【文档说明】安徽省示范高中培优联盟2021-2022学年高二上学期冬季联赛数学试题.pdf，共(3)页，416.874 KB，由小赞的店铺上传

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命题：六安二中袁绪信审题：含山中学王杉霍邱一中罗花制卷：等高教育第１页（共６页）命题：六安二中袁绪信审题：含山中学王杉霍邱一中罗花制卷：等高教育第２页（共６页）姓名座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用前安徽

省示范高中培优联盟２０２１年冬季联赛（高二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第１至第３页，第Ⅱ卷第４至第６页。全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。考生注意事项：１．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名

、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。２．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。３．答第Ⅱ卷时，必须使用０．５毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上獉獉獉獉书写，要求字体工

整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡獉獉獉规定的位置绘出，确认后再用０．５毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉獉，在试獉獉题卷獉獉、草稿纸上答题无效獉獉獉獉獉獉獉獉。４

．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题共６０分）一、选择题（本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）１．已知集合犃＝｛狓狘－２＜狓＜－１｝，犅＝｛－２，－１，０｝，则（犆犝犃）∩犅＝Ａ．｛－２

，－１，０，１｝Ｂ．｛－１，０，１｝Ｃ．｛－１，０｝Ｄ．｛－２，－１，０｝２．设（１＋ｉ）犪＝１＋犫ｉ（ｉ是虚数单位），其中犪，犫是实数，则直线犪狓－犫狔＋１＝０的斜率为槡槡Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．２３．圆台体积公式为

犞＝１３π犺（犚２＋犚狉＋狉２）；古称圆台为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周五丈，上周四丈，高三丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长５丈，上底周长４丈，高３丈，则它的体积为Ａ．６１４π立方丈Ｂ．６１１２π立方丈Ｃ．６１π４立方丈Ｄ．６

１π１２立方丈第４题图４．东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有１１００多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一．东寺塔基座为正方形，

塔身有１３级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称．如图，从东到西的公路上有相距８０（单位：ｍ）的犃、犅两个观测点，在犃点测得塔在北偏东６０°的点犇处，在犅点测得塔在北偏西３０°，塔顶犆的仰角为４５°，则塔的高度犆犇约为Ａ

．４０ｍＢ．３７ｍＣ．３５ｍＤ．２３ｍ５．已知α∈π２，３π（）２，且１２ｓｉｎ２α－５ｃｏｓα＝９，则ｃｏｓ２α＝Ａ．１３Ｂ．－７９Ｃ．７９Ｄ．１８６．函数狔＝ｅ狓ｅ狓＋ｅ－狓（－π≤狓≤π）的图象大致是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．７

．我国古代为了进行复杂的计算，曾经使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘．算筹有纵式和横式两种排列方式，０～９各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式……纵式和横式依次交替出现．如“”表示２１，“”表示

６０９．在“”、“”、“”、“”、“”按照一定顺序排列成的无重复数字的三位数中任取一个，取到奇数的概率是０１２３４５６７８９纵式横式Ａ．２５Ｂ．３１０Ｃ．３５Ｄ．７１０８．已知犘是椭圆狓２犪２１＋狔２犫２１＝１（犪１＞犫

１＞０）和双曲线狓２犪２２－狔２犫２２＝１（犪２＞０，犫２＞０）的一个交点，犉１，犉２是椭圆和双曲线的公共焦点，犲１，犲２分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠犉１犘犉２＝π３，则犲２１＋犲２２的最小值为槡Ａ．２３Ｂ．槡３２Ｃ．４＋槡２３Ｄ．１＋槡３２命题：六安二中袁绪信审题：含山中学

王杉霍邱一中罗花制卷：等高教育第３页（共６页）命题：六安二中袁绪信审题：含山中学王杉霍邱一中罗花制卷：等高教育第４页（共６页）二、选择题（本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得５分，部分选对的得２分

，有选错的得０分。）９．某城市一家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险。各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图，以下四个说法中，正确的有Ａ．３

０－４１周岁以上客户人数最多Ｂ．１８－２９周岁客户参保总费用最少Ｃ．丁险种不受客户青睐Ｄ．３０周岁以上的客户约占参保客户的８０％１０．已知犪，犫，犮分别是△犃犅犆三个内角犃，犅，犆的对边，下列四个命题中正确的是Ａ．若△犃犅

犆是锐角三角形，则ｓｉｎ犃＞ｃｏｓ犅Ｂ．若犪ｃｏｓ犃＝犫ｃｏｓ犅，则△犃犅犆是等腰三角形Ｃ．若犫ｃｏｓ犆＋犮ｃｏｓ犅＝犫，则△犃犅犆是等腰三角形Ｄ．若△犃犅犆是等边三角形，则犪ｃｏｓ犃＝犫ｃｏｓ犅＝犮ｃｏｓ犆１１．下列结论正确的是Ａ．已知点犘（

狓，狔）在圆犆：（狓－１）２＋（狔－１）２＝２上，则狔＋２狓的最小值是１Ｂ．已知直线犽狓－狔－１＝０和以犕（－３，１），犖（３，２）为端点的线段相交，则实数犽的取值范围为－２３≤犽≤１Ｃ．已知点犘（犪，犫）是圆狓

２＋狔２＝狉２外一点，直线犾的方程是犪狓＋犫狔＝狉２，则直线犾与圆相离Ｄ．若圆犕：（狓－４）２＋（狔－４）２＝狉２（狉＞０）上恰有两点到点犖（１，０）的距离为１，则狉的取值范围是（４，６）１２．已知犪

，犫为空间中两条互相垂直的直线，等腰Ｒｔ△犃犅犆的直角边犃犆所在直线与犪，犫都垂直，且犃犆＝１，等腰Ｒｔ△犃犅犆以直角边犃犆为旋转轴旋转一周形成几何体犠，则下列说法正确的是Ａ．几何体犠的内切球半径为槡２－１Ｂ．几何体犠的外接

球半径为槡２＋１Ｃ．旋转过程中直线犃犅与犪所成角的余弦值的最小值为槡２２Ｄ．旋转过程中直线犃犅与犪所成角的正弦值的最小值为槡２２（在此卷上答题无效）第Ⅱ卷（非选择题共９０分）三、填空题（本题共４小题，每小题５分

，共２０分。并把答案填在答题卡的相应位置。）１３．已知犳（狓＋２）＝ｌｎ狓－２狓，则犳（狓）的单调递增区间为．１４．已知定义域为犚的函数犳（狓）满足犳（狓＋１）＝犳（１－狓），且在区间［１，２］上犳（狓）是增函数，若犪＝ｓｉｎπ７，犫＝ｓｉｎ４π７

，犮＝ｓｉｎ５π７，则犳（犪），犳（犫），犳（犮）的大小关系为．１５．设抛物线犆：狔２＝２狆狓的焦点为犉，点犕在犆上，狘犕犉狘＝５，若以犕犉为直径的圆过点（０，２），且狆＞狘犕犉狘，则抛物线犆的标准方程为．１６．希罗平均数（犎犲狉狅狀犻犪狀犿犲犪狀）是两个非

负实数的一种平均，设犪，犫是两个非负实数，则它们的希罗平均数犎＝犪＋槡犪犫＋犫３．在直角△犃犅犆中，犆＝π２，则ｓｉｎ犃，ｓｉｎ犅的希罗平均数的取值范围为．四、解答题（本题共６小题，共７０分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）１７．（１０分）已知

向量犿＝（ｃｏｓ狓，ｓｉｎ狓），狀＝（ｃｏｓ狓，槡３ｃｏｓ狓），狓∈犚，设函数犳（狓）＝犿·狀－１２．（１）求函数犳（狓）的解析式及最小正周期；（２）设犪，犫，犮分别是△犃犅犆三个内角犃，犅，犆的对边，若犳（犃）＝１，犫＋犮＝槡２２，△犃犅犆的面积为１２，求犪的值．１８．（１２分

）饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础．２０２１年５月１３日下午，习近平总书记在河南省南阳市先后考察了陶岔渠首枢纽工程、丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍．为了提高节约用水意识，培优联盟从参加冬季联赛的学生中随机选取１００人的节约用水知识竞赛成绩作

为样本，得到如图所示的频率分布直方图．命题：六安二中袁绪信审题：含山中学王杉霍邱一中罗花制卷：等高教育第５页（共６页）命题：六安二中袁绪信审题：含山中学王杉霍邱一中罗花制卷：等高教育第６页（共６页）（１）求频率分布直方图中犪的值，并估计此次参赛学生成绩的平均分狓（同一组数

据用该组区第１８题图间的中点值代表）；（２）在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于６５分的学生中随机抽取６人调查他们的答题情况，再从这６人中随机抽取３人进行深入调研，求这３人的成绩全部不低于５５分的概率．１９．（１２分）若函数犳（狓）＝狓２－狓＋犫，且犳

（ｌｏｇ２犪）＝犫，ｌｏｇ２犳（犪）＝２（犪≠１）．（１）求犳（２狓）的最小值及对应的狓的值；（２）当狓取何值时，犳（ｌｏｇ２狓）＞犳（１），且ｌｏｇ２犳（狓）＜犳（１）．２０．（１２分）若对定义域内任意狓，都有犳（狓＋犪）＞犳（狓）（犪＞０），则称函数犳（狓）为“隔断”增函数，犪称隔断

距离．（１）若犳（狓）＝狓３－２狓，狓∈犚是“隔断”增函数，求隔断距离犪的取值范围；（２）若犳（狓）＝３狓２＋犽狘狓狘，狓∈（－１，＋∞），其中犽∈犚，且为“隔断”增函数，隔断距离为２，求实数犽的取值范围．２１．（１２分）如图，一个正△犃犅犆′和一个平行四边形犃犅犇犈在同一个平面内

，其中犃犅＝８，犅犇＝犃犇＝槡４３，犃犅，犇犈的中点分别为犉，犌．现沿直线犃犅将△犃犅犆′翻折成△犃犅犆，使二面角犆犃犅犇为１２０°．（１）在线段犆犈上是否存在点犎，使平面犆犇犉∥平面犃犌犎，若存在，指出点犎

位置，若不存在请说明理由面；（２）求二面角犆犇犈犉的正弦值．２２．（１２分）已知椭圆犆：狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）的长轴长为槡４２，离心率犲＝槡３２．（１）求椭圆犆的标准方程；（２）已知斜率为１２的直线犾与椭圆犆交于两个不同的

点犃，犅，点犘的坐标为（２，１），设直线犘犃与犘犅的倾斜角分别为α，β，证明：ｔａｎα＋ｔａｎβ＝０．