【文档说明】重庆市第八中学2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷（二）（10月）数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.216 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市第八中学2025届高考适应性月考卷（二）数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷

上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设ab，是非零向量，则“abab−=+”是“,ab共线”的

（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由||||||

abab−=+，得22(||||)()abab−=+，整理得||||abab=−，而向量,ab均为非零向量，则,ab反向共线且||||ab，有//ab；反之，若//ab，,ab可能同向共线，也可能反向共

线，即||||||abab=，所以“abab−=+”是“,ab共线”的充分而不必要条件.故选：A2.若()i11z+=，则zz=（）A.1i+B.1i−C.iD.i−【答案】C【解析】【分析】根据题意先求z，进而用复数的除法运算即可求解.【

详解】由()i11z+=得()()1i1111iiiiz−=−=−=−−−，则()()()()1i1i1i2ii1i1i1i2zz−−−−−−====−+−+−−.故选：C.3.已知函数()fx的定义域为𝑅且导函数为𝑓′(𝑥)，函数()()2yxfx=+的图象如图，则下列说

法正确的是（）A.函数()fx的增区间是()()2,02,−+，B.函数()fx的减区间是()(),22,−−+，C.2x=是函数的极大值点D.0x=是函数的极大值点【答案】C【解析】【分析】根据函数()()2yxfx=+图象确定导函

数()fx的符号，确定函数的单调区间和极值.【详解】根据()()2yxfx=+的图象可得：当2x−时，()0fx，20x−时，()0fx，02x时，()0fx，2x时，()0fx

，所以函数()fx在(),0−上单调递减，在()0,2上单调递增，在()2,+上单调递减，因此函数()fx在0x=处取得极小值，在2x=处取得极大值.故选：C.4.已知ππ2sinsin44+=−，则cos2的值为（）A.23B.35C.34D.45

【答案】D【解析】【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求tan的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解.【详解】由条件可知，ππππ2sincos2cossinsincoscossin4444

+=−，即ππsincos3cossin044+=，得1tan3=−，所以22222222cossin1tan4cos2cossincossin1tan5−−=−===++.故选：D5.设等差数列{𝑎𝑛}的

前n项和为nS，已知774721Sa=−，则3a=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】【分析】结合等差数列na的前n项和公式以及等差数列的性质即可求出结果.【详解】设设等差数列na的公差为d，因为1774()772

aaSa+==，774721Sa=−，所以474(7721)aa=−，所以3328(7(1)42)daad=−++，解得31a=−.故选：B.6.已知函数()()()()0110exhxxfxx=−−，，.将函数()hx向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数4yx

=−，若()()22fxfx+，则实数x的取值范围是（）A.()1,2−B.()(),12,−−+C.()()2,12,−−+D.(),12,−−+【答案】C【解析】【分析】根据图象平移求出()411hxx=−−−，分析()fx的单调性和值域，画出()fx的

图象数形结合求解.【详解】由函数ℎ(𝑥)向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数4yx=−，所以()411hxx=−−−，当0x时，ℎ(𝑥)即()fx单调递增，又401x−−，则()13fx−，又0x时，()11exfx=−−单调递增，又10ex−，

则()21fx−−，作出()fx的图象如图，由()()22fxfx+，20x，则202xx+，解得2<<1x−−或2x，所以实数x的取值范围为()()2,12,−−+.故选：C.7.如果数列na对任意的*211,nnnnn

aaaa+++−−N，则称na为“速增数列”，若数列na为“速增数列”，且任意项12,1,3,2023nkaaaa===Z，则正整数k的最大值为（）A.62B.63C.64D.65【答案】C【解析】【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等

式并求解即得.【详解】由数列na为“速增数列”，11a=，23a=，且naZ.得对*nN，211nnnnaaaa+++−−，212aa−=，则323aa−，434aa−，L，1kkaak−−，相加得，2213143()()()(

)234kkaaaaaaaak−−+−+−++−++++，于是1(2)(1)2kkkaa+−−，即(2)(1)4044kk+−，而65624030=，66634158=，数列{(2)(1)}kk+−单调递增，所以k的最大值为

64.故选：C8.已知2e00abc，，，当0x时，e()()0xbaxcxx−+−恒成立，则3abc的最小值为（）A.3e27B.127C.3e9D.19【答案】A【解析】【分析】当0x时，不等式2e()()0xaxbxcx−−+恒成立，设e()xfx

ax=−，2()gxxbxc=−+，利用导数研究()fx的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数3e()bhbb=，再利用导数求出最小值.【详解】当0x时，原不等式化为2e()()0xaxbxcx−−+恒成

立，令e()xfxax=−，2()gxxbxc=−+，求导得2e(1)()xxfxx−=，由()0fx得，01x；由()0fx得，1x，函数()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，而(1)e0fa=−，当0x→时，()fx→+，当x→+时，()fx→+，

则函数()fx在(0,)+上有两个零点，记为1212,0()xxxx，显然当1xx或2xx时，()0fx，当12xxx时()0fx，要使()()0fxgx恒成立，则12,xx也是()gx的两个零点，于

是1212,bxxcxx=+=，由1212eexxaxx==，得1212exxaxx+=，即ebac=，因此33ebacbb=，令3e()bhbb=，求导得4e(3)()bbhbb−=，由()0hb，得03b，由()0hb得3b，函数()hb在(0,3

)上单调递减，在(3,)+上单调递增，3mine()(3)27hbh==，所以3abc的最小值为3e27.故选：A【点睛】关键点点睛：将原不等式恒成立转化为函数e()xfxax=−，2()gxxbxc=−+在(0,)+上有相同的零点是求解的关键.二、多

项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知点()()0110iiAxiiN，，与点()()10110iiByii

N，，关于点()2,5对称.若1x，210xx，，的平均数为a，中位数为b，方差为c，极差为d，则1210yyy，，，这组数满足（）A.平均数为4a−B.中位数为b−C.方差为2cD.极差为d【答案】AD【解析】分析】首先由条件确定4iiyx=−

，()110iiN，，再结合平均数，中位数，方差，极差公式，即可求解.【详解】由条件可知，4iixy+=，4iiyx=−，()110iiN，，A.由题意可知，数据1210,xxx，，的平均数为a，所以数

据1210yyy，，，的平均数为4a−，故A正确；B.设数据1210,xxx，，按从小到大排列，中位数为562xxb+=，则数据1210yyy，，，按从小到大排列为1091,,...,yyy，中位数为6582

422yybb+−==−，故B错误；C.由4iiyx=−，且数据1210,xxx，，的方差为c，所以数据1210yyy，，，的方差为()21cc−=，故C错误；D.由B可知，数据1210yyy，，，的极差为()11011010144yyxxxxd−=−−−=−=，故

D正确.【故选：AD10.若,OxOy是平面内两条相交成120角的数轴，1e和2e是x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量12OPxeye=+，则规定有序数对(,)xy为向量OP在坐标系xOy中的坐标，记作(),OPxy=uuur，设()()()1,1,1,1,1,OAOBOCt==−

=，则（）A.2OA=B.OAOB⊥C.若//BCOA，则3t=D.若ABC构成锐角三角形，则()2,5t【答案】BCD【解析】【分析】利用向量坐标的定义逐项运算求解可判断其正误.【详解】由(1,1)OA=，得12OAee=+，所以12122222122|1(2211c1|)11os20OAee

eeee=+=+=+=++，故A错误；由()()1,1,1,1OAOB==−，所以12OAee=+，12OBee=−+，所以121211212222)()0(OAOBeeeeeeeeee+=−=+−−+=+，所以OAOB⊥，故B正确；由()()1,1,1,O

BOCt=−=，可得12OBee=−+，12OCete=+，所以122(1)BCete=+−，又12OAee=+，//BCOA，所以BCOA=，所以1212)2((1)eteee+−=+，由平面向量基本定理可得21

t=−=，解得3t=，故C正确；由题意可得12ABe=−，122(1)BCete=+−，2(1)ACte=−，因为ABC构成锐角三角形，则A为锐角，则可得1202(1)12(1)()12AABttCete=−−

−==−−−，解得1t，所以AC与AB显然不共线，若B为锐角，则1221112]()42(1)410[2(1)2CABeteeeeeBtt=+−−=−−−=−+−，解得5t，若BC与AB共线，则可得1t=，所以5t且1t=，若

C为锐角，则121222222][(1)]2(1)(1)1(1)0[2(1)ACBCeteteeeetttt−=−+−−==++−+−，解得1t或2t，可得BC与AC不共线，则可得1t=，所以1t或2t，综上所述：ABC构成锐角三角形，则()2,5t，故D正确.故选：BC

D.11.已知函数()()πsin06fxx=+的图象在π0,2上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（）A.的取值范围是()4,5B.若()fx的图象关于点5π,018对称，则()fx在π

0,9上单调递增C.()fx在π0,4上的最小值不可能为12D.若()fx的图象关于直线π3x=对称，函数()()25π2,0,24gxfxbxb=+,是常数，()gx有奇数个零点

()12221,,,nnxxxxn+N,，则()12322125π23nnxxxxx++++++=【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得3πππ5π2262+，求得81433≤即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合81433≤求出3=，即可判断B；由ππππ,6

646x++和ππ5π466+，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得4ω=，函数()yfx=与2by=−的图象在25π0,24共9个交点，计算可判断D..【详解】对于A：因为()()πsin06fxx=+的图象在π02，上有且仅

有两条对称轴，因为π02x，，所以ππππ,6626x++，所以3πππ5π2262+，所以81433≤，故A错误；对于B：因为()fx的图象关于点5π018，对称，则5πππ,Z186kk+=

，即5318,Zkk=−+，因为81433≤，所以3=，当π09x，时，πππ3,662+，则()fxπ09，上单调递增，故B正确；对于C：当π04x，时，ππππ,6646x++，因为81433≤，所

以πππ8π5π464366++=，所以()fx在π04，上的最小值小于12，故C正确．对于D：因为()fx的图象关于直线π3x=对称，则ππππ,Z362kk+=+，即13,Zkk=+，又81433≤，所以4ω=，所

以()πsin46fxx=+，令函数()0gx=的根即为函数()yfx=与2by=−的交点的横坐标，作出图象如图所示，因为()π10sin62f==，25π25ππ13π3sin4sin2424632f

=+==，要使()gx有奇数个零点，则13222b−，由πππ4,Z622kxk+=+，得ππ,Z128kxk=+，函数()yfx=与2by=−的图象在25π0,24共9个交点，所以213928π5π23π,,,61212xxxxx

x+=+=+=，所以()12322125π23nnxxxxx++++++=，故D正确故选：BCD.在.【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法.三

、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知双曲线222:14yxCb−=的虚轴长为2，则双曲线C的渐近线方程是_____.【答案】2yx=【解析】【分析】首先求b，再求双曲线的渐近线方程.【详解】由条件可知，2,1ab==，所以双曲线的渐近线方程为2ay

xxb==.故答案：2yx=13.设等比数列na的前n项和为211nnnSSmmm−=++++，.令2nnbS=+，若nb也是等比数列，则m=_____.【答案】32【解析】【分析】首先求nS，再求nb，根据等比数列的性质

，2213bbb=，求得m的值，再验证等比数列的定义，即可求解.【详解】若1m=，则nSn=，2nbn=+，则nb是等差数列，不是等比数列，所以1m，则11nnmSm−=−，所以3221nnnmmbSm−−=+=−，0m

且1m，13b=，()()221332311mmmmbmmm−+−−===+−−，()()()()2232331113323111mmmmmmmmbmmmmm−+−−++−−====++−−−，因为数列nb是等比数列，所以()()22333mmm+=++，即2230mm−

=，32m=，当32m=时，322nnb=，132nnbb+=，数列nb是等比数列.所以32m=.为故答案为：3214.曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为()0rr的圆，定义其曲率1Kr=，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我

们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线()yfx在点()()00xfx，处的密切圆半径计算公式为()()()220031fxRfx+=，其中()fx表示()yfx=的导数，()fx表示()fx

的导数.已知曲线():lnCgxx=，则曲线C在点()()11g，处的曲率为_____；C上任一点处曲率的最大值为_____.【答案】①.24##124②.239##239【解析】【分析】首先求()()11g

，处的R，再代入曲率公式，即可求解；代入R公式，利用导数求函数的最小值，即可求解曲率的最大值.【详解】()1gxx=，()21gxx=−，()11g=，()11g=−，()32211221R+==−,所以曲线

C在点()()11g，处的曲率为12422k==；C上任一点处的()()()()33232222200211111fxxxRxfxx+++===−，0x，()()()()1312222222222231211

3120xxxxxxRxx+−++−−===，得22x=−（舍）或22x=，当20,2x时，0R，R单调递减，当2,2x+时，0R，R单调递增，所以当22x=时

，R取得最小值，此时曲率K取得最大值，最大值为239.故答案为：24；239四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.ABCV的内角、、ABC的对边分别为abc、、、已知22cos−=abcB.（

1）求角C；（2）若313bcCD==，、平分ACB交AB于点D，求CD的长.【答案】（1）π3（2）1237【解析】【分析】（1）首先由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及特殊角的函数值，即可求解；（2）根据

余弦定理求a，面积公式表示ABCACDBCDSSS=+△△△，即可求解.【小问1详解】由正弦定理可知，22sin2sin22sincosRARBRCB−=，即2sinsin2sincosABCB−=，则()2sinsin2sincosBCBCB

+−=，2sincos2cossinsin2sincosBCBCBCB+−=，2sincossin0BCB−=，且sin0B，所以1cos2C=，()0,πC，所以π3C=；【小问2详解】由余弦定理可知，2222coscababC=+−，即21339aa=−+，解得：4a=或1a=−

（舍），由ABCACDBCDSSS=+△△△，可知，111sin30sin30sin60222aCDbCDab+=，所以31237abCDab==+.16.已知正项数列na的前n项和为nS、且()112311nnnaaSa+=−=，.（1）求数列na的通项公式

;（2）若数列nb的前n项和为nT，且()32nnnbaa=+，证明:43nT.【答案】（1）31nan=−（2）证明见解析【解析】【小问1详解】当1n=时，()121231aaS=−，又11a=，解得24a=，当2n时，由()1231nnnaaS+=−，可得(

)11231nnnaaS−−=−，两式相减可得()()111231231nnnnnnaaaaSS+−−−−−=−，所以111()666nnnnnnaaSaaS+−−−−==，又数列na是正项数列，所以116nnaa+−−=，所以奇数项是以11a=为首项，6

为公差的等差数列，所以211(1)6166653(21)2naannnn−=+−=+−=−=−−，由116nnaa+−−=，可得偶数项是以24a=为首项，6为公差的等差数列，所以22(1)6466623(2)2naannnn=+−=+−=−=−，所以32na

n=−；【小问2详解】由（1）可得()3(2)23(32)333(3)333311nnnbnaannnnnn===−+−−−，所以123)111111111(9333)()()(366912nnTbbbbnn=++++=+−+−+−+−−+11

41333n−=+.17.在平面直角坐标系中，已知动点()Pxy，到直线43:3lx=的距离与点P到点()30F，的距离的比是233（1）求动点P的轨迹方程E；（2）若轨迹E与x轴的交点分别为AB、.过点()()40Ttt，的直线ATB

T、分别与轨迹E相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=（2）23【解析】【分析】（1）根据轨迹法，结合条件，即可求解；（2）根据坐标写出直线AT和BT的直线方程，并求出点,MN的坐标，即可表示四边形AMBN的面积，并

根据换元法和基本不等式求面积的最大值.【小问1详解】由题意可知，()224332333xxy−=−+，整理为2214xy+=，所以动点P的轨迹方程22:14xEy+=；【小问2详解】如图，设𝐴(−2,0)，()2,0B，()4,Tt，则直线():2

6tATyx=+，():22tBTyx=−，联立()222614tyxxy=++=，得()2222944360txtxt+++−=，则2243629Mtxt−−=+，得221829Mtxt−=+，269Mtyt=+联立()222214tyxx

y=−+=，得()222214440txtxt+−+−=，则224421Ntxt−=+，得22221Ntxt−=+，221Ntyt−=+，所以四边形AMBN的面积221624291ttStt=+++2222438622216919

3104tttttttttttt++=+==++++++,设323mtt=+，则2161644mSmmm==++，函数4mm+在区间)23,+单调递增，当23m=时，4mm+取得最小值，此时面积S取得最大值，最大

值为23.所以四边形AMBN面积的最大值为23.18.某企业生产的产品的质量指标值为([70,100])MM，其质量指标等级划分如下表:质量指标值M[70,75)[75,90)[90,100]质量指标等

级废品合格废品为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值M的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图:（1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别

为87.5和87，求,,abc的值;（2）若每件产品的质量指标值M与利润y（单位:万元）的关系如下表π(0)2x:质量指标值M[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]利润y（万元）10x−10cosxx2x5

x53x−以频率作为概率，期望作为决策依据，若0.01c=，对任意的π(0,)2x，生产该产品一定能盈利，求a的取值范围.【答案】（1）0.03,0.08,0.01abc===；（2）1311300100a.【解析】【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用

中位数、平均数的意义列式求解.（2）以频率作为概率，求出利润y的期望，由“π(0,)2x，0y恒成立”构造函数，利用导数求出a的范围.【小问1详解】由中位数为87.5，得5(0.02)2.52.55(0.040.02)0.5cabb+++=++=，则0.080.04

bca=+=，由平均值为87，得572.50.177.5582.5587.50.292.50.197.587cab+++++=，则72.582.53.2ca+=，联立解得0.01,0.03ca==，所以

0.03,0.08,0.01abc===.【小问2详解】以频率作为概率，每件产品的质量指标值M与利润y（单位:万元）及对应概率关系为：质量指标值M[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

利润y（万元）10x−10cosxx2x5x53x−P0.050.15a5b0.3依题意，5510.050.10.3ab+=−−−，即0.11ba=−，每件产品的利润0.5cos0.5cos110(90.11)xxyaxbxaxxxxx−=−+++−=++，π(0,)2

x，由对任意的π(0,)2x，生产该产品一定能盈利，得π(0,)2x，0y恒成立，此时20cos1(90.11)0yxax−++，令2()cos1(90.11)fxxax=−++，π(0,)2x，求导得()sin2(90.11)fxxax

=−++，令()sin2(90.11)gxxax=−++，π(0,)2x，求导得()cos2(90.11)gxxa=−++，而0cos1x，0a，当2(90.11)1a+，即13300a时，

()0gx，函数()fx在π(0,)2上单调递增，()(0)0fxf=，函数()fx在π(0,)2上单调递增，()(0)0fxf=，符合题意；当02(90.11)1a+时，则存在0π(0,)2x，使得00()gx=，由

()gx在π(0,)2上单调递增，得当0(0,)xx时，()0gx，函数()fx在0(0,)x上单调递减，0(0,)xx，()(0)0fxf=，函数()fx在0(0,)x上单调递减，()(0)0fxf=，不符合题意，由0.11

ba=−，及0b，得0.11a，因此1311300100a，所以a的取值范围是1311300100a.19.已知函数()()()22eexfxxxmx=−−+在()1,+上有两个极值点12,xx.（1）求m的

取值范围;（2）求证：123ln24xx++.【答案】（1）()222e,3e（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为()()21e2exgxxx=−−与ym=−在(1,+∞)上有两个不同

交点，利用导数可作出()gx的图象，采用数形结合的方式可求得结果；（2）由()22egx=−可求得12,xx的范围，根据极值点偏移的基本思想，构造函数()()()4Gxgxgx=−−、()()()3ln2Hxgxgx=−+−，通过导数可证得()

10Gx，()10Hx，进而证得结论.【小问1详解】()()21e2exfxxxm=−−+，令()0fx=得：()21e2exxxm−−=−，令()()21e2exgxxx=−−，()fx在(1,+∞)有两个极值点12,xx，()gx与ym=−在(1,+∞)上有两个不同交点；()2

e2exgxx=−，令()()hxgx=，则()()1e0xhxx=+在(1,+∞)上恒成立，()gx在(1,+∞)上单调递增，又()20g=，当()1,2x时，()0gx；当𝑥∈(2,+∞)时，()0gx，()gx在()1

,2上单调递减，在()2,+上单调递增，()212eg=−，()223eg=−，当x→+时，()gx→+，()gx大致图象如下图所示，结合图象可知：当223e2em−−−时，()gx与ym=−在(1,+∞)上有两个不同交点，222e3em，即m的取值范围为(

)222e,3e.【小问2详解】令()22egx=−，解得：1x=或2ln2x=+，12122ln2xx+；①先证：124xx+；要证124xx+，只需证214xx−，112x，12

43x−，又222ln2x+，()gx在()2,+上单调递增，只需证()()214gxgx−，又()()12gxgx=，即证()()114gxgx−，令()()()()412Gxgxgxx=−−，则()()4

2e4e4exxGxxx−=+−−，令()()()4e4e12xxTxxxx−=+−，则()()()41e5exxTxxx−=+−−，令()()()1e12xtxxx=+，则()()2e0xtxx=+，()tx()1,2

上单调递增，()()223etxt=，4yx=−在()1,2上单调递减，()45exyx−=−在()1,2上单调递减，()425e3exyx−=−，()()()41e5e0xxTxxx−=+−−，()Tx在()1,2上单调递减，()()224eTxT=，()0Gx

，()Gx在()1,2上单调递增，()()20GxG=，又()11,2x，()()1140gxgx−−，即()()114gxgx−，则124xx+得证；②再证：123ln2xx++若11ln2x+，则由22x知：123ln2xx++；若111ln2x+，只需证

213ln2xx+−，又13ln22x+−，()gx在()2,+上单调递增，只需证()()213ln2gxgx+−，()()21gxgx=，只需证()()113ln2gxgx+−，令()()(

)()3ln212Hxgxgxx=−+−，则()()()3ln2232e23ln2e4ee23ln2e4exxxxHxxxxx+−−=++−−=++−−，令()()PxHx=，则()()()31e24ln2exxPxxx−−−=

++，在令()()QxPx=，则()()()32e25ln2exxQxxx−=++−+，当()1,2x时，()0Qx，()Px在()1,2上单调递增，()()212e62ln2e0P=−+，()()()223e42ln2ee3e

60P=−+−，()1,2s，使得()0Ps=，且当()1,xs时，()0Px；当(),2xs时，()0Px；()Hx在()1,s上单调递减，在(),2s上单调递增，又()21eln2e0H=+

，()()()()222e21ln2e2e1ln2e0HsH=−++=+−，()1,rs，使得()0Hr=，且当()1,xr时，()0Hx；当(),2xr时，()0Hx；()Hx

在()1,r上单调递增，在(),2r上单调递减，又()()()112ln20Hgg=−+=，()()()1ln21ln220Hgg+=+−，当()1,1ln2x+时，()0Hx，()()()1113ln20Hxgxgx=−+−，即()()113ln2gxgx+−，则1

23ln2xx++得证；综上所述：123ln24xx++.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围、极值点偏移的问题；处理极值点偏移问题中的类似于12xxa+（()()12fxfx=）的问题的基本步骤如下：①求导确定()fx

的单调性，得到12,xx的范围；②构造函数()()()Fxfxfax=−−，求导后可得𝐹(𝑥)恒正或恒负；③得到()1fx与()1fax−的大小关系后，将()1fx置换为()2fx；④根据2x与1ax−所处的范围，结合()fx的

单调性，可得到2x与1ax−的大小关系，由此证得结论.