【文档说明】云南省昆明市第一中学2023届高三上学期第一次摸底测试数学试题 含解析.docx，共(26)页，758.318 KB，由管理员店铺上传

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昆明市第一中学2023届高中新课标高三第一次摸底测试数学试卷考试时间：8月17日15：00-17：00一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足322i(1i)z+=+，则z的虚部为（）A.iB.i−C.1D.1

−2.设集合*ln1,2,1,0,1,2AxxB==−−N∣，则BA=ð（）A.2,1−−B.2,1,0−−C.D.2,1,0,1,2−−3.函数()yfx=的图像与函数3xy=的图像关于直线yx=对称，则()()39ff+=（）A.1B.2C.3D.44.已知从双曲

线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为60，则该双曲线的离心率为（）A.33B.3C.2D.45.2021年5月15日7时18分，我国首个自主研发的火星探测器“天问一号”，在经历了296天的太空之旅，总距离约4.7亿公里的飞行后，天问一号火星探测

器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体，成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破.已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的两倍，地球自转一周为24小时，而火星自转一周约为25小时.地球与火星均视为球体，则火星的表面积约为地球表面积的（）A.27%B.

37%C.47%D.57%6.某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为32，则该圆台的体积为（）A.3B.73C.53D.237.某师范类高校要安排6名大学生到3个高级中学进行教育教学实习，每个中学至少安排1人，其中甲中学至少要安排3人实习，则不同的安排方

法种数为（）A.30B.60C.120D.1508.若ln2ln3ln8,,2322abc===，则（）A.abcB.bcaC.acbD.cba二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.相关系数r的绝对值越大，变量的线性相关性越强B.某人每次射击击中目标的概率为23，若他射击6次，击中目标的次数为X，则()4EX=C.若随机变量X满足()2,XN，且(6)(2

)0.2PXPX=−=，则(26)0.3PX=D.若样本数据12105,5,,5xxx+++的方差是12，则数据1210,,,xxx的方差是710.如图，正方体1111ABCDABCD−中，P是线段11AC上的动点，则（）A.11AC⊥

平面1ABDB.111ACDB⊥C.11AC与1AD所成角的余弦值为12D.三棱锥1ACPD−的体积为定值11.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=上的动点M到焦点F的距离最小值是3，经过点()2,1P−的直线l与C

有且仅有一个公共点，直线PF与C交于,AB，则（）A.抛物线C的方程为26xy=B.满足条件的直线l有2条C.焦点F到直线l的距离为2或32或10D.60AB=12.已知函数()()*Nfxx与()()*Ngxx满足：①()11f=，②(

)()()()()()1234...2fffffxfxx+++++=−，③()()()gxfxfx=−−，则下列结论正确的是（）A.()fx在定义域内单调递增B.()()()()11123...10212ffff++++=−C.()gx在定义域

内单调递减D.当*Nx时，存在*Nt使得()()20gxgxt+−成立三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆221:3100Oxyxy++−−=和圆222:240Oxyy+−−=交于,AB两点，则直线AB

的方程是___________.14.若函数()sincosfxaxx=+的图像关于直线6x=对称，则=a___________.15.已知任意平面向量(),ABxy→=，把AB→绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量()cossin,sincosxyxyAP→=−+，

叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点()1,1A−，点()13,0B−+，把点B绕点A沿逆时针方向旋转53π得到点P，则向量AB→在向量AP→上的投影向量为___________.（用坐标作答）

16.已知函数()e1xfxtxxx=−+在区间()0,+上有且只有一个极值点，则实数t的取值范围为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABC的内角,,ABC所对边分别为,,abc，且222sinsins

in2sinsinABCBC−=−.（1）求A；（2）若3a=，求ABC面积的最大值.18.已知数列na的前n项和为,0nnSa，且2241nnnaaS+=−.（1）求na的通项公式；（2）设1nnnnSbaa+=的前n项和为nT，求nT.19.如图，三棱柱111ABCA

BC−中，平面ABC⊥平面1111,,2,60AACCABACAAABACAAC⊥====，过1AA的平面交线段11BC于点E（不与端点重合），交线段BC于点F.（1）证明：1//AAEF；（2）若2BFFC=，求直线11AC与平面1AFC所成角

的正弦值.20.甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为(01)pp，甲赢的概率为1p−，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，

则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:PP甲乙分配奖金.（1）若34p=，则乙应该得多少奖金；（2

）记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率()fA，并判断当23p…时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于0.05，则称随机事件为小概率事件）21.已知椭圆222

2:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为12,FF，且焦距长为2，过1F且斜率为24的直线与椭圆E的一个交点在x轴上的射影恰好为2F.（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点()0,2B作一条与y轴不重合的直线，

该直线交椭圆E于,CD两点，直线,ADAC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.求证：ABG与AOH△的面积之积为定值，并求出该定值.22.已知函数()()ln1fxxax=−+且()0fx恒成立.（1）求实数a；（2）若函数()gx满足()()()2*

2111,1,,2+==−nggngnnnnN，证明：()egn.昆明市第一中学2023届高中新课标高三第一次摸底测试数学试卷考试时间：8月17日15：00-17：00一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40

分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足322i(1i)z+=+，则z的虚部为（）A.iB.i−C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】利用复数概念、复数的四则运算求解.【详解】3222222i2i2i(2i)i2ii12i1i(1i)1i2i2

i2i222z+−−−−+=======−−+++−−，所以z的虚部为-1.故A，B，C错误.故选：D.2.设集合*ln1,2,1,0,1,2AxxB==−−N∣，则BA=ð（）A.2,1−−B.

2,1,0−−C.D.2,1,0,1,2−−【答案】B【解析】【分析】通过解对数不等式以及集合的补集运算求解.【详解】因为*ln1Axx=N∣，由ln1x有：0ex，所以1,2A=，又2

,1,0,1,2B=−−，所以2,1,0BA−=−ð，故A，C，D错误.故选：B.3.函数()yfx=的图像与函数3xy=的图像关于直线yx=对称，则()()39ff+=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用反函数以及对数的运算性质求解.【详解】因为()yfx=的图

像与函数3xy=的图像关于直线yx=对称，所以()3logfxx=，所以()()3339log3log9123ff+=+=+=，故A，B，D错误.故选：C.4.已知从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为60，则该双曲线的离心率为（）A.33B.3C.2D.4【答案】C【解析】【

分析】设双曲线的半实轴长为a，半虚轴长为b，根据题意可得,ab的关系，再结合双曲线基本量的关系求解即可.【详解】由题意，设双曲线的半实轴长为a，半虚轴长为b，设双曲线虚轴的一个端点B看两个顶点12,AA的视角为60

，则12ABA为正三角形.则无论双曲线的焦点在x还是y轴时，都有tan603ba==，故离心率为2212ba+=.故选：C5.2021年5月15日7时18分，我国首个自主研发的火星探测器“天问一号”，在经历了296天的太空之旅，总距离约4.7亿公里的飞行后，天问一号火星探

测器所携带的祝融号火星车及其着陆组合体，成功降落在火星北半球的乌托邦平原南部，实现了中国航天史无前例的突破.已知地球自转的线速度约为火星自转线速度的两倍，地球自转一周为24小时，而火星自转一周约为25小时.地球与火星均视为球体，则火星

的表面积约为地球表面积的（）A.27%B.37%C.47%D.57%【答案】A【解析】【分析】令地球、火星半径分别为,Rr，结合题设有2548rR=，应用球体表面积公式即可得火星的表面积相对地球表面积的数量关系.【详解】令地球、火星半径分别为,Rr，则2222425Rr=

，故2548rR=，所以火星的表面积约为地球表面积22427%4rR.故选：A6.某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为32，则该圆台的体积为（）A.3B.73C.53D.23【答案】B【解析】【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，

结合题意，准确运算，即可求解.【详解】设圆台的母线长为l，高为h，因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为32，可得()(21)32Rrll+=+=，解得2l=，所以圆台的高为222()2(21)1hlRr=−−=−−=，所以圆台的体积为22117()(4

21)1333VRRrrh=++=++=.故选：B.7.某师范类高校要安排6名大学生到3个高级中学进行教育教学实习，每个中学至少安排1人，其中甲中学至少要安排3人实习，则不同的安排方法种数为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】根据题意，分甲中学安

排3人实习和安排4人实习两种情况讨论求解即可.【详解】解：当甲中学安排3人实习时，有322632CCA120=种可能的情况；当甲中学安排4人实习时，有4262CA30=种可能的情况，所以，满足条件的安排方法有1203015

0+=种.故选：D8.若ln2ln3ln8,,2322abc===，则（）A.abcB.bcaC.acbD.cba【答案】A【解析】【分析】设()lnxfxx=，用导数判断出()fx的单调性由此判断cb、的大小，再利用做差法可判断ab、的大小，可得答案.【详解】设()lnx

fxx=，则()21ln()0−=xfxxx，当()0,ex时，()0fx，所以()fx在(0,e)上递增，()fx在()e，+上递减，因为e223，所以()()223ff，cb，因为ln3ln22ln33ln2ln9ln803266−−−=−==ba，所以

ba；故abc.故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.相关系数r的绝对值越大，变量的线性相关性越强B.某人每次射击击中目标的概率为23，若他射击

6次，击中目标的次数为X，则()4EX=C.若随机变量X满足()2,XN，且(6)(2)0.2PXPX=−=，则(26)0.3PX=D.若样本数据12105,5,,5xxx+++的方差是12，则数据1210,,,xxx的方差是7【答案】ABC【解析】【分析】由相

关系数的实际意义判断A；应用二项分布期望公式求X的期望判断B；根据正态分布对称性及已知条件得2=，再由对称性求概率判断C；利用方差的性质求原数据的方差判断D.【详解】A：由相关系数的实际意义：绝对值越大，变量线性相关性越强，正确；B：由题意，击中目标的次数X服从2(6,)3B分布

，故2()643EX==，正确；C：根据正态分布的对称性及已知条件知：2=，故(26)0.5(6)0.3PXPX=−=，正确；D：由(5)12DX+=，故数据1210,,,xxx的方差()12DX=，错误.故选：ABC10.如图，正

方体1111ABCDABCD−中，P是线段11AC上的动点，则（）A.11AC⊥平面1ABDB.111ACDB⊥C.11AC与1AD所成角的余弦值为12D.三棱锥1ACPD−的体积为定值【答案】BCD【解析】【分析】利用线面垂直定理、异面直线所成角的求法以及棱锥的体积公式求解

判断.【详解】对于选项A，正方体1111ABCDABCD−中，11ADAD⊥，1ADAB⊥,又1ADABA=，所以1AD⊥平面1ABD，又1111ADACA=，故A不正确；对于选项B,正方体1111ABCDABCD−中，1111ACBD⊥，111ACBB⊥

,又1111BDBBB=，所以11AC⊥平面11BDDB，又1DB平面11BDDB，所以111ACDB⊥，故B正确；对于选项C,正方体1111ABCDABCD−中，11//ADBC，所以11AC与1AD所成角即为11AC与1BC所成角，因为

11ABCV是等边三角形，所以11AC与1BC所成角为3，即11AC与1AD所成角的余弦值为12，故C正确；对于选项D,正方体1111ABCDABCD−中，因为11//ACAC，所以无论P在线段11AC上怎么移动，点P到平面1ACD的距离是定

值，又1ACD△的面积是定值，11ACPDPACDVV−−=，所以即三棱锥1ACPD−的体积为定值，故D正确.故选：BCD.11.已知抛物线2:2(0)Cxpyp=上的动点M到焦点F的距离最小值是3，经过点(

)2,1P−的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于,AB，则（）A.抛物线C的方程为26xy=B.满足条件的直线l有2条C.焦点F到直线l的距离为2或32或10D.60AB=【答案】CD【解析】【分析】由题设可

得32p=即可得抛物线方程，设过P的直线方程并联立抛物线得到一元二次方程，由0=求切线方程，结合点与抛物线位置判断交点只有一个的直线条数，再由点线距离公式求F到直线l的距离，写出PF的方程弦长公式求AB.【详解】由题设知：32p=，则6p=，故2:12Cx

y=且(0,3)F，A错误；因为()2,1P−在C外，令过P的直线(2)1ykx=−−与C相切，所以21224120xkxk−++=，若214496480kk=−−=，可得13k=−或1k=，故310xy++=

、30xy−−=与C相切，又2x=与C只有一个交点，所以过()2,1P−与C有且仅有一个公共点的直线共有三条，B错误；对于310xy++=，F到直线l的距离1|091|1019d++==+；对于30xy−−=，F到直线l的距离2|033|3211d−−==+；对于2x=，F到直线l的

距离32d=，C正确；由题设，PF为230xy+−=，联立2:12Cxy=，可得224360xx+−=，则24,36ABABxxxx+=−=−，故221||5(24)4(36)60ABABkxx=+−=−−−=，D正确.故选：CD12.已知函数()()*Nfxx与()()*Ngxx

满足：①()11f=，②()()()()()()1234...2fffffxfxx+++++=−，③()()()gxfxfx=−−，则下列结论正确的是（）A.()fx在定义域内单调递增B.()()()()11123...10212fff

f++++=−C.()gx在定义域内单调递减D.当*Nx时，存在*Nt使得()()20gxgxt+−成立【答案】ABD【解析】【分析】先根据①②，利用累加法可得()21xfx=−，进而得到()2

2xxgx−=−【详解】由()()()()()()1234...2fffffxfxx+++++=−得()()()()()()()1234...1211fffffxfxx+++++−=−−−，两式相减可得：()()()2211fxfxfx=−−−，即()()12

11fxfx+=−+.故()()()()211211221...2112xxfxfxfxf−+=−+=−+=+=，所以()21xfx=−()*Nx，故()()()2222

11xxxxgx−−=−=−−−()*Nx.对A，()21xfx=−在定义域()*Nx内为增函数，正确；对B，()()()()()()1011123...102101022110212fffff++++=−=−−=−，故B正确

；对C，()22xxgx−=−()*Nx为增函数，故C错误；对D，因为()()22xxgxgx−−=−=−，故当*Nx时，()gx为奇函数，又()gx为增函数，故()()20gxgxt+−即()()()22gxgxtgtx−−=−，所以题意转化为存在tR使

得2xtx−成立，即2xxt+有解，因为2211224yxxx==+−+，显然成立，故D正确；故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆221:3100Oxy

xy++−−=和圆222:240Oxyy+−−=交于,AB两点，则直线AB的方程是___________.【答案】360xy+−=【解析】【分析】由两圆相交弦方程为两圆方程相减得到，将已知圆的方程相减即可得结果.【详解】由两圆相交，则交

线AB的方程由两圆方程相减得到，所以直线AB的方程是360xy+−=.故答案为：360xy+−=14.若函数()sincosfxaxx=+的图像关于直线6x=对称，则=a___________.【答案】33【解析】【分析】由题知2

16fa=+，进而解方程即可得答案.【详解】解：因为函数()sincosfxaxx=+的图像关于直线6x=对称，所以函数()sincosfxaxx=+在6x=时取得最值，所以，结合辅助角公式得：216fa=

+，即213122aa+=+，整理得：()223231310aaa−+=−=，解得33a=.故答案为：3315.已知任意平面向量(),ABxy→=，把AB→绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量()

cossin,sincosxyxyAP→=−+，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点()1,1A−，点()13,0B−+，把点B绕点A沿逆时针方向旋转53π得到点P，则向量AB→在向量AP→上的

投影向量为___________.（用坐标作答）【答案】(0,1)−【解析】【分析】设点(),Pmn，求出()0,2AP→=−，再利用投影向量的公式求解.【详解】解：设点(),Pmn，则()1,1mnAP→=+−，根据题意若将AP→逆时针旋转

3，即可得AB→，故()()()()1cos1sin,1sin1cos3333ABmnmn→=+−−++−，整理得()()3131+11,2222nmmnAB→−+−=−+，

而由A、B两点坐标可知()3,1AB→=−，故：13(1)32231(1)122mnnm+−−=−++=−，解得11mn=−=−，则点P的坐标为()1,1−−，所以()0,2AP→=−.所以向量AB→在向量AP→上的投影向量为22(0,2)(0,1)4||ABAPA

PAP→→→→=−=−故答案为：(0,1)−16.已知函数()e1xfxtxxx=−+在区间()0,+上有且只有一个极值点，则实数t的取值范围为___________.【答案】(,1

]−【解析】【分析】根据题意转化为()0fx=在()0,+只有一个实数根，进而转化为方程1e()0xtx−+=在区间()0,+上没有实数根，得出yt=与()e1xgxx=+的图象在()0,+上没有

交点，利用导数求得()gx的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()e1xfxtxxx=−+，可得()22222(1)(1)(1)(1)[(1)]e1ee1xxxxxtxxtxfxtxxxx−−=−−==−−−−+，因为函

数()fx在区间()0,+上有且只有一个极值点，所以()0fx=在区间()0,+上有且只有一个实数根，即方程2(1)[(1e)0]xxxtx−−=+在区间()0,+上有且只有一个实数根，因为1x=时方

程2(1)[(1e)0]xxxtx−−=+的根，所以方程1e()0xtx−+=在区间()0,+上没有实数根，即方程,0e1xtxx=+在区间()0,+上没有实数根，等价于yt=与()e1xgxx=+的图象在()0

,+上没有交点，又由()22(1)0(1)(1eee)xxxxxgxxx+−==++，所以()gx在()0,+上单调递增，所以()()min01gxg=，且当x→+时，()gx→+，所以1t，即实数t的取值范围是(,1]−.故答案为：(,1]−.四､解答题：

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知ABC的内角,,ABC所对边分别为,,abc，且222sinsinsin2sinsinABCBC−=−.（1）求A；（2）若3a=，求ABC面积的最大值.【答案】

（1）4（2）()3214+【解析】【分析】（1）将已知条件由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可求解；（2）结合（1）由基本不等式及三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】解：在ABC中，因为222sinsinsin2sinsinABC

BC−=−，所以由正弦定理可得2222abcbc−=−，即2222cbabc+−=，所以2222cos22cbaAbc+−==，因为0A，所以4A=；【小问2详解】解：3a=时，由（1）可得223222cbbcbcbc=+−−

，所以()3322222bc?+-，当且仅当bc=时等号成立，所以()()11323sin222122224ABCSbcA=４+?+，所以ABC面积的最大值为()3214+.18.已知数列na的前n项和为,0nnSa，且2241nnnaaS+=−.（1）求na的通项公式；（2）设1nnn

nSbaa+=的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）21nan=−（2）242nnnTn+=+【解析】【分析】（1）先用()1n+替换原式中的n，然后两式作差，结合na与nS的关系，即可得到na为等差数

列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得nS及1na+，代入1nnnnSbaa+=化简，得到nT的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241nnnaaS+=−Q，2111241nnnaaS++++=−，两式作差得:()()1120nnn

naaaa+++−−=，102nnnaaa+−=Q，na成等差数列，又当1n=时，()2110a−=，所以11a=即()11221nann=+−=−【小问2详解】由（1）知21nan=−，则()()1212122nnnaannSn++−===，即()()()()2111

1212142121nnnnSnbaannnn+===+−+−+1111482121nn=+−−+，故1111111483352121nnTnn=+−+−++−−+L2111482148442nnnnnnnn+

=+−=+=+++.19.如图，三棱柱111ABCABC−中，平面ABC⊥平面1111,,2,60AACCABACAAABACAAC⊥====，过1AA的平面交线段11BC于点E（不与端点重合），交线段BC于点F.（1）证明：1//AAE

F；（2）若2BFFC=，求直线11AC与平面1AFC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）24.【解析】【分析】（1）由棱柱的性质有11//AACC，根据线面平行的判定可得1//AA面11BCCB，再由

线面平行的性质证结论.（2）构建空间直角坐标系，求11AC的方向向量和面1AFC的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱111ABCABC−中11//AACC，1AA面11BCCB，1CC面11BCCB，所以1//AA面11BCCB，

又过1AA的平面1AAEF面11BCCBEF=，所以1//AAEF.【小问2详解】面ABC⊥面11,,AACCABAC⊥面ABC面11,AACCAC=ABÌ面ABC，所以AB⊥面11,AACCAC面11,AACC则ABAC⊥，过

A作Az⊥面ABC，则可构建A为原点，,,ABACAz为,,xyz轴的空间直角坐标系，又112,60AAABACAAC====，且2BFFC=，所以1(0,1,3)A，1(0,3,3)C，(0,0,0)A，24(,,0)33F，则11(0,2,0)AC=，1(0,3,3)AC

=，24(,,0)33AF=，若(,,)mxyz=为面1AFC的法向量，则133024033mACyzmAFxy=+==+=，令1y=，即(2,1,3)m=−−，所以1122cos,4222mAC==，直线11

AC与平面1AFC所成角的正弦值为24.20.甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为(01)pp，甲赢的概率为1p−，每局游戏相互独

立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比:PP甲乙分配奖金

.（1）若34p=，则乙应该得多少奖金；（2）记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率()fA，并判断当23p…时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率

小于0.05，则称随机事件为小概率事件）【答案】（1）252（元）（2）事件A是小概率事件，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知，利用二项分布、相互独立事件、和事件的概率公式计算概率，再进行求解.（

2）利用概率公式计算概率，转化为函数问题，再利用导数研究最值，再根据结果进行判断.【小问1详解】设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.由题知，当2X=时，乙以5:1赢，所以339(2)4416PX===，当3X=时

，乙以5:2赢，所以1233118(3)C44464PX===，当4X=时，乙以5:3赢，所以12333127(4)C()444256PX===，当5X=时，乙以5:4赢，所以1343319(5)C()444256PX===，所以乙赢

得全部奖金的概率为9182792521664256256256+++=，所以乙应该得多少奖金为252256252256=（元）.【小问2详解】设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.由题知，当4Y=时，甲以5:3赢，所以4(4)(1)PYp==−，当5Y=时，甲

以5:4赢，所以3344(5)(1)C(1)4(1)PYppppp==−−=−，甲获得全部奖金的概率()444(1)4(1)(41)(1)ppppfpA−=+−=+−，所以()4442(1)4(1)(41)(1),[,1)3pppppApf−+−+−==，所

以()4333(1)(41)4(1)4(1)(141)420(1)fApppppppp−−+−=−−−−=−−=，2[,1)3p，()320(1)0pfAp−−=，()fA在2[,1)3上单调递减，所以()45max211111()()0

.0450.053333fAf===，故事件A是小概率事件.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左､右焦点分别为12,FF，且焦距长为2，过1F且斜率为24的直线与椭圆E的一个交点在x轴上的

射影恰好为2F.（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点()0,2B作一条与y轴不重合的直线，该直线交椭圆E于,CD两点，直线,ADAC分别交x轴于H，G两点，O为坐标原点.求证：ABG与AOH△的面积之积为定值，并求出该定值.【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析，

定值为12【解析】【分析】（1）写出直线方程，取1x=求得y值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a，b的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线:2BCykx=+，由椭圆方程联立，利用根与系数的关

系可得D，C横纵坐标的和与积，分别写出AD，AC的方程，求得H与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得ABG与AOH△的面积之积为定值12．【小问1详解】由题意，()11,0F−，()21,0F，故过1F且斜率为24的直线的方程为2(1)4yx=+，令1x=，得22y

=，由题意可得222211112abab−=+=，解得22a=，21b=．求椭圆E的方程为2212xy+=；【小问2详解】证明：由题意知，直线BC的斜率存在，设直线:2BCykx=+，1(Dx，1)

y，2(Cx，2)y，联立22212ykxxy=++=，得22(12)860kxkx+++=．122812kxxk−+=+，122612xxk=+，由216240k=−，得232k，12122

4()412yykxxk+=++=+，2212121212242(2)(2)2()412kyykxkxkxxkxxk−=++=+++=+，直线AD的方程为1111yyxx+=−，令0y=，解得111xxy=+，则11(1xHy+，0)，同理可得22(1xGy+，0

)，121212121131||3||||21214(1)(1)ABGAOHxxxxSSyyyy==++++2122221212226333636112||||||442414412442

49211212xxkkyyyykkkk+=====−++++++−++++【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭

圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()()ln1fxxax=−+且()0fx恒成立.（1）求实数a；（2）若函数()gx满足()()()2*2111,1

,,2+==−nggngnnnnN，证明：()egn.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）0a时()0fx，由()fx单调性判断不符合题意；0a时，利用导数判断出()()11ln−=−

−fxfaaaa，令()()1ln0hxxxxx=−−，由导数可得()()10=hxh，而1ln0aaa−−恒成立，即1ln0aaa−−=，结合单调性可得答案；（2）由（1）()ln1+xx恒成立，转化为

2211ln1+nn，取对数()()()22211lnlnln1ln1+=+−+−ngngngnnn，利用裂项相消可得()lngn111n=−，可得答案.【小问1详解】()()11111+−=−=−++axafx

xxx，当0a时()0fx，()fx单调递增，而()00ln10=−=fa，即10x−时()0fx不合题意，故0a，当1xa−时()0fx，()fx单调递增，当11xa−−时()0fx，(

)fx单调递减，所以()()11ln−=−−fxfaaaa，因为()0fx恒成立，即1ln0aaa−−恒成立，令()()1ln0=−−hxxxxx，()1ln1lnhxxx−=−=−，当01x时，()0hx，()hx单调递增

，当1x时，()0hx，()hx单调递减，所以()()111ln10=−−=hxh，而1ln0aaa−−恒成立，即1ln0aaa−−=，可得1a=；【小问2详解】由（1）()()ln10=−+fxxx恒成立，所以()ln1+xx恒成立，当且仅当0x=时等号成立，

所以2211ln1+nn，因为()()2211+=−ngngnn，所以()()()22211lnlnln1ln1+=+−+−ngngngnnn，因为()()11ln2ln144+=gg，所以

()142eeg，且()11e=g，当3n时，()()()()()()()lnlnln1ln1ln2ln2ln1=−−+−−−++−gngngngngngg，又因为()()21lnln1−+gngnn，所以()()()()()22111111ln4112211++++++−−−

−gnnnnnnn1111111212=−+−++−−−−nnnn111n=−，所以()ln1gn，即()egn，综上所述，()egn.【点睛】方法点睛：数列放缩的⽅向包含两层意思：1.放缩成什么形式；2.放大还是缩小.要根据不等式符号决定放大还是放小.常用的放缩方向：朝等比放

缩和朝裂项相消法放缩.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com