【文档说明】四川省宜宾市第四中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(23)页，2.054 MB，由小赞的店铺上传

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四川省宜宾市第四中学高2020届第二次高考适应性考试理科数学一､选择题1.已知集合()ln1Axyx==−,240Bxx=−,则AB=A.2xx−B.12xxC.12xxD.2xx【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算

即可．【详解】()ln1{|1}Axyxxx==−=＞，24022Bxxxx=−=−；∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选C．【点睛】考查描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.已知复

数z满足()1i+z=2i，则z=（）A.2B.1C.22D.12【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，可得z，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】由题可知：()()()22212221111iiiiiziiii−−===++−−由21i=−，所以1zi

=+所以22112z=+=故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.3.某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿

车少8辆，则n=（）A.96B.72C.48D.36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得23872.99nnn−=−=选B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.已知向量a，

b的夹角为2，且()2,1a=−，2b=，则2ab+=（）A.23B.3C.21D.41【答案】C【解析】【分析】利用222(2)abab+=+计算．【详解】由已知222(1)5a=+−=，cos02abab==，∴222(2)abab+=+22

2244(5)4221aabb=++=+=，∴221ab+=．故选C．【点睛】本题考查向量的数量积运算，解题关键是掌握数量积的性质：22aa=，把向量模的运算转化为向量的数量积．5.为了得到函数sin26yx=−的图象，只需把函数

sin2yx=的图象上所有的点（）A.向左平移6个单位长度B.向右平移6个单位长度C.向左平移12个单位长度D.向右平移12个单位长度【答案】D【解析】【分析】通过变形sin2sin2(())6

12xxfx−=−=，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意sin2sin2(())612xxfx−=−=，故只需把函数sin2yx=的图象上所有的

点向右平移12个单位长度可得到函数sin26yx=−的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6.若实数x，y满足条件25024001xyxyxy+−+−，目标函数2zxy=

−，则z的最大值为()A.52B.1C.2D.0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件25024001xyxyxy+−+−，目标函数2zxy=−

如图：当3,12xy==时函数取最大值为2故答案选C【点睛】求线性目标函数(0)zaxbyab=+的最值:当0b时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当0b时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7.5()(2)

xyxy+−的展开式中33xy的系数为()A.－30B.－40C.40D.50【答案】C【解析】【分析】先写出()52xy−的通项公式，再根据33xy的产生过程，即可求得.【详解】对二项式()52xy−，其通项公式为()()()555155221rrrrrrrrrTCxyCxy−−−+=−=−5

()(2)xyxy+−的展开式中33xy的系数是()52xy−展开式中23xy的系数与32xy的系数之和.令3r=，可得23xy的系数为()33252140C−=−；令2r=，可得32xy的系数为()22352180C−=；故5

()(2)xyxy+−的展开式中33xy的系数为804040−=.故选：C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.8.已知双曲线C：2221yxb−=的一条渐近线过点(,4)b，则C的离心率为（）A.52B.32C.5D.3【答案】

C【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由题意可得2b=，再由离心率公式，计算可得所求值．【详解】双曲线2221yCxb−=：的渐近线方程为ybx=，由题意可得24b=，可得2b=，则双曲线的离心率为145cea==+=．故选C．【点睛】本题考查双曲线的

方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.若不等式210xax++对于一切10,2x恒成立，则a的最小值是（）A.0B.2−C.52−D.3−【答案】C【解析】【详解】试题分析

：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，12]成立，等价于a≥-x-1x对于一切10,2x成立，∵y=-x-1x在区间10,2上是增函数∴115222xx−−−

−=−∴a≥-52∴a的最小值为-52故答案为C．考点：不等式的应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题10.某简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的所有顶点都在球O的球面上

,则球O的体积是A.823B.43C.12D.323【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2，然后将其放入正方体进行求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形

，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体体对角线长为22222223++=．∴该三棱柱外接球的半径为3．体积V34(3)433==．故选B．【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．11.已知AB

C是长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A.2−B.32−C.43−D.1−【答案】B【解析】【分析】以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平

面直角坐标系，表示出向量PA，PB，PC，得到2()22(3)+=−−PAPBPCxyy，进而可求出结果.【详解】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,3)A，(1,0)B−，(1,0)C，设(,)Pxy

，所以(,3)PAxy=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=−−，所以(2,2)PBPCxy+=−−，222333()22(3)22()222+=−−=+−−−PAPBPCxyyxy≥，当3(0,)2P时，所求的最小值为32−.故选：B【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值，通过

建系的方法处理，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.12.函数()()3132xfxxxex=−−−在区间)(3,22,3−上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】令()()31302xfxx

xex=−−=−，得()22123xxxex−=−，在坐标系中分别作出函数()()22xgxxxe=−，()213hxx=−的图像，则两个图像的交点个数即()fx的零点个数．【详解】令()()31302xfxxxex=−−=−，得()22123

xxxex−=−.设()()22xgxxxe=−，()213hxx=−.()()22exgxx=−.当32x−−时，()0gx；当22x−时，()0gx；当23x时，()0gx.所以()gx的极小值为()()()22222

2geh=−，极大值为()()()222222geh−−=+−，又()()3151336ghe−==−，()()33gh，且()hx在)3,3−−，()3,0−上单调递增，在()0,3，(3,3

上单调递减.结合这两个函数的图象，可知这两个函数的图象共有4个交点，从而())(3,22,3fx−上共有4个零点.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想.函数()yfx=的零点方程()

0fx=的实数根函数()yfx=的图像与x轴交点的横坐标；常用解题方法有：直接作函数()yfx=的图像，直接解方程()0fx=，分离参变量，分离函数（如本题：令()0fx=得到()ygx=，()yh

x=两个函数）．二､填空题13.已知直线1l：30kxy++=，2l：30xky++=，且12ll//，则k的值______.【答案】1−【解析】【分析】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12ll//，即可得出实数k的值.【详解】直线1l

：30kxy++=，2l：30xky++=，且12ll//，则11kk=，解得1k=−或1.当1k=时，1:30lxy++=，2:30lxy++=，两直线重合，不合乎题意；当1k=−时，1:30lxy−++=，即30xy−−=，2:30lxy−+=，两直线平行，满足题意.因此，1k=−.故答案

为：1−【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，考查运算求解能力，属于基础题.14.不等式sin2cos21xx+在区间[0,2]上的解集为_________

_．【答案】5(0,)(,)44【解析】【分析】原不等式可化为2sin(2)42x+，利用正弦函数的性质和整体法可求其解集.【详解】由sin2cos21xx+有2sin(2)42x+，所以3222,444

kxkkZ+++，解出,4kxkkZ+，又0,2x，所以04x或54x，故解集为5(0,)(,)44.故答案为：5(0,)(,)44.【点睛】本题考查三角不等式，注意利用三角变换公式将原不等式化简为

()sinAxB+的形式，再利用正弦函数的性质求解.15.已知直线ya=与双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为1A，2A，若21252PAAA=，则双曲线C的离心率为_____.【答案】

2或103【解析】【分析】解出点P的坐标，用两点间距离公式求出212,PAAA，化简整理出,,abc的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为byxa=，则点P的坐标为2,aab.因为21252PAAA=，所以22225aaaab−+=，则2

14ab−=，所以3ab=，从而221013bea=+=.若渐近线的方程为byxa=−，则点P的坐标为2,aab−，同理可得2e=.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分

类讨论的数学思想.16.已知函数()12yfx=+−（Rx）为奇函数，()211xgxx−=−，若函数()fx与()gx图像的交点为()11,xy，()22,xy，…，(),mmxy，则()1miiixy=+=________.【答案】3m【解析】【分析】分别判断函数()fx

与()gx的对称性，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】解：因为函数(1)2yfx=+−为奇函数，所以函数()fx的图象关于点(1,2)对称，211()211xgxxx−==+−−关于点(1,2)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，()11212

()()24322miimmimmxxxyyymxy=+++++++=++==故答案为：3m【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键．三

､解答题17.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2coscoscosbBaCcA=+.（1）求BÐ的大小；（2）若2b=，求ABC面积的最大值.【答案】（1）3；（2）3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结

合诱导公式可化简边角关系式，求得1cos2B=，根据()0,B可求得结果；（2）利用余弦定理可得224acac+−=，利用基本不等式可求得()max4ac=，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：()2sincossincossincossinBBACCAAC=+=+AB

C++=()sinsinACB+=，又()0,Bsin0B2cos1B=，即1cos2B=由()0,B得：3B=（2）由余弦定理2222cosbacacB=+−得：224acac+−=又222acac+（当且仅当ac=时取等号）2242acacacacac

=+−−=即()max4ac=三角形面积S的最大值为：14sin32B=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用

等知识，属于常考题型.18.2020年春季，某出租汽车公司决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的,AB两款车型，根据以往这两种出租车车型的数据，得到两款出租车车型使用寿命频数表如

下：（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关？（2）从A和B的车型中各随机抽取1车，以X表示这2车中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租车每年上交公司6万元，其余维修

和保险等费用自理.假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这10辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++

++，nabcd=+++.()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）填表答案见解析，有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）分布列答案见解析，数学期望：1.2.（3）采购B款车型.【解析】【分析】（1）根据题目

所给数据填写22列联表，计算出2K的值，由此判断出有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）利用相互独立事件概率乘法公式计算出分布列，并求得数学期望.（3）分别计算出两种车型的平均利润，由此判断出采购B款车型.【详解】（1）填表如下：使用寿命

不高于6年使用寿命不低于7年总计A型3070100B型5050100总计80120200由列联表可知()22200507030508.336.63510010080120K−=，故有99%的把握

认为出租车的使用寿命年数与汽车车型有关.（2）由题意可知，A型车使用寿命不低于7年的车数占710，低于7年的车数占310；B型车使用寿命不低于7年的车数占12，低于7年的车数占12.且X可能的取值为0,1,2.()313010220PX==

=，()7131111021022PX==+=，()717210220PX===，X的分布列为：X012P32012720其数学期望()3170121.220220EX=++=.（3）用频率估计概率，这100辆A款出租车的平均利润为：()11910252031453725

100+++30.1=(万元)，这100辆B款出租车的平均利润为：()12215283534404010100+++30.7=(万元)，故会选择采购B款车型.【点睛】本小题主要考查22列联表与独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查平均数

的计算，属于中档题.19.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，,,DEF分别为111,,AAACAC的中点，5ABBC==，12ACAA==.（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角1BCDC--的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）2121−【

解析】【分析】（1）通过证明ACEF⊥，ACBE⊥得线面垂直；（2）建立空间之间坐标系，利用法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值.【详解】解：（1）在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，四边形11AACC为矩形.又,EF分别

为11,ACAC的中点，ACEF⊥又ABBC=，ACBE⊥,BEEFEBE=平面BEF，EF平面BEFAC⊥平面BEF.（2）由（1）知，1//EFCC由1CC⊥平面ABC，EF⊥平面ABC.如图建立空间直角坐称系Exyz−.由题意得()()()()()0,2,0,1,0,

0,1,0,1,0,0,2,G0,2,1,BCDF−()(),0,0,20,2,1.FG()()2,0,11,2,0CDCB==,,设平面BCD的法向量为(),,nabc=，00nCDnCB==，2020acab+=+=，令2a=，

则1,4bc=−=−，平面BCD的法向量()2,1,4n=−−，又平面1CDC的法向量为()0,2,0EB=，2121nEBcosnEBnEB==−.所以二面角1BCDC−−的余弦值为2121−.【点睛】此题考查线面垂直的证明和求二面角的大小，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理

，利用向量的方法求解二面角的大小需要注意防止计算出错.20.已知定点S(-2，0)，T(2，0)，动点P为平面上一个动点，且直线SP、TP的斜率之积为34−.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设点B为轨迹E与y轴正半轴的交点，是否

存在直线l，使得l交轨迹E于M，N两点，且F(1，0)恰是△BMN的垂心?若存在，求l的方程;若不存在，说明理由.【答案】（1）221(2)43xyx+=；（2）存在，3163321yx=−.【解析】【分析】（1

）设(,)Pxy，由34SPTPkk=−结合两点间斜率计算公式，整理化简即可；（2）根据题意，设直线l的方程为33yxm=+，()()1122,,,MxyNxy，因为MFBN⊥，所以0MFBN=，结合直线和椭圆联立的方程组，求出m的值，根据题意，确定出m即可得出结果.【详

解】（1）设(,)Pxy，由已知有3224yyxx=−+−，整理得动点P的轨迹E的方程为221(2)43xyx+=（2）由（1）知，E的方程为221(2)43xyx+=，所以()0,3,B又()1,0F，所以直线BF的斜率3BFk=−，假设存在直线，

使得F是BMN的垂心，则BFMN⊥.设的斜率为k，则1BFkk=−，所以33k=.设的方程为33yxm=+，()()1122,,,MxyNxy.由2233143yxmxy=++=，得()2213831230xmxm++−=，由()()22834131230mm=

−−，得393933m−，()2121212383,1313mmxxxx−+=−=.因为MFBN⊥，所以0MFBN=，因为()()11221,,,3MFxyBNxy=−−=−，所以1212(1)(3)0xxyy−−−=，即()1

212331()(3)033xxxmxm−−++−=，整理得()2121234(1)3033mxxxxmm−+−−+=，所以22383412(3)(1)()30313313mmmmm−−−−−+=，整理得2215

3480mm−−=，解得3m=或16321m=−，当3m=时，直线MN过点B，不能构成三角形，舍去；当16321m=−时，满足393933m−，所以存在直线：3163321yx=−，使得F是BMN的垂心.【点睛】本题主要考查了利用

直接法求曲线的轨迹，直线与椭圆的综合应用，数量积在椭圆中的应用，对运算能力要求高，难度较大.21.已知函数()1lnfxaxx=+，aR.（1）求()fx的极值；（2）若方程()2ln20fxxx−++=有三个解，求实数a的取值范围.【答案】（1）当0a时，极小值

a；当0a=时，无极值；当0a时，极大值a；（2）3,22e−−【解析】【分析】（1）求得()fx的定义域和导函数，对a分成0,0,0aaa=三种情况进行分类讨论()fx的极值.（2）构造函数()()2ln2hxfxxx=−++，通

过()hx的导函数()'hx研究()hx的零点，对a分成1110,,0,222aaaa=−−−进行分类讨论，结合()hx有三个零点，求得a的取值范围.【详解】（1）()fx的定义域为()0,+，

()()22111axfxaxxx−=−=，当0a时，()fx在()0,1上递减，在()1,+上递增，所以()fx在1x=处取得极小值a，当0a=时，()0fx=，所以无极值，当0a时，()fx在()0,1上递增，在()1,+上递减，所以()fx在1x=

处取得极大值a.（2）设()()2ln2hxfxxx=−++，即()()l2212naxxxhxa+=−++，()22121aahxxx−=−+()22212xaxax+−−=()()()2120xxaxx−+=.①若0a，则当()0

,1x时，()0hx，()hx单调递减，当()1,x+时，()0hx，()hx单调递增，()hx至多有两个零点.②若12a=−，则()0,x+，()0hx（仅()10h=）.()hx单调递增，()hx至多有一个

零点.③若102a−，则021a−，当()0,2xa−或()1,x+时，()0hx，()hx单调递增；当()2,1xa−时，()0hx，()hx单调递减，要使()hx有三个零点，必须有()()2010hah−成立.由()10h，得32a−，这与102

a−矛盾，所以()hx不可能有三个零点.④若12a−，则21a−.当()0,1x或()2,xa−+时，()0hx，()hx单调递增；当()1,2xa−时，()0hx，()hx单调

递减，要使()hx有三个零点，必须有()()1020hha−成立，由()10h，得32a−，由()()()221ln210haaa−=−−−及12a−，得2ea−，322ea−−.并且，当322ea−−时，201e−，22ea−，()()()2

222242242heeaeeee−−−=++−+−−4150e+−，()()()2222222222326370heeaeeeeee−−−=++−+=−−−.综上，使()hx有三个零点的a的取值范围为3,22e−−.【点睛】本小题主要考查

利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos23sinxy=+=（为参数），直线l的方程为y=kx.

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线C的极坐标方程；（2）曲线C与直线l交于A、B两点，若=23OAOB+，求k的值.【答案】（1）24cos10−+=（2）33或33−【解析】【分析】（1）先将曲线C的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化

公式cossinxy==，即可求出曲线C的极坐标方程；（2）设出直线l的极坐标方程)11(,0,π)=R，与曲线C的极坐标方程联立，可得214cos10−+=，即可得到121124c

os,10+==，根据的几何意义可知，121223OAOB+=+=+=，即可求出1，于是可得k的值．【详解】（1）223cos2,4103sinxxxyy=+−++==，所以曲线C的极坐标方程为24cos10−+=.（2

）设直线l的极坐标方程为)11(,0,π)=R，其中1为直线l的倾斜角，代入曲线C得214cos10,−+=设,AB所对应的极径分别为12,.21211214cos,10,16cos40

+===−，121223OAOB+=+=+=，13cos2=，满足，1π6=或56，l的倾斜角为6或56，则13tan3k==或33−．【点睛】本题主要考查曲线的参数方程化极坐标方程，以及极坐标方程和的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算

能力，属于基础题．23.已知,xyR，且1xy+=．（1）求证：22334xy+；（2）当0xy时，不等式11|2||1|aaxy+−++恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）见证明；（2）35[,]22−.【解析】【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先计算11xy

+的最小值，再分2a，1a2−，1a−三种情况讨论即可得到答案.【详解】解：（1）由柯西不等式得2222211(3)1()1333xyxy+++．∴()22243()3xyxy

++，当且仅当3xy=时取等号．∴22334xy+；（2）1111()2224yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=，要使得不等式11|2||1|aaxy+−++恒成立，即可转化为|2||1|4aa−+

+，当2a时，421a−≤，可得522a，当1a2−时，34，可得1a2−，当1a−时，214a−+，可得312a−−，∴a的取值范围为：35[,]22−．【点睛】本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等

式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，分类讨论能力，难度中等.