【文档说明】广东省广州市广铁一中、广州外国语学校、广州大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(32)页，2.029 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第二学期期末三校联考高二数学本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列n

a为等差数列，且1492324aaa++=，则11S=（）A.33B.44C.66D.882.已知随机变量X的分布列为()1,1,2,3,2kPXkk===，则()16PX=（）A1732B.1532C.3364D.31643.若()2lnfxaxbxx=++在1x=和2x=处有极值，

则函数()fx的单调递增区间是（）A.(),1−B.()2,+C.()1,2D.1,124.某学校校医研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为()8,25．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看

不清楚，现用,mn代替，已知1824m≤≤，2634n≤≤，则下列结论正确的是（）x568912y17m25n35A.在,mn确定的条件下，去掉样本点()8,25，则样本的相关系数r增大B.在,mn确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ

2.6yxa=+，则ˆ4a=C.在,mn确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6yxa=+，则当12x=时，残差为0.4D.事件“20m=，28n=”发生的概率为155.设双曲线()2222:10,0x

yCabab−=的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，.0PFOPPFOF+=，FO在FP上的投影向量的模为45OF，则双曲线C的离心率为（）A.3B.4C.5D.66.在1nxx−的展开

式中含3x项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第3项7.对于函数()fx，当0x时，()()fxfx.锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscoscoscosbCcBa

CcA++，设1axb=，2sinsinAxB=，3AxB=，则（）A.()()()312123eeexxxfxfxfxB.()()()312123eeexxxfxfxfxC.()()()312123eeexxxfxfxfx=D.()()

()312123eeexxxfxfxfx=8.甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛

，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A.209277B.210277C.211277D.212277二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.9.已知随机变量()2,XBp，且()23EX=，则下列说法正确是（）A.13p=B.()89DX=C.157229PX=D.()7213EX+=10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放

烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A.事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B.“

放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916的C.表演成功的环节个数的期望为3D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为3411.函数ln()lnxaxfxbxxx=+++（a，bR），下列说法正确的是（）A.当

0a=，不等式()0fx恒成立，则b的取值范围是1,e−B.当0a=，函数()fx有两个零点，则b的取值范围是1,0e−C.当1a=，函数()fx有三个不同的零点，则b的取值范围是211,1ee−−−+D.当1a=，函数()fx

有三个零点123,,xxx且123xxx，则2312123lnlnln111xxxxxx+++的值为1．三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分12.在等比数列n

a中，123453116aaaaa++++=，314a=，则1234511111aaaaa++++=______．13.某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据

取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h=___________；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差n近似满足20,nNn，为使误差n在(0

.5,0.5)−的概率不小于0.9973，至少要测量___________次.参考数据：若占()2,N，则(3,3)0.9973P−+=.14.若12()elnxxxxfxxx−−=+−，设()fx零点分别为12,,,nxxx，则1ni

ix==______.（其中[]a表示a的的整数部分，例如：[2.1]2,[π]3==）四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记()()23*2,nnSxxxxxxn=++++−RN.（1）当2x=时，()2nS为数列na的前n项和，求

na的通项公式；（2）记()2024Sx是()2024Sx的导函数，求()20242S.16已知函数()2exfx=，()()()21gxmxm=+R，()()()hxfxgx=−.（1）当1m=时，求函数()

hx的最小值；（2）若直线()ygx=是曲线()yfx=的切线，求证：对任意的ab，都有()()22e2ahahbab−−−.17.已知四棱柱1111ABCDABCD−如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面1111D

CBA内的投影为点1A，且1ABAA==2,120ADABC=．（1）求证：平面1ABD⊥平面11ADDA；（2）已知点E在线段1CD上（不含端点位置），且平面1ABE与平面11BCCB的夹角的余弦值为55，求1DEEC的值．18.四月武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花

海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量12m=，样本平均数18x=，样本方差2119s=；乙区的样本容量18n=，样本平均数36y=，样本方差2270s

=．（1）求由两区样本组成的总样本的平均数z及其方差2S；（结果保留一位小数）（2）为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区

举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没.的有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为35，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为12．

假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及()EX的值．参考数据：222221218388818362332828.8829.441210.81399.68187.2933.12=====，，，，．19.已知椭圆C：()

222210xyabab+=短轴长为2，左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，1MPPF=，1NQQF=，直线2PF与直线MO交于点1G，直线2QF与直线NO交于点2G．（1）若1G的坐标为11,36，求椭圆C的方程

；（2）在（1）的条件下，过点2F并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足2FA，2FB，2FD成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；（3）若2112435MNGNFGMNGSSS，求实数a的取值范围．2023学年第二学期期末三校联考高二数学本试卷

共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列na为等差数列，且1492324aaa++=，则11S=（）A.33B.44C.66D.88【答案】B

【解析】【分析】将149,,aaa用1a和d表示，计算出6a的值，再由11611Sa=得11S的值.【详解】依题意，na是等差数列，设其公差为d，由1492324aaa++=，所以()()111162338630624aadadada++++=+==，即()6111161011

4,1111511114442aSadada==+=+===，故选：B.2.已知随机变量X分布列为()1,1,2,3,2kPXkk===，则()16PX=（）A.1732B.1532C.3364D.3164【答案】D【解析】【分析】根据已知条件结合互斥事

件的概率公式求解即可.【详解】因为随机变量X的分布列为()1,1,2,3,2kPXkk===，所以()16(2)(3)(4)(5)(6)PXPXPXPXPXPX==+=+=+=+=234561111122222=++++168421

316464++++==，故选：D3.若()2lnfxaxbxx=++在1x=和2x=处有极值，则函数()fx的单调递增区间是（）的A.(),1−B.()2,+C.()1,2D.1,12【答案】C【解

析】【分析】求出函数的导函数，依题意()10f=且()20f=，即可得到方程组，从而求出a、b的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.【详解】因为()2lnfxaxbxx=++，所以()21afxbxx=++，由已知得2104102abab++=++=，

解得2316ab=−=−，所以221()ln36fxxxx=−−+，所以21(2)(1)1)333(xxfxxxx−−=−−+=−，由()0fx，解得12x，所以函数()fx的单调递增区间是()1,2.故选：C．4.某

学校校医研究温差x（℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为()8,25．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用,mn代替，已知1824m≤≤，2634n≤≤，则下列结论正确的是（）x568912

y17m25n35A.在,mn确定的条件下，去掉样本点()8,25，则样本的相关系数r增大B.在,mn确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6yxa=+，则ˆ4a=C.在,mn确定的

条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程ˆˆ2.6yxa=+，则当12x=时，残差为0.4D.事件“20m=，28n=”发生的概率为15【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合回归直线方程的特征及应用，以及古典摡型的概率计算公式和相关系数公

式，即可求解.【详解】对于A中，因为回归直线方程过数据的样本中心点()8,25，所以在,mn确定的条件下去掉样本点()8,25，则相关系数r不变，所以A错误；对于B中，由样本中心点为()8,25，可得ˆ252

.68a=+，解得ˆ4.2a=，所以B错误；对于C中，由ˆ2.64.2yx=+，当12x=，可得35.4y=，则3535.40.4−=−，所以C错误；对于D中，由48mn+=，则m可取18,19,20,21,2

2，n的可取26,27,28,29,30，则(,)mn的取值为(18,30),(19,29),(20,28),(21,27),(22,26)，所以20m=，28n=的概率为15，所以D正确.故选：D．5.设双曲线()2222:1

0,0xyCabab−=的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点，0PFOPPFOF+=，FO在FP上的投影向量的模为45OF，则双曲线C的离心率为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】取M为PF的中点，2F为右焦点，根据条件0PFOPPFOF+=

得OMPF⊥，由FO在FP上的投影向量的模为45OF得45FMc=，利用双曲线的定义可得结果.【详解】取M为PF的中点，2F为右焦点，∵()20PFOPOFPFOM+==,∴OMPF⊥，∴OFOPc==，∵FO在FP上的投影为45OF，∴45FMc=,∴3

5OMc=，∴85PFc=，∴265PFc=，∵22PFPFa−=，∴225ca=，∴5e=，故选：C.【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线的离心率问题往往需根据题目条件建立关于,,abc的一个等量关系或不等关系，结合离心率定义得解.6.在1nxx−的展开式中含3x项的

系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（）A.第4项B.第5项C.第6项D.第3项【答案】A【解析】【分析】分01x与1x讨论，都可求得6n=，再根据二项式定理即可求解.【详解】由1nxx−可得0x，当01x，1xx，则11nnxxxx−=−，其展开式的通项

为()()32111nrrnrrrrrnnTCxCxx−−+=−=−，令332rn−=，得()115rrnC−=，解得6,4nr==；当1x，1xx，则11nnxxxx−=−

，其展开式的通项为()32111kknkknkkknnTCxCxx−−+=−=−，令332kn−=，得()115kknC−=，解得6,2nk==；综上所述：6n=，所以展开式共有7项，所以展开式中二项

式系数最大项是第4项.故选：A7.对于函数()fx，当0x时，()()fxfx.锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscoscoscosbCcBaCcA++，设1axb=，

2sinsinAxB=，3AxB=，则（）A.()()()312123eeexxxfxfxfxB.()()()312123eeexxxfxfxfxC.()()()312123eeexxxfxfxfx=D.()()()312123eeexx

xfxfxfx=【答案】C【解析】【分析】先利用题设和选项构造函数()()exfxgx=，判断其在(0,)+上的单调性；接着利用三角形中的正余弦定理判断123,,xxx的大小，最后运用单调性判断结论即得.【详解】令()()exfxgx=，则()()()exfxfxgx

=−，当0x时，()0gx，()gx单调递减.又因为在ABC中，由余弦定理，222222coscos22abcacbbCcBbcaabac+−+−+=+=，同理可得：coscosaCcAb+=，故由coscoscoscosbCcBaCcA++可得：ab，又由正弦边角关系得1

2xx=，则()()12gxgx=.接着比较2x与3x的大小，即比较sinAA与sinBB的大小，令()sinxhxx=，π0,2x，()22cossintancosxxxxxhxxxx−−==.令()tanmxxx=−，

π0,2x，()2110cosmxx=−，则()mx单调递减，()()00mxm=，则()0hx，()hx在π0,2上单调递减，又AB,故()()hAhB，则23xx，所以()()23gxgx.故选：C.【点睛】关键点点睛：结合题设和结

论的提示考虑到构建函数并判断其单调性.同时对于三角形中型如coscosbCcB+结构的二阶结论要有印象，遇到结构相同的解析式时需要同构的思想.8.甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点

数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A.209277B.210277C.211277D.212277【答案】B【解析】【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲

至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.【详解】用(),ab分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含6636=个等可能的

基本事件.其中，甲得3分，即ab包含的基本事件有()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15个，概率为1

553612p==.同理可得，甲每轮得0分的概率也是512，得1分的概率为16.所以每一轮甲得分低于3分的概率为57111212p−=−=．设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件B表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件A表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.

则()333377C1212PA==，()()37138511121728PAPA=−=−=.事件AB可分三类情形：①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为221355125C1212576P

==；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为212355125C1212576P==；③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为33355125A12126144P==.所以

()12312512525175576576144288PABPPP=++=++=175288=，所以()()()175210288|13852771728PABPBAPA===.故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共1

8分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量()2,XBp，且()23EX=，则下列说法正确的是（）A.13p=B.()89DX=C

.157229PX=D.()7213EX+=【答案】AD【解析】【分析】由二项分布的期望公式可得A正确；方差公式可得B错误；由二项分布的概率公式可求C错误；由期望公式可得D正确.【详解】A：因为随机变量()2,XBp，且()23EX

=，所以21233pp==，故A正确；B：()()12412339DXnpp=−==，故B错误；C：()()2122215121512CC223339PXPXPX==+==+=，故C错误；D：()()2721212133EXEX+=+=+=，故D正

确；故选：AD.10.爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为34，则（）A.事件

“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥B.“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为916C.表演成功的环节个数的期望为3D.在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为34

【答案】BCD【解析】【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据相互独立事件的乘法公式判断B；根据二项分布的期望公式判断C；根据条件概率的计算公式判断D.【详解】事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节

”可以同时发生，故不互斥，A错误；“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为3394416=，B正确；记表演成功的环节个数为X，则34,4XB，期望为3434=，C正确；记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，事件N：“迎新春

环节表演成功”.33233431813127()C,()C442564464PNMPM=====，由条件概率公式()()()34PNMPNMPM==，D正确，故选：BCD11.函数ln()lnxaxfxbxxx=+++（a，bR），下列说法正确

的是（）A.当0a=，不等式()0fx恒成立，则b的取值范围是1,e−B.当0a=，函数()fx有两个零点，则b的取值范围是1,0e−C.当1a=，函数()fx有三个不同的零点，则b的取值范围是211,1

ee−−−+D.当1a=，函数()fx有三个零点123,,xxx且123xxx，则2312123lnlnln111xxxxxx+++的值为1．【答案】BCD【

解析】【分析】构造函数()lnxgxx=，，利用导数求出其单调区间及最值，作出函数大致图象，进而可判断AB；当1a=，lnln1()lnln1xxxfxbbxxxxxx=++=++++，令ln1xtx=+，结合A选项，可得出x与t的对应关系，构造函数()1httt=+，作出其大致图象，结合图

象进而可判断CD.详解】对于AB，当0a=，ln()xfxbx=+，【令ln()0xfxbx=+=，则lnxbx=−，令()lnxgxx=，则()21lnxgxx−=，当0ex时，()0gx，当ex时，()0gx，所以函数()gx在()0,e上单调递增，在()e,+上单

调递减，所以()()max1eegxg==，不等式()0fx恒成立，即()gxb−恒成立，所以1eb−，所以1eb−，所以b的取值范围是1,e−−，故A错误；当0x→时，()gx→−，当x→+时，()0gx

且()0gx→，如图，作出函数()gx的大致图象，由图可知10,eb−，所以b的取值范围是1,0e−，故B正确；对于C，当1a=，lnln1()lnln1xxxfxbbxxxxxx=++=++++，令ln1xtx=+，由上可知函数ln1xtx=+在()0,e上单调递

增，在()e,+上单调递减，如图，作出函数ln1xtx=+的大致图象，由图可知，当1t或11et=+时，x与t一一对应，当111et+时，1个t对应2个x，令110ytbt=++−=，则11tbt+=−，令()()11,,00,1ehtttt=+−+，则(

)22111thttt=−=−，当1t−或111et+时，()0ht，当10t−或01t时，()0ht，所以函数()ht在()1,1,1,1e−−+上单调递增，在()()1,0,0,1−上单调递减，又()()21112,22,12e

eehhh−=−=+=++，如图，作出函数()ht的大致图象，由图可知，要使函数()fx有三个不同的零点，则函数(),1yhtyb==−的图象有两个交点，其中一个在()0,1t上，另一个在11,1et+上，所以21212eeb

−++，所以2111eeb−−−+，故C正确；对于D，由C选项知，函数()ht由两个零点12,tt，()1210,1,1,1ett+，而函数()fx有三个零点123,,xxx且123xxx，所以31212123lnlnl

n1,11xxxttxxx=+=+=+，则()2231212123lnlnln111xxxttxxx+++=，而121211tttt+=+，所以1212211211tttttttt

−−=−=，所以121tt=，所以()2231212123lnlnln1111xxxttxxx+++==，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调

区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离

法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分12.在等比数列na中，123453116aaaaa++++=，314a=，则1234511

111aaaaa++++=______．【答案】31【解析】【分析】设51234511111Taaaaa=++++，则5152433425111111111112Taaaaaaaaaa

=+++++++++，利用等比数列的性质进行求解，【详解】设51234511111Taaaaa=++++，则5152433425111111111112Taaaaaaaaaa=+++++++++

()1234515331524242152433241532aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+++++++++=++++=2312166214==，所以5

31T=．故答案为：3113.某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角和()，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型h=

___________；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差n近似满足20,nNn，为使误差n在(0.5,0.5)−的概率不小于0.9973，至少要测量___________次.参考数据

：若占()2,N，则(3,3)0.9973P−+=.【答案】①.sinsinsin()a−(也可以写成tantantantana−)②.72【解析】【分析】再ABC中由正弦

定理可得AC，在RtACD中求解即可；由正态分布的3原则建立不等式2330.5n=求解即可.【详解】（1）在ABC中，sinsin()ACa=−，sinsin()aAC=−，在RtACD中，sinsinsinsin()ahAC==−.(结果还可以是tantan

tantana−)（2）由于()330.9973nP−=，因此2330.5n=，所以72n，故至少要测量72次.故答案为：sinsinsin()a−(也可以写成tanta

ntantana−)；72【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解3原则，学会利用3原则求解相关问题，属于中档题.14.若12()elnxxxxfxxx−−=+−，设()fx的零点分别为12,,,nxxx，则1niix==______.（其中[]a表示a

的整数部分，例如：[2.1]2,[π]3==）【答案】4【解析】【分析】先利用对数恒等式的等价转化，使得()0fx=变成lnlneelnlnxxxxxxxx+=+的形式，结合e()=xgxx的性质，讨论lnxx，l

nxx+的关系.【详解】令()0fx=，则12n0elxxxxxx−−+−=，利用对数恒等式，原式等价变为：()()1ln(1)ln1(1)ln1lneee11eeeelnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−+=+=+=()()1lnl

nln1lnlneeeeeelnlnlnlnlnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−+−+===++，下令e()=xgxx，于是(ln)(ln)gxxgxx=+，又2e(1)()−=xxgxx，当0x或01x时，()0gx，当1x时，(

)0gx，所以()gx在(,0),(0,1)−上递减，(1,)+上递增，所以()gx在1x=取到极小值(1)eg=，当,()0xgx→−→，0x→且0x，()gx→−，x→+时，()gx→+，可作出e()=xgxx大致图像如下：结合图象，(ln)(ln)gxxgx

x=+可能有如下情形：由e()=xgxx单调性可知，若ln,lnxxxx+均在(),0,(0,1),(1,)−+中的一种时，则有lnlnxxxx=+，记()ln(1)txxxx=，()1ln0(1)t

xxx=+，所以()tx在(1,)+上递增，由14e2eln22，则(2)2ln21t=，故(1,2)t，使得ln1tt=；显然()lnqxxx=+在(0,)+上递增，由(1)1q=，故ln1xx+时，1x，故)2,(,)x

t++时，ln1,ln1xxxx+；又11(1)1,ln2022qq==−，的故1,12u，使得()ln0quuu=+=，故(0,)xu时，ln0,ln0xxxx+；不可能ln,lnxxxx+均满足0ln1,0ln1xxxx

+，事实上，由()ln1(1)qxxxq=+=，得到(0,1)x，这与0ln1xx矛盾，于是)(0,)2,xu+时，由(ln)(ln)gxxgxx=+可以推出：lnlnxxxx=+，设()lnlnhxxxxx=−−，1()lnhxxx=

−，由1ln,yxyx==−在(0,)+上单调递增，故1()lnhxxx=−在(0,)+上单调递增，又(1)1h=−，1(e)10eh=−，即(1)(e)0hh，故0(1,e)x，使得0()0hx=，且

0(0,)xx时，()0hx，()hx递减，0(,)xx+时，()0hx，()hx递增，故()min0000()()1lnhxhxxxx==−−，由0001()ln0hxxx=−=，可得()00000011()11hxxxxx

x=−−=−−，由0(1,e)x，根据基本不等式，00001122xxxx+=（等号取不到），故0001()11hxxx=−−−，又(1)1h=−，1210eeh=−，故存在101,1(0,)exx，使得1()0hx=，32(3

)2ln332ln3lneh=−=−，显然33e2.79，故32e3，即(3)0h，43(4)3ln443ln4lneh=−=−，显然28e，故223348e=，即(4)0h.由(3)(4)0hh

，故20(3,4)(,)xx+，使得2()0hx=.注意到11(1)10eeqq=−，故1,1eu，综上讨论，当lnlnxxxx=+时原方程有两个根：11,1ex，2(3,4)x

；虽说(,2)xt，ln1,ln1xxxx+，根据上述讨论，lnlnxxxx=+在(,2)xt上无实根，即(0,)(,)xut+时，()fx有两个零点：11,1ex，2(3,4)x，当[,1]xu时，ln0,ln0xx

xx+，而[,1]xu时，ln0xx，0ln1xx+，而()gx在0x=处无定义，不可能有(ln)(ln)gxxgxx+=，即),1xu时，()fx无零点；当(1,2)x时，注意到1x且1x→时，()fx→+，又22222(2)1e1e5e01ln22f=+−+−=

−，故(1,2)x时，()fx存在零点3x，即3(1,2)x，使得3333(ln)(ln)gxxgxx+=，若4(1,)xt，且43xx，不妨设43xx，由于ln,lnyxxyxx==+均在(1,2)上单调递增，故44331lnln0xxxx，4433l

nln1xxxx++，()gx在()0,1上递减，在(1,)+递增，故44333344(ln)(ln)(ln)(ln)gxxgxxgxxgxx++=，于是3(1,2)xx=是唯一实根.综上所述，原函数有11,1ex，2(3,4

)x，3(1,2)x三个零点，1230314xxx++=++=，即()fx有3个零点，即3n=，所以14niix==.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用对数恒等式将方程

等价转化，用同构的观点把方程构造出具有e()=xgxx的形式，然后利用()gx的性质解题.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记()()23*2,nnSxxxxxxn=++++−RN.（1）当2x=时，()2nS为数列na的前n项和，求

na的通项公式；（2）记()2024Sx是()2024Sx的导函数，求()20242S.【答案】（1）0,1,2,2.nnnan==（2）20242024202321.(2)S=+【解析】【分析】（1）由nS与na的关系11,1,2nnnSnaSSn−==−求解即可

.（2）先求导，再根据错位相减求解即可.【小问1详解】当1n=时，()1120aS==.当2n时，()()()()221122222222222nnnnnnaSS−−=−=++−−++−=.又当1n=时，10a=不满足上式，所以012,2nnnan==，【小问2详解】()23

202420242,Sxxxxx=++++−()2202320241232024.Sxxxx=++++()22023202421223220242S=++++①()232024202422223

2220242S=++++②①-②得，()22023202420242112121220242S−=++++−2024202420241220242202321.12−=−=−−−()202

420242202321.S=+16.已知函数()2exfx=，()()()21gxmxm=+R，()()()hxfxgx=−.（1）当1m=时，求函数()hx的最小值；（2）若直线()ygx=是曲线(

)yfx=的切线，求证：对任意的ab，都有()()22e2ahahbab−−−.【答案】（1）0（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导判断函数单调性，即可求出最值；（2）设切点为()020,exPx，根据已知求得1m=，则要证()()22e2

ahahbab−−−，即证222e2e22e2abaabab−−+−−，即证222ee2eabaab−−，即证()221e2baab−−−，令22abt−=，0t，设()etFtt−=+，根据函数单调性即可得证.

【小问1详解】当1m=时，()()()2e21xhxfxgxx=−=−−，则()22e2xhx=−，令()22e20xhx=−，解得0x；令()22e20xhx=−，解得0x，()hx区间(),0−上单调递减，

在区间()0,+上单调递增.()()00hxh=，函数()hx的最小值为0.【小问2详解】由已知得()22exfx=，设切点为()020,exPx，则022e2xm=且()02021exmx+=，解得00x=，1m=，()21gxx=+，()2e21xhxx=−−.要证

()()22e2ahahbab−−−，即证222e2e22e2abaabab−−+−−，在即证222ee2eabaab−−，即证()221e2baab−−−，令22abt−=，0t，原不等式等价于1ett−−，即e

1tt−+，设()etFtt−=+，则()1e0tFt−=−，()Ft在区间()0,+上单调递增，()()01FtF=，即e1tt−+成立，所以对任意ab，都有()()22e2ahahbab−−−.

17.已知四棱柱1111ABCDABCD−如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D在平面1111DCBA内的投影为点1A，且1ABAA==2,120ADABC=．（1）求证：平面1ABD⊥平面11ADDA；（2）已知点E在线段1CD上（

不含端点位置），且平面1ABE与平面11BCCB的夹角的余弦值为55，求1DEEC的值．【答案】（1）证明见解析（2）113DEEC=【解析】【分析】（1）不妨设1AD=，根据线面垂直的性质证明1ADAD⊥，利用勾股定理证明ADDB⊥，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即

可得证；（2）以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系Dxyz−，利用向量法求解即可.【小问1详解】不妨设1AD=，因为1AD⊥平面,ABCDAD平面ABCD，故1ADAD⊥，在ADB中，2,1,60ABADDAB===，由余弦定理，

222222cos21221cos603BDABADABADDAB=+−=+−=，得3BD=，故222ADBDAB+=，则ADDB⊥，因为11,,ADDBDADDB=平面1ABD，所以AD⊥平面1ABD，而AD平面11ADDA，所以平面1ABD⊥平面11A

DDA；【小问2详解】由（1）知，1,,DADBDA两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系Dxyz−，则()()()()()10,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,3,1,3,0DABAC−，故()112,3,0,ACACAC=−=，()12

,3,3C−，所以()()110,3,3,2,3,3ABDC=−=−，设()101DEDC=，则()12,3,3DEDC==−，即()2,3,3E−，所以()12,3,33AE=−−；设()111,,nxyz=为平面1AEB的一个法向

量，则()111111133023330nAByznAExyz=−==−+−−=，令12z=，则112,233==−yx，所以()233,2,2n=−，因为y轴⊥平面11BCCB，则可取()0,1,0m=为平面11BCCB的一个法向量，设

平面1AEB与平面11BCCB的夹角为，则225cos520123nmnm===−+，解得14=，故113DEEC=．18.四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了

解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量12m=，样本平均数18x=，样本方差2119s=；乙区的样本容量18n=，样本平均数36y=，样本方差2270s=．（1）求由两区样本组成

的总样本的平均数z及其方差2S；（结果保留一位小数）（2）为了营造“花在风中笑，人在画中游”美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如

下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为35，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及()EX的值．参考数

据：222221218388818362332828.8829.441210.81399.68187.2933.12=====，，，，．【答案】（1）28.8z=，2127.4S=（2）分布列见解析，3625【解析】【分析】（1）利

用平均数的计算公式求得z，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；（2）先根据题意得到X的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得X各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.【小问1详解】根据题意，得121821833628.812185xyz++===+，因为(

)()()()1212122221112()12iiiiiixxxzxxxxxzxz===−+−=−+−−+−的()()()()()12121222221112(12)1212iiiiiixxxz

xxxzxxxz====−+−−+−=−+−，同理()()()18182221118iiiiyyyzyyyz==−+−=−+−，所以()()121822211130iiiiSxzyz===−+−()()1218

2211130iiiixxxzyyyz===−+−+−+−()()()()12182222111121830iiiixxxzyyyz===−+−+−+−()()222212112

12181830SxzSyz=+−++−()22112191210.81870187.2127.430=+++=所以总样本的平均数为28.8z=，方差2127.4S=．【小问2详解】依题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，设“第i场比赛在甲镇举行，甲镇代表队

获胜”为事件iA，“第i场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件iB，且1,2,3i=，则()35iPA=，()12iPB=，所以()()2123401525PXPAA===−=，()()()()1231231231231PXPABAAABPABAPAAB==+

=+31333161152555225=−+−=，()()()15210125PXPXPX==−=−==，则X的分布列为：X012P42562535数学期望()4615

3601225252525EX=++=．19.已知椭圆C：()222210xyabab+=短轴长为2，左、右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方，1MPPF=，1N

QQF=，直线2PF与直线MO交于点1G，直线2QF与直线NO交于点2G．（1）若1G的坐标为11,36，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点2F并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足2FA，2FB，2FD成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距

的取值范围；（3）若2112435MNGNFGMNGSSS，求实数a的取值范围．【答案】（1）22314xy+=；（2）33,66−；（3）321,4．【解析】【分析】（

1）由椭圆的性质可得1b=，再由两中线的交点为重心和重心的性质得到点11,2M，代入椭圆方程可得a即可；（2）由等差中项的性质得到22223FAFDFB+==，再由弦长公式得到1202323xxx+==，然后分当AB斜率存在时由点差

法得到034ADky=−，再由点斜式写出弦的中垂线方程，当0x=时，得到03yy=−；当AB斜率不存在时，此时AD：33x=，0y=；最后得到范围；（3）解法一：根据重心性质及面积公式得()21213MNGSSS=+

，11121233NFGSSS=+，再结合已知不等式条件解不等式组可得1212,2yy−−，然后直曲联立得到22122221452,22yytcyyta+=−−−−+；转化为()2222

222410892tcatata−+对任意的t恒成立，解不等式即可；解法二：根据重心的性质可得1111,33Gxy，再由几何图形的面积关系结合三角形的面积公式得到1112233NFGcycyS=−；()21213MNGScyy=−，后同解法一.【小问1详解】依题

意，1b=，故椭圆C：2221xya+=；易知点111,36G为12MFF△的重心，则1131,2OMOG==，故11,2M，代入椭圆方程得22114143aa=+=∴椭圆C的方程为22314

xy+=；【小问2详解】∵2FA，2FB，2FD成等差数列，．∴22223FAFDFB+==．设()11,Axy，()22,Dxy，AD中点()00,Mxy．23,03F，由弦长公式221112112111234334331333333xxyF

Axxxx−+=−+=−−−2111231232323xx=−=−，∵12323,33x−，∴2123132FAx=−，同理2223132FDx=−，代入可得1202323x

xx+==，①当AB斜率存在时22112222314314xyxy+=+=两式作差可得()2222121234xxyy−−=−，1212121234xxyyyyxx+−−=+−，∴()0003

23304324ADkyyy=−=−，∴弦AD的中垂线方程为004333yyyx−=−，当0x=时，03yy=−，即AD的中垂线的纵截距．∵03,3My在椭圆C内，∴20114y+，

得03322y−，且00y．②当AB斜率不存在时，此时AD：33x=，0y=．∴综上所述3366y−，即弦AD的中垂线的纵截距的取值范围为33,66−．【小问3详解】解法一：易知点1G，2G分别为12MFF△，12NFF△的重心，设

121FFMSS=△，122FFNSS=△，设点()11,Mxy，()22,Nxy，则根据重心性质及面积公式得()21121133MNGMNFSSSS==+，()11121121211123333NFGSSSSSSSS=+−−+=+，而211243

5MNGNFGMNGSSS∴()()121212412533333SSSSSS+++，∴12121221222SSSSSS，∴12122yy−，1212,2yy−−，设直线l：xtyc=+，则联立椭圆方程得2221xtycxya=++

=消元化简得，()222210taytcy++−=，()2222Δ440tcta=++，∴12222tcyyta−+=+，12221yyta−=+，∴()2222212121212222112122452,22yyyyyyyytcyyyyyyta+−++===−−−−+，∴(

)2222222410892tcatata−+对任意的t恒成立，即23289014aa−，故实数a的取值范围为321,4．解法二：易知点2G为12NFF△的重心，223NGNO=，∴，1

11111NFGNOFNOGGOFSSSS=++△△△△，113NOGMNOSS=△△，此时，设点()11,Mxy，()22,Nxy，()1,0Fc−，()2,0Fc，则根据重心的性质可得1111,33Gxy，∴()212121122MNOSOFyycyy=−=−，

11221122NOFSOFycy==−，11111111236GOFSOFycy==，∴()1121136NOGMNOSScyy==−，()11122121211126633NFGcycyScycyycy=−+−+=−；()2122133MNGMNOSScyy==−；而2112

435MNGNFGMNGSSS，∴1124533NFGMNGSS△△，∴1212245,33yyyy−−，11221111222222112,211yyyyyyyyyyyy−−==−−−−−；设直线l：xtyc=

+，则联立椭圆方程得2221xtycxya=++=消元化简得，()222210taytcy++−=，()2222Δ440tcta=++，∴12222tcyyta−+=+，12221yyta−=+，∴()2222212121212222112122

452,22yyyyyyyytcyyyyyyta+−++===−−−−+，∴()2222222410892tcatata−+对任意的t恒成立，即23289014aa−，故实数a的取值范围为321,4．【点睛】关键点点睛：（1）

三角形重心分得线段长度比为2:1；（2）当求椭圆的中点弦或中点弦的垂直平分线时可用点差法较为容易.