【文档说明】《精准解析》河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期末考试理科数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.018 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3167b97387d5d4e1faefc14ac467389f.html

以下为本文档部分文字说明：

洛阳市2022+2023学年第一学期期末考试高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线l经过点(0,3)−和(3,0)，则直线l的倾斜角为（）A.2π3B.3π4C.π3D.π4【答案】D【解析】【分析】由斜率公式求出直线l的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解.【详解】设直线l

的斜率为k，且倾斜角为，则30103k−−==−，则tan1=，而)0,π，故π4=，故选：D.2.已知数列2,2,6,,2,n，则6是这个数列的（）A.第6项B.第12项C.第18项D.第3

6项【答案】C【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.【详解】数列2,2,6,,2,n的通项公式为2nan=，令26nan==解得18n=，故选:C.3.若双曲线的渐近线方程是2yx=，虚轴长为4，且焦点在x轴上，则双曲线的标准方程为（）A.22

14yx−=或221164yx−=B.221164yx−=C.2214yx−=D.2214xy−=【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得224bab==解得12ab==，所以双曲线的标准方程为2214yx−=.故选:

C.4.如图，线段AB，BD在平面内，BDAB⊥，AC⊥，且4312ABBDAC===，，，则C，D两点间的距离为（）A19B.17C.15D.13【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接AD，因为BDAB⊥，所以22

5ADABBD=+=,又因为AC⊥，AD,所以ACAD⊥，所以2213CDACAD=+=,故选:D.5.“01t”是“曲线2211xytt+=−表示椭圆”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分

条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线2211xytt+=−为椭圆，所以0101tt

tt−−，解得01t且12t，所以“01t”是“01t且12t”的必要而不充分条件.故选：B6.设,,xyzR，向量(,1,1),(1,,),(2,4,2)axbyzc===−，且,acbc⊥∥，则||abc++=（）A.57B.3

6C.3D.9【答案】A【解析】【分析】由向量的关系列方程求解,,xyz的值，结合向量的模的公式计算得出结果.【详解】向量(,1,1),(1,,),(2,4,2)axbyzc===−，且,acbc⊥∥，∴242

01242acxyz=−+===−，解得1,2,1xyz==−=，∴(1,1,1),(1,2,1),(2,4,2)abc==−=−∴(4,5,4)abc++=−，∴71|625516|abc+

+++==.故选：A．7.如果实数x，y满足22(1)(1)2xy−+−=，则11yx−+的取值范围是（）A.[1,1]−B.(1,1)−C.,1(),)1(−−+D.(,1][1,)−−+【答案】A【解析】【分析】1

1yx−+表示22(1)(1)2xy−+−=上的点(),Pxy与点()1,1A−连线的斜率,画出图形即可求解.【详解】22(1)(1)2xy−+−=表示圆心为()1,1C，半径为2的圆，11yx−+表示22(1)(1)2xy−+−=上的点(),Pxy与点()1,1A−连线的斜率.易

知直线AC平行x轴，且2,AC=当直线AP为圆C的切线时，2PC=，2AP=,故45PAC=，此时直线AP的斜率为1，由对称性及图形可得11,11yx−−+.故选:A.8.设抛物线2:4Cxy=，点P为C上一点，过点P作PQx⊥轴于点Q，若

点(4,2)A，则PQPA+的最小值为（）A.151−B.171−C.4D.5【答案】B【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知1PQPF=−，则11PQPAPFPAAF+=+−−，即可得解.【

详解】抛物线2:4Cxy=的焦点为()0,1F，准线方程为1y=−，由抛物线的定义可知1PQPF=−，所以()22114211171PQPAPFPAAF+=+−−=+−−=−，当且仅当A、P、F三点共线（

P在AF之间）时取等号.故选：B9.某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列nc，即11200c=，则10c大约为（）（参考数据：8910111.

12.144,1.12.358,1.12.594,1.12.853）A.1429B.1472C.1519D.1571【答案】B【解析】【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为10%”和“每年年底卖出100头”建立1nc+与nc的

关系，利用待定系数法证得1000nc−是等比数列，从而求得nc，进而求得10c．【详解】由题意，得11200c=，并且11.1100nncc+=−，令1()nncrkck+=−−，化成1nncrcrkk+=−+，所以1.1100rkrk=

−=−，解得1.11000rk==，所以()110001.11000nncc+−=−，所以1000nc−是以200为首项，1.1为公比的等比数列，则110002001.1nnc−−=，12001.11000nnc−=+所以9102001.110001472c=+.

故选：B.10.过定点M的直线20txy++=与过定点N的直线240xtyt−+−=交于点A（A与M，N不重合），则AMN面积的最大值为（）A.22B.42C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根据题意分析可得点A在以MN为直径的圆上，结合圆的性质求AMN面积的最大值.【详解】对于直线2

0txy++=，即()20txy++=，可得直线20txy++=过定点()0,2M−，对于直线240xtyt−+−=，即()()420xty−−−=，可得直线240xtyt−+−=过定点()4,2N，∵()110tt+−=，则直线20txy++=与直线240xty

t−+−=垂直，即AMAN⊥，∴点A在以MN为直径的圆上，且()()22402242MN=−++=，由圆的性质可知：AMN面积的最大值为218224MNMNMN==.故选：C.11.已知数列na满足()*111,(1)02,mmamamamm−=−−=

N，且()*2πsin3nnnabn=N，则数列nb的前18项和为（）A.3−B.54−C.33−D.543−【答案】D【解析】【分析】利用数列na的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计算，求得数列2sin3n的周期，整理数列nb的通项公式，利

用分组求和，可得答案.【详解】由()110mmmama−−−=，则()2211mmmaam−−=，即()()()2223212222121213111123nnnnaaaaaaaann−−−−===，显然12111a==，满足公式，即21nan=，当1n=时，23sin3

2=；当2n=时，43sin32=−；当3n=时，sin20=；当4n=时，83sin32=，当5n=时，103sin32=−；当6n=时，sin40=；则数列2sin3n是以3为周期的数列，由2sin3nnnab=，则22sin3nnbn=，设数列nb的前

n项和为nS，1812318Sbbbb=++++2222223333123045602222=+−+++−++22233161718022++−+()2222

223124516172=−+−++−()()()()()()312124545161716172=−++−+++−+()33915332=−++++()3336354322+=−=−.故选：D.12.已知12,FF是双曲线2222:1(0,

0)xyCabab−=的左、右焦点，O为坐标原点，以1FO为直径的圆与双曲线C的一个交点为A，以12FF为直径的圆与双曲线C的一个交点为B，若1F，A，B恰好共线，则双曲线C的离心率为（）A.15B.

13C.23D.3【答案】B【解析】【分析】设12FBF=，在12BFF△中，根据余弦定理可得21221cosbBFBF=−，根据三角形面积公式可得122tan2BFFbS=△，设1AFABm==,22BFn=,则()()122222222122tan45222B

FFmnabSmnmnma−===+=+，从而可得2na=，3ma=，代入22mnb=，结合222bca=−及离心率公式即可求解.【详解】设12FBF=，因为B在双曲线上，故122BFB

Fa−=.由余弦定理可得2221212122cosFFBFBFBFBF=+−()()2121221cosBFBFBFBF=−+−，所以()()()2221222221cos1coscabBFBF−==−−.所以122221222sincos1si

n22sin21costan112sin22BFFbbbSBFBF====−−−△由题意可得1AOF△与12BFF△为直角三角形，所以1290FBF=.因为O是12FF的中点，所以A是1BF的中点.设1AFABm

==,22BFn=,则22AFma=+.所以()()122222222122tan45222BFFmnabSmnmnma−===+=+2222444mnamnbnaam−===+

.故()()22444nmnmnm=−+−22222nmmnnmmn=−++−2230mmn−=32mn=.所以32nna−=,解得2na=，3ma=.所以222232aabca==−,可得2213ca=，故13cea==.故选：B.二、填

空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．.13.直线1:220lxy++=与直线2:2410lxy+−=之间的距离为_____________．【答案】52【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故

可根据平行线间的距离公式求得答案.【详解】直线2:2410lxy+−=可化为21202lxy+−=：，则直线1:220lxy++=与直线2:2410lxy+−=平行故直线1:220lxy++=与直线2:2410lxy+−=之间的距离为1|2()|5225d−−==，故答案为

：52.14.设E、F分别在正方体1111ABCDABCD−的棱AB、CD上，且13BEEA=，13DFFC=，则直线1BE与1DF所成角的余弦值为_____________．【答案】1517【解析】【分析】以D为坐标原点，建立

空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1BE与1DF所成角的余弦值．【详解】E、F分别在正方体1111ABCDABCD−的棱AB、CD上，且13BEEA=，13DFFC=，如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设4AB=，则()14,4,4B，()4,3,0E，()10,0,4D，()0,

1,0F，,()10,1,4BE=−−，()10,1,4DF=−，设直线1BE与1DF所成角为，则直线1BE与1DF所成角的余弦值1111111515coscos,171717BEDFBEDFBEDF====．故答案为：1517．15.已知1F，2F是椭圆C：22221xyab+=（0

ab）的左，右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为34的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120FFP=，则椭圆C的离心率为______.【答案】12##0.5【解析】【分析】结合图像，得到22PFc=，再在2RtPFQ中，求得3PQc=，2FQ

c=，从而得到()2,3Pcc，代入直线AP可得到2ac=，由此可求得椭圆C的离心率.【详解】由题意知()()()12,0,,0,,0AaFcFc−−，直线AP的方程为：()34yxa=+，由12PFF△为等腰三角形，12120FFP=，得2122PFFFc==，过P作PQ垂直于x轴，如图，则

在2RtPFQ中，218012060PFQ=−=，故223sin232PQPFPFccQ===，2221cos22FQPFPcQFc===，所以(),3Pccc+，即()2,3Pcc，代入直线()34:APyxa=+，得()

3243acc=+，即2ac=，所以所求的椭圆离心率为12cea==.故答案为：12..16.首项为正数，公差不为0的等差数列na，其前n项和为nS，现有下列4个命题：①23,,,nnnSSS也是等差数列；②数列nSn也是等差数列；③

若15160,0SS，则8n=时，nS最大；④若na的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19．其中所有真命题的序号是_____________．【答案】②③④【解析】【分析】对

①，由等差中项性质判断；对②，求出数列nSn的通项公式即可判断；对③，由15160,0SS结合解析式化简得890,0aa，由nS定义即可判断；对④，设项数为*21,kk+?N，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.【详解】设数列na的公差

为d，0d，首项为10a，则()11naand+−=，()12121222nSnandnddna+−==+−，对①，23222111942322222222nnnSddddddSnSannannan−

=+−++−−+−+20dn=，∴23,,,nnnSSS不是等差数列，①错；对②，()112nSdann=+−，则数列nSn为首项1a，公差为2d的等差数列，②对；对③，∵10a，15160,0SS，∴0d，()151881

015750Sdaaa=+=，9169115161602022Sdaddaa=+=−，∴由nS定义可知，8n=时，nS最大，③对；对④，由题意可设na的项数为*21,kk+?N，则

所有奇数项组成的数列为首项1a，公差2d，项数为1k+的等差数列，故所有奇数项的和为()()()1122112902akdkakdk++=++=，所有偶数项组成的数列为首项1ad+，公差2d，项数为k的等差数列，故所有偶数项的和为()()()11212261

2adkdkakdk++−=+=.两式相除得12909261kkk+=?，∴数列的项数是19，④对.故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知nS是数列na的前n项和，且24S=，4

16S=，设nnSbn=．（1）若nb是等比数列，求10b；（2）若na是等差数列，求nb的前n项和nT，【答案】（1）1032b=（2）(1)2nnnT+=【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；（2）由等差数列的通项公式的求法，结

合公式法求数列的前n项和即可．【小问1详解】解：已知nS是数列{}na的前n项和，且24S=，416S=，nnSbn=，则4242bb==，又{}nb是等比数列，设公比为q,则2422bqb==，即841022232bbq===；【小问2详解】解：已知{}n

a是等差数列，设公差为d,又24S=，416S=，则11244616adad+=+=，则112ad==，即21nan=−，则2(121)2nnnSn+−==，则nnSbnn==，则(1)123...2nnnTn+=++++=，即{}nb的前

n项和(1)2nnnT+=．18.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆M的圆心在直线2yx=−上，且圆M与直线10xy+−=相切于点(2,1)P−．（1）求圆M方程；（2）过(0,2)−的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程．【答案】（1）()()22122xy−+=+（2

）2yx=−或2yx=−−【解析】【分析】（1）根据已知得出点P与直线10xy+−=垂直的直线方程，根据圆切线的性质得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）根据弦长得出点M到直线l的距离，分类讨论直线l的斜率，

设出方程，利用点到直线的距离列式，即可得出答案.【小问1详解】过点(2,1)P−与直线10xy+−=垂直的直线方程为：12yx+=−，即3yx=−则直线3yx=−过圆心，的32yxyx=−=−解得12xy==−，即圆心为()1,2M−，则半

径为121211r−−==+，则圆M的方程为：()()22122xy−+=+；【小问2详解】过(0,2)−的直线l被圆M截得的弦长为6，则点M到直线l的距离62242d=−=，若直线l的斜率不存在，则方程为0x=，此时圆心到直线l的距离为1，不符合题意；若直

线l的斜率存在，设直线l的方程为：2ykx=−，则2221kdk==+，解得1k=，则直线l的方程为：2yx=−或2yx=−−.19.如图，ABC和DBC△所在平面垂直，且ABBCBDCBADBC====，．（1）求证：ADBC⊥；（2）若2π3=，

求平面ABD和平面ABC的夹角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AD的中点E，可得BEAD⊥，根据ABCDBC△≌△可得CEAD⊥，由线面垂直的判定定理及性质定理可证明

；（2）作AOBC⊥于点O,以点O为原点，,,ODOCOA所在直线分别为,,xyz轴建立空间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取AD的中点E，连接,BECE，因为ABBD=，所以BEAD⊥.因为,,ABBDCBAD

BCBC==为公共边，所以ABCDBC△≌△，所以CACD=,所以CEAD⊥.因为,,BECEEBECE=平面BCE，所以AD⊥平面BCE，因BC平面BCE,所以ADBC⊥.【小问2详解】当2π3=,可设1AB=,作AOBC⊥于点O,连接DO，易证,,AOOCOD两两

垂直，以点O为原点，,,ODOCOA所在直线分别为,,xyz轴建立空间坐标系，则()31330,0,0,,0,0,0,,0,0,,0,0,0,2222ODBCA,设平面ABD的法向量为(),,nxyz=，13330,,

,,0,2222ABAD=−=−,所以1302233022nAByznADxz=−==−=，为令1z=,可得1,3xy==，则()1,3,1n=r.易知OD⊥平面ABC，所以平面ABC的法向量为()1,0,0m=，设平面A

BD和平面ABC的夹角为，则15cos,515mnmnmn===,故平面ABD和平面ABC的夹角的余弦值为55.20.已知直线l与抛物线2:2(0)Cxpyp=交于A，B两点．（1）若2p=，直线l的斜率为1

，且过抛物线C的焦点，求线段AB的长；（2）若OAOBODAB⊥⊥，交AB于(2,2)D−，求p的值．【答案】（1）8；（2）47.【解析】【分析】（1）焦点为()0,1F，直线l的方程为1yx=+，联立直线与抛物线的方程，根据弦长公式即可求解；（2）设直线l的方程为ykxm=

+，根据题意可得1ODABkk=−，且(2,2)D−在直线l上，从而可得直线l的方程为4yx=+，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得12122,8xxpxxp+==−，代入0OAOB=即可求解.【小问1详解】若2p=

，则抛物线2:4Cxy=，焦点为()0,1F，故直线l的方程为1yx=+.设()()1122,,,AxyBxy，联立241xyyx==+，消去y，可得2440xx−−=，()()24414320=−−−=，故12124,4xxxx+==−.故()22114442328

AB=+−−==.【小问2详解】设直线l的方程为ykxm=+，()()1122,,,AxyBxy，因为ODAB⊥交AB于(2,2)D−，所以1ODABkk=−，且1ODk=−，所以1ABk=，直线l的

方程为yxm=+.又(2,2)D−在直线l上，所以22m=−+,解得4m=.所以直线l的方程为4yx=+.由224xpyyx==+，消去y，可得2280xpxp−−=，则12122,8xxpxxp+==−.因为OAOB⊥，所以()()12121212121244280OAOBxxyy

xxxxxxxx=+=++++=+++=，即()28280pp−++=，解得47p=.21.已知等比数列na的前n项和为nS，且()*122nnaSn+=+N．（1）求数列na的通项公式；（2）若21nnn

ba−=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）123nna−=；（2）131223nnnT−+=−.【解析】【分析】（1）根据na与nS的关系可得公比，由211122223aSaa=+=+=可求1a，再根据等比数列的通项公式即可求解；（2）1212123nnnnnba−−−==，由错

位相减法即可求解.【小问1详解】因为()*122nnaSn+=+N，所以当2n时，122nnaS−=+，两式相减得12nnnaaa+=−，即13nnaa+=.故等比数列na的公比为3.故21112222

3aSaa=+=+=，解得12a=.所以123nna−=.【小问2详解】1212123nnnnnba−−−==，故120121113232123333nnnnnnTbbb−−−−=+++=++++①，12111132321323333nnnnnT−−−=++

++②，①-②，得0121211222213233333nnnnT−−=++++−121111121233323nnn−−=++++−111133121122313nnn−

−−=+−−111121222323nnn−−=+−−112112323nnn−−=−−113nn+=−，所以131223nnnT−+=−.22.已知椭圆2222:1(0)xyC

abab+=，离心率为22，点21,2P在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记A是椭圆的左顶点，若直线l过点2,02且与椭圆C交于M，N两点（M，N与A均不重合），设直线AM，AN的斜率分别是12kk，．试问12kk是否为定值

？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=（2）是，定值为16−，理由见解析【解析】【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；（2）直线l的斜率不为0，设为22xmy=+，结合韦达定理表示12kk即可化简判断.【小问1详解】由题意得，222222211212221

abacababc+====−=，∴椭圆C的标准方程为2212xy+=；【小问2详解】由题意得，直线l的斜率不为0，设为22xmy=+，()()1122,,,MxyNxy，()2,0A−，联立直线与椭圆消x得，()22222230m

ymy++−=，则()12122223,222myyyymm+=−=−++，∴()1212121212122222yyyykkxxxxxx==+++++1212122222222222yymymymymy=骣骣骣琪琪琪+++++++琪琪琪桫桫桫()1221212

32922yymyymyy=+++()()22223223322922222mmmmmm−+=−−+++()22232393222mmm-=--++16=−.故12kk是定值，为16−.