【文档说明】黑龙江省大庆实验中学2022届高三上学期10月阶段检测+数学（文）答案.docx，共(15)页，855.210 KB，由小赞的店铺上传

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实验二部2021年高三10月份考试数学（文科）参考答案一、单选题1．已知集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={-1，0，1，2，3}，则A∩B=（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{2，3}【答案】B【分析】首先列举法表示出集合A，然后根据交集的概

念即可求出结果.【详解】由题意得，A={1，2，3}，所以A∩B={1，2，3}.故选：B.2．设()212iz=−，则z=（）A．5B．17C．29D．41【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数z，利用复数的模长公式可求得z.【详解】因为()2212i14i4i34iz=

−=−+=−−，因此，()()22345z=−+−=.故选：A.3．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（）A．如果,abbc，那么ac；B．如果0ab，

那么22ab；C．对任意实数a和b，有222abab+，当且仅当ab=时等号成立；D．如果ab，0c，那么acbc．【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为,ab，则斜边长为22ab+，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结

果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为,ab，则斜边长为22ab+.图中四个直角三角形的面积和为1422abab=，外围正方形的面积为()22222abab+=+.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正

方形的面积，所以222abab+，当且仅当ab=时，等号成立.故选：C.4．袋子中有6个相同的球，分別标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，则取出球的数字之和是8的概率为（）A．16B．536C．115D．215【答案】D【分析】列举出所有基

本事件，分别求出总事件和所求基本事件的个数，再根据古典概型公式即可得解.【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种，其

中数字和为8的基本事件有2种，所以取出球的数字之和是8的概率为215，故选：D.5．对3个非零平面向量,,abc，下列选项中正确的是A．若0ab+=，则0==B．若abac=，则bc=C．若(

)()abcacb=，则bc=D．,,abc两两之间的夹角可以都是钝角【答案】D【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量，可排除A,B；向量不满足交换律所以C错．【详解】(1)a与b在同一条直线上，故A错（2）a可能为0向量，故B错（3）向量运算不满足交换律，所以C错（4）,,abc两两

之间的夹角可以都是钝角，如都为120故选D6．数列na是首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为nS.若11nnSka+=−，则k=（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用等比数列，求出通项na，利用求和公式求得1nS+，代入即可得解.【详解】由数列na是首项为1，公比为2

的等比数列，12nna-\=()1111122112nnnS+++−=−=−由11nnSka+=−，得112121nnk+−−=−，即1122nnk+−=，11242nnk+−==，故选：D.7．某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为A．8B．1

2C．443+D．20【答案】B【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h，则依题意有1432233Vh==所以3h=，所以侧面的高为221142h

h=+==所以四棱锥的侧面积11=422=82S，所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S.故选：B8．已知O为坐标原点，抛物线2:8Cyx=上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C的准线上的动点，则POPA+的最小值为（）A．4B．43C．46D

．63【答案】C【分析】求出坐标原点O关于准线的对称点B的坐标，由POPB=，则POPAPBPAAB+=+，根据两点间的距离公式即可求解.【详解】解：由题意，抛物线28yx=的准线方程为2x=−，∵6AF=，∴点A到

准线的距离为6，即点A的横坐标为4，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为()4,42，∵坐标原点O关于准线的对称点B的坐标为()4,0−，∴POPB=，∴POPA+的最小值为()()22444246AB

=++=.故选：C.9．某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为323，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为（）A．5B．6C．

7D．8【答案】C【分析】利用球的体积公式求出半径，求出正三角形内切圆半径，利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解【详解】设球的半径为R，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为r．由球的体积为323可

得343233R=，解得2R=．因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，所以底面正三角形的内切圆半径为316323r==，正三棱柱的高为4，设球心为O，正三角形的内切圆圆心为1O，取11BC的中点M，并将这三点顺次连接，则由

球的几何知识得1OOM△为直角三角形，所以()22221231OORr=−=−=，于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为2147++=．故选：C10．已知函数21()xxfxexe=++．则使不等式(21)()fmfm−成立的实数

m的范围为（）A．1mB．1m>C．113mD．13m【答案】C【分析】根据函数表达式可得，函数为偶函数，当0x时，可通过求导判断函数的单调性，从而确定整个函数的单调性，根据单调性求解参数的取值范围【详解】因

为21()xxfxexe=++，()21()xxfxexefx−=+=+，所以()fx为R上的偶函数，且'1()2xxfxexe=+−，易得'()fx单调递增且'(0)0f=，所以，当0x时，'()0fx恒成立，()fx单调递增，根据偶函数的对称性得，0x时，()fx单调递减

，若(21)()fmfm−，则有21mm−，两边同时平方得：()2221mm−，解得：113m故选：C11．已知12,FF为双曲线22221(0,0)xyabab−=的左､右焦点，过1F作byxa=−的垂线分别

交双曲线的左､右两支于,BC两点(如图).若22CBFCFB=，则双曲线的渐近线方程为（）A．3yx=B．2yx=C．()31yx=+D．()31=−yx【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BFa=，24BFa=，再在12B

FF△中运用余弦定理建立关于a，b，c的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】由22CBFCFB=，设2BCCFm==，由122CFCFa−=得，12BFa=，所以24BFa=，2222221122121124416cos28BFFFBFacaBFFBFFFac++−+−=

=，又112tanFCakBFFb==得12cosbBFFc=，22244168acabacc+−=，令1a=，化简得：2220bb−−=，得13b=+，所以渐近线方程为()31yx=+，故选：C.12．已知0a，不等式1ln0a

xxeax++对于任意(1,)x+恒成立，则a的取值范围（）A．[,1]e−−B．[,0)e−C．(,1)−−D．(,]e−−【答案】B【分析】变换得到(ln)lnaxaxxexe−−，设()xfxxe=，等价于()(ln)a

fxfx−，即min(),lnxax−令()lnxgxx=，根据函数的单调性得到最值得到答案.【详解】由1ln0axxeax++得()lnxaxexax−−，即(ln)lnaxaxxexe−−，设(),>1(

)xfxxex=，则()()'()+1>0>1xfxxex=，，所以函数()fx在(1,)x+上是增函数，所以不等式1ln0axxeax++对于任意(1,)x+恒成立，等价于()(ln)afxfx−，所以lnaxx−，即ln

xax−对任意的1x恒成立，因为1x，所以ln0x，即lnxax−对任意的1x恒成立，即min()lnxax−，令()lnxgxx=，则'2ln1()(ln)xgxx−=，由()0gx=，得xe=，所以当(1,)xe时，()0g

x，函数()gx在区间(1,)e为减函数，当(,)xe+时，()>0gx，函数()gx在区间(,)e+为增函数，所以当xe=时，()gx取得最小值()gee=，所以ae−，所以ae−，又由已知得0a，所以a的取值范围为[0)e−，.故选：B.方法点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问

题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min()0fx，若()0fx恒成立，转化为max()0fx.二、填空题13．已知角θ的终边过

点(4,3)−，则sin(2θ)等于________．【答案】2425−【分析】根据终边上的点写出sin,cos，再由sin(2)2sincos=求值即可.【详解】由题设，34sin,cos55

=−=，∴24sin(2)2sincos25==−.故答案为：2425−14．记nS分别为等差数列na的前n项和，若212nan=−，则10S=__________.【答案】100【分析】利用通项公式求得11019,1aa==，结合等差数列求和公式求得结果.【详解】110

19,1aa==，所以前10项的和为10S=191101002+=.故答案为：100.15．已知实数x，y满足不等式组40210330xyxyxy+−−−−+，则221xyx+++的最大值为______．【答案】238【分析】画出可行域，22211xyyxx++=+

++，1yx+表示可行域内的点与定点()1,0−连线的斜率，数形结合可求得最大值.【详解】画出如图可行域，因为22211xyyxx++=+++，令1ytx=+，则t表示可行域内的点(),Pxy与定点()1,0B−连线的斜率．由图可知，当点P为点57,33A时，连线斜率最大

，所以max7735813t==+，所以221xyx+++的最大值为238．故答案为：23816．在正方体1111ABCDABCD−中，有下列结论：①//BD平面11CBD；②异面直线AD与1CB所成的角为60；③三棱柱111ABDABD−的体积是三棱锥1AABD−的体

积的四倍；④在四面体11ACBD中，分别连接三组对棱的中点的线段互相垂直平分.其中正确的是________（填出所有正确结论的序号）.【答案】①④【分析】根据正方体的几何特征，证明线面平行，求异面直线夹角，求体积关系，分析正四

面体对棱连线特点.【详解】因为11//BDBD，11BD平面11CBD，BD平面11CBD，所以//BD平面11CBD，故①正确；因为//ADBC，所以异面直线AD与1CB所成的角等于1BCB，在正方形11BCCB中，145BCB=，

故②错误；三棱柱111ABDABD−的体积是三棱锥1AABD−的体积的三倍，故③错误；由正方体的性质可知，正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.四面体11ACBD是正四面体，其棱中点即正方体每个面的中心，对棱中点连线

必经过正方体的中心，由对称性知，连接正四面体11ACBD每组对棱中点的线段互相垂直平分，则④正确.故答案为：①④三、解答题17．已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，3a=，7b=，()tan3B+=−.（1）求

sinA的值；（2）求ABC的面积.【答案】（1）33sin14A=；（2）1534.【分析】（1）由()tanB+可求出sinB，利用正弦定理可求出sinA；（2）由余弦定理可求出c，再借助于三角形面积即可求出结果.【详解】（1）()tanta

n3BB+==−，23B=，由正弦定理得372sinsin3A=，∴33sin14A=.（2）由余弦定理得22222cos3bacac=+−，整理得23400cc+−=，解得5c=或8−（舍去），ABC的面积113153sin3

52224ABCSacB===△.18．某地从今年3月份正式启动新冠肺炎疫苗的接种工作，前4周的累计接种人数统计如下表：前x周1234累计接种人数y（千人）2.5344.5（1）求y关于x的线性回归方

程；（2）政府部门要求在2个月内（按8周算）完成8千人的疫苗接种工作，根据（1）中所求的回归方程，预计接下来4周是否需要加快接种工作的速度．参考公式：线性回归方程yabx=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221,niiiniixynxybaybxxnx==−==−−．【答

案】（1）0.71.5ˆ7yx=+；（2）需要加快接种工作的速度．【详解】（1）12342.5344.52.5,3.544xy++++++====，2ˆ38.542.53.50.7,3.50.72.51.753042.5ˆba−=

==−=−，因此回归方程为0.71.5ˆ7yx=+．（2）令8x=，得0.781.757ˆ.35y=+=，因为7.358，所以接下来4周需要加快接种工作的速度．19．如图在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，PB⊥BC，PD=DB=BC=AB=AD=2.（1）证明：PA⊥平面

ABC；（2）求点B到平面ACD的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2217.【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得PA⊥BC，再由PA⊥AB利用线面垂直的判定定理即可证明,（2）利用三棱锥的体积公式得出12323DABCPABCVV−−==，再由

等体法1733BACDDABCACDVVSdd−−===即可求解.【详解】（1）侧面PAB⊥底面PBC，PB⊥BC，所以BC⊥侧面PAB又PA侧面PAB，所以PA⊥BC又PD=DB=DA，所以PA⊥AB又ABBC=B，所以

PA⊥平面ABC（2）由（1）可知：PA⊥平面ABC，在直角三角形PAB中，2223PAPBAB=−=.D是PB的中点，所以三棱锥D-ABC为三棱锥P-ABC体积的12.故1123263DABCPABCABCVVSPA−−===由已知：22ACAD==，又AD=2，ACD△底边AD上的

高为7h=.故ACD△面积为：7ACDS=设点B到平面ACD的距离为d，则1733BACDDABCACDVVSdd−−===所以72333d=，解得2217d=，点B到平面ACD的距离为221720．已知椭圆)0(1:2222=+babyaxC，其长轴长为4，1F，2F

为左右焦点，P为椭圆C上一动点，且21PFPF•最大值为1.（1）求椭圆C的方程.（2）若直线l与椭圆C相交于A,B两点，且OBOAOP21+=(O为坐标原点，为负实数)，已知41−=•OBOAkk，求的值.【答案】（1）),(00yxP设,则220

2021cyxPFPF−+=•，长轴2a=4，即a=2.122221==−•bcaPFPF,则椭圆方程为1422=+yx————（5分）（2）设A(11,yx)，B（22,yx），则412121−==•xxyykkOBOA，即402121=+xxyy——（6分）因为OBOAOP21+=,则P点

坐标为（212121,21yyxx++），把P点代入椭圆1422=+yx，则有1)21()21(41221221=+++yyxx————（9分）142121=+yx，142222=+yx，化简可得，1412=+

，所以＜0——（11分）则=23−——————（12分）21．已知函数()()2ln2xaxfxx=+−+.（1）当1a=−时，求函数()fx的单调区间；（2）当0a时，若()fx的极大值点为1x，求证：()112ln22fx−+.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区

间为()1,+；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a=−时，可得()2ln2fxxxx=−++，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()fx的增区间和减区间；（2）分析可得8a，1212xx+=，12102xxa=，则12104xx，21121axax=−，化简得出()()11

113ln2212fxxx=++−，构造函数()()13ln2212gxxx=++−，其中104x，利用函数单调性得出()14gxg，即可证得结论成立.【详解】（1）当1a=−时，函数()2ln2fxxxx=−++，()0,x+

.()()()221112121xxxxfxxxxx−+−−++=−+==，当01x时，()0fx；当1x时，()0fx.可得函数()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减.因此函数()fx的单调递

增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+；（2）当0a时，()21212axaxfxaxaxx−+=+−=，令2210axax−+=，28aa=−.当0时，即当08a，则()0fx

，函数()fx在()0,+上单调递增，无极值，不满足题意，舍去；由0，解得8a，设方程2210axax−+=的两个实数根分别为1x、2x且12xx.当10xx或2xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx，故函数()fx的极大值点为1x，由韦达定理可得1212xx

+=，12102xxa=，则12104xx，21121axax=−.()2111111111121313ln2ln2lnln22242axaxfxxaxaxxaxxxx−=+−+=+−+=−+=−+()11111313lnln12221242xxxx=

−+=++−−，令()()13ln2212gxxx=++−，其中104x，则()()()()()()()222221411110212121xxxxgxxxxxxx−−−−=−==−−−，所以，函数()gx在10,4

上单调递增，故()1131ln12ln24422gxg=−+=−，因此，()112ln22fx−+.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx

−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，

如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为os3cxysin==（其中为参数），曲线222:20Cxyy+−=，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系

，射线:l=（0）与曲线1C，2C分别交于点A，B（均异于原点O）.（1）求曲线1C，2C的极坐标方程；（2）当02时，求22OAOB+的最小值.【详解】（1）1C的普通方程为2231xy+=，代入cos,sinxy==得1C的极坐标方程为22123sin

=+，………………………………………………………………………（3分）2C的极坐标方程为2sin=……………………………………………………（5分）（2）联立()0=与1C的极坐标方程得22sn312iOA=+……………

（6分）联立()0=与2C的极坐标方程得224OBsin=…………………………（7分）则()222222334sin212sin226212sin12sinOAOB+=+=++−−++∴2262OAOB+−最小值为2.……………………………………………（10分）23．[

选修4-5：不等式选讲]已知𝑎,𝑏,𝑥1,𝑥2为正实数，且满足𝑎+𝑏=1（1）求𝑎2+𝑏24的最小值（2）求证：(𝑎𝑥1+𝑏𝑥2)(𝑏𝑥1+𝑎𝑥2)≥𝑥1𝑥2【答案】（1）15；（2）证明详见解析．【解析】（1）（1）∵𝑎+𝑏=1，∴𝑎=1−𝑏，∴𝑎2

+𝑏24=(1−𝑏)2+𝑏24=54𝑏2−2𝑏+1=54(𝑏−45)2+15，∵0<𝑏<1，∴当𝑎=15,𝑏=45时，𝑎2+𝑏24的最小值为15；（2）(𝑎𝑥1+𝑏𝑥2)(𝑏𝑥1+𝑎𝑥2)

≥(√𝑎𝑥1√𝑎𝑥2+√𝑏𝑥1√𝑏𝑥2)2=(𝑎√𝑥1𝑥2+𝑏√𝑥1𝑥2)2=(𝑎+𝑏)2𝑥1𝑥2=𝑥1𝑥2考点：配方法求函数最值、均值不等式．