【文档说明】湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷 Word版含答案.docx，共(18)页，1.206 MB，由小赞的店铺上传

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2024年秋“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题命题学校：襄阳四中命题人：胡凤鸣审题人：韩正洪曹文君李光益联合审题单位：圆创教育研究中心考试时间：2024年11月12日考试用时：120分钟试卷满分：150分★

祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案标号.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，

每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2(1i)z=+的共轭复数z=（）A.2i−B.2iC.2−D.22.如图，ABC斜二测画法的直观图是,ABCABC的面积为2a，那么

ABC的面积为（）A.222aB.242aC.224aD.222a3.在ABC中，设,ABaACb==，若D是线段BC中点，2AEED=，则BE=（）A.1133ab−−B.1133ab−+C.2133ab−−D.2133ab−+4.如图，三个元件123T,T,T正常工作

的概率均为13，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（）A.127B.19C.527D.7275.已知点()0,0O，若曲线C上存在两点,AB，使OAB为正三角形，则称C为Γ型曲线.给定下列三条曲线：①5yx=−+；②22yx=−；③()10yxx=−.其中

，是Γ型曲线的个数是（）A.0B.1C.2D.36.若圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为12，则此圆台的表面积与其内切球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.737.小明同学在某次数学测试中的成绩是班级第十五名（每位同学测试的成绩两两不同），

且小明同学的成绩恰好是该班成绩的第60百分位数，则该班的人数可能为（）A.36B.41C.46D.518.正四面体QABC−中，QAa=，点M满足()2QMxQAyQBxyQC=++−−，则AM长度的最小值为（）A.465aB.665aC.63aD.6a二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共

18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设,lm是两条不同直线，,是两个不同平面，下列命题为真命题的是（）A.若,l⊥⊥，则l∥或l

B.若,lml⊥⊥，则m∥或mC.若l∥,m∥，则l∥mD.若,lm⊥⊥，则⊥10.有以下说法，其中错误的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C.事件A与事件B中至少有一个发

生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大D.事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小11.某四面体的棱中恰好有一条的长度大于2，则此四面体的体积可能是（）A.14B.12C.1D.2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.1

2.复数z满足34i1z−+=，则maxz=__________.13.如图，在梯形ABCD中，45,32,6BABBC===，且16ADBC=，若,MN是线段BC上的动点，且1MN=，则DMDN的取值范围为__________.14.已知圆22:4240Cxyxmy+−−+=

和直线1:2Cyx=+，折线2:22Cyx=−+，若C与1C恰有一个公共点，则实数m=__________；若C与2C恰有两个公共点，则实数m的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演

算步骤.15.（13分）在ABC中，内角,,ABC所对边分别为,,abc，已知πsincos6aBbA=−.（1）求角A的大小；（2）若2,cbABC=的面积为233，求ABC的周长.16.（15

分）在如图所示的四棱锥SABCD−中，底面ABCD是梯形，且AD∥,BCSA⊥面ABCD，,ABBCQ⊥为SD的中点.（1）若QAQC=，证明：CD⊥平面SAC；（2）已知8,4,2ADBCAB===，

斜线SB和平面ABCD所成角的正切值为2，求平面ACQ和平面SCD的夹角的余弦值.17.（15分）已知椭圆()2222:10xyEabab+=的焦点为()123,0F−和()223,0F，短轴长为4.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆上､下顶点分别为12PP､，过点()0,1Q

的直线1l与椭圆E交于AB､两点（不与12PP､两点重合）.证明直线1AP与直线2BP交点的纵坐标为定值，并求出该值.18.（17分）某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2:1.为了解艺术团全体学生的身高，按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的

样本，并观测样本身高数据（单位：cm）.已知男生样本的身高平均数为169，标准差为39.下表是抽取的女生样本的数据：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i个女生的身高为()1,2,3,10i

xi=，样本平均数160x=，标准差15s=.（1）用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试估计艺术团女生总体身高在160,165范围内的人数；（2）用总样本的平均数和方差估计艺术

团总体身高的平均数和方差2，求2,的值；（3）若女生样本数据在()2,2xsxs−+之外的数据称为偏离值，剔除偏离值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.（其中，样本平均数160x=，标准差15s=.

）【参考数据：22153.9,15925281,16928561==.】19.（17分）球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学.对于半径为R的球O，过球面上一点A作两条大圆的弧AB，AC，它们构成的图形叫

做球面角，记作BAC（或A），其值为二面角BAOC−−的大小，其中点A称为球面角的顶点，大圆弧,ABAC称为球面角的边.不在同一大圆上的三点,,ABC，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧,,ABBCCA，这三条劣弧组成的图形称为球面

ABC，这三条劣弧称为球面ABC的边，,,ABC三点称为球面ABC的顶点；三个球面角,,ABC称为球面ABC的三个内角.已知球心为O的单位球面上有不同在一个大圆上的三点,,ABC.（1）球面ABC的三条边相等（称为等边球面三角形），若π2A=，请直接写出球面ABC的内角和（无需证明）；（2）与二

面角类比，我们称从点P出发的三条射线,,PMPNPQ组成的图形为三面角，记为PMNQ−.其中点P称为三面角的顶点，,,PMPNPQ称为它的棱，,,MPNNPQQPM称为它的面角.若三面角OABC−的

三个面角的余弦值分别为331,,333.①求球面ABC的三个内角的余弦值；②求球面ABC的面积.2024年秋“荆､荆､襄､宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题参考答案及评分细则题号1234567891011答案AADCDCACABACDABC1.【答】A【解析】22(1i)12ii2i+=+

+=，故共轭复数为2i−.2.【答案】A【解析】由π4COB=，则1π2sin244ABCSABOCABOC==，如图，作出还原后ABC，则11222ABCSABOCABOCABOC===，故222ABCABCABCSSSa==，所

以222ABCSa=.3.【答案】D【解析】因为,,2BEBDDEBDDCAEED=+==，所以()()1111123232BEBDEDBCADACABACAB=−=−=−−+，因为,ABaACb==，所以()()

11212633BEbabaab=−−+=−+.4.【答案】C【解析】记1T正常工作为事件2,AT正常工作为事件B，记3T正常工作为事件C，则()()()13PAPBPC===，电路不发生故障，即1T正常工作且23,TT至少有一个正常工作，23TT､不发生故障即23,TT至少有一个正常工作

的概率1115111339P=−−−=，所以整个电路不发生故障的概率为()11553927PPAP===.5.【答案】D【解析】对于①，()0,0O到直线5yx=−+的距离为522，若直线上存在两点,AB，使OAB为正三角形，则563OBOC==，以O为

圆心，以563为半径的圆的方程为22503xy+=，联立225503yxxy=−++=，可求解出两解，所以曲线①是Γ型曲线.对于②，22yx=−化为()2220xyy+=…，图形是半圆（包括端点），则由()0,0O为顶点的60角两边能与

半圆找到交点，故曲线②也是Γ型曲线，对于③，以O为圆心作圆，存在圆O，当该圆与曲线()10yxx=−相交于AB､两点时，满足60AOB=，所以曲线③是Γ型曲线.6.【答案】C【解析】设上底面半径为1r，下底面半径为2r，如图，取圆台的轴截面，作CMAB⊥，垂足为M，设内切球O与梯形两腰分别

切于点,EF，可知1221,BCrrBMrr=+=−，由题意可知：母线与底面所成角为π3B=，则211212rrBMBCrr−==+，可得213rr=，即114,2BCrBMr==，可得22123CMBCBMr=−=，可知内切球O的半径13rr=，可得()()2222211

111111π9ππ3426π,4π312πSrrrrrrSrr=+++===永圆台，所以212126π1312π6SrSr==台球.7.【答案】A【解析】设班级的人数为x，由题意0.6140.61xxx−+，解得*3537.5,xx

N.8.【答案】C【解析】()()12AMAQQMxQAyQBxyQCQS=+=−++−−=（S在平面ABC内），所以AM长度的最小值，即为QS长度的最小值，即点Q到平面ABC的距离63a.9.【答案】AB【解析】对于A，若,l⊥⊥，则l∥或l，故A正确；对于B，若,lml

⊥⊥，则m∥或m，故B正确；对于C，若m∥,n∥，则,mn平行或相交或异面，故C不正确；对于D，若,mn⊥⊥，当m∥n，则∥，故D不正确.10.【答案】ACD【解析】选项A错误，两个判断都是错误的.投一枚骰子，事件A

表示掷出的点数为2，事件B表出的点数为3，则事件A和B互斥，但不是对立事件.互为对立的事件一定互斥.选项B正确；选项C错误，当两个事件A和B互斥时，事件A和事件B至少有一个发生的概率与A和B中恰有一个发生的概率相等，他们都等于()()PAPB+；选项D错误，考虑投掷一个骰子

的试验，样本空间为1,2,3,4,5,6，记事件1,2,3,4,5A=，事件2,3,4,5,6B=，事件A和B同时发生的概率()2AB3P=，A和B恰好有一个发生的概率为13.11.【答案】AB

C【解析】设四面体ABCD，棱2AB，而其余每条棱长都2„，设A到底面的高为h，在ACD中，A到CD的距离为1h，则1hh….若AE是ACD的高，则,CEDE中有一条的长度12a…，（设CD的长为2a„）.于是22122ah−

„，从而21162ha−„.类似地，在BCD中，点B到CD的距离21162a−„，所以2164BCDaSa−„.所以，()()()()()()2211114111644444213242424266ABCDBCDaaVhSaaaaaa

a−+−=−=−++=++=剟?.故选：ABC12.【答案】6【解析】34i1z−+=表示复平面内到点()3,4−的距离是1的点的轨迹，是圆，所以最大值为()3,4−与()0,0的距离加上半径，22max||3(

4)16z=+−+=.13.【答案】35,214【解析】以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，()()6,6,0,32,45,3,3BCCABABCA===，16ADBC=，则()4,3D，设()

,0Mx，则()1,0Nx+（其中05x剟），()()4,3,3,3DMxDNx=−−=−−，()()22273543(3)72124DMDNxxxxx=−−+−=−+=−+，所以，当72x=时，DMDN取得最小值3

54，当0x=时DMDN取得最大值21.14.【答案】442−()1,+【解析】由题意可知：圆C可化为222(2)()xymm−+−=表示圆心为()2,Cm，半径为m的圆，故0m若C与1:20Cxy−+=恰有一个公共点，则222mm−+=，解得442m=−；因为C与2C均关于直线2x=

对称，注意到2C与直线2x=的交点为()2,2，若C与2C恰有两个公共点，等价于C与2C在()2,+内只有1个公共点，且C不过()2,2，此时2:Cyx=，联立方程224240yxxyxmy=+−−+=，消

去y得()224240xmx−++=，即关于x方程()224240xmx−++=在()2,+仅有一解，且解不为2，则222m+…，或()22222242240mm+−++解得1m

，所以实数m的取值范围是()1,+.（第（2）问另解，点()2,2在圆22:4240Cxyxmy+−−+=内，则1m）15.【答案】（1）π3（2）232+【解析】（1）由正弦定理sinsinabAB=得sinsinaBbA=，所以πsincos6bAbA=−所以π31

sincoscossin622AAAA=−=+，整理得sin3cosAA=，因为()0,πA，所以sin0A，因此cos0A，所以sintan3cosAAA==，所以π3A=.（2）由ABC的面积为233，得123sin23bcA

=，解得83bc=，又2cb=，则243,333bc==由余弦定理得22216482cos4333acbbcA=+−=+−=，解得2,23abc=+=，所以ABC的周长为232+.16.【答案】（1）证明见解析（2）79.【解析】（1）因为SA⊥平面,,ABCDADCD平面ABCD，可

知,SAADSACD⊥⊥，在RtSAD中，Q为PD的中点，则12QAQDSQSD===，因为QAQC=，所以QCQDSQ==，所以90SCD=，即SCCD⊥，又因为,SASCSSA=平面,ACSSC平面ACS，所以CD⊥平面ACS.（2）由题意可知：SA⊥平面ABCD，所以A

B是斜线PB在平面ABCD上的射影，即SBA为SB和平面ABCD所成的角，在RtSAB中，tan2SASBAAB==，所以4SA=.又因为ABAD⊥，故,,ABADAS两两垂直，以A为坐标原点，以,,ABADAS所在直线分别为x

轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,4,0,0,8,0,0,0,4,0,4,2ABCDSQ，可得()()()()0,4,2,2,4,0,0,8

,4,2,4,0AQACSDCD===−=−，设平面ACQ的法向量为()1111,,nxyz=，则1100nAQnAC==，即11112020yzxy+=+=，可取()12,1,2;n=−设平面SCD的法向量为()2222,,nxyz=，则2200nS

DnCD==，即22222020yzxy−=−+=，可取()22,1,2n=；从而可知1212124147cos,9414414nnnnnn−+===++++，所以平面ACQ和平面SCD的夹角的余弦值为79.17.【答案】（1）221164x

y+=（2）4.【解析】（1）根据题意可得，23,24,2cbb===，则222abc=+，所以216a=，所以椭圆E的标准方程为221164xy+=.（2）因为直线1l过点()0,1Q，且与椭圆的交点不与12,PP重合，可知直线1l的斜率存在，且直线1l与椭圆必相交，可设直线()

()11122:1,,,,lykxAxyBxy=+，联立方程2211164ykxxy=++=，消去y可得()2216432480kxkx++−=，由根与系数的关系可得：121222812,4141kxxxxkk+=−=−++，因为()()120,2,0,2PP

−，可得直线1112:2yAPyxx−=+，直线2222:2yBPyxx+=−，所以()()()()()121212112121112221212121121222122333APBPykxyxkxkxxxxxxkxxxykxyxkxkxxxk

xxxx−−−−++−=====+++++1221211221284141414112123334141kkkxxkkkkkxxkk−−−+−++++===−+−+++.（另解：也可由121223xxkxx

+=代入得()12112121121121113333kxxxkxxxxxkxxxkxxx+−++==++）()()()()12121121212222122223yxyxkxxyyyxyxkxx−−−−===+++

+即2123yy−=+，解得4y=，所以直线12,APBP的交点P在直线4y=上.18.【答案】（1）20（2）2166,49（3）平均数为159，方差为203.【解析】（1）因女生样本中，身高在

160,165范围内的占比为42105=，故合唱团女生总体身高在160,165范围内的人数估计为250205=；（2）记总样本的平均数为x，标准差为S，由题意，男生样本（20人）的身高平均数为169y=，方差为239ys=，女生样本（10人）的身高平均数为160x=，方差2

15,xs=则2016910160166,30x+==222212139(169166)15(160166)4851493333S=+−++−=+=，故2166,49；（3）因160,15xs==，则()2,2xsxs−+，即()160215,160215−+

，约为()152.2,167.8，由样本数据知，()169160215,160215−+，为离群值.剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：()1160101691599x=−=；由10102222111110256000151010xiiiisxxx==

=−=−=可得，1021256150iix==，则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：102222111201699(25615028561925281)993iisxx==−−=−−=.【另解】由

分层抽样方差公式可得()()222291201519010103=+++=.19.【答案】（1）3π2（2）①11,0,22；②π6【解析】（1）由π2A=可知,BC在两个互相垂直（即交点处切线垂直）的大圆上，从而π2BC„，故π2ABAC=„.设π0,2AOBAOC

==，则ABAC==，从而2sin2ABAC==.注意到,BC到直线AO的距离均为sin，故2sinBC=.所以由BCAB=知BCAB=，所以2sin2sin2=，即2cos12=，这得到π2=.从而π2AOBAOC==，又,BC在两个互相

垂直的大圆上，故π2BOC=，从而,,OAOBOC两两垂直.从而由,OBOC在平面OBC内交于点O，可知OA垂直于平面OBC，而OA在平面OCA和平面OAB内，故平面OCA垂直于平面OBC，同理平面

OAB垂直于平面OBC，平面OAB垂直于平面OCA，所以三个平面,,OABOBCOCA两两垂直.故由球面角的定义知π2ABC===，所以球面ABC的内角和是3π2.（2）①由已知条件，可设331cos,cos,cos333AO

BBOCCOA===.如图，以O为原点，构建空间直角坐标系，则()0,0,0O.不妨设()361,0,0,,,033AB.设(),,Cpqr，则由1OAOBOC===可知1cos;3COAOAO

Cp===336cos;333BOCOBOCpq===+22221||OCpqr==++.故222122,,1333pqrpq===−−=.不妨设0r，则63r=，所以有126,,333C.设平面

,,OBCOCAOAB的法向量分别为123,,nnn，并设()(),,1,2,3iiiinuvwi==.则112233000OBnOCnOCnOAnOAnOBn======即11111222233336126033333126033336033uvuvwuvwu

uuv+=++=++===+=.从而1112223320300uvwuvwuv+===+===，故可以取()()()1232,1,00,3,1.0,0,1nnn=−=−=所以我们有2323231cosco

s,2nnAnnnn===313131coscos,0nnBnnnn===212121coscos,2nnCnnnn===∣.故球面ABC的三个内角的余弦值分别为11,0,22.（注：没统一作答不扣分）【另解】几何法：①由已知条件，可设331cos,c

os,cos333AOBBOCCOA===.所以AOBCOB≌，所以ABBC=.取AC中点D，则,,ACBDACODBDODD⊥⊥=，所以AC⊥平面OBD.作BPOD⊥于点P，又,ACBPODACD⊥=，所以BP⊥平面AOC.所以BPOA⊥，作PQOA⊥于

点,QPBPQP=，则OA⊥平面BPQ，所以BQOA⊥，所以BQP为二面角BOAC−−的平面角.有对称性知二面角BOCA−−的平面角大小等于BQP.因为coscoscoscosOQOPAODAOBDO

BAODOBOB===且2cos2cos1AOCAOD=−所以62πcos,cos324AODDOBDOB===所以sincossin1πcossinsin23PQOPAODDOBAODBQPBQPBQOBAOBAOB

=====.作DROB⊥于点R，因为,ACOBACDRD⊥=，所以OB⊥平面ACR，所以,OBAROBCR⊥⊥，即ARC为二面角AOBC−−的平面角.所以sincossin2πcossinsin24RDODDOBAOD

DOBARDARDAROAAOBAOB=====所以π22ARCARD==.故球面ABC的三个内角的余弦值分别为11,0,22.②先证明一个引理.引理：若球面ABC的三个球面角π,,0,2ABC，设该球面ABC的

面积为ABCS，则π.ABCSABC=++−.引理的证明：记球O的表面积为S，则4πS=.设,,ABC的对径点分别为,,ABC，则AB所在的大圆和AC所在的大圆，它们将球面分成了四个部分，其中面积较小的两个部分的面积之和1S等于球的表面积S的πA倍，即1,π

ASS=，类似可定义23,SS，且同理有23,ππBCSSSS==.而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有()12326ABCABCSSSSSS++=−+.所以1234ABCSSSSS++=+，故()12314ABCSSSSS=++

−14πππSABC=++−π.ABC=++−引理得证.回到原题，根据①的结论，有πππ,,.323ABC===.再由引理知球面ABC的面积ABCS=πππππ3236++−=.