【文档说明】黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期阶段测试（二）（期中） 数学 Word版含解析.docx，共(20)页，1.080 MB，由小赞的店铺上传

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阶段测试卷（二）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搝干净后，再选涂其他答案标

号.回答非选译题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线2yx=的准线方程是（）

A.12x=−B.14=−xC.12y=−D.14y=−2.若椭圆焦点在x轴上且经过点()4,0−，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（）A.221168xy+=B.221167xy+=C.221816xy+=D.221716xy+=3.在空间直角坐标系Oxyz−中，点(2,3,1)−P到x轴的

距离为（）A.2B.3C.5D.104.若直线:420lkxyk−++=与曲线24yx=−有两个交点，则实数k的取值范围是（）A.1kk=B.3{|}4kk−C.3{|1}4kk−−D.3{|1}4kk−5.已

知双曲线22:134xyC−=的左顶点为1A，右焦点为2F，虚轴长为m，离心率为e，则（）A.()13,0A−B.()21,0FC.2m=D.213e=6.,PQ分别是抛物线22xy=和x轴上的动点，()2,1M−，则PMPQ+的最小值为（）A.5B.52C.5D.27.黄金分割

是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512−，把512−称为黄金分割数．已知焦点在x轴上的椭圆2221(51)xym+=−的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为（）A.252−B.51+C.2D.258.双曲线C：()222210,0x

yabab−=左、右焦点为1F，2F，直线l过点2F且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若120PFPF=，则C的离心率为（）A3B.2C.5D.3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分

，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆1O的方程为()()224xayb−+−=，圆2O的方程为()2211xyb+−+=，其中a，bR．那么这两个圆的位置关系可能为（）A.外离B.外切C.内含D.内切10.已知曲线C的方程为2212xymm+=−，则（）A

.当1m=时，曲线C表示一个圆B.当02m时，曲线C表示椭圆C.当2m时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线D.当0m时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线11.已知椭圆22:11612xyC+=，且两个焦点分别为1F，2F，P是椭圆C

上任意一点，以下结论正确的是（）A.椭圆C离心率为32B.12PFF的周长为12C.1PF的最小值为3D.12PFPF的最大值为16三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.的.的12.在空间直角坐标系中，已知()1,2,2At，(),0,31Btt−，则AB最小值是__________

．13.设1F、2F为双曲线Γ：()222109xyaa−=左、右焦点，且Γ的离心率为5，若点M在Γ的右支上，直线1FM与Γ的左支相交于点N，且2MFMN=，则1FN=______.14.已知12,FF分别为椭圆222:1(0)9xyCbb+=的左､右焦点，52,3P

为C上一点，则C的离心率为__________，12PFF内切圆的半径为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆E经过点()()0,0,1,1

AB，且被直线()0Rmxymm−−=平分.（1）求圆E的一般方程；（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.16.已知动点(,)Pxy到定点(2,0)F的距离与动点P到定直线2x=−的距离相等，若动点P的轨

迹记为曲线C．（1）求C的方程；（2）不过点F的直线与C交于横坐标不相等的A，B两点，且6AFBF+=，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点．17.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1DD的中点，F为线段1B

B的中点．（1）求直线1FC\到直线AE的距离；（2）求直线1FC到平面1ABE的距离．18.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12FF､，短轴长为23，点3(3,)2M−−在

C上.的（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点(0,3)A，点G为椭圆C上一点，求2AGF△周长最大值；（3）过C的左焦点1F，且斜率不为零的直线l交C于PQ､两点，求2FPQ△面积的最大值.19.过双曲线kyx=（常数0k）上任意一

点A作AEx轴，交y轴于点E，作AFy∥轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线()222210,0xyabab−=，并证明你的推广．的阶段测试卷（二）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搝干净后，再选涂其他答案标号.回答非选译题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间120分钟，满

分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线2yx=的准线方程是（）A.12x=−B.14=−xC.12y=−D.14y=−【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2yx=可知12

12pp==，，故准线方程为：124px=−=−.故选：B.2.若椭圆焦点在x轴上且经过点()4,0−，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（）A.221168xy+=B.221167xy+=C.221816xy+=D.221716xy+=【答案】B【解析】【分析

】根据题意得出,,abc，即可得解.【详解】由题意得椭圆焦点在x轴上且经过点()4,0−，焦距为6，所以4,26ac==，则2223,7cbac==−=，所以椭圆的标准方程为221167xy+=.故选：B.3.在空间直角坐标系O

xyz−中，点(2,3,1)−P到x轴的距离为（）A.2B.3C.5D.10【答案】D【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)−P到x轴的距离.详解】在空间直角坐标系Oxyz−中，过P作PH⊥平

面xOy，垂足为H，则PHx⊥轴，在坐标平面xOy内，过H作1HPx⊥轴，与x轴交于1P，由(2,3,1)−P，则1(2,0,0)P−，(2,3,0)H−，由1PHHPH=，PH平面1PHP，1HP平面1PHP，则x轴⊥平面1PHP，1PP平面1PHP，则x

轴1PP⊥，故1PP即点(2,3,1)−P到x轴的距离，则2211310PP=+=.故选：D.4.若直线:420lkxyk−++=与曲线24yx=−有两个交点，则实数k的取值范围是（）A.1kk=B.3{|}4kk−

【C.3{|1}4kk−−D.3{|1}4kk−【答案】C【解析】【分析】根据直线l和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.【详解】由题意，直线l的方程可化为(2)40xky+−+=，所以直线l恒过定点(2,4)A−，

24yx=−，可化为224(0)xyy+=其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.当l与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kdk+==+，解得34k=−.设(2,0)B，则40122ABk−==−−−.由图可得，若要使直线l与曲线24y

x=−有两个交点，则314k−−.故选：C.5.已知双曲线22:134xyC−=的左顶点为1A，右焦点为2F，虚轴长为m，离心率为e，则（）A.()13,0A−B.()21,0FC.2m=D.213e

=【答案】D【解析】【分析】由双曲线的方程可求得3,2,7abc===，计算可判断每个选项的正确性.【详解】由双曲线22:134xyC−=，可得223,4ab==，所以3,2,347abc===+=，所以双曲线的左顶点1(3,0)A−，右焦点2(7,0)F，故AB错误；虚轴长24m

b==，故C错误；离心率72133e==，故D正确.故选：D.6.,PQ分别是抛物线22xy=和x轴上的动点，()2,1M−，则PMPQ+的最小值为（）A.5B.52C.5D.2【答案】D【解析】【分析】首先把问题转化为PM和P到x轴的距离之和的最小

值，再根据抛物线的定义12PMPF+−最小，根据数形结合得出结论.【详解】设抛物线的焦点为10,2F，无论P在何处，|𝑃𝑄|的最小值都是P到x轴的距离，所以PMPQ+的最小值PM和P到x轴的距离之和的最小值PM和P到准线的距离之和减去12最小，根据抛物线的定义问题转化为12P

MPF+−最小，显然当,,FPM三点共线时最小，最小值为2213122222MF−=+−=.故选：D7.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512−，把512−称为黄金分割数．已知焦点在x轴上的椭圆2221(51)xym+=

−的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为（）A.252−B.51+C.2D.25【答案】A【解析】【分析】根据题意结合离心率222221cbeaa==−，代入运算求解．【详解】焦点在x轴上的椭圆2221(51)

xym+=−中，2am=，22(51)b=−，所以2222(51)cabm=−=−−．由题意得25122ca−=，即222225121baca−=−=，即22(51)512mm−−−=，解得252m=−．故选：A．8.双曲线C：()

222210,0xyabab−=的左、右焦点为1F，2F，直线l过点2F且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若120PFPF=，则C的离心率为（）A.3B.2C.5D.3【答案】C【解析】【分析】设𝑃(𝑥

,𝑦)，通过题意求出直线2PF的方程、直线1PF的方程，之后联立直线2PF的方程、直线1PF的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．【详解】设𝑃(𝑥,𝑦)，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：设𝐹1(−𝑐,0)、()2,0Fc，

222abc+=，双曲线其中一条渐近线为byxa=，直线2PF的方程为()byxca=−，①由120PFPF=，得12PFPF⊥，即直线1PF的斜率为ab−，直线1PF方程为()ayxcb=−+，②由点𝑃(𝑥,𝑦)在双曲线上，得22221xyab−=，③联立①③，得

222acxc+=，联立①②，得222222babaxcabc−−==+，则22222acbacc+−=，即2222222aabba++=−，因此224ba=，所以离心率222222255ccabaeaaaa+=====．故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆1O的方程为()()224xayb−+−=，圆2O的方程为()2211xyb+−+=，其中a，bR．那么这两个圆的位置关系可能为（）A.外离

B.外切C.内含D.内切【答案】ABD【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．【详解】由题意可得圆心()1,Oab，半径12r=，圆心()20,1Ob−，半径21r=，则2121211OOarr=+=−，所以

两圆不可能内含．故选：ABD．10.已知曲线C的方程为2212xymm+=−，则（）A.当1m=时，曲线C表示一个圆B.当02m时，曲线C表示椭圆C.当2m时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线D.当0m时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线、椭圆及

圆的方程判断即可.【详解】当1m=时，曲线C是221xy+=，故A正确；当1m=时，曲线C表示一个圆，故B错误；当2m时，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；当0m时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，故D正确.故

选：ACD11.已知椭圆22:11612xyC+=，且两个焦点分别为1F，2F，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是（）A.椭圆C的离心率为32B.12PFF的周长为12C.1PF的最小值为3D.12PFPF

的最大值为16【答案】BD【解析】【分析】由题224,23,2===−=abcab，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断．【详解】椭圆22:11612xyC+=，则224,23,2===−=a

bcab对于A：12cea==，故A错误；对于B：12PFF的周长为12122212PFPFFFac++=+=，故B正确；对于C：1PF的最小值为2ac−=，故C错误；对于D：()212212164PFPFPFPFa+==，当且仅当124PFPF==时等号成

立，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，已知()1,2,2At，(),0,31Btt−，则AB的最小值是__________．【答案】2357##2357.【解析】【分析】利

用空间距离公式及二次函数知识求解.【详解】()()22222520202351433142010147777ABtttttt=−++−=−+=−+=.当57t=时，等号成立.所以AB的最小值是2357.故答案为：2357.13.设1F、2F为双曲线Γ：

()222109xyaa−=左、右焦点，且Γ的离心率为5，若点M在Γ的右支上，直线1FM与Γ的左支相交于点N，且2MFMN=，则1FN=______.【答案】3【解析】【分析】根据离心率公式求出a，画出草图，结合双曲线定义可解．【详解】如图，画出草图．由

的离心率为5，且29b=，可得2295caeaa+===，解得32a=.因为2MFMN=，所以由双曲线的定义，可得1212123MFMFMNNFMFNFa−=+−===.故答案为：3．14.已知12,FF分别为椭圆222:1(0)9xyCbb+=的

左､右焦点，52,3P为C上一点，则C的离心率为__________，12PFF内切圆的半径为__________.【答案】①.23②.23【解析】【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即

可.【详解】第一空，将52,3P代入222:1(0)9xyCbb+=中，2254919b+=，即25b=，2224cab=−=，则椭圆方程为22195xy+=，离心率为：224293ccaae====.第二空，如图所

示，易得125(2,0),(2,0),2,3FFP−，则12||4FF=，25||3PF=，2212123|13|||||PFFFPF=+=，因为1212211||||22PFFSFFPFrC==(C为三角形周长，r为内切圆半

径).又51341033C=++=，代入得151410232r=，解得23r=.故答案为：23；23.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆E经过点()()0,0,1,1AB，且被直线()0Rmxym

m−−=平分.（1）求圆E的一般方程；（2）设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【答案】（1）2220xyx+−=（2）220xyx+−=【解析】【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；（2）设动点坐标，根据题意，建立等量

关系，代入圆的方程，可得答案.【小问1详解】直线0mxym−−=恒过点()1,0.因为圆E恒被直线()0Rmxymm−−=平分，所以0mxym−−=恒过圆心，所以圆心坐标为()1,0，又圆E经过点()0,0A，所以

圆的半径1r=，所以圆E的方程为22(1)1xy−+=，即2220xyx+−=.【小问2详解】设(),Mxy.因为M为线段AP的中点，所以()2,2Pxy，因为点P是圆E上的动点，所以22(2)(2)22

0xyx+−=，即220xyx+−=，所以M的轨迹方程为220xyx+−=.16.已知动点(,)Pxy到定点(2,0)F的距离与动点P到定直线2x=−的距离相等，若动点P的轨迹记为曲线C．（1）求C的

方程；（2）不过点F的直线与C交于横坐标不相等的A，B两点，且6AFBF+=，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点．【答案】（1）28yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；（2）设出

直线AB的方程，将直线方程与曲线C的方程联立，利用韦达定理及||||6AFBF+=得到128yyt+=，128yym=−，122xx+=，求出AB的中点坐标和直线MN的方程，进而即可得证．【小问1详解】因为动点(,)Pxy到定点(2,0)F的距离

与动点P到定直线2x=−的距离相等，所以动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，此时4p=，则曲线C的方程为28yx=；【小问2详解】证明：设直线AB的方程为xtym=+，11(,)Axy，22(,)Bxy，联立28yxxtym==+，消去y并整理得

2880ytym−−=，此时264320tm=+，解得220tm+，由韦达定理得128yyt+=，128yym=−，因为12||||46AFBFxx+=++=，所以122xx+=，因为1212()22xxtyym+=++=，所以2822tm+=，解得241tm+=

，设点M为AB中点，此时(1,4)Mt，所以直线MN的方程为4(1)yttx−=−−，令0y=，解得5Nx=．的故点N为定点，坐标为(5,0)．17.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E为线段1DD的

中点，F为线段1BB的中点．（1）求直线1FC\到直线AE的距离；（2）求直线1FC到平面1ABE的距离．【答案】（1）305（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线1FC到直线A

E的距离；（2）转化为1C到平面1ABE的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案.【小问1详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，()1111,1,1,0,0,,1,1,22BEF，()()11,0,0,0,1,1AC，因为1111,0,,1,0,22=−=−

FCAE，所以1AE//FC，即1//AEFC，所以点F到直线AE的距离即为直线1FC到直线AE的距离，255,0,55==−AEuAE，10,1,2AF=，()254=AF，510=AFu，所以直线1FC到直线AE的距离为255304105−=

；【小问2详解】因为1//AEFC，1FC平面1ABE，AE平面1ABE，所以1//FC平面1ABE，所以直线1FC到平面1ABE的距离等于1C到平面1ABE的距离，()()1111,0,0,0,1,1==CBAB,11,0,2=−AE，设平面1ABE的

一个法向量为(),,nxyz=，则100AEnABn==，即1020xzyz−+=+=，取2z=，可得()1,2,2n=-，所以1C到平面1ABE的距离为1113=nCBn，所以直线1FC到平面1ABE的距离为13.18.已知椭圆2

222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12FF､，短轴长为23，点3(3,)2M−−在C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点(0,3)A，点G为椭圆C上一点，求2AGF△周长的最大值；（3）过C的左焦点1F，且斜率不为零的直线l交C

于PQ､两点，求2FPQ△面积的最大值.【答案】（1）22143xy+=；（2）2104+；（3）3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,ab即得椭圆C的标准方程.（2）由椭圆的定义可求出2AGGF+的最

大值，从而可得周长最大值.（3）设直线l的方程为1xty=−，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值．【小问1详解】依题意，3b=，且223314ab+=，解得2a=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=

.【小问2详解】由（1）知，12(1,0),(1,0)FF−，而(0,3)A，则12||||10AFAF==，2AGF△周长222121||||||||||4||||||42104AFAGGFAFAGGFAFAF++=++−++=+，当且仅当点G是线段1AF延长线与椭圆C的交点时

取等号，所以2AGF△周长的最大值为2104+.【小问3详解】设直线l方程为1xty=−，1122)(,),(,PxyQxy，由2213412xtyxy=−+=消去x得：22(34)690tyty+−−=，显然0，21212269,4433tyytyty−+==++，的

的222121212222636121||()4()343434ttyyyyyyttt+−=+−=+=+++，因此2FPQ△面积21212222112112||||1234311tSyyFFttt+=−

==++++，令211ut=+，22113131tuut++=++，显然函数13yuu=+在[1,)+上单调递增，则当1u=，即0t=时，221311tt+++取得最小值4，max3S=所以当0t=时

，2FPQ△面积取得最大值3.【点睛】结论点睛：过定点(0,)Ab的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点11(,)Mxy，22(,)Nxy，则OMN面积121||||2OMNSOAxx=−；过定点(,0)Aa直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点11(,)Mxy，22(,)

Nxy，则OMN面积121||||2OMNSOAyy=−.19.过双曲线kyx=（常数0k）上任意一点A作AEx轴，交y轴于点E，作AFy∥轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个

结论推广到一般双曲线()222210,0xyabab−=，并证明你的推广．【答案】答案见解析.【解析】【分析】类比题目结论，从曲线上取一点，作两条渐近线的平行线，围成的四边形面积为常数.证明时设所取点

的坐标，计算面积为常数.【详解】推广结论：设A是双曲线()222210,0xyabab−=上任意一点，过点A分别作渐近线0bxay=的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位

置无关的常数．证明：设()00,Axy，直线AE的方程为00()byyxxa−=−−，联立方程组00()byyxxabyxa−=−−=，解得交点0000(,)22aybxaybxEba++，则00220000()()222caybxaybxaybx

OEbaab+++=+=，点A到OE的距离000022bxaybxaydcba−−==+，平行四边形AEOF的面积222200000022bxaycaybxbxayabcSOEabd−+−===，又因为点()00,Axy在双曲线22221xyab−

=上，所以2200221xyab−=，即22222200bxayab−=，所以22122ababaSb==，是与点A位置无关的常数．【点睛】注意到题目所给结论中，x轴和y轴分别为曲线kyx=的两条渐近线，所以类比时也过曲线上一点作曲线22221xyab−=的两条渐近线的平

行线.