【文档说明】湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.265 MB，由小赞的店铺上传

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武汉外国语学校2023～2024学年度第一学期高一阶段性诊断测试高一数学试卷命题教师：刘雯审题教师：刘小博考试时间：2023年10月8日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、单选题（共40分）1.已知集合240Axxx=−，1,3,7B=−，

则AB=（）A.1−B.3C.3,7D.1,7−【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】因为240{|04}Axxxxx=−=，1,3,7B=−；{3}AB==．故选：B

．【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，同时考查了一元二次不等式的求解，属于基础题．2.设集合11,,1522xAxxBxxx−==+RN，则AB=（）A.2B.2,3C.3

,4D.2,3,4【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.【详解】1122xx−+，则11022xx−−+，即402xx−+，()()420xx−+，解得24−x，故24Axx=−，又152,3,4Bxx==N，故2,3AB=

.故选：B3.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“

卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合Z34Bxx=−，则AB的真子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根据自恋数的

定义,求出A;用列举法表示出B,求出交集后,由交集中元素个数,即可求出真子集个数.【详解】解:依题意,1,2,3,4,5,6,7,8,9A=,2,1,0,1,2,3B=−−故1,2,3AB=,故AB的

真子集个数为7故选:C.【点睛】本题考查了集合的运算,考查了真子集的涵义.若集合中元素个数有n个,则其子集有2n个,真子集有21n−个,非空子集有21n−个,非空真子集有22n−个.4.若abc，0abc++=，则有（）．A.abacB.acbcC.abb

cD.以上皆错【答案】A【解析】【分析】由不等式的性质进行辨析即可.【详解】∵abc，且0abc++=，∴0ac，对于A，∵bc，0a，∴abac，故选项A正确；对于B，∵ab，0c，∴acb

c，故选项B错误；对于C，当1a=，0b=，1c=−时，abbc=，故选项C错误；对于D，选项A正确，故选项D错误.故选：A.5.已知命题:0px，1xmx+，命题:0qm，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答

案】B【解析】【分析】利用基本不等式结合命题p成立可求出实数m的取值范围，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】当0x时，由基本不等式可得1122xxxx+=，当且仅当1x=时，等号成立，所以，当0x时，1xx+的最小值为2，若命题

:0px，1xmx+为真命题，则2m，因为“2m”“0m”，但“2m”“0m”，所以，p是q的必要不充分条件，故选：B.6.下列各式中，最小值为2的是（）.A.()10xxx+B.()111xx−C.22133xx+++D.2221xx++【答案】D【解析】【分

析】对于四个选项利用基本不等式2abab+（一正二定三相等）等号成立条件进行检验和简单复合函数及对勾函数的单调性分别求出其最值,逐一排除即可.【详解】对于选项A：因为0x,所以()()11122xxxxxx+=−−+

−−=−−−，当且仅当1xx−=−,即=1x−时，取得等号.故选项A排除;对于选项B：因为1x,函数11yx=−在)1,x+上为增函数,所以函数11yx=−在)1,x+上有最小值为0,即1011x−,故选项B排除;对于选项C:令23

xt+=,则3t,因为1ytt=+在)3,t+上为增函数,所以函数1ytt=+在)3,t+上有最小值为433,故选项C排除;对于选项D:令21xt+=,则1t,所以2221xx++=221111221xttttx++=+=+,当且仅当1t=,即0x=时,2221xx+

+有最小值2,故选:D【点睛】本题考查对勾函数的单调性问题和基本不等式2abab+的应用;基本不等式2abab+等号成立条件的检验是求解本题的关键,亦是本题易错点;属于中档题.7.已知实数a，b，c满足22221abc++=，则2abc+的最小值是A.34

−B.98−C.-1D.43−【答案】B【解析】【分析】根据题意利用22ab+与2ab的基本不等式,再转换为含c的二次不等式求解即可.【详解】若2abc+取最小值,显然,ab异号且0c.故2221222cababab−=+=−,即2221a

bc−,故221992212488abcccc++−=+−−,当且仅当1,4c=−,ab分别取74时等号成立.故选：B【点睛】本题主要考查了基本不等式以及二次不等式的综合运用,需要注意分析,,abc的正负再利用基本不等式,属于中等题型.8.若对任意实数0x

，0y，不等式()2xxyaxy++恒成立，则实数a的最小值为（）．A.212+B.214+C.622+D.624+【答案】D【解析】【分析】分离变量将问题转化为2xxyaxy++对于任意实数0x，0y恒成立，进而求出2xxyxy++的最大值，设()0yttx=及

()11tmm+=，然后通过基本不等式求得答案．【详解】对任意实数0x，0y，不等式()2xxyaxy++恒成立，则2xxyaxy++对于任意实数0x，0y恒成立，则只需求2xxyxy++的最大值即可，1

221yxxyxyxyx++=++，设()0yttx=，则2112121ytxytx++=++，再设()11tmm+=，则()222112122431211ytmmxytmmmx++===+−++−+1116234326424224mmmm+===−+−−，当且仅当32mm

=，即312yx=−时取得“＝”．所以624a+，即实数a的最小值为624+．故选：D．二、多选题（共20分）9.下列四个命题中，是真命题的是（）．A.xR，且0x，12xx+B.0xR，使得20012xx+C.若0x，0y，2222xyxyxy++D.当13x时，不等

式240xmx−+恒成立，则实数m的取值范围是5m【答案】BC【解析】【分析】对A，当0x时，不成立；对B，当01x=时，20012xx+成立；对C，将分式化整式，等价转化为证明命题()()222228xyxyxy

++即可；对D，分离参数转化为求函数最值求解．【详解】对选项A，当0x时，10xx+，不满足12xx+，故A错误；对选项B，当01x=时，20012xx+成立，即0xR，使得20012xx+成立，故B正确；对选项C，由0x，0y，2222xyxyxy++等价于

()()222228xyxyxy++．又2220xyxy+，且()()22240xyxyxy+=，当且仅当xy=时等号成立，两式相乘得()()222228xyxyxy++，结论得证，故C正确；对选项D，分离参数转化为求函数最值求解即可．因为13x，由240x

mx−+得4mxx+，设()4fxxx=+，()1,3x，由对勾函数的性质可知，()1,2x，()fx单调递减；()2,3x，()fx单调递增．因为()15f=，()1333f=，故()5fx，则5m，故D错误．故选：BC．10.已知关于x的不等式(1)(3)20axx−+

+的解集是()12,xx，其中12xx，则下列结论中正确的是（）A1220xx++=B.1231xx−C.124xx−D.1230xx+【答案】ACD【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230xxxxa+

=−=−判断A、D，再将题设转化为()(1)(3)2fxaxx=−+−，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320axxaxaxa−++=+−+的解集为()12,xx，∴a<0，则12122230xxxxa+=−

=−，∴1220xx++=，12230xxa+=，则A、D正确；原不等式可化为()(1)(3)2fxaxx=−+−的解集为()12,xx，而()fx的零点分别为3,1−且开口向下，又12xx，如下图示，.∴

由图知：1231xx−，124xx−，故B错误，C正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230xxxxa+=−=−，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.11.下列选项正确的有（）A

.已知全集2320Uxxx=−+=，220Axxpx=−+=，UA=ð，则实数p值为3.B.若2,,1,,0baaaba=+，则202320231ab+=或1−C.已知集合2

20,RAxaxxa=++=中元素至多只有1个，则实数a的范围是18aD.若25Axx=−，121Bxmxm=+−，且BA，则3m.【答案】AD【解析】【分析】求出集合A，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出,ab判断B；利用已知分类讨论求解判

断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D作答.【详解】对于A，全集{1,2}U=，由UA=ð，得{1,2}A=，则1,2是方程220xpx−+=的两实根，解得3p=，A正确；对于B，由2,,1,,0baaaba

=+，得0,1,0baaa=，因此21a=，解得1,0ab=−=，则202320231ab+=−，B错误；对于C，依题意，当0a=时，由20x+=，得2x=−，此时集合A中只有一个元素；当0a时

，集合A中最多只有一个元素，即一元二次方程220axx++=最多一个实根，于是180a=−，解得18a，所以实数a的范围是0a=或18a，C错误；对于D，因为BA，所以当B=时，121mm+−，

解得2m；当B时，21215mm−+−，解得23m，综上，3m，D正确.故选：AD的12.已知a，b为正实数，且26abab++=，则（）．A.ab的最大值为8B.2ab+的最小值为4C.ab+的最小值为

423−D.1112+++ab的最小值为22【答案】BCD【解析】【分析】对条件进行变形，利用不等式基本性质对选项一一分析即可．【详解】A：因为6222abababab=+++，当且仅当2ab=时取等号，解不等式得322ab−，即2ab，故ab的最大值

为2，故A错误；B：由62abab=++得628211abaa−==−++，所以()()62882221422144111aabaaaaaa−+=+=++−+−=+++，当且仅当()8211aa+=+，

即1a=时取等号，此时取得最小值4，故B正确；C：8821342311abaaaa+=+−=++−−++，当且仅当811aa+=+，即221a=−时取等号，故C正确；D：111112221212222abababa

b+==+++++++，当且仅当12+=+ab，即221,222ab=−=−时取等号，此时1112+++ab取得最小值22，故D正确．故选：BCD．三、填空题（共20分）13.已知命题“Rx，21

0axax−+”是假命题，则实数a的取值范围是_____．【答案】)0,4【解析】【分析】根据已知命题的否定为真命题，转化为不等式恒成立问题，即可求解.的【详解】因为命题“Rx，210axax−+”是假命题，所以其否定“任意Rx，210axax−+”是真命题，即210axax−

+在R上恒成立，当0a=时，不等式化为10恒成立，当0a时，若210axax−+在R上恒成立，则()20Δ40aaa=−−，解得04a，综上所述，实数a的取值范围为)0,4.故答案为：)0,414.关于x的不等式2(2)

20mxmx+−−恰有三个整数解，则实数m的取值范围是_________.【答案】12(,]25−−【解析】【分析】根据一元二次不等式解法进行求解即可.【详解】()()2(2)20210mxmxmxx+−−+−,当0m=时，()

()()2102101mxxxx+−−，显然该不等式有无穷多个整数解，不符合题意，当0m时，()()2101mxxx+−，或2xm−，显然该不等式有无穷多个整数解，不符合题意，当2m=−时，()()()2210210mxxxx+−−−，不符合题意，当02m

−时，()()22101mxxxm+−−，要想三个整数解，只需2124525mm−−−，当2m−时，()()22101mxxxm+−−，此时无整数解，的综上所述：实数m的取值范围是12(,]25−−，故答案为：12(,]25−−【点睛】关键点睛：根据m的正负

性、结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论是解题的关键.15.对任意的正实数a，b，c，满足1bc+=，则23121ababca+++的最小值为_____________.【答案】1226−【解析】【分析】根据条件1bc+=，得到2312412(2)11ababcab

cacba++=+++++，利用基本不等式得到231212611abaabcaa+++++，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.【详解】因为222222312(31)12[3()]12(42)121111abaababbcabcbcbca

bcabcabca+++++++=+=+=+++++()412412121222266161111bcbcaaaacbacbaaa=+++++=+=++−++++1226(1)612261aa+−=−+，当且仅当21,2acb=−=时取等号

.故答案为：1226−.【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将23121ababca+++变形成22[3()]121abbcbca++++，再整理成412(2)1bcacba++++，再利用均值不等式

即可求出结果.16.《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，

C为线段AB上的点，且ACa=，BCb=，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号）①()0,02aba

bab+；②()2220,0ababab+；③()10,011ababab+；④()220,022ababab++．【答案】①③【解析】【分析】先明确2ab+，ab的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结

合不等关系，即可证明①③选项；由于22ab+在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项．【详解】由题意可知ABab=+，2abOAOBOD+===，由RtACD△∽RtDCB△可知CDACBCCD=，即2C

DACBCab==，所以CDab=；在RtOCD△中，ODCD，即()0,02ababab+，当ODAB⊥时，O，C点重合，ab=，此时()0,02ababab+=，所以①正确；在RtOCD△中，RtDEC△∽RtDCO△可得CDDEDOCD=，即2CDDEOD=，所

以222112CDababDEabODabab====+++，由于CDDE，所以111abab+，当ab=时，CDDE=，此时111abab=+，所以③正确；由于22ab+在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无

法通过这种几何方法来证明．故答案为：①③．四、解答题（共70分）17.已知集合{|121},{|25}PxaxaQxx=++=−.（1）若3a=，求R()PQð；（2）若“xP”是“xQ”充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）4{|}2xx−（2）(,2]−【

解析】【分析】（1）当3a=时，求得R{|4Pxx=ð或7}x，结合集合交集的运算，即可求解；（2）根据题意得到PQÜ，分P=和P，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当3a=时，集合{|47}Pxx=，可得R{|4

Pxx=ð或7}x，因为{|25}Qxx=−，所以R(){|24}PQxx=−ð.【小问2详解】解：若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，即PQÜ，当121aa++时，即a<0时，此时P=，满足PQÜ，当P时，则满足21121512aaaa++

++−且不能同时取等号，解得02a，即实数a的取值范围为(,2]−.18.已知0a，0b，且2ab+=．（1）求证：11413ab++；（2）求证：4222aabb++．【答案】（1）证明见解析（2）证明见

解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得证．（2）将2ab+=代入“4aabb+”中，从而利用基本不等式即可得证．【小问1详解】由2ab+=，所以13ab++=．所以()111111131ababab+=+++++1111422231313babaabab++

=+++=++，当且仅当112baabab+=++=，即3212ab==时取等号，所以11413ab++，由此得证．【小问2详解】因为()2422222222abaababaabbabb

abab++=+=+++=+，当且仅当22baabab=+=，即222422ab=−=−时取等号，所以4222aabb++，由此得证．19.已知函数()|1|fxax=−.（1）若2,1−是不

等式()3fx的解集的子集，求实数a的取值范围；（2）当1a=时，存在实数x，使得不等式(21)(2)23fxfxm+−−−成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）2,1−；（2）5,3−.【解析】【分析】（1）由不等式()3fx先求出ax

的范围，再对a分类讨论，利用集合间的关系求a的取值范围；（2）令()(21)(2)gxfxfx=+−−，将问题转化为求()gx的最小值，进而求实数m的取值范围.【详解】（1）由()3fx，得|1|3ax−，即313ax−−，24ax−，（*）当0a=时，（*）式显然成立；当0

a时，（*）式等价于24xaa−，2,1−是不等式()3fx的解集的子集，2241aa−−，解得01a；当a<0时，（*）式等价于42xaa−，2,1−是不等式()3fx的解集的子集，4221aa−−

，解得20a−.综上，21a−，所以实数a的取值范围为2,1−.（2）当1a=时，()|1|fxx=−.令()3,0(21)(2)2333,033,3xxgxfxfxxxxxxx−−=+−−=−−=−+，()()min03

gxg==−.存在实数x，使得不等式(21)(2)23fxfxm+−−−成立，5323,3mm−−，所以实数m的取值范围为5,3−.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立的问题，属于中档题.20.已知212

02axax++对任意实数x恒成立.（1）求实数a取值所构成的集合A;（2）在（1）的条件下，设函数2()1gxxxm=−+++在[0,1]上的值域为集合B，若xB是xA的充的分不必要条件，求实数m的

取值范围.【答案】（1）10,2A=（2）31,4−−.【解析】【分析】（1）通过讨论实数a是否为0时，即可通过解不等式求出实数a的取值所构成的集合A；（2）求出集合B，即可求出实数m的取值范围.【小问1详解】由题

意，21202axax++对Rx恒成立，当0a=时，原不等式变为102，符合题意;当0a时，21202axax++对Rx恒成立的充要条件为20,1Δ440,2aaa=−解得：102a.综上可知，实数a的取值所构成的集合10,2A=

【小问2详解】由题意，2215()1,[0,1]24gxxxmxmx=−+++=−−++，∴51,4Bmm=++，∵xB是xA的充分不必要条件，∴10,51,42mm++解得：314m−−，经检验

知314m−−满足题意，故实数m的取值范围为：31,4−−.21.小云家后院闲置的一块空地是扇形AOB，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，π3AOB=，2OA=.（1）在方案1中，设OEx=，EFy=，求x，y满足的关系式；（2）试比较两种方案，哪一种

方案游泳池面积S的最大值更大，并求出该最大值.【答案】（1）224240xxyy++−=（其中(0,1)x，(0,2)y）（2）选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为233【解析】【分析】（1）连接OC，在RtOCF中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；（

2）由（1）及基本不等式求得23xy，结合三角形面积公式求方案一的最大值；在连接OM，OC，设OEm=，EFn=，在RtOCM△中应用勾股定理得2234mmnn++=，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.【小问1详解】连接OC，OEx

=，EFy=，π3AOB=，2OA=，3DEx=，在RtOCF中()22()34xyx++=，x，y满足的关系式为224240xxyy++−=（其中(0,1)x，(0,2)y）；【小问2详解】方案1：设游泳池DE

FC的面积为(1)S，由（1）得2224242463xxyyxyxyxyxy++=+=，当且仅当2xy=，即13x=，23y=时等号成立，(1)2333Sxy=；方案2：设游泳池DEFC的面积为(2)S，取CF的中点M，连接OM，OC，设OEm=

，EFn=，在RtOCM△中223422mmn++=，所以()()223423423mmnnmnmn++=+−，当且仅当()231mn==−时等号成立，()(2)423Smn=−，

而()23143245885764230333−−−−==，则(1)max(2)maxSS，所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为233.22.（1）已知1x−，求函数()()231xxyx++=+最小值，并求出最小值时x的值；（2）若实数a，b，x，

y满足22221xyab−=，试比较22ab−和()2xy−的大小，并指明等号成立的条件；（3）利用（2）的结论，求431Mmm=−−−的最小值，并求出使得M最小的m的值．【答案】（1）当21x=−函数最小值为223+（2）()222abxy−−，当且仅当222

222bxayab=且x，y同号时等号成立（3）当1312m=时，M取得最小值32．【解析】【分析】（1）直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．（2）利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．（3）利用换元法和关系式的恒等变换的应用求出结果．【

详解】（1）∵1x−，∴10x+，()()()11122213213223111xxyxxxxx++++==+++++=++++，当且仅当211xx+=+，∴21x=−时取“＝”．所以当21x=−函数最小值为223+．（2）()()2222222222222222221x

ybxayabababxyabab−=−=−−=+−+，则()()()22222222222222bxayabxyxyxyxyab−−−=+−+−+−()2222222224242222222220bxaybxa

yabxybxayxyababab−−−−=−−==，所以()222abxy−−，当且仅当222222bxayab=且x，y同号时等号成立，此时x，y满足22221xyab−=．（3）令43xm=−，1ym=−，构造22221xyab−=求出21a=，214b=，因为

431Mmm=−−−，所以1m，()431321mmmm−=−+−−，0M，所以2213142Mxyab=−−=−=，取等号时，40xy=解得233x=，36y=，即1312m=，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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