【文档说明】天津市南开区2023-2024学年高三上学期阶段性质量检测（一）数学+含解析.docx，共(25)页，1.020 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一）高三年级数学学科2023．11本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项

：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·球的表面积公式24πSR=，

其中R表示球的半径.·台体的体积公式()13VSSSSh=++台体，其中S，S分别为上、下底面面积，h为台体高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,0,1,2,3},{1,1}UA

=−=−，{1,2,3}B=−，则()UAB=ð（）.A.B.{1}C.{1,0,1}−D.{1,0,1,2}−2.命题p的否定为“xR，使得210xx−+”，则命题p为（）．A.xR，使得210xx−+B.x

R，使得210xx−+C.xR，使得210xx−+D.xR，使得210xx−+3.已知函数()fx部分图象如图，则函数()fx的解析式可能为（）.的A.()()22sinxxfxx−=+B

.()()22sinxxfxx−=−C.()()22cosxxfxx−=+D.()()22cosxxfxx−=−4.“2xx”的充要条件的是（）．A.1xB.11xC.22xxxx−=−D.233xx5.已知1.30.920.9,1.3,log3abc===，则（）A.acb

B.cabC.abcD.cba6.已知函数π()2cos2([0,π])3fxxx=−，且()()()121245fxfxxx==，则12xx+=（）A.5π6B.4π3C.5π3D.2π37.圆

台上、下底面的圆周都在一个表面积为100π的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）．A.61πB.(4125)π+C.61D.1838.已知函数()sin()fxAxB=++（其中0,0,0||A

π）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数π6fx+为偶函数；②2π()3fxf−；③π()26fxfx+−=；④曲线()yfx=在π12x=处切线斜率为2−所有正确结

论序号是（）A.①②B.①③④C.③④D.②③④9.对于任意的实数[0,2]x，总存在三个不同的实数y，使得()42244(2)(2)e0yxyaxyx++−+−+=成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）．A.2e,24−−B.2e652,42+−

C.65,2++D.2e2,4−+第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若2iz=−（i为虚数单位），则13iizz=

+__________．11.已知ππsinsin63−=+，则tan=__________．12.棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为棱1BB，AB的中点，P为棱11CD上一点，则三棱锥1APMN−的体积为___

_______．13.已知()1533log9xxfx−=−，则(1)f=__________，(5)f=__________．14.在ABC中，已知1,2,120ABACA===，点P是ABC所在平面上一点，且APxAByAC=+，若3BPBC=

uuruuur，则xy=__________；若1x=，则BPCP取得最小值时，实数y的值为__________．15.已知函数223()232fxxxxx=−+++−，若方程()23fxax=+至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是__________

．三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知集合2215πsin3sincos,0,,(21)20212AyyxxxxBxxmxm==+−=−++∣∣.的的（1）若1m=−，求()RABð

；（2）若BA，求实数m取值范围．17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知()()222222sinsin,bcaAacbB+−=+−13,cos4cC==.（1）证明：AB=；（2）求a；（3）求cos3B的值．18

.如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥平面ABCD，,,22,2ABCDCDADPCABCDBC⊥====∥，E是棱PB上一点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）若E是PB的中点，（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．19

.设函数2()(0,1)xxabfxaaa−=且是定义域为R的奇函数，且()yfx=的图象过点31,2.（1）求a，b的值；（2）设2()()(),gxxpxqpq=−−，若(),(())

()0xfgxfmxgx−+R（()gx为函数()gx的导数），试写出符合上述条件的函数()gx的一个解析式，并说明你的理由．20已知函数()2ln,fxaxxxa=+R．（1）若曲线()yfx=在1x=处的切线斜率为1，求a的值；（2）讨论()f

x的零点个数；的.（3）若()1,x+时，不等式()1eaxxfxx++恒成立，求a的最小值．2023-2024学年度第一学期阶段性质量监测（一）高三年级数学学科2023．11本试卷分第I卷（选择题）和

第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·球的表面积公式24πSR=，其中R表示球的半径.·台体的体积公式()13VSSSSh=++台体，其中S

，S分别为上、下底面面积，h为台体高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,0,1,2,3},{1,1}UA=−=−，{1,2,3}B=−，则()UAB=ð（）.A.B.{1}C

.{1,0,1}−D.{1,0,1,2}−【答案】C【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】由{1,0,1,2,3},{1,1}UA=−=−，{1,2,3}B=−，{0,1}UB=ð，则()UAB=ð{1,0,1}−.故选：C2.命题p的否定为“xR，使得210

xx−+”，则命题p为（）．A.xR，使得210xx−+B.xR，使得210xx−+C.xR，使得210xx−+D.xR，使得210xx−+【答案】D【解析】【分析】根据特称命题否定是全称命题，写出对应命题即可.

【详解】命题p的否定为“xR，使得210xx−+”，所以命题:pxR，使得210xx−+，故选：D3.已知函数()fx的部分图象如图，则函数()fx的解析式可能为（）.A.()()22sinxxfxx−=+B.()()22sinxxfxx−=−C.()()22cosxxfxx−=+D.

()()22cosxxfxx−=−【答案】A【解析】【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊点可排除D，即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所以()fx为奇函数，对于B：由()()22sinxxfxx−=

−，得：()()()22sin()22sin()xxxxfxxxfx−−−=−−=−=，()fx为偶函数，故可排除B；对于C：由()()22cosxxfxx−=+，得：()()()22cos()22cos()xxxxf

xxxfx−−−=+−=+=，为偶函数，故可排除C；由图知图象不经过点π(,0)2，而对于D：ππππ22cosf−=−=22022，故可排除D；故选：A4.“2xx”的充要条

件的是（）．的A.1xB.11xC.22xxxx−=−D.233xx【答案】B【解析】【分析】结合充要条件的定义逐个判断即可.【详解】由“2xx”，解集为(0,1)，A，解集为(,1)−，A错误；B，由11x，解集(0,1)，B

正确；C，由，即22xxxx−=−，即20xx−，解集[0,1]，C错误；D，由233xx，即2xx，即解集为(,0)(1,)−+，D错误.故选：B5.已知1.30.920.9,1.3,log3abc==

=，则（）A.acbB.cabC.abcD.cba【答案】C【解析】【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.详解】由.0131090.9.=，则1a，由0.9011.31.3=，.10931.31.31.=，则.b

113，由2221.5log8log3log9==，则.c15.则abc.故选：C6.已知函数π()2cos2([0,π])3fxxx=−，且()()()121245fxfxxx==，则12xx+=（）A.5π6B.4π3C.5π3D.2π3【答案

】B【解析】【【分析】由题意得出1π2cos(2)35x−=，2π2cos(2)35x−=，从而确定12πππ5π2,2[,]3333xx−−，它们关于πx=对称，从而可得结论．【详解】由已知1π42cos(2)35x−=，即1π2cos(2)35x−=，同理2π2cos(2)35x−=，

又12,[0,π]xx，即1ππ5π2[,]333x−−，2ππ5π2[,]333x−−，21052，12xx，当πππ2[,]333x−−时，1πcos(2)123x−，所以12ππ2(2)2π33xx−+−=，所以124π3xx+=，故选：

B．7.圆台上、下底面的圆周都在一个表面积为100π的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的体积为（）．A.61πB.(4125)π+C.61D.183【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得球的半径和圆台的高，然后利用圆台的体积公式即

可求得其体积.【详解】设球的半径为R，则24π100πR=，则5R=，圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O，则圆台的高2222543OOOQOQ

=−=−=，据此可得圆台的体积：()221π3554461π3V=++=.故选：A.8.已知函数()sin()fxAxB=++（其中0,0,0||Aπ）的部分图象如图所示，则下列结论中：①函数π6fx+

为偶函数；②2π()3fxf−；③π()26fxfx+−=；④曲线()yfx=在π12x=处的切线斜率为2−所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③④C.③④D.②③④【

答案】D【解析】【分析】由图象求得函数解析式，然后由正弦函数性质判断各选项①②③，利用导数的几何意义判断④．【详解】由题意2012A−==，2012B+==，ππ2[()]π36T=−−=，∴2π2T==，又π3π22π+,Z

32kk+=，又0π，∴5π6=，∴5π()sin(2)16fxx=++，ππ5π7π()sin(2)1sin(2)16366fxxx+=+++=++不是偶函数，①错；2π4π5ππ()sin

()1sin()103362f−=−++=−+=是()fx的最小值，②正确；5π2π,Z6xkk+=，π5π,Z212kxk=−，当1k=时可得π(,1)12是()yfx=图象的一个对称中心，∴π()26fxfx+−=，③正确；5π()2cos(2

)6fxx=+，ππ5π()2cos()21266f=+=−，④正确．正确的有②③④，故选：D．9.对于任意的实数[0,2]x，总存在三个不同的实数y，使得()42244(2)(2)e0yxyaxyx++−+−+=成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）．A.2e,24−

−B.2e652,42+−C.65,2++D.2e2,4−+【答案】A【解析】【分析】先分离,xy，构造关于y的函数，然后画出图像，根据图像有三个交点，求出参数的取值范围.【详解】()()()()()

()()422424422e04422eyyxyaxyxxaxyx++−+−+=++−+=+4244e2yxaxy++−=+，令()2eyfyy=，则()()243e2e2eyyyyyyfyyy−

−==，令()0fy，解得2y或者0y，令()0fy，解得02y，所以()fy在(),0−和()2,+单调递增，在()0,2单调递减，如图所示，要使得直线与函数()fy有3个交点，则直线要在点A上方，而()()

2222424224442422222xxxxxxxx++++++===++++，当且仅当222xx==时取到等号，所以4min4422xaax++−=−+，所以只需满足22ee

2244aa−−即可，故选：A【点睛】方法点睛：分离参数后再构造函数，由解的问题转化为两个函数交点问题是处理含参导数问题的常用方法.第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共

105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若2iz=−（i为虚数单位），则13iizz=+__________．【答案】15i2+【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解.【详解】由2iz=−可得()()2i2i5zz=−+=，

所以()()()213i5i13i13i1365ii5i5i5i2615izz−+====++++−，故答案为：15i2+11.已知ππsinsin63−=+，则tan=__________．【答案】23+##32+【解析】【分析】

根据和差角公式，结合同角关系即可求解.【详解】由ππsinsin63−=+可得ππππsincoscossinsincoscossin6633−=+，所以3113sincossin

cos2222−=+，即3113sin13sincostan2322cos31−++====+−，故答案为：23+12.棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为棱1BB，AB的中点，P为棱11CD上一点，则三棱锥1APMN−的体积为_________

_．【答案】1【解析】【分析】换底（顶点），即由11APMNPAMNVV−−=计算．【详解】由题意P到平面1AMN的距离等于112DA=，又12111322111212222AMNS=−−−=△，∴11132132APMNPAMNVV−

−===，故答案为：1.13.已知()1533log9xxfx−=−，则(1)f=__________，(5)f=__________．【答案】①.13②.13−【解析】【分析】令3xt=，求得()ft后，由1t=计算(1)f，由5t=计算(5)f．【详解】∵()15553333log9l

og92log333xxxxxxfx−=−=−=−，令3xt=，则51()2log3fttt=−，∴511(1)12log133f=−=，511(5)52log533f=−=−．故答案：13；13−．14.在ABC中，已知1,2,120ABACA===，点P是ABC所

在平面上一点，且APxAByAC=+，若3BPBC=uuruuur，则xy=__________；若1x=，则BPCP取得最小值时，实数y的值为__________．【答案】①.6−②.58##0.625【解析】【分析】根据向量的线性运算即可求解空1，

根据数量积的运算律，结合二次函数的性质即可求解最值.【详解】()3332APABBPABBCABACABACAB=+=+=+−=−,所以2,3xy=−=，故6xy=−，当1x=时，APAByAC=+，()()()()211BPCPAPABAPACyACAByACyACAByyAC=−−=

+−=+−，由于21cos120121,42ACABACABAC==−=−=，所以()22145BPCPyACAByyACyy=+−=−，故当58y=时，此时()245fyyy=−，故BPCP最小，故答案为

：6−，5815.已知函数223()232fxxxxx=−+++−，若方程()23fxax=+至少有三个不同的实根，则实数a的取值范围是__________．为【答案】11,22−【解析】【分析】作出函数的图象，利用两函数图象的交

点个数，结合参数对应的几何意义求参数范围即可.【详解】由题意知，,()()xfxfx−=R，则()fx是偶函数，则其图象关于y轴对称.令2230xx+−，解得3x−（舍），或1x.此时，222323xxxx+−=+−，令2230xx+−，解得01x

.此时，222323xxxx+−=−−+，则当1x时，2()2fxx=；当01x时，()6464fxxx=−=−；由函数的解析式与图象的对称性作出函数()fx的图象.直线23yax=+过定点(0,3)，且2a为直线的斜率，若方程()23fxax=+至少有三个不同的实根，则直线

23yax=+与()fx的图象至少有三个公共点，由图可知21,1a−，解得11,22a−，故答案为：11,22−.三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤.16.已知集合2215πsin3sincos,0,,(21)20212AyyxxxxBxxmxm==+−=−++∣∣.（1）若1m=−，求()RABð；（

2）若BA，求实数m的取值范围．【答案】（1）R{1}AB=ðI（2）1142m−【解析】【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换将函数化简，结合正弦型函数的值域即可化简集合A，再由集合的运算，即可得到结果

；（2）根据题意，分12m=，12m以及12m讨论，即可得到结果.【小问1详解】211cos231sin3sincossin22222xyxxxx−=+−=+−31πsin2cos2sin2226xxx=−=−，因为5π012x，所以2π2

663ππ−−x，所以1πsin2126x−−，即112Ayy=−∣.若1m=−，则220{21}Bxxxxx=+−=−∣∣，从而R{2Bxx=−∣ð或1x

．所以R{1}AB=ðI．【小问2详解】{(1)(2)0}Bxxxm=−−∣，①当21m=，即12m=时，B=，所以BA．②当21m，即12m时，{12}Bxxm=∣，所以BAØ．③当21m，即12m时，{21}Bxmx=∣，若BA

，则122m−，所以14m−.综上，1142m−.17.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知()()222222sinsin,bcaAacbB+−=+−13,cos4cC==.（1）证明：AB=；（2）求a；（3）求cos3B

的值．【答案】（1）证明见解析（2）6a=（3）368−【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理将原式化简，再由正弦定理可得coscosAB=，即可证明；（2）由13,cos,4cCab===结合余弦定理即可得到结果；（3）由条件可得

cos3cos(π)cos()BBCBC=+−=−−，然后结合两角差的余弦公式及诱导公式计算即可得到结果.【小问1详解】因为()()222222sinsinbcaAacbB+−=+−，所以由余弦定理可得2cossin2cossinbcAAacBB=，即cossincossinbAAaBB=

又由正弦定理sinsinabAB=，得coscosAB=，因为角A，B为ABC的内角，所以AB=．【小问2详解】由（1）知AB=，所以ab=．又13,cos4cC==，由余弦定理2222coscababC=+−，得2219224aa=−，即2392a=，解得6a

=.【小问3详解】由1cos4C=，得15sin4C=，因为21coscos(π2)cos212cos4CBBB=−=−=−=，因为AB=，所以B为锐角，所以610cos,sin44BB==.所以cos3cos(π)cos()BBCBC=+−=−−coscossinsinBCBC

=−−6110153644448=−−=−.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PC⊥平面ABCD，,,22,2ABCDCDADPCABCDBC⊥====∥，E是棱PB上一点．（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；（2）

若E是PB的中点，（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（i）23；（ii）33．【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由两平面的法向量垂直得证两平面垂直；（2）（i）由空间向量法求线

面角；（ii）由空间向量法求面面角.【小问1详解】因为,,22,2ABCDCDADABCDBC⊥===∥，取AB中点M，连接CM，则CMAB⊥，221CMBCBM=−=又PC⊥平面ABCD，,CMCD平面ABCD，所以,CPCMCPCD⊥⊥，故以CM为x轴，CD为

y轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)CABP−，所以(1,1,2),(1,1,2),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)PAPBCACBCP

=−=−−==−=．因为0,0CACBCACP==，所以,CACBCACP⊥⊥，所以CA⊥平面PBC，即CA为平面PBC的法向量．设(1,1,2)PEPB==−−，则(,,22)CECPPE=+=−−．设平

面EAC的法向量为()111,,mxyz=r，，则0,0,mCAmCE==即()111110,220,xyxyz+=−+−=令11x=−，则()1,1,m=−−．因为0CAm=，所以平面EAC⊥平面PBC．【小问2详解】因为E是PB

的中点，所以1,(1,1,1)2m==−−．（i）设直线PA与平面EAC所成角为，则||22sin|cos,|3||||36mPAmPAmPA====，故直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23．（i）显然平面PDC的法向量为(1,0

,0)n=，设平面PDC和平面EAC的夹角为，则||13cos|cos,|||||33mnmnmn====．故平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值为33．19.设函数2()(0,1)xxabfx

aaa−=且是定义域为R的奇函数，且()yfx=的图象过点31,2.（1）求a，b的值；（2）设2()()(),gxxpxqpq=−−，若(),(())()0xfgxfmxgx−+R（()gx为函数()gx的导数），试写出符合上述条件的

函数()gx的一个解析式，并说明你的理由．【答案】（1）2（2）2()(1)gxxx=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和过定点，代入即可；（2）结合奇函数和单调性性，可化为()()mxgxgx对xR恒成立，整理的2()(13)[(2)()]0xqm

xmpqpqxpq−−++−++，分13m与13m=讨论即可.【小问1详解】因为()fx是定义域为R的奇函数，所以()()fxfx−=−，即22xxxxababaa−−−−=−，整理得()(1)0xxbaa−−+

=，解得1b=，所以()xxfxaa−=−，又()yfx=的图象过点31,2，则132aa−−=，解得2a=或12a=−，又0a，且1a，所以2a=．【小问2详解】因为()fx为奇函数，所以

()(())()0fgxfmxgx−+，得()()(())fmxgxfgx．由（1）可得，()22xxfx−=−，因为()()22ln20xxfx−=+，所以()fx为R上的单调递增函数，所以()()mxgxgx对xR恒成立．因为2()()(

)gxxpxq=−−，2()()2()()gxxqxpxq=−+−−，所以2()(32)()()mxxqxpqxpxq−−−−−，整理得2()(13)[(2)()]0xqmxmpqpqxpq−−++−++，*当13m时，左边是一个一次因式乘一个恒正（或恒

负）的二次三项式，或者是三个一次因式的积，无论哪种情况，总有一个一次因式的指数是奇次的，这个因式的零点左右的符号不同，因此不可能恒非负，所以13m=．所以*式化为()[(2)3]0xqpqxpq−−++恒

成立，所以320,2pqpqqpq+=+．①若0q=，则0p；②若0q，则312ppq=+，即pq=，与pq矛盾，舍去．综上，1,0,03mpq==，所以2()(1)gxxx=+为满足条件的()gx的一个解析式．（答案不唯一）20.已知函数()2ln,fxaxxx

a=+R．（1）若曲线()yfx=在1x=处的切线斜率为1，求a的值；（2）讨论()fx的零点个数；（3）若()1,x+时，不等式()1eaxxfxx++恒成立，求a最小值．【答案】（1）1a=−（2）答案见解析（3）e−．【解析】【分析】（1）根据切线的斜率

和导函数的关系直接代入求解即可；（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据a最小时为负确定单调性区间，最后求出a的最小

值.【小问1详解】()()ln12fxaxx=++，依题意，()121fa=+=，解得1a=−．【小问2详解】()2lnfxaxxx=+零点ln0axx+=的根．设()()()ln,0,,1agxaxxxgxx=++=+，①当0a

=时，()()(),0,,gxxxgx=+没有零点；的的②当0a时，()0gx，所以()gx在()0,+内是增函数．取111e,e1e0aaaxg−−−==−+，取()1,110xg==，所以()gx在()0,+上有且仅有一个零点

；③当a<0时，当0xa−时，()0gx，当xa−时，()0gx，所以()gx在()0,a−上单调递减，在(),a−+上单调递增，从而()()()minlngxgaaaa=−=−−．当e0a−时，()()()

minln0,gxaaagx=−−没有零点；当ae=−时，()()()minln0,gxaaagx=−−=在()0,+上有且仅有一个零点；当ea−时，()()minln0gxaaa=−−，取111e,e1e0aaaxg−−−==−+，取()

1,110xg==，所以()gx在(0,)+上有两个零点．综上，当e0a−时，()fx没有零点；当ae=−或0a时，()fx有且仅有一个零点；当ea−时，()fx有两个零点．【小问3详解】()121lneeaaxxxxfxxaxxxx+++++111lnlnlnlneeea

aaaaxxxxxaxxxxx+−=−−−，构造函数()ln,0hxxxx=−，则()1eaxhhx．而()11hxx=−，令()0hx，解得()1,x+，此时()hx单调递增，令()0hx

，解得()0hx，此时()hx单调递减，而当1x时，101ex，ax与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时01ax．因为当01x时，()hx单调递减，故1eax

x，两边取对数得，ln(1)xaxx−，所以lnxax−，令()lnxxx=−，则21ln()(ln)xxx−=，令()0x得，1ex，令()0x得，xe，所以()x在(1,e)单调递增，在(e,)

+单调递减，所以()(e)ex=−，故a的最小值是e−．【点睛】关键点睛：本题难度大，需要不断的化简最后同构得到相关函数，再通过相关函数的单调性求解参数，要求较高.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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