【文档说明】内蒙古赤峰市第二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题 含解析 .docx，共(19)页，1.637 MB，由小赞的店铺上传

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赤峰二中2021级高三上学期第二次月考文科数学试题一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合12Axx=−，220Bxxx=+，则AB=（）A.02xxB.02xxC.10xx−

D.10xx−【答案】D【解析】分析】解不等式确定集合B，再由交集定义计算．【详解】由题意20{|}Bxx=−，所以{10}ABx=−．故选：D．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查解一元二次不等式，属于基础题．2.复数2i1iaz−+=+在复平面上对应的点位于

虚轴上，则实数a的值为（）A.1B.2C.1−D.2−【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，然后根据实部为0可解.【详解】()()()()2i1i2i22i1i1i1i22aaaaz−+−−+−+===+++−，因为复数z对应点在虚轴上，所以202a−=，解得2a=.故选：B3.已知

角是第一象限角，3cos5=，则πcos3+=（）A.310B.34310−【C.43310−D.34310+【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系及两角和余弦公式求解即可.【详解】因为角是第一象

限角，3cos5=，所以24sin1cos5=-=，所以πππ1343343coscoscossinsin333255210−+=−=−=.故选：B4.已知ABC中，“sinsinAB”是“coscosAB”成立

的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由三角形大边对大角可知sinsinABAB，由cosyx=在()0,上的单调性可得coscosABAB，由此可确定结果.【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：sins

inABabAB，又(),0,AB，cosyx=在()0,上单调递减，coscosABAB，即sinsincoscosABAB，“sinsinAB”是“coscosAB”成立的充分必要条件.故选：C.5.设{}na是等比数列，且1231aa

a++=，234+2aaa+=，则678aaa++=（）A.12B.24C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得q的值，再由()5678123aaaqaaa++=++可求得结果.【详解】设等比数列na的公比为q，则()2123111aaa

aqq++=++=，()232234111112aaaaqaqaqaqqqq++=++=++==，因此，()5675256781111132aaaaqaqaqaqqqq++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．6.若()()3abcbcabc+

++−=，且coscoscBbC=，那么ABC是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出cosA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值，再利用coscoscBbC=结合余弦定理可得出bc

=，即可得出结论.【详解】因为()()3abcbcabc+++−=，则()223bcabc+−=，可得222bcabc+−=，由余弦定理可得2221cos22bcaAbc+−==，因为()0,πA，所以，π3A=，因为coscoscBbC=，则222

22222acbabccbacab+−+−=，整理可得bc=.所以，ABC为等边三角形.故选：A.7.设5log2a=,0.5log0.4b=,25c=,则()A.abcB.bacC.c<a<bD.acb【答案】C【解析】

【分析】根据5255525322==，可得525555log5log2，从而可得ca，再根据0.50.5log0.4log0.51=，55log2log51=，可得ab，进而可求解.【详解】因为5255525322==，所

以525555log5log2，52log25，即ca，又0.50.5log0.4log0.51=，55log2log51=，则ab，所以c<a<b.故选：C.8.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市

永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别

为30和45，在A处测得楼顶部M的仰角为15，则鹳雀楼的高度约为（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A【解析】【分析】求出AC，30CMA=，45CAM=，在ACM△中，由正弦定理求出742MC=，从而得到M

N的长度.【详解】在RtABC△中，37sinsin30ABACACB==o，180105ACMACBMCN=−−=，153045CAM=+=，在ACM△中，18030CMAMACACM

=−−=，由sin30sin45ACMC=，237sin45sin45742sin30sin30ACMC===，在RtMNC△中，sin4574MNMC==o.故选：A9.已知定义在R上的奇函数()fx满足()()2=fxfx−.当01x时

，()3xfxa=+，则()()20222023ff+=（）A.4−B.2−C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据()()2=fxfx−且()fx为奇函数得到4是()fx的一个周期，根据()fx为奇函数得到()00f=，可求得()

fx的解析式，然后利用周期性和奇偶性即可求()()20222023ff+.【详解】因为()()2=fxfx−，且()fx为奇函数，所以()()2fxfx−−=，()()()42fxfxfx−−=−=−，即()(

)4fxfx=−，所以4是()fx的一个周期，因为()fx为定义在R上的奇函数，所以()00f=，即030a+=，解得1a=−，则()31xfx=−，()()()()202245042200ffff=+===，()()()()20

2344061112ffff=−=−=−=−，所以()()202220232ff+=−.故选：B.10.将函数()sin2fxx=的图像向右平移π02个单位后得到函数()gx的图像，若对满足(

)()122fxgx−=的12xx，，有12minπ3xx−=，则=（）A.5π12B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换规律求出()gx，再利用三角函数图象的性质求解即可.【详解】∵()sin2fxx=，∴()()sin22g

xx=−，由于()()122fxgx−=，可知()1fx和()2gx分别为两个函数的最大值和最小值，不妨设111π22π+,2xkk=Z,222π222π,2xkk−=−Z，则()1212ππ+2xxkk−=−−，12,kkZ，由于12minπ3

xx−=，可得ππ23−=，解得π6=，故选：D.11.在四面体SABC−中，,2,2ABBCABBCSASC⊥====，平面SAC⊥平面BAC，则该四面体外接球的表面积为（）A.163B.8C.83D.4【答案】A【解析】【分析】首先找到底

面三角形的外接圆圆心和半径，确定过该圆心与底面的垂线，在垂线上设球心，由勾股定理，求出半径，可得答案.【详解】ABBC⊥，2ABBC==，2AC=，2SASC==，SAC为等边三角形，又平面SAC⊥平面BAC，取AC中点D，连接SD，

则球心O在SD上，如下图：则OCOSr==，有213rr+−=，解得233r=，该四面体外接球的表面积为163.故选：A.12.函数()()π2sin0,02fxx=+的部分图象如图所示，()()1232fxfx==−，则下列四个选项中正确的个数为（）①

()21π3cos64xx−=②函数()yfx=在2,5上单调递减；③函数()yfx=在3,6上的值域为1,1−；④曲线()yfx=在=1x−处的切线斜率为3π3．A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】【分析】首先根据

函数图象求函数的解析式，根据124xx+=−，代入214xx=−−后，即可运算求值，即可判断①；结合三角函数的性质，整体代入，即可判断②③，利用函数导数的几何意义，即可判断④.【详解】由图可知，()0

2sin1f==，且π02，则π6=，周期2π5T=，2π05，55π2sin0226f=+=，得5ππ26k+=，Zk，则π2π155k=−+，Zk，当1

k=时，π3=，所以()ππ2sin36fxx=+，对于①，令ππππ,Z362xkk+=−，得32=−xk，Zk，当0k=时，2x=−，即函数()yfx=在y轴左侧离y轴最近的对称轴为2x=−，由图可知，124xx

+=−，即214xx=−−，且()11ππ32sin362fxx=+=−，即1ππ3sin364x+=−，所以()()21111ππ2ππ2ππcoscos42coscos663333xxxxx−=−−=−−=+

11πππππ3cossin362364xx=++=−+=，故①正确；对于②，当2,5x，ππ5π11π,3666x+，sinyx=在区间5π11π,66不单调，所以sinyx=在区间2,5上不单调，故②错误；

对于③，当3,6x，ππ7π13π,3666x+，ππ1sin1,362x+−，则()2,1fx−，所以函数()yfx=在3,6上的值域为2,1−，故③错误；对于④，因为()ππ2sin36fxx=

+，所以()2πππcos336fxx=+，()3π13f−=，所以曲线()yfx=在=1x−处的切线斜率为3π3，故④正确.故选：C二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知抛物线()220ypxp=的焦点为F，直线

4y=与抛物线交于点M，且4MF=，则p=___________．【答案】4【解析】【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案.【详解】把4y=代入抛物线方程22ypx=（0p），得8xp=，得8,4Mp

，根据抛物线的定义有842pMFp=+=，解得4p=，故答案为：414.已知()0,π、，tan与tan是方程23340xx++=的两个根，则+=___________．【答案】4π3【解析】【分析】根据tan与t

an是方程23340xx++=的两个根，顶顶顶tantan330,tantan40+=−=，且π,π2、，再利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为()0,π、，且

tan与tan是方程23340xx++=的两个根，所以tantan330,tantan40+=−=，且π,π2、，所以()tantan33tan301tantan14+−+===−−，且3ππ,2+

，所以4π3+=，故答案为：4π315.已知ABC中，若2π,2,3AcABC==的面积为3,2D为BAC的平分线与边BC的交点，则AD的长度是__________.【答案】23【解析】【分析】根据三角形面积公式，结合三角形

角平分线的性质、余弦定理进行求解即可.【详解】因为ABC的面积为32，所以13133sin2122222bcBACbb===，由余弦定理可知：14122172BC=+−−=

，因为BAC是角平分线，所以2723ABBDBDACDC===，在三角形ABC中，由余弦定理可知：4715cos22727B+−==，在三角形ABD中，由余弦定理可知222827522cos42293327ADABB

DABBDB=+−=+−=，故答案为：23【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形角平分线的性质.16.已知直线yaxa=+与曲线lnyxb=+相切，则5ab−的最小值为__________.【答

案】2ln2【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义找出,ab所满足的关系式，然后利用导数研究函数的最值求5ab−的最小值即可.【详解】设切点为()()0001,ln0,xxbxyx+=，则0001lnaxxbaxa=+=+，解得：000

111lnaxbxx==+−，所以0000051451lnln1abxxxxx−=−+−=+−.令()4ln1gxxx=+−,所以22144()xgxxxx−=−=，令()0gx

，解得>4x，令()0gx,解得04x，所以()gx在(0,4)上单调递减，在(4,)+上单调递增，所以min()(4)2ln2gxg==.故答案为：2ln2.三、解答题：共70分.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：每题12分，共60分.17.已知函数()()2cossin3cos3fxxxx=−+.（1）求()fx的最小正周期和()fx的单调递减区间；（2）当,2x

时，求函数()fx的最小值及取得最小值时x的值.【答案】（1）π；()511,1212kkkZ++；（2）当1112=x时，函数()yfx=取得最小值，最小值为2−．【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出()2sin23fxx=−

，利用周期公式可计算出函数()yfx=的最小正周期，解方程()23xkkZ−=可得出函数()yfx=的对称中心坐标；解不等式()3222232kxkkZ+−+，可得出函数()yfx=的单调递减区间；（2）由,2x

，计算出23x−的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的x的值.【详解】（1）()21cos22sincos23cos3sin22332xfxxxxx+=−+=−+sin23cos22sin23xxx=−=−，所

以，函数()yfx=的最小正周期为22T==.由()23xkkZ−=，可得()26kxkZ=+，函数()yfx=的对称中心为(),026kkZ+；解不等式()3222232kxkkZ+−+，解得()5111212kx

kkZ++.因此，函数()yfx=的单调递减区间为()511,1212kkkZ++；（2）当,2x时，252333x−，当3232x−=

时，即当1112=x时，函数()yfx=取得最小值，最小值为2−．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.记等差数列na的前n项和为nS，已知585S

=，且617aa=．（1）求na和nS；（2）设15nnnbaa+=，求数列nb前n项和nT．【答案】（1）61nan=−；232nSnn=+；（2）65nTnn=+．【解析】【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前n项和；（2）利用

裂项相消法求和.【小问1详解】设na的公差为d，因为15535()5852aaSa+===，所以317a=，又617aa=，所以()1737172dd+=−，解得6d=，所以()()3317366

1naandnn=+−=+−=−，()()125613222nnnaannSnn++−===+．【小问2详解】()()155511616566165nnnbaannnn+===−−+−+，所以51111111165

11111767616165nTnnnn=−+−++−+−−−−+511656565nnn=−=++．19.在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()coscoscosbAcBcaB−=−．（1）求角B的值；（2）若24ac+=，点D是AC边上靠近点C的

三等分点，求BD的取值范围.【答案】（1）π3B=（2）234,33【解析】【分析】（1）首先由正弦定理，边化角，再根据三角函数恒等变换，化简求角；（2）首先利用基底表示向量BD，再根据数量积的运算，结合条件，即可求解.【小问1详解】∵()coscoscosbAcBcaB−=−．

∴由正弦定理，得()sincossincossinsincosBACBCAB−=−．∴sincoscossin2sincosABABCB+=．∴()sin2sincosABCB+=．又πABC++=，∴()sinsinABC+=．又∵

0πC，∴1cos2B=．又()0,πB，∴π3B=．【小问2详解】由题意可知，()1133BDBCCDBCCABCBABC=+=+=+−,即2133BDBCBA=+，所以22222141433999BDBCBABCBABCBA=+=++，22222

41414129992999BDacacacac=++=++，222411411942922acacacac=++=+−，且122ac+=，所以()2411624429299B

Dacaa=−=−−，()224816412199999aaa=−+=−+，由24ac+=可知，02a，所以2416,39BD，则BD的取值范围是234,33.20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的短轴长为22，一个焦点为1(2,0)

F−．（1）求椭圆E的方程和离心率；（2）设直线:20lxmy−−=与椭圆E交于两点,AB，点M在线段AB上，点1F关于点M的对称点为C．当四边形1AFBC的面积最大时，求m的值．【答案】（1）22162xy+=，63（2）1m

=【解析】【分析】（1）根据,,abc求椭圆方程和离心率；（2）首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形面积，并利用基本不等式求最值.【小问1详解】的由题设2222,222,.cbabc===+解得

6,2.ab==所以椭圆E的方程为22162xy+=．E的离心率为63ca=．【小问2详解】设椭圆E的另一个焦点为2(2,0)F，则直线l过点2F．由222,36xmyxy=++=得22(3)420mymy++−=．设1122(,),(,)AxyBxy，则12243myym−+

=+，12223yym−=+．由题设，点M为线段1FC的中点，所以点1F和点C到直线AB的距离相等．所以四边形1AFBC的面积为1FAB面积的2倍．又122203yym−=+，所以111212122()2FABAFBCSSFFyy==+

四边形212121244()4yyyyyy=−=+−．所以122222221681486(3)3(3)AFBCmmSmmm+=+=+++四边形．设21tm=+，则1t．所以1218686434(2)4AFBCtSttt==+++四边形．当且仅当2t=，即1m=时，143四边形AFBCS=

．所以四边形1AFBC的面积最大时，1m=．21.函数()()21lnfxxax=−+的定义域为1,4+，并且在定义域内恰有两个极值点1x，()212xxx.（1）求实数a的取值范围；（2）若()21fxx恒成立，求出实

数的取值范围.【答案】（1）31,82a（2）2e1e−【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据两个极值点得到2Δ480?1122044aa=−−+，解得答案.（2

）题目转化为()21minfxx，令11tx=−，设()2ln1gtttt=−++，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【小问1详解】()22222axxafxxxx−+=−+=，()fx在1,4+上有两个极值点，则方程2220xxa−+=在1,4+

上有两个不等根，所以2Δ480?1122044aa=−−+，解得：3182a，故31,82a【小问2详解】12121,2axxxx+==，且111211,242ax−−=，若()21fxx恒成立，即()21fxx

恒成立，则只需：()21minfxx，()()()2222211211111ln2ln1fxxaxxxxxxxx−++−==()()()()11111111121ln1121ln11,

()42xxxxxxx=+−−=−+−−+令11tx=−，则1324t，设()132ln1,()24gttttt=−++，则()12lngtt=+，由()12ln0gtt=+=得1et=，当e11,2t时，()0gt

，函数单调递减；当134e,t时，()0gt，函数单调递增.所以()gt1et=处取得最小值，所以()e21e1gtg=−，即()21ee21fxx−，所以2e1e−.【点睛】关键点睛：

本题考查了根据极值点求参数，利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式转化为函数的单调性求最值是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任

选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1,3xtyt=+=（t为参数），曲线2C的参数方程为2(cossin),cossinxy=+=−（为参数）．（

1）将曲线2C的参数方程化为普通方程；（2）已知点(1,0)M，曲线1C和2C相交于A，B两点，求11||||MAMB−．在【答案】（1）22142xy+=（2）13【解析】【分析】（1）利用22(cossin)(cossin)2++−=消参即可求解普通方程；（2）结合条

件写出直线l过点(1,0)M的标准参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解即可.【小问1详解】由2C的参数方程得：2222(cossin)(cossin)22xy++−=+=，所以曲线2C的普

通方程为：22142xy+=．【小问2详解】由已知得：曲线1C为过点(1,0)M的直线，其标准参数方程形式为：11,232xtyt=+=（t为参数），联立1C和2C的方程得：2213124022tt

++−=，即274120tt+−=，Δ0，设1C与2C的两个交点A，B对应的参数分别为1t，2t，所以1247tt+=−，12127tt=−，因为121207tt=−，由t的几何意义得：12121

2121111111||||3ttMAMBtttttt+−=−=+==．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2323fxxx=−++．（1）解不等式()8fx；（2）设函数()fx的最小值为M，若正数a，b，c满足111236Mabc++=，证明

：239abc++．【答案】（1）22xx−；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分32x−，3322−x，32x三种情况讨论解不等式，最后再取并集即可；（2）先由绝对值三角不等式求出M，再由()111232323abcabcabc++=++++结合基本不等式求解

即可.【小问1详解】当32x−时，()32234fxxxx=−−−=−，由()8fx可得2x−，则322x−−；当3322−x时，()32236fxxx=−++=，由()8fx可得显然成立，则3322−

x；当32x时，()23234fxxxx=−++=，由()8fx可得2x，则322x；综上：不等式()8fx的解集为22xx−；小问2详解】()()()232323236fxxxxx=−++−−+=，当且仅当()()23230xx−+即3322x−时取等，6M=，

则111123abc++=，又a，b，c均正数，则()121123233323332232aabacbcbbcabcaabcaccb++=++++=++++++32229323

23232abacbcbaaccb+++=，当且仅当22332332abbaaccabccb===，即3321abc===时等号成立，则239abc++.【为获得更多资源请

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