【文档说明】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第二次月考数学（文科）试卷【精准解析】.doc，共(17)页，1.413 MB，由小赞的店铺上传

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2020年石嘴山市三中11月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60）1.集合1,0,4A=−，集合2230,BxxxxN=−−，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是（）A.4B.4

,1−C.4,5D.1,0−【答案】A【解析】【分析】图中阴影部分表示的集合是()UABð，利用交集和补集的定义求解即可．【详解】∵集合1,0,4A=−，集合2230,1,0,1,2,3BxxxxN=−−=−，图中阴影部分表

示的集合是()U4AB=ð．故选：A．2.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，ABC满足“勾三股四弦五”，其中股4AB=，D为弦BC上一点（不含端点），且ABD△满足勾股定理，则c

os,ABAD=（）A.35B.45C.34D.512【答案】A【解析】【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高AD的长，再根据向量数量积公式转化，并计算cos,ABAD的值.【详解】由题意

可知ADBC⊥，所以根据等面积转化可知435BAACBCADAD==，解得：125AD=()2ABADADDBADAD=+=，23cos,454ADABADADABADABADAD====.故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考

查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.3.若1tan43−=−，则cos2等于()A.35B.12C.13D.3−【答案】A【解析】已知1tan43−=−tan11tan−=+，解得1tan,2=22222222cos

sin1tancos2cossincossin1tan−−=−==++将正切值代入得到35.故答案为A.4.若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）x=在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（）A.4B.12C.2eD.e【答案】C【解析】【分析】根据公共点处函数值相等

、导数值相等列出方程组求出a的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()12afxgxxx==，，设切点横坐标为t，∴12alnttatt==，解得22etea==，.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线

方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.5.知abc，，为ABC的三个内角ABC，，的对边，向量()()31cossinmnAA=−=，，，．若mn⊥，且coscossinaBbAcC+=，则角AB，的大小分别为（）Aππ63，

B.2ππ36，C.ππ36，D.ππ33，【答案】C【解析】【详解】由mn⊥可得0mn=即3cossin0AA−=所以角3A=，因为coscossinaBbAcC+=sincossincossinsinsin12A

BBACCCC+===所以23BC=−可得6B=6.已知向量a与b的夹角为60，1a=，2b=，当()2bab⊥−时，实数为（）A.1B.2C.12D.12−【答案】C【解析】【分析】根据两向量

垂直时数量积为0，列方程求出的值.【详解】向量a与b的夹角为60，1a=，2b=，由()2bab⊥−知，()20bab−=，220bab−=，2221cos6020−=，解得12=.故选：C.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题

.7.函数1()(3sin2||cos2||)2fxxx=−的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性排除C，当0x时，()sin26fxx=−，由122f

=，可排除A,B，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()(3sin2||cos2||)2fxxxfx−=−−−=，可得()fx图像关于y轴对称，排除C，当0x时，()1()3sin2cos2sin226fxxxx

=−=−，排除A，由122f=排除B，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.8.已知112f

x−＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于（）A.14−B.14C.32D.32−【答案】A【解析】【分析】设112xt−=，求出()47ftt=+，进而可得()476fmm=+=，由此可求出m的值【详解】解：设112x

t−=，则22xt=+，所以()2(22)347=++=+fttt，所以()476fmm=+=，解得14m=−故选：A【点睛】此题考查由函数值求自变量，考查了换元法的应用，属于基础题9.已知等差数列na的公差为2，若124,?,?aaa成等比数列，那么1a等于（

）A.2B.1C.1−D.2−【答案】A【解析】试题分析：因为数列na的公差为2的等差数列所以212aa=+，411(41)26aaa=+−=+因为1a，2a，3a成等比数列所以2214aaa=，即2111(2)(

6)aaa+=+，解得12a=故答案选A．考点：1．等差数列的通项公式；2．等比数列中项．10.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到

第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（）A.116B.164C.2128D.232【答案】B【解析】【分析】由图可知

，设第n个图中正方形的个数为na，则112,nnnaanN++=+，结合累加法可求出121,nnanN+=−，令1218191nna+=−=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n个图中最小正方形边长为cos45n，

从而可求出答案.【详解】解：设第n个图中正方形的个数为na，则由图可知112,nnnaanN++=+则221332122...2nnnaaaaaa−−=−=−=，将n个式子相加可得23122...2,2,nn

aannN−=+++，所以()11412321,2,12nnnannN−+−=+=−−，当1n=时，2213−=，所以121,nnanN+=−.令1218191nna+=−=，解得12n=.由题意知，第一个图

中最小正方形边长为cos45，第二个图中最小正方形边长为2cos45，则第n个图中最小正方形边长为cos45n，则12612211cos452264===.故选:B.【点睛】本题考查了累加法

求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11.设函数()2sin23fxx=−

的图象为C，下面结论中正确的是（）A.函数()fx的最小正周期是2B.图象C关于点,06对称C.图象C向右平移2个单位后关于原点对称D.函数()fx在区间,122−上是增函数【答案】B【解析】【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项的正误；利

用代入检验法可判断B选项的正误；求出平移后的函数解析式，结合正弦型函数的基本性质可判断C选项的正误；由,122x−可求出23x−的取值范围，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，函数()2sin23fxx=−的最小正周期为22T==，A选项错误；对于B选项，

2sin006f==，所以，图象C关于点,06对称，B选项正确；对于C选项，将图象C向右平移2个单位后所得函数的解析式为()2sin22sin2233gxxx=−−=−−，()02sin2sin3033g=−−==

，函数()gx不是奇函数，C选项错误；对于D选项，当,122x−时，22,323x−−，所以，函数()fx在区间,122−上不单调，D选项错误.故选：B.【点睛】对于正弦型函数()

sinyAxk=++在区间(),ab上单调性的判断，一般先由(),xab计算出x+的取值范围，再结合正弦函数的单调性来进行判断.12.数列na满足1cos2nnnana+=+，则数列na的前40项和为（）A.40213−B.4122−

C.()404213−D.()402213−【答案】D【解析】【分析】由题意知2134339403922...2aaaaaa+=+=+=，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列na的前

40项和.【详解】解：当n取奇数时，cos1n=−，则2134339403922...2aaaaaa+=+=+=，将式子相加得()()2040353912340214221...222...2143aa

aa−−++++=++++==−.故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二、填空题（本大题共4小题，共20）13.若平面向量(1,1)a=−与b的夹角是180，且||22b=，则b等于

______．【答案】(2,2)−【解析】【分析】由已知可知a与b共线反向，令=(0)ba，然后由(1,1)a=−和||22b=列方程求解即可.【详解】解：因为平面向量(1,1)a=−与b的夹角是180，所以设=(

0)ba，即=(1,1)(,)(0)ba=−=−，因为||22b=，所以22()22+−=，得24=，因为0，所以2=−，所以(2,2)b=−，故答案为：(2,2)−【点睛】此

题考查共线向量，向量的模，向量的坐标运算，属于基础题.14.数列na的前n项和nS满足2lognSn=，则数列的通项公式na=__________．【答案】12()nn−+N【解析】∵2lognSn=∴2nnS=，112nnS−−=，∴112()nnnnaSSn−−+=−=N．故答案

为()12nnN−+15.将函数cos2yx=的图象向右平移π4个单位，得到函数()sinyfxx=，则()fx的表达式为__________．【答案】2cosx【解析】∵cos2yx=，向右平移π4个单位，ππcos2cos242yxx

=−=−sin2x=()sinfxx=∴sin2()2cossinxfxxx==．故答案为()fx2cosx=16.在ABC中，A、BÐ、C所对的边分别为a、b、c，已知三个内角度数之比::1:2:3ABC

=，那么三边长之比::abc等于__________．【答案】1:3:2【解析】∵::1:2:3ABC=，∴118030123A==++，218060123B==++，318090123C==++，∴::1:3:2abc=．故答案为1:3:2三、解答题（本大题共

6小题，共70）17.已知平面向量()1,ax=，()()23,bxxxR=+−．（1）若ab⊥，求x的值；（2）若//abrr，求ab−rr.【答案】（1）1−或3；（2）2或25.【解析】【分析】（1）由平面向量垂直的坐

标表示可得出关于x的等式，进而可求得实数x的值；（2）由平面向量共线的坐标表示求得x的值，可求得ab−的坐标，由此可求得ab−rr.【详解】（1）()1,ax=，()23,bxx=+−，且ab⊥，则22

30abxx=+−=，整理得2230xx−−=，解得1x=−或3x=；（2）()1,ax=，()23,bxx=+−，且//abrr，()23xxx−=+，即2240xx+=，解得0x=或2x=−.若0x=，则()1,0a=，()3,0

b=，则()2,0ab−=−，此时2ab−=；若2x=−，则()1,2a=−r，()1,2b=−r，则()2,4ab−=−，此时()222425ab−=+−=.综上所述，2ab−=或25.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，同时也考查了利用平面向量共线的坐标表示求

参数以及利用坐标计算平面向量的模，考查计算能力，属于基础题.18.等差数列na满足1210aa+=，432aa−=.（1）求na的通项公式.（2）设等比数列nb满足23ba=，37ba=，求数列nb的前n项和.【答案】（1）22nan

=+；（2）224n+−.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算23,bb，从而求出1,bq，利用等比数列前n项和公式即可求出ns.【详解】解：(1)∵na是等差数列，121431021022aaada

ad+=+=−==，∴解出2d=，14a=，∴1(1)naadn=+−422n=+−22n=+.(2)∵232328ba==+=，3727216ba==+=，nb是等比数列，322bqb==，∴b1=421(1)4

(12)24112nnnnbqsq+−−===−−−19.为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD区域为生活区，AC为横穿村庄的一条道路，ADE区域为休闲公园，2

00BCm=，60ACBAED==，ABC的外接圆直径为200573m.（1）求道路AC的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值.【答案】（1）500m；（2）600m.【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出10019mAB=

，由余弦定理可知2222cosABCACBCACBACB=+−，从而可求AC.（2）结合正弦定理可求三角形的周长为lEAEDAD=++()4003sinsin2003EADEDA=++，结合辅助角公式可化简为()400sin60200lEAD=++，进而可求周长的最大值.【

详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可知，2sinABRACB=，即20057sin60100193mAB==，由余弦定理知，2222cosABCACBCACBACB=+−，则2200

1500000ACAC−−=，解得，500ACm=.（2）解：由题意知，200ADBCm==，在AED中，设周长为l，其外接圆半径为R，则20040032sinsin603ADRE===，则40032sinsin3EDREADEAD=

=,40032sinsin3EAREDAEDA==，则lEAEDAD=++()()40034003sinsin200sinsin12020033EADEDAEADEAD=++=+−+()400333sincos200400sin30200322EADEADEAD=

++=++，则当30EAD=∠°时，周长最大，为600m.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边

及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.20.已知函数()322fxxax=++，2x=是()fx的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）()fx在区间1,3−上的最大值和最小值．【答案

】（1）3a=−；（2）最大值是2，最小值是2−．【解析】【分析】（1）根据(2)0f=解得3a=−；（2）令()0fx=，得10x=，22x=．列出当x变化时()fx，()fx的变化情况表，根据表格可得答案.【详解】（1）因为()232fxxa

x=+，()fx在2x=处有极值，所以()20f=，即3440a+=，所以3a=−．经检验3a=−时，32()32fxxx=−+在2x=时取得极小值2−，所以3a=−.（2）由（1）知3a=−，所以()3232fxxx=−+，()236fx

xx=−．令()0fx=，得10x=，22x=．当x变化时()fx，()fx的变化情况如下表：x1−()1,0−0()0,22()2,33()fx+0−0+()fx2−单调递增2单调递减2−单调递增2由上表可知()fx在区

间1,3−上的最大值是2，最小值是2−．【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数的最值，属于基础题.21.佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定

开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本()px（万元），当月产量不足70台时，()21402pxxx=+（万元）；当月产量不小于70台时，()64001012060pxx

x=+−（万元）.若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【答案】（1）2160400,070,,264001660,70,.xxxxyxxxx

−+−=−+NN；（2）当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.【解析】【分析】（1）根据题意分别列出当070x及70x时，y关于x的解析式即可；（2）根据二次函数的性质计算当070x时，y的最大值，根据基本不等式求解当7

0x时y的最大值，然后比较得出最值.【详解】（1）当070x时，2211100404006040022yxxxxx=−+−=−+−；当70x时，6400640010010120604001660yxxxxx

=−+−−=−+∴2160400,070,264001660,70.xxxxyxxxx−+−=−+NN且且（2）当070x时，()22116040060140022yxxx=−+−=−−+；当60x=时，y取最大值1400万元

；当70x时，640064001660166021500yxxxx=−+−=，当且仅当80x=时，取等号综上所述，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实

际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.22.已知函数()()sincosfxxxaxaR=+−.（Ⅰ）当1a=时，求()fx在,42−上的最值；（Ⅱ）若对一切,0x−，不等式()1fx≤恒

成立，求实数a的取值范围.【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值12−；（Ⅱ）2(,]−.【解析】【分析】（Ⅰ）当1a=时，求得函数的导数()2sin()14fxx=−−−，得到函数的单调性和最值，即可求解；（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对a分类讨

论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.【详解】（Ⅰ）由函数()()sincosfxxxaxaR=+−，则()cossinfxxxa=−−，当1a=时，可得()2sin()14fxx=−−−令()0fx，即2sin()42x−−，解得

04x−；令()0fx，即2sin()42x−−，解得02x；所以()fx在[,0)4−递增，在(0,]2x递减，所以max()(0)1fxf==，又(),()144224ff

−==−，所以min()()122fxf==−，所以()fx在,42−上的最大值为1，最小值为12−.（Ⅱ）由函数()()sincosfxxxaxaR=+−，则()11fa−=−+，解得2a，又由()2sin

()4fxxa=−−−，因为0x−，则5444x−−−，可得21sin()42x−−，所以2sin()[1,2]4x−−−，（i）当1a−时，()2sin()04fxxa=−−−，所以()fx在[,0]−递增，所以()(0)1fxf=

恒成立；（ii）当21a−时，当4x−−时，()fx单调递增；当04x−时，()fx单调递减，所以()10fa−=−−，()204fa−=−，(0)10fa=−，所以(,)4

−−，使得()0f=，所以当x−时，()0fx；当0x是，()0fx，所以()fx在[,)−单调递减，在(,0]单调递增，又因为()11,(0)11faf−=−+=，所以()1fx，所以2a，即实数a的取值范围是2(,]

−.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，恒成立问题的求解，以及三角函数的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最

值问题．