【文档说明】合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试题.docx，共(12)页，119.225 KB，由小赞的店铺上传

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合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥工大附中命题教师：王峰审题教师：郑贤玲一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线𝑥+√3𝑦−1=0的倾斜角为()A.

𝜋3B.𝜋6C.2𝜋3D.5𝜋62.如右图，直三棱柱ABC–𝐴1𝐵1𝐶1中，若CA⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎，CB⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，则𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.𝑎⃗⃗+𝑏⃗−𝑐⃗B.𝑎⃗⃗−𝑏⃗+𝑐⃗C.𝑏⃗−𝑎⃗⃗−

𝑐⃗D.𝑏⃗−𝑎⃗⃗+𝑐⃗3.已知圆的方程𝑥2+𝑦2+2𝑎𝑥+9=0圆心坐标为(5,0)，则它的半径为()A.3B.√5C.5D.44.如果向量𝑎⃗⃗=(2,−1,3)，𝑏⃗=(−1,4,

2)，𝑐⃗=(1,−1,𝑚)共面，则实数𝑚的值是()A.−1B.1C.−5D.55.已知圆𝐶经过两点𝐴(0,2)，𝐵(4,6)，且圆心𝐶在直线𝑙:2𝑥−𝑦−3=0上，则圆𝐶的方程为()A.𝑥2+𝑦2−6𝑦−16

=0B.𝑥2+𝑦2−2𝑥+2𝑦−8=0C.𝑥2+𝑦2−6𝑥−6𝑦+8=0D.𝑥2+𝑦2−2𝑥+2𝑦−56=06.如右图，已知点𝑃在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′的对角线𝐵𝐷′上，∠𝑃𝐷𝐶

=60∘.设𝐷′𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐷′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则𝜆的值为()A.12B.√22C.√2−1D.3−2√27.从直线𝑥−𝑦+3=0上的点向圆𝑥2+𝑦2−4𝑥−4𝑦+7=0引切线，则切线长的最小值为()A.3√22B.√142C.3√2

4D.3√22−18.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，若棱长为1，𝐸，𝐹分别为线段𝐵1𝐷1，𝐵𝐶1上的动点，则下列结论错误的是()A.𝐷𝐵1⊥平面𝐴𝐶𝐷1B

.直线𝐴𝐸与平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷所成角的正弦值为定值13C.平面𝐴1𝐶1𝐵//平面𝐴𝐶𝐷1D.点𝐹到平面𝐴𝐶𝐷1的距离为定值√33二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合

题目要求）9.正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1，体对角线𝐴𝐶1与𝐵𝐷1，相交于点𝑂，则()A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1B.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√2C.𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=12D.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=110.下列说法中，正确的有()A.点斜式𝑦−𝑦1=𝑘(𝑥−𝑥1)可以表示任何直线B.直线𝑦=4𝑥−2在𝑦轴上的截距为−2C.点𝑃(2,1)到直线的𝑎𝑥+(𝑎−1)

𝑦+𝑎+3=0的最大距离为2√10D.直线2𝑥−𝑦+3=0关于𝑥−𝑦=0对称的直线方程是𝑥−2𝑦+3=011.已知𝑎⃗⃗=(1,0,1)，𝑏⃗=(−1,2,−3)，𝑐⃗=(2,−4,6

)，则下列结论正确的是()A.𝑎⊥𝑏⃗B.𝑏⃗//𝑐C.<𝑎⃗⃗,𝑐⃗>为钝角D.𝑐在𝑎方向上的投影向量为(4,0,4)12.以下四个命题表述正确的是()A.直线(3+𝑚)𝑥+4𝑦−3+3𝑚=0(𝑚∈𝐑)恒过定点(−3,−3)B.已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2=4，点𝑃为

直线𝑥4+𝑦2=1上一动点，过点𝑃向圆𝐶引两条切线𝑃𝐴、𝑃𝐵，𝐴、𝐵为切点，则直线𝐴𝐵经过定点(1,2)C.曲线𝐶1:𝑥2+𝑦2+2𝑥=0与曲线𝐶2:𝑥2+𝑦2−4𝑥−8�

�+𝑚=0恰有三条公切线，则𝑚=4D.圆𝑥2+𝑦2=4上存在4个点到直线𝑙:𝑥−𝑦+√2=0的距离都等于1三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知𝑎∈𝑅，方程𝑎2𝑥2+(𝑎+2)𝑦2+4𝑥+8𝑦+5𝑎=0表示圆

，圆心为．14.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为2，点𝐸是𝐴1𝐵1的中点，则点𝐴到直线𝐵𝐸的距离是．15.若圆𝑥2+𝑦2=4，与圆𝐶：𝑥2+𝑦2+2𝑦−6=0相交于𝐴，𝐵，则公共弦𝐴𝐵的长为_____

_____．16.如图，把边长为2的正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿对角线𝐴𝐶折起，设二面角𝐷−𝐴𝐶−𝐵的大小为𝜃，异面直线𝐴𝐵与𝐶𝐷所成角为𝛼，当𝜃∈[𝜋3,2𝜋3]时，cos𝛼的取值范围是．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10分)求经过直线𝑙1：2𝑥−𝑦+4=0与直线𝑙2：𝑥−𝑦+5=0的交点𝑀，且满足下列条件的直线方程．(1)与直线𝑥−2

𝑦−1=0平行；(2)与直线𝑥+3𝑦+1=0垂直．18.(本小题12分)如图，已知平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为1的正方形，𝐴𝐴1=2，∠𝐴1𝐴𝐵=∠𝐴

1𝐴𝐷=120°，设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗．(1)求|𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的值；(2)求𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗⃗的值．19.(本小题12分)已知三角形△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标为𝐴(3,3)、𝐵(2,−2)、𝐶(−7,1)试求：(1)𝐵𝐶边上的高所在的直线方程;(2)三角形△𝐴𝐵𝐶的面积．20.(本小题

12分)在正方体中𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，已知𝑂为𝐴1𝐶1中点，如图所示．(1)求证：𝐵1𝐶//平面𝑂𝐷𝐶1;(2)求异面直线𝐵1𝐶与𝑂𝐷夹角大小．21.(本小题12分)已知点𝐴(4,4)，𝐵(0,3)，直线𝑙

：𝑦=𝑥−1，设圆𝐶的半径为1，圆心𝐶在直线𝑙上．(1)若圆心𝐶也在直线𝑦=3𝑥−7上，过点𝐴作圆𝐶的切线，求切线的方程；(2)若圆𝐶上存在点𝑀，使|𝑀𝐵|=2|𝑀𝑂|，𝑂为坐标原点，求圆心𝐶的横坐标𝑎的取值范围．22

.(本小题12分)如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，侧棱𝑃𝐴=𝑃𝐷=√2，𝑃𝐴⊥𝑃𝐷，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，其中𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，

𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，𝑂为𝐴𝐷中点．(1)求直线𝑃𝐵与平面𝑃𝑂𝐶所成角的余弦值；(2)线段𝑃𝐷上是否存在一点𝑄，使得二面角𝑄−𝐴𝐶−𝐷的余弦值为√63?若存在，求出𝑃𝑄𝑄𝐷的值；若不存在，请说明理.合肥六校联盟023-2

024学年第一学期期中联考高二年级数学试卷参考答案一、单选题1.𝐷；2.𝐶；3.𝐷；4.B；5.𝐶；6.𝐶；7.𝐵；8.𝐵.二、多选题（每题5分，部分对给2分，有选错误答案的0分）9.𝐴𝐶；10.𝐵𝐶；11.𝐵𝐷；12.𝐵𝐶；三、填空题（每题5分）13.(

−2,−4)；14.4√55；15.2√3；16.[14,34].四、解答题17.（本题10分）解：联立{2𝑥−𝑦+4=0𝑥−𝑦+5=0,解得{𝑥=1𝑦=6，可得交点𝑀(1,6)．………2分(1)若直线平行于直线𝑥−

2𝑦−1=0，则斜率为12，故可得方程为𝑦−6=12(𝑥−1)，即𝑥−2𝑦+11=0.…………………………………6分(2)若直线垂直于直线𝑥+3𝑦+1=0，则斜率为3，故可得方程为𝑦−6=3(𝑥−1)，即3𝑥−𝑦+3=0．……………………

……………10分18.（本题12分）(Ⅰ)𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎→+𝑏→+𝑐→，………2分∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎→·𝑏→=0，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎→·𝑐→=1×2×(−12)=−1，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏→·𝑐→=1×2×(

−12)=−1，………………………………………………5分∴|𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=(𝑎→+𝑏→+𝑐→)2=𝑎→2+𝑏→2+𝑐→2+2(𝑎→⋅𝑏→+𝑎→⋅𝑐→+𝑏→⋅𝑐→)=1+1+4+2(0−

1−1)=2，即有|𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2.………………………………………8分(Ⅱ)𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗)=𝑐→·(𝑏→−𝑎→)=𝑐→·𝑏→−𝑐→·𝑎→=−1−(−1)=0……12分19.（本题12分）解：(1)因为𝑘𝐵𝐶=−2−12−(−7)=−13，则𝐵𝐶边上的高的斜率为3

，……2分又经过𝐴点，故方程为𝑦−3=3(𝑥−3)，化简得3𝑥−𝑦−6=0．……………………4分(2)|𝐵𝐶|=√(2+7)2+(−2−1)2=3√10，………………………………………6分直线𝐵𝐶方程为𝑦+2=−13(𝑥−

2)，整理得𝑥+3𝑦+4=0，……………………………8分则𝐴到𝐵𝐶的距离为|3+3×3+4|√12+32=16√10，………………………………………………………10分则△𝐴𝐵𝐶的面积为12×3√10

×16√10=24．……………………………12分20.（本题12分）(1)证明：在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，因为𝐴𝐷，𝐷𝐶，𝐷𝐷1两两垂直，故以𝐷为原点，𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,

𝐷𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗为𝑥，𝑦，𝑧轴的正方向建立空间直角坐标系如图：…………1分不妨设正方体的棱长为1，则𝑂(12,12,1),𝐶1(0,1,1)，故𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,12,1

)，𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,1)，设平面𝑂𝐷𝐶1的一个法向量为𝑛→=(𝑥,𝑦,𝑧)，由{𝑛⃗⃗·𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗·𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0得{12𝑥+12𝑦+𝑧=0𝑦+𝑧=0,令𝑦=1，

则𝑧=−1,𝑥=1，所以𝑛→=(1,1,−1)．…………………………………4分又𝐵1(1,1,1)，𝐶(0,1,0)，所以𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,−1)，…………………………………5分从而𝑛⃗·𝐵1�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以𝐵1𝐶//平面𝑂𝐷𝐶1.…………………………………6分(2)解：设𝐵1𝐶→、𝐷𝑂→分别为直线𝐵1𝐶与𝑂𝐷的方向向量，则由𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,−1)，𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,12,1)得cos⟨𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗,𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩=−√32．………………………………………………………10分所以两异面直线B1C与OD的夹角θ的大小为6．………………………………12分21.（本题12分）解：(1)由{𝑦=𝑥−

1𝑦=3𝑥−7，得：𝐶(3,2)，所以圆𝐶：(𝑥−3)2+(𝑦−2)2=1，………………………………2分当切线的斜率存在时，设切线方程为𝑦−4=𝑘(𝑥−4)，由𝑑=|2−𝑘|√𝑘

2+1=1，解得：𝑘=34，………………………………………………………4分当切线的斜率不存在时，切线方程为𝑥=4，满足题意.………………………………5分所以切线的方程为：𝑥=4或3𝑥−4𝑦+4=0．………………………………6分(2)由圆心𝐶在直线𝑙：𝑦=�

�−1上，设𝐶(𝑎,𝑎−1)，设点𝑀(𝑥,𝑦)，由|𝑀𝐵|=2|𝑀𝑂|，得：√𝑥2+(𝑦−3)2=2√𝑥2+𝑦2，化简得：𝑥2+(𝑦+1)2=4，………………………9分所以点𝑀在以𝐷(0,−1)为圆心，2为半

径的圆上．又点𝑀在圆𝐶上，所以圆𝐶与圆𝐷有交点，则1≤|𝐶𝐷|≤3，即1⩽√𝑎2+𝑎2⩽3，解得：−3√22⩽𝑎⩽−√22或√22⩽𝑎⩽3√22．………12分22（本题12分.解：(1)在△𝑃𝐴𝐷中，𝑃𝐴=𝑃𝐷，𝑂为𝐴𝐷中点，所以𝑃𝑂⊥𝐴𝐷，

又侧面𝑃𝐴𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，𝑃𝑂⊂平面𝑃𝐴𝐷，所以𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷．………………………………………………………2分又在直角梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，易得𝑂𝐶⊥𝐴𝐷，所以以

𝑂为坐标原点，𝑂𝐶为𝑥轴，𝑂𝐷为𝑦轴，𝑂𝑃为𝑧轴建立空间直角坐标系．…………3分则𝑃(0,0,1)，𝐴(0,−1,0)，𝐵(1,−1,0)，𝐶(1,0,0)，𝐷(0,1,0)；∴𝑃

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,−1)，∵𝑃𝑂⊥𝐴𝐷，𝑂𝐶⊥𝐴𝐷，且𝑃𝑂∩𝑂𝐶=𝑂，𝑃𝑂，𝑂𝐶⊂平面𝑃𝑂𝐶，故𝑂𝐴⊥平面𝑃𝑂𝐶，所以𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,0

)是平面𝑃𝑂𝐶的一个法向量，设𝑃𝐵与平面𝑃𝑂𝐶所成角为𝜃，∴sin𝜃=|cos<𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗>|=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√33，……………

…………5分所以𝑃𝐵与平面𝑃𝑂𝐶所成角的余弦值为√1−(√33)2=√63．…………6分(2)假设存在，且设𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(0⩽𝜆⩽1)．因为𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)，∴𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(0,𝜆,−𝜆)，∴𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,𝜆,1−𝜆)，所以𝑄(0,𝜆,1−𝜆)．设平面𝐶𝐴𝑄的法向量中𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑚⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥+𝑦=0𝑚⃗⃗⋅𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=

(𝜆+1)𝑦+(1−𝜆)𝑧=0,取𝑧=1+𝜆，得𝑚⃗⃗⃗=(1−𝜆,𝜆−1,𝜆+1)．……………………………………………9分平面𝐶𝐴𝐷的一个法向量为𝑛⃗=(0,0,1)，…………………………………………10分要使二面角𝑄−𝐴

𝐶−𝐷的余弦值为√63，需使|cos<𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗>|=|𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=√63．整理化简得：3𝜆2−10𝜆+3=0，得𝜆=13或𝜆=3(舍去)，所

以存在，且𝑃𝑄𝑄𝐷=12．……12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com