【文档说明】天津市静海区第一中学2023届高三上学期12月学业能力调研数学试卷 含答案.doc，共(16)页，2.066 MB，由小赞的店铺上传

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静海一中2022-2023第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷一､选择题：每小题5分，共45分.1.已知全集U=R,集合2N23Axxx+=−，2R0xBxx−=，则()UAB=ð（）A

.3B.0,3C.2,3D.0,2,32.设命题P：已知定义在(0,)+的可导函数()fx，其导函数()lnfxxxx=−，存在Rk，使得1212(0,,,)xxxx+，()()1212fxfxkxx−−恒成立.命题Q：存在Rk，使得()22nankn=−−为递

增数列.则Q是P的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数()lneexxxxfx−=−的图像大致是（）A.B.C.

D.4.若()0,πa，22sincos5aa+=，则tana=（）A.35-B.45−C.34−D.14−5.已知3ea=，eπb=，πec=，则（）A.cabB.bcaC.acbD.cba6.已知()ππ32sincos262fxxx=+

−−，则()fx的最大值为（）A.12B.2C.1D.327.等差数列na，nb前n项和分别为nS与nT，且(32)(21)nnnTnS+=+，则537bba+=（）A.3041B.3043C.1823D.1846

8.已知函数()cos3sin(,0)33fxaxxa=−+−R是偶函数.若将曲线()2yfx=向左平移π12个单位长度后得到曲线()ygx=，若方程()0gx=在7π0,12有且仅有两个不相等实根，则实数的取值范围是（）A.512,77

B.8,27C.5,27D.812,779.已知函数2,1eln()52,711xxxfxxxx=−−−−，若函数()()()22432yfxafxa=+−+−恰有6个零点，则实数a的取值范围是（）A.646,5

21B.63,52C.61,5D.346,221二､填空题：每小题5分，共30分.10.已知()33fxxx=+，x为实数且满足33863(1)1xxxx−−++…，则()fx的最大值为___________．11

.已知数列na的通项公式为()1(31)nnan=−−，nS为数列na的前n项和，则使得35nS−的n的最小值为___________.12.若,abR，且221ba−=，则22abab+−的最大值为___________.13.已知函数π()2sin()0,2fxx

=+的图象与y轴的交点为()0,3且在ππ,63上单调递减，且ππ,86a，使得πππcossin434fa−，则的取值范围为___________.14.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a，

b，c，2π3A=，若tanaA=−，则ABC面积的最大值为___________.22bc+的最小值为___________.15.已知正实数a，b满足22ab+=，则()()22411ab++的最小值为________

___.22242214abbaab−+−−+++的最小值为___________.三､解答题：（本大题共3小题，共36分）16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sincos2AA+=，2222cba−=.（1）求tanC的值.（2）求πcos24B+的值.（3）若

线段AC上存在一点H且2BH=，求ABHS的取值范围.17.已知函数2cos2()2sincos33cos312xfxxxx=++−+.将周期为π的函数()fx图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图像对应的函数为()gx.（1）求()gx的单调区间；（2）求()gx图像的对称轴

方程和对称中心坐标.18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，ADBC∥，90ADC=，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，2PAPD==，112BCAD==，3CD=.（1）求证：PE∥平面BMD；（2）求直线P

B与平面BMD所成角的余弦值；（3）线段PA上是否存在一点N使得平面BMN与平面BMD所成角的余弦值为32423，若存在，求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由.19.已知数列na为等差数列，数列

nb为等比数列，且47a=，()()123112abb++=+，2132aba+=，()23324Nababn+=+.（1）求na，nb的通项公式.（2）已知2,(34),nnnnnnnabncabnaa

+=−为奇数为偶数，求数列nc的前2n项和2nT.（3）求证：12112log3niiiab=+.20.已知函数()lnfxxax=−.（1）求()fx的单调区间.（2）若()fx存在两个不同的零点1

2,xx且12xx.求证：12222sinexxaa−+.答案1-9ABDCDCABA10.411.2312.213.47,3214.①.34②.215.①.4②.122+16.（1）依题意ππsin

cos2sin2,sin144AAAA+=+=+=，由于ππ5π0π,444AA+，所以πππ,424AA+==.由2222cba−=得2222cab=−，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，所以

222232,222cbbcbcbc−=+−=，所以222222229188cos0222accacabcCababab+−++−===，所以π02C.由222222952828ccabcc=−=−=得522ac=，由正弦定理得π22sinsin524,sinsin

2255aACcC====，所以21cos1sin5CC=−=，所以sintan2cosCCC==.（2）()21232sinsinsincoscossin25525BACACAC=+=+=+=，()2212coscossinsincoscos25525BACAC

AC=−+=−=−=，B为锐角，所以π22cos2cos2sin2422BBB+=−()2222cos12sincos22BBB=−−222cos2sincos2BBB=−−225272101010=−−=−.（3）2322314sin22sincos2,co

s22cos12151052525BBBBB====−=−=−，()π272sin2sin2cos204210BBB−=−=，()π22cos2sin2cos204210BBB−=+=−，所以π24B

−是第二象限角，由于211cos22510B==，所以ππ32B，5ππ3π21244B−，结合π24B−是第二象限角可知ππ3π2244B−.设ABH=，则πππ0,22444BB−−

−，在三角形ABH中，由正弦定理得sin2sin,22sinsinsinsin22BHAHBHAHAA====，()()2sinsinsincos2AHBA=+=+，所以()112sin22sin2sincos222ABHSAHBHAHB==+2sinsi

n2sincossin2cos21=+=−+π2sin214=−+，由于πππ22444B−−−且ππ3π2244B−，所以2ππsin21,12sin22244−−−−

，π02sin21214−++，所以ABHS的取值范围是(0,21+.17.（1）2cos2()2sincos33cos312xfxxxx=++−+cos2

1cos2sin2333122xxx+=++−+3sin23cos212xx=+−+π32sin(2)132x=+−+则π3()2sin()132gxx=+−+由函数()fx周期为π，可得2ππ2=，解之得1

=当1=时，π3()2sin()132gxx=+−+由22232πππππkxk−+++，可得5ππ2π2π66kxk−++则()gx的单调增区间为5ππ2π,2π,Z66kkk−++由ππ3π2π2π232kxk+++，可得π7π2π2π66kx

k++则()gx的单调减区间为π7π2π,2π,Z66kkk++当1=−时，π32π3()2sin()12sin()13232gxxx=−+−+=+−+由π2ππ2π2π232kxk−+++，可得7ππ2π2π66kxk−+−+则()gx的单调增区间为7

ππ2π,2π,Z66kkk−+−+由π2π3π2π2π232kxk+++，可得π5π2π2π66kxk−++则()gx的单调减区间为π5π2π,2π,Z66kkk−++

（2）当1=时，π3()2sin()132gxx=+−+由πππ32xk+=+，可得ππ6xk=+则()gx的对称轴方程为ππ,6xk=+Zk由ππ3xk+=，可得ππ3xk=−+则()gx的对称中心为π3π,132k−+−+

，Zk当1=−时，π32π3()2sin()12sin()13232gxxx=−+−+=+−+由2πππ32xk+=+，可得ππ6xk=−+则()gx的对称轴方程为ππ,6xk=−+Zk由2ππ

3xk+=，可得2ππ3xk=−+则()gx的对称中心为2π3π,132k−+−+，Zk18.（1）连接EC交BD于F，再连接MF，由已知ED与BC平行且相等，DEBC是平行四边形，因此BD与CE互相平分，F是EC中点

，又M是PC中点，则//MFPE，PE平面BDM，MF平面BDM，所以//PE平面BDM；（2）90ADC=，则DEBC是矩形，BEAD⊥，PAPD=，E是AD中点，则PEAD⊥，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面A

BCDAD=，PE平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，2222213PEPAAE=−=−=，分别以,,EAEBEP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A，(0,3,0)B，(1,0,0)D−，(0,0,3)P，(1,3,0)C−，因此133(,,)222M−，(0,3,3

)PB=−，(1,3,0)BD=−−，133(,,)222BM=−−，设平面BDM的一个法向量是(,,)nxyz=，则301330222nBDxynBMxyz=−−==−−+=，令3x=，则1y=−，0z=，即(3,1,0)n=−，设直线PB与平面

BMD所成角为，则32sin462PBnPBn−===，214cos1sin4=−=；（3）假设存在满足题意的点N，设PNPA=（01），(1,0,3)PA=−，(,3,33)BNPNPB=−=−−+，设平面BMN的一个法向量是000(,,)mxyz=

，则0000001330222331)0mBMxyzmBNxyz=−−+==−+−=（，取03=x，则01y=，01z+=，即11(3,,)m+=，13mn=−，2n=，2221(1)3m+=++，由题意2221

332cos,4231(1)23mnmnmn−===+++，解得19=或23=，又2PA=，所以29PN=或43PN=．所以存在满足题意的点N且29PN=或43PN=．19.（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q,由2132ab

a+=得2321baa=−①，将①代入23324abab=+，得222123()4aaaab−=+，即322221()4baaaa−=−②将①代入()()123112abb++=+，得()()21221112abaa++=−+③，将②代入③，得()()221

2213211412aaaaaaa+−−+=−+，又47a=，所以()()222211111311111(2)412237aadadadaaadadaad++++−−+=++−++=

解得：112ad==，所以21nan=−，所以38b=，24b=，故122bq==，所以2nnb=.（2）当n是奇数时，(21)2nncn=−，当n是偶数时，2(67)222(21)(23)2321nnnnncnnnn+−==−−++−，则211352

12111(43)2125292(43)2nnknkkkckn−−−===−=++++−①357212114125292(43)2nnkkcn+−==++++−②①-②得：35212121132424242(43)2nnnkkcn−+−=−=+++

+−−即352121211324(222)(43)2nnnkkcn−+−=−=++++−−=31212(14)24(43)214nnn−+−+−−−化简得：211nkkc−==21(1213)2269nn+−+.222426422221122

222222()()()()4341731174341kknnnnkkkckknn++===−=−+−++−+−+−22212244433433nnnn++=−=−++所以21122212111(1213)2144943nnnnnnkkkk

kknTcccn++−===−+==+=++.（3）212)21111loglog(1)2(2iiibiiai+==++22112(21)(21)(21)2121iiiiii==−+−+−+，当2n时，11111111121(21)133557212

1321niiinnn=+−+−++−=−+−++，因为1021n+，所以2123213n−+；当1n=时，1233也成立.故12112log3niiiab=+.20.（1）因为()lnfxxax=−，所以()11(0)axfxaxxx−=−=，(i)当0a

时，()0fx¢>恒成立，()fx在(0,)+单调递增；(ii)当0a时，令()0fx=得，1xa=，1(0,)xa时，()0fx¢>，()fx在1(0,)a单调递增；1(,)xa+时，()0fx，()fx在1(,)a+单调递减；（2）因为()fx存在两个不同的零点12,

xx且12xx.所以0a且10fa，即1ln10a−，解得10ea，且121xxa，根据题意()1ln10(0)faaaa=−=−=−，所以()10fa=−，所以()11elnee1e1e=0(0<)eefaaa=−=−−，所以()e0f，

又10ea，所以1211exxa，令()2(1)ln1xpxxx−=−+，所以()()()()()()222222112(1)2(1)4(1)1111xxxxxpxxxxxxxxx++−−−=−=−=++++，所以()0px，所以()2(1)ln1xpxxx−=−+为增函

数，又1211exxa，所以211xx，所以21(1)0xppx=，所以2121212(1)ln1xxxxxx−+，所以2121212()1ln2xxxxxx−+，所以2121212()1(lnln)2xxxxxx−−+，又因为1122ln0,ln0,x

axxax−=−=所以2121(lnln)()xxaxx−=−，所以2121212()1()2xxaxxxx−−+，所以212121212()1()()2xxaxxxxxx−+−+，所以2214()xxa+，所以212xxa+，所以1222122e22sinxx

xxxxa+++++（1sinx>0）,所以1222sinxxa++，所以不等式左边得证；证明122sinxxae+，而11sin1xx，只需证明122xxae+，又12()()0,fxfx==所以1212lnln,xxaxx==由对数均值不等式ln

ln2abababab−+−，所以()1212121212121lnln2xxxxxxxxxxaxxa−−+==−−，所以需证12122xxxxe+，即证12112xxe+，令221xtx=，所以1212lnlnxxxx=可以转化为：122lnln(1)1txtt=

−，所以需要证明112(1)txe+，取对数得1111lnlnln222txt+−+−，即证212ln11lnln2212tttt+−+−−，即证212ln11lnln20212tttt+−+−+−，

即证2211(1)lnln(1)022ttttt+−−+−，设2211()(1)lnln(1)22tmttttt+=−−+−，2111()2ln(1)ln22ttmttttttt++=+−−+，当1t时，()0mt，所以(

)(1)0mtm=，所以得证，所以右式得证；所以12222sinxxaae−+.