(2,0)C−为圆心，2r=为半径的圆，动点P的轨迹

方程为圆22:(2)4Cxy++=，B正确；对于C，当直线l与MC垂直时,动点P到直线l的距离最大，且最大值为()()222101222MCr+=−++−+=+，C错误；对于D，由||1||2PAPB=，得2||||PAPB=，所以2PDPAPDPB+=+

，又因点D在圆C内，点B在圆C外，所以210PDPAPDPBBD+=+=，当且仅当P为线段DB与圆C的交点时取等号．故选：ABD三、填空题12.如图，平行六面体1111ABCDABCD−各条棱长均为1，1160BAADAA==，90BAD=，则线段1AC

的长度为_____________.【答案】5【解析】【分析】取AB，AD，1AA为一个基底，表示1ACuuur，再应用数量积及模长公式计算即可求解．【详解】取AB，AD，1AA为一个基底，0ABAD=uuuruuur，112ABAA=，112ADAA=，为∴()211ACABADAA

=++()22211125ABADAAABADADAAAAAB=+++++=，故答案为：5.13.当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________.【答案】2【解析】【分析】求出直线过的定点，数形结合得到当MC

与l垂直时，弦长最短，利用垂直时斜率关系列出方程，求出实数a的值.【详解】由ax－y＋2－a＝0得直线l恒过点M(1，2).又因为点M(1，2)在圆C的内部，当MC与l垂直时，弦长最短，所以1MClkk=−，所以2113−−×a＝－

1，解得:a＝2.故答案为：214.已知点P为直线:20+−=lxy上的动点，过点P作圆22:20Cxxy++=的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PCAB最小时，直线AB的方程为__________【答案】3310xy++=【解析】【分析】先利用圆切线的性质推

得A、P、B、C四点共圆，ABCP⊥，从而将||||PCAB转化为2||PA，进而确定PCl⊥时||||PCAB取得最小值，再求得以PC为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】圆C：

2220xxy++=可化为22(1)1xy++=，(1,0)C−，1r=，PA，PB是圆C的两条切线，则PAAC⊥，PBBC⊥，A、P、B、C四点共圆，且ABCP⊥，PAPB=，1||||4||||2||42PACPCABSPAACPA===，21||||PAPC=−，当||PC最

小，即PCl⊥时，||||PCAB取得最小值，此时PC方程为1yx=+，联立120yxxy=++−=，解得12x=，32y=，即13(,)22P，以PC为直径的圆的方程为13()(1)()022xxyy−++−=，即221031222xxyy+−+=−，圆C：2220xxy++=，两圆相

交，两圆方程相减即为AB的方程3310xy++=.故答案为：3310xy++=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将||||PCAB转化为2||PA，从而确定||||PCAB最小时P的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.四、解答题15.已知空间中三点()2,0,2A−

，()1,1,2B−−，()3,0,4C−，设aAB=，bAC=.（1）已知()akbb+⊥，求k的值；（2）若6c=，且c∥BC，求c的坐标.【答案】（1）15（2）(4,2,4)c=−或(4,2,4)−−【解析】【分析】（1）问题转化为()0akbb+=，

求k.（2）根据向量的模的计算和向量共线，求c的坐标.【小问1详解】由题知()1,1,0aAB==−−，()1,0,2bAC==−，所以()1,1,2akbkk+=−−−，因为()akbb+⊥，所以()0akbb+=140kk−+=15k=.【小问2详解】因为c∥BC，()2,

1,2BC=−，所以()2,,2cBC==−，R，因为6c=，所以()()222222936++−==，解得2=，所以()4,2,4c=−或()4,2,4−−.16.已知两直线12:310,:250lxylxy

−−=+−=.（1）求过两直线的交点，且垂直于直线3450xy+−=的直线方程；（2）已知两点()()1,1,0,2AB−，动点P在直线1l运动，求PAPB+的最小值.【答案】（1）4320xy−+=（2）22【解析】【分

析】（1）联立方程，求出交点，再由垂直关系得出斜率，进而写出直线方程；（2）由对称性得出点()0,2B关于直线1l对称的点为(),Cxy，进而结合图像得出最值.【小问1详解】解：联立310250xyxy−−=+−=，解得1,2xy==，因为所求直线

垂直于直线3450xy+−=，所以所求直线的斜率为43；故所求直线方程为()4123yx=−+，即4320xy−+=【小问2详解】设点()0,2B关于直线1l对称的点为(),Cxy，21323122yxxy−=−+−=

，解得97,55xy==则2297112255PAPBPAPCAC+=+=++−=，故PAPB+的最小值为22.17.如图，在四棱锥PABCD−中，2,1,,PDADPDDAPDDC==⊥⊥，底

面ABCD为正方形，,MN分别为,ADPD的中点．（1）求证：PA∥平面MNC；（2）求直线PB与平面MNC所成角的正弦值；（3）求点B到平面MNC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）16（3）63【解析】【分析】（1）利用中位线定理证明//PAMN，然后由线面平行的判定定理证明即可；（2）

建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面MNC的法向量，由向量的夹角公式求解即可；（3）求出BC的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可．【小问1详解】证明：因为M，

N分别为AD，PD的中点，所以//PAMN，又PA平面MNC，MN平面MNC，故//PA平面MNC；【小问2详解】由于,,,,PDDAPDDCADDCDADDC⊥⊥=平面ABCD，所以PD⊥平面ABCD，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系

如图所示，则(1B,1,0)，(0C,1,0)，(0P,0,2)，1(2M,0,0)，(0N,0,1)，所以1(1,1,2),(0,1,1),(,0,1)2PBNCMN=−=−=−，设平面MNC的法向量为(,,)nxyz=，则1020nMNxznNCyz=−+==−=

，令1y=，则1z=，2x=，故(2,1,1)n=，设直线PB与平面MNC所成角为，则sin=11cos,6114411PBnPBnPBn===++++，故直线PB与平面MNC所成角的正弦值

为16；【小问3详解】因为(0,1,0)(1,1,0)(1,0,0)BC=−=−，又平面MNC的法向量为(2,1,1)n=，所以点B到平面MNC距离为||26||3411nBCdn===++．的18.在平面直角坐标

系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线(0)yxx=上，且22OC=.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点()1,0P，且与圆C相切，求直线l的方程；（3）自点()3,3A−发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程.【答案】

（1）22(2)(2)1xy−+−=（2）1x=或3430xy−−=（3）3430xy+−=或4330xy++=【解析】【分析】（1）设圆心(),Caa，()0a，由距离公式求出a，即可得到圆的方程；（2）分直线l的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时

，设直线l的方程为(1)ykx=−，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得k即可；（3）取圆C关于x轴的对称的圆C，可知直线m与圆C相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】设圆心(),Caa，()0a，由于22OC=，所以

22222OCaaa=+==，所以2a=，即圆心C的坐标为()2,2，则圆C的方程为22(2)(2)1xy−+−=；【小问2详解】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1x=，圆心C到直线1x=的距离211d=−=，此时满足直线l和圆C相切；若直线l的斜率存在，设

直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)ykx=−，即kxyk0−−=，因为直线l和圆C相切，所以圆心C到直线l的距离22|22||2|111kkkdkk−−−===++，即2|2|1kk−=+，平方得2244

1kkk−+=+，即34k=，此时直线l的方程为33044xy−−=，即3430xy−−=，所以直线l的方程为1x=或3430xy−−=；【小问3详解】取圆C关于x轴的对称的圆()()22:221Cxy−++=，即圆心()2,2C−，半径1r=，可知直

线m与圆C相切，若直线m的斜率不存在，则:3lx=−，此时圆心()2,2C−到直线m的距离5dr=，不合题意；所以直线m的斜率存在，设为1k，则()1:33mykx−=+，即11330kxyk−++=，则1215511kk+=+，整理得2111225120kk++=

，解得134k=−或143k=−，所以直线m的方程为3430xy+−=或4330xy++=.19.已知两个定点A（-4，0），B（-1，0），动点P满足|PA|=2|PB|.设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y=kx-4.（1）求曲

线E的方程；（2）若直线l与曲线E交于不同的C，D两点，且∠COD=90°（O为坐标原点），求直线l的斜率；（3）若k=12，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点.【答案】（1）x2+y2=4；（2）±7；（3）过

定点.【解析】【分析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由90COD=，则点O到CD边的距离为2，由点到线的距离公式得直线l的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q-

42tt，，则圆F的圆心为8,24tt−运用直径式圆的方程，得直线MN的方程为tx+-42ty-4=0，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】解析（1）设点P的坐标为（x，y），则由|PA|=2|PB|，得224xy++（）=2221xy++

（），平方可得x2+y2+8x+16=4（x2+y2+2x+1），整理得，曲线E的方程为x2+y2=4.（2）直线l的方程为y=kx-4，依题意可得COD△为等腰直角三角形，则圆心到直线l的距离d=2|-4|1k+=12·|CD|=2，∴k=±7.（3）由题意

可知，O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设Q-42tt，，以OQ为直径的圆的方程为()402txxtyy−+−+=，即22402txtxyy−+−−=又M，N在曲线E：x2+y2

=4上，∴MN的方程为tx+-42ty-4=0，即2yx+t-4（y+1）=0，由0210yxy+=+=，得121xy==−，，