【文档说明】江苏省连云港市赣榆第一中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题含答案.doc，共(24)页，2.444 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-316b6472b126fc4147db32ac80ee2426.html

以下为本文档部分文字说明：

赣榆一中高一月考数学试卷20210528一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知复数131izi−=−（i为虚数单位），则z=（）A．1B．2C．2D．52.若||25,(1,2),//abab==，则a的坐标可以是（）A．(2,4)−B．

(2,4)−C．(2,4)−−D．(4,2)−3．在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（）A．114B．115C．116D．1174．某班有48名学

生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（）A．70，75B．70，50C．75，

1.04D．65，2.355．已知sin3−=33，则cos23+的值为（）A．23B．13C．13−D．23−6．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：①若

//,mn⊥，则mn⊥；②若,//mm⊥，则⊥；③若,,//mn，则//mn；④若,mnm⊥⊥，则//n．其中所有真命题的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②7．天气预报说，在今后的三天中，每一天下

雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，

488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.75D．0.88．如图，ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD延长线上一点，且2ADDE=，若10ABAC=，2EBEC=−，||BC=（

）A.2B.4C.6D.26二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．某高中2020年的高考考生人数是2010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（）A．与

2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B．2020年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C．2010年与2020年艺体达线人数相同D．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加10．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3

，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的

是（）A．()()()PAPBPC==B．()()()PBCPACPAB==C．1()8PABC=D．1()()()8PAPBPC=11.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命

题为（）A．若ABC，则sinsinsinABC；B．若40,20,25abB===，则满足条件的ABC有两个；C．若0tantan1AB，则ABC是钝角三角形；D．存在角A，B，C，使得tantantantantantanABCABC++成立；12．如图

，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则（）A．直线1BD⊥平面11ACDB．二面角1BCDB−−的大小为2C．三棱锥11PACD−的体积为定值D．异面直线AP与1AD所成角的取值范围是,42三、填空题（本大题共4小题，共20分）1

3．如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%分位数为____________.14．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各

部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为________.15．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝

0.1km．若AB＝BD，则B，D间距离为________km．16．我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCDEFGH−有外接球，且43,4,26,62ABADEHEF====，点E到平面ABCD距离为4，则该刍童外接球

的表面积为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.组号分组频数频率1)0,5500.052)

5,10a0.353)10,15300b4)15,202000.205)20,251000.10合计10001（1）求a，b的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数

（中位数精确到0.01）；（3）现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.15题13题16题18.（本题满分12分）如图，在四棱锥OABCD−中，底面ABCD是矩形．（1）设M为OA上靠近A的三等分点，

N为BC上靠近B的三等分点．求证：//MN平面OCD．（2）设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使//BF平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．19．（本题满分1

2分）在①22cosabcB−=②()22234Sabc=+−③23sin()12sin2CAB+=+三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设ABC的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若4b=，点D在边A

B上，CD为ACB的平分线，CDB△的面积为233，求边长a的值．20.（本题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．（1）若F为线段BC的中点，求异面直线EF与PD所成角的余弦值；（2）证明：点F在线段

BC上移动时，△AEF始终为直角三角形．21.（本题满分12分）市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O是圆形湖的边界，沿线段DACDBCAB,,,建一个观景长廊，其中DCBA,,,是观景长廊的四个出入口且都在圆O上，已知：12=BC

百米，8=AB百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭，且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设=ABC．（1）若观景长廊4=AD百米，ABCD=，求由观景长廊所围成的四边形ABCD

内的湖面面积；（2）若8=CD百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时的值；若没有，请说明理由．22.（本题满分12分）已知四边形,2,60,30ABCDABADBADBCD====．现将ABD△沿BD

边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，ADCD⊥．点P为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．22题20题21题赣榆一中高一月考数学试

卷20210528一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．已知复数131izi−=−（i为虚数单位），则z=（）A．1B．2C．2D．5【答案】D【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数的模的公式进行求解即可.【详解】因为13(13)(1)13321(1)(

1)2iiiiiziiii−−++−+====−−−+，所以222(1)5z=+−=，故选：D2.若||25,(1,2),//abab==，则a的坐标可以是（）A．(2,4)−B．(2,4)−C．(2,4)−−D．(4,2)−【答案】C【解析】四个选项模长

均为222425+=，设(),axy=，因为//abrr，所以2yx=，故选:C.3．在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（）A．114B．

115C．116D．117【答案】A【解析】不超过20的素数有2,3,5,7,11,13,17,19，从中任取2个，有2828C=种取法，其中满足和等于20的取法有31720,71320+=+=共2，根据古典概型的概率公式得所求概率为212814=.故选：A4．某班有48名学生，在一

次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是（）A．70，75B．70，50C．75，1.04D．65，2

.35【答案】B【解析】因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，由题意得，s2＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而

更正前有：75＝148[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50.故选:B.5．已知sin3−=33，则cos23+的值为（

）A．23B．13C．13−D．23−【答案】C【分析】已知条件由诱导公式可化为3cos63+=，再由余弦的二倍角公式可解．【详解】解：3sin33−=，3sincos2663

−+=+=，2231cos221213633cos+=+−=−=−．故选：C．6．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：①若//,mn

⊥，则mn⊥；②若,//mm⊥，则⊥；③若,,//mn，则//mn；④若,mnm⊥⊥，则//n．其中所有真命题的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②答案：A易知①②正确；对于③，m，n可能平行，也可能异面，所以③错；

对于④，n可能平行于，也可能n在平面内，所以④错，选A．7．如图，ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD延长线上一点，且2ADDE=，若10ABAC=，2EBEC=−，||BC=（）A．2B．4C．6D．26【答案】D【解析】22101

11()()()()224ADDBADDCADBCADABCACCBBAD=++=−+=−=22111()()2()())224EDDEBEDBECDCEDBCEDBCEDBC=++=−+=−=−又因为2ADDE=，所以224ADDE=，解得224BC=，所以||26BC

=.故选D.8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257

，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A．0.6B．0.7C．0.75D．0.8【答案】B【解析】代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少

有一天下雨”为事件A，“今后三天都不下雨”为事件B，则A与B为对立事件.所以67()1()10.72010PAPB=−=−==，故选：B.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．某高中2020年的高考考生人数是2

010年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比较该校考生的升学情况，统计了该校2010年和2020年的高考升学率，得到如下柱状图：则下列说法中正确的有（）A．与2010年相比，2020年一本达线人数有所减少B．20

20年二本达线率是2010年二本达线率的1.25倍C．2010年与2020年艺体达线人数相同D．与2010年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】BD【分析】根据柱状图中的数据求解.【详解】设2010年高考考生人数为a，则2020年的高考考生人数是的1.5a，

A.2010年一本达线人数为0.28a，2020年一本达线人数1.50.240.36a=a，故错误；B.2020年二本达线率是40%，2010年二本达线率是32%，4032=，故正确；C.2010年艺体达线人数0.08a，2020年艺体达线人数0.0

81.50.12aa=，故错误；D.与2010年不上线的人数0.32a,相比，2020年不上线的人数0.281.50.42aa=,故正确；故选：BD10．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，

同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（）A．()()()PAPBPC==B．()()()PBCPACPAB==

C．1()8PABC=D．1()()()8PAPBPC=【答案】ABD【解析】由已知22221()44442PA=+=，21()()42PBPC===，由已知有1()()()4PABPAPB==，1()4PAC=，1()4PBC=，所以()(

)()PAPBPC==，则A正确；()()()PBCPACPAB==，则B正确；事件A、B、C不相互独立，故1()8PABC=错误，即C错误1()()()8PAPBPC=，则D正确；综上可知正确的为

ABD.故选:ABD．11.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列命题，其中正确的命题为（）A．若ABC，则sinsinsinABC；B．若40,20,25abB===，则满足条件的ABC有两个；C．若0tantan1AB，则AB

C是钝角三角形；D．存在角A，B，C，使得tantantantantantanABCABC++成立；【答案】ABC【解析】A.若ABC，abc，由正弦定理可得：sinsinsinabcABC=

=，则sinsinsinABC，所以该选项正确；B.若40a=，20b=，25B=，则40sin2540sin3020=，因此满足条件的ABC有两个，所以该选项正确；C.若0tanAtan1B，则tantantantan()01tan

tanABCABAB+−=+=−，tan0C，(0,)C，(,)2C，ABC是钝角三角形，所以该选项正确；D.由于当2C时，tantantantan()1tantanABCABAB+−=+=−，tanAtanBtantantantan

CABC=++，所以该选项不正确.故选：ABC12．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1BC上运动，则（）A．直线1BD⊥平面11ACDB．二面角1BCDB−−的大小为2C．三棱锥11PACD−的

体积为定值D．异面直线AP与1AD所成角的取值范围是,42【答案】AC【解析】如图，在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵

A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，由正方体可知平面1BCD不垂直平面ABCD,故B错误；在C中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A

1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故C正确；在D中，当点P与线段1BC的端点重合时,异面直线AP与1AD所成角取得最小值为3,故异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[,]32，故D错

误.故选：AC三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其25%分位数为____________.【答案】10.5【解析】由图可知第一组的频率为0.0450.20.25

=，前两组的频率之和为0.0450.150.70.25+=，则可知其25%分位数在)10,15内，设为x，则()0.1100.250.2x−=−，解得10.5x=.故答案为：10.5.14．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的

概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立，则设备在一天的运转中，至少有1个部件需要调整的概率为________.【答案】0.496【分析】先求没有1个部件需要调整的概率，再用1减即可.【详解】设,,ABC分别为部件1，2，3需要调整的事件，则至少有1个部件需要调整的概率为()()(

)110.5040.496PPAPBPC=−=−=故答案为：0.49615．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km．若AB＝

BD，则B，D间距离为________km．【答案】32620+【分析】在△ABC中，应用正弦定理求AB，由BD＝AB，即知B，D间距离.【详解】在△ABC中，∠BCA＝60°，∠ABC＝75°－60°＝15°，AC＝

0.1km，由正弦定理，得：sinsinABACBCAABC=，∴0.1sin60326sin1520AB+==(km)，又BD＝AB，∴32620BD+=km．故答案为：32620+16．我国古代《九章算术》中将

上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童ABCDEFGH−有外接球，且43,4,26,62ABADEHEF====，点E到平面ABCD距离为4，则该刍童外接球的表面积为__________.【答案】100【分析】由已知得，球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直，球心必在该

垂线上，然后根据OBOG=，利用直角三角形1OOG与直角三角形2OOB，即可列出外接球半径的方程，求解即可.【详解】假设O为刍童外接球的球心，连接HF、EG交于点1O，连接AC、DB交于点2O，由球的几何性质可知O、1O

、2O在同一条直线上，由题意可知，2OO⊥平面ABCD，1OO⊥平面EFGH，214OO=，设2OOr=，在1RtOGO中，22211OGOOOG=+，在矩形EFGH中，()()2222622646EGEFFG=+=+=，11262OGEG==，()()2222211426OGOOOGr=+=−

+，在2RtOBO中，22222OBOOOB=+，在矩形ABCD中，()22224438DBADAB=+=+=，2142OBBD==，22222224OBOOOBr=+=+，设外接球半径OGOBR==，()()22224264rr−+=+，解得3r=

，则22345OB=+=，即5R=，则该刍童的外接球半径为5该刍童外接球的表面积为：24100R=，故答案为：100.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽

取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.组号分组频数频率1)0,5500.052)5,10a0.353)10,15300b4)1

5,202000.205)20,251000.10合计10001（1）求a，b的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；（3）现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从

这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.【解析】（1）根据频率分布直方表，可得5030020010010000.050.350.200.101ab++++=++++=，解得350a=，0.30b=，频率分布直方图

，如图所示：（2）该组数据的平均数：2.50.057.50.3512.50.317.50.222.50.112.25x=++++=，由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为x，则()0.050.35100.060.5x++−=，解得11.67x，

故中位数的估计值为11.67.（3）从第4，5组抽取的人数分别为4，2，第4组的4人，设为1A，2A，3A，4A，第5组的2人，设为1B，2B，则从该6人中选出2人的基本事件有12AA，13AA，41AA，

11AB，12AB，23AA，24AA，21AB，22AB，34AA，31AA，32AB，41AB，42AB，12BB，共15种，其中都是第4组的基本事件有12AA，13AA，41AA，23AA，24A

A，34AA，共6种，所以至少有一名学生是5组的概率693115155p=−==.18.如图，在四棱锥OABCD−中，底面ABCD是矩形．（1）设M为OA上靠近A的三等分点，N为BC上靠近B的三等分点．求证：//MN平面OCD．

（2）设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使//BF平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．【解析】（1）如图，取AD上靠近A的三等分点G，连接MGNG，，

AOD△中，:1:2:=1:2AMMOAGGD=，，则//MGOD，又MG平面OCD，OD平面OCD，//MG平面OCD，同理，//NG平面OCD，又=MGNGG，∴平面//MNG平面OCD，又MN平面MNG，∴//MN

平面OCD．（2）存在OE中点F，使//BF平面ACE成立．取OE中点F，连BFBD，，使=BDACP，连PE．ABCD是矩形，P是BD的中点，又E是OD上靠近点D的一个三等分点，且F是OE中点，E是FD的中点，BDF中，//PEBF，又PEQ平面ACE，BF

平面ACE，//BF平面ACE，故在OD上是存在OE中点F，使//BF平面ACE成立．19．在①22cosabcB−=②()22234Sabc=+−③23sin()12sin2CAB+=+三个条件

中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设ABC的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若4b=，点D在边AB上，CD为ACB的平分线，CDB△的面积为233，求边长a的值．【解析】（1）选

①22cosabcB−=，由余弦定理得222222222acbacbabcaca+−+−−==，整理得222abcab+−=，所以2221cos22abcCab+−==，又(0,)C，故3C=.选②2223()4Sabc

=+−，因为in12sSabC=，2222cosabcabC+−=，故13sin2cos24abCabC=，可得tan3C=，又(0,)C，故3C=.选③23sin()12sin2CAB+=+，可得3sin2cos3sincos2CCCC=−

+=，所以sin61C+=，又(0,)C，所以62C+=，故3C=.（2）在ABC中，因为CD是ACB的平分线，且4b=，设CDx=，所以111sinsinsin434232626ACBACDBCDSSSabbxaxax

ax=+=+=+434axa=+，又231sin38326CDBSaxax===，联立以上两式得：23280aa−−=，又0a，解得2a=.20.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC

D为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．（1）若F为线段BC的中点，求异面直线EF与PD所成角的余弦值；（2）证明：点F在线段BC上移动时，△AEF始终为直角三角形．【答案】（1）63；（2）证明见解析.【分析】（1）由中位线定理得//EFPC，得∠DPC是异面直

线EF与PD的所成角或其补角．利用线面垂直的判定与性质定理证明CDPD⊥，在直角三角形中求得∠DPC的余弦；（2）由线面垂直的性质得PABC⊥，从而可证BC与平面PAB垂直，即证得AEBC⊥，然后利用AEPB⊥证明

AE与平面PBC垂直即得AEEF⊥，证得结论成立．【详解】（1）在△PBC中，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点，所以EF∥PC，所以∠DPC是异面直线EF与PD的所成角或其补角．因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD．因为ABC

D为正方形，所以AD⊥CD，又因为PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为PD平面PAD，所以PD⊥CD．在Rt△PAD中，PA＝AD，所以PD＝2AD，因为CD＝AD，所以在Rt△PCD中，PD＝2CD，PC＝3C

D，所以cos∠DPC＝PDPC＝63，即异面直线EF与PD所成角的余弦值为63．（2）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以PA⊥BC．因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC，又因为PA∩A

B＝A，PA，AB平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为AE平面PAB，所以AE⊥BC．因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，又因为PB∩BC＝B，PB，BC平面PBC，所以AE⊥平面PB

C．又因为EF平面PBC，所以AE⊥EF，所以点F在线段BC上移动时，△AEF以∠AEF为直角的直角三角形．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查用线面垂直证明线线垂直，求异面直线所成的角，一般有三步：作证算，证明空间线面平行与垂直时注意定理的条件要全面，列举出所有条件后可得结论．本题考

查学生的空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力．属于中档题．2122.已知四边形,2,60,30ABCDABADBADBCD====．现将ABD△沿BD边折起，使得平面ABD⊥平面BCD，ADCD⊥．点P为线段的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）求证：BP⊥平面ACD

；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．【解析】()1,60ABADBAD==，ABD为等边三角形，P为AD中点．,BPAD⊥取BD中点E﹐连接,AE则AEBD⊥，平面ABD⊥平面,BCD平面ABD

平面,BCDBD=AE⊥平面,BCD,AECD⊥又,CDADADAEA⊥=，CD\^平面,ABDBP平面,ABD,CDBP⊥又,CDADD=且,BPAD⊥BP⊥平面ACD.()2由()1可知CDBD⊥，30BCD=，所以23,4D

CBC==，作PHBD⊥于H，连接BM，因为AE⊥平面,BCD所以PH⊥平面,BCD又点P为线段的中点，所以1322PHAE==，又M为CD的中点，所以12332BCMS==，所以113133322PBCMBCMVPHS

−===，在PBC中，3,4,13BPBCPC===，所以满足222+BCBPPC=，所以BPPC⊥，所以13913322BCPS==，设点M到面PCB的距离为h，PBCMMBCPVV−−=，所以1391322PBCMMBCPVVh−−===，解得3913h=，又()22132P

M=+=，设MP与平面BPC所成角为，所以393913sin226==，所以MP与平面BPC所成角的正弦值3926．