【文档说明】《精准解析》湖北省部分重点中学2023届高三上学期1月第二次联考数学试题（解析版）【武汉专题】.docx，共(29)页，1.430 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2db3fd69e039272f3f8e32a43a6719d2.html

以下为本文档部分文字说明：

高三数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合10Axax=−=，N25Bxx=，且ABB=，则实数a的所有值构成的集合是（）A.11,23B.11,43C.1

11,,234D.1110,,,234【答案】D【解析】【分析】求出2,3,4B=，由ABB=得到AB，分A=与A，求出实数a的值，得到答案,【详解】N252,3

,4Bxx==，因为ABB=，所以AB，当A=时，0a=，满足要求，当A时，10ax−=只有一个根，若2A=，则210a−=，解得：12a=，若3A=，则310a−=，解得：13a=，若4A=，则410a−=，解得：14a=，实数a的所有值构成的集合是1110,,,

234.故选：D2.给出下列命题，其中正确命题的个数为（）①若样本数据1x，2x，…，10x的方差为3，则数据121x−，221x−，…，1021x−的方差为6；②回归方程为0.60.2ˆ5yx=−时，变量x与y具有负的线性相关关系

；③随机变量X服从正态分布()23,N，()40.64PX=，则()230.07PX=；④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为125.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】【分析】

根据方差的性质可判断①；根据变量x，y的线性回归方程的系数ˆ0b，判断变量x，y是负相关关系可判断②；利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断③；根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率可判断④.【详解】对于①，若样本数据1x，2

x，…，10x的方差为3，则数据121x−，221x−，…，1021x−的方差为22312=，故①错误；对于②，回归方程为0.60.2ˆ5yx=−，可知ˆ0.250=−b，则变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确；对于③，随

机变量X服从正态分布2(3,)N，(4)0.64PX=，根据正态分布的对称性(34)0.640.5=0.14=−PX，所以(23)0.14PX=，故③错误；对于④，根据简单随机抽样概率均等可知，某校高三共有5003人，抽取容量为2

00的一个样本，则甲被抽到的概率为2005003，故④错误.故选：A.3.已知函数322()fxxaxbxa=−−+，则“7ab+=”是“函数()fx在=1x处有极值10”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得()()1=01=10ff，即可得到方程组，解得a、b再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为322()fxx

axbxa=−−+，所以2()32fxxaxb=−−，所以()()21=32=01=1+=10fabfaba−−−−，解得=3=3ab−或=4=11ab−；当=3=3ab−时32()339fxxxx=−++，()22()363310fxxxx=−+=−，即函

数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11ab−时32()41116fxxxx=+−+，()()2()31131118fxxxxx=++=−−，当1x或113x−时()0fx，当1113x−时()0fx

，满足函数在=1x处取得极值，所以7ab+=，所以由7ab+=推不出函数()fx在=1x处有极值10，即充分性不成立；由函数()fx在=1x处有极值10推得出7ab+=，即必要性成立；故“7ab+=”是“函数()fx在=1x处有极值10”的必要不充分条件；故选：B4.

已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不能确定【答案】A【解析】【分析】把圆方程配方得圆心坐标和半径，由圆关于直线对称，说明圆心在此直线上，求得参数m，再求出圆心到直线

的距离判断直线与圆的位置关系．【详解】由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2．由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1

＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选：A.【点睛】本题考查圆的一般方程，考查直线与圆的位置关系．圆的一般方程可通过配方法变为标准方程，从而得出圆心坐标和半径．5.已知关于x的不等式210axbx++的解集为1(

,),mm−+，其中0m，则2bab+的最小值为（）A.2−B.2C.22D.3【答案】D【解析】【分析】由题意，得0a，且m，1m是方程210axbx++=的两根，由韦达定理11mma=，解得=1a；+=1=bmbma−

−，由基本不等式得=+21bmm−，从而可得=2+2+bbabb，利用对勾函数性质可求解.【详解】因为240axbx++的解集为1(,),mm−+，所以0a，且m，1m是方程210axbx++=的两根，11=mma

，得=1a；1+==bmbma−−，即1=+bmm−，当0m时，111=+=+2=2bmmmmmm−−−−−，当且仅当1mm=，即=1m−时取等号，令()()22+2bfbbbabb==+，由对勾函

数的性质可知函数()fb在()2,+上单调递增，所以()()2213fbf=+=，2bab+的最小值为3.故选：D．6.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域都为R，且()32fx−为偶函数，()2fx+为奇函数，则下列说法

正确的是（）A.302f=B.()20f=C.()()202320220ff+=D.()()202320220ff+=【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性对称性可得函数的周期性以及(2)0f=，再利用复合函数的导数推出()fx的周期以及()30

f=，进而可求解.【详解】因为()32fx−为偶函数，所以()()3232fxfx−=+，即()()33fxfx−=+，即函数图象关于3x=对称，则()(6)fxfx=−，因为()2fx+为奇函数，所以()()22fxfx+=−−+，即函数图象关于点(2,0)对称，

则()(4),(2)0fxfxf=−−=，所以(6)(4)fxfx−=−−，则(4)()fxfx+=，所以函数以4为周期，(2022)(50542)(2)0fff=+==，因为()()3232fxfx−=+，所以()()323

2fxfx−=+，即()()232232fxfx−−=+，即()()3232fxfx−−=+，也即()()33fxfx−−=+，令0x=，则有()()33ff−=，所以()30f=，由(4)()fxfx+=得(4)()fxfx

+=，所以()fx以4为周期，所以(2023)(50543)(3)0fff=+==，所以()()202320220ff+=，C正确，对于其余选项，根据题意可假设π()sinπ2fxx=−满足周期为4，

且关于点(2,0)对称，32sin0242f=−=−π，故A错误；ππππ()cosπ,(2)cos002222fxxf=−==，B错误；()()iπ0π20232022(3)2(222π2)snffff+=+=++=，D错误，故选:C.7

.在长方体1111ABCDABCD−中，15AA=，4ADAB==，M，N，P分别是棱11CD，BC，1CC上的点，且11CMMD=，1135CPCC=，14CNCB=，Q是平面ABCD内一动点，若直线1DQ与平面MNP平行，则11QBQD的最小值为（）A.44125B.

17C.895D.1625【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量()4,3,2n=，设出(),,0Qst，根据10DQn=求出4310st+=，计算出121222538144414252562

5ssttQBQDt−−=−=+++，得到最小值.【详解】以D作坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()110,0,5,1,4,0,0,2,5,0,4,2,4,4,5DNMPB，设平面MPN的法向量为()

,,nxyz=，则()()()(),,1,2,5250,,0,2,3230nMNxyzxyznMPxyzyz=−=+−==−=−=，令3y=，则2,4zx==，故()4,3,2n=，设(),,0

Qst，则()1,,5DQst=−，因为直线1DQ与平面MNP平行，所以()()1,,54,3,243100DQnstst=−=+−=，()()21124,4,5,,54425QBQDststsstt=−−−−=−+−+，因为4310st+=，所

以1034ts−=，故22112244254251031034tQssttttBQDt=−+−+−−++=−+22538162441255t=+−，故当3825t=时，11QBQD取得

最小值，最小值为44125.故选：A8.已知nS是数列na的前n项和，且121aa==，1223nnnaaa−−=+（3n），则下列结论正确的是（）A.数列1nnaa+−为等比数列B.数列12nnaa++为等比数列C.()20401314S=−D.()11312nnna−−+−=

【答案】D【解析】【分析】A选项，计算出120aa−=，故1nnaa+−不是等比数列，A错误；B选项，计算出12nnaa++的前三项，得到72337，B错误；C选项，由题干条件得到()1123nnn

naaaa−−−+=+，故1nnaa++为等比数列，得到1123nnnaa−++=，故212aa+=，24323aa+=，……，38403923aa+=，相加即可求出4040314S−=，C错误；D选项，在11

23nnnaa−++=的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出()11312nnna−−+−=.【详解】由题意得：321523aaa==+，4321031323aaa+===+，由于120aa−=，故数列1nnaa+−不是等比数

列，A错误；则123212aa++==，232527aa+=+=，342131023aa+=+=，由于72337，故数列12nnaa++不等比数列，B错误；3n时，1223nnnaaa−−=+，即()1123nnnnaaaa−−−+=+，又12112aa+=+=，故1nnaa+

+为等比数列，首项为2，公比为3，故1123nnnaa−++=，故212aa+=，24323aa+=，……，38403923aa+=，以上20个式子相加得：()40402438401331213332194S−−=+

+++==−，C错误；因为1123nnnaa−++=，所以2123nnnaa+++=，两式相减得：112232343nnnnnaa−−+−=−=，当2nk=时，2322243kkkaa−−−=，25222443kkkaa−−−−=，……，4243aa=−

，以上式子相加得：()212132322333343334192kkkkaa−−−−−−=+++==−，故212122333122kkkaa−−−−=+=，而21a=也符和该式，故212312kka−−=，令2kn=得：()111313122nnnna−−−+

−−==，当21nk=−时，24212343kkkaa−−−−=，26232543kkkaa−−−−=，……，03143aa−=，以上式子相加得：()222224260211133143334192kkkkkaa−−−−−−−−=

+++==−，故2222211313122kkkaa−−−−+=+=，而11a=也符号该式，故2221312kka−−+=，令21kn−=得：()11312nnna−−+−=，综上：()11312nnna−−+−=，D正确.故选：

D为【点睛】当遇到()2nnaafn+−=时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令21nk=−和2nk=，用累加法进行求解.二、多选题：本大题共4小题，每小题5

分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设1z，2z为复数，则下列四个结论中正确的是（）A.()221212124zzzzzz−=+−B.11zz−是纯虚数或零C.1212zzzz++恒成立

D.存在复数1z，2z，使得1212zzzz【答案】BC【解析】【分析】对于A由右向左化简即可判断，对于B设1izab=+，求出共轭复数，代入化简分情况即可判断正误，对于C设两个复数计算出求和模长，在计算出模长求和即可比较大小，对于D设两个复数，计算出乘积模长，在计

算出模长乘积即可比较大小.【详解】对于A：()()221212124zzzzzz+−=−，令12izzxy−=+，则()()222212i2izzxyxyxy−=+=−+，22222212zzxyxy−=+=+，22xy+与222ixyxy−+

不一定相等，故A错误；对于B：1izab=+，则1izab=−，112izzb−=，当0b=时为零，当0b时为纯虚数，故B正确；对于C：22221212i,i,,zxyzabzxyzab=+=+=+=+，则()()2222221222zzaxbyabxyaxby+=+++=+++++2

22212||||zzxyab+=+++，()20aybx−,则222220aybxabxy+−，()()222222222222442axbxaybyaxbyabxy+++++()()()22

222422xyabaxby+++2222222xyabaxby+++222222222222222xyababxyxyabaxby+++++++++++，()()222222222222abyxbyabxaxy++++++++，()()221212||||0zz

zz+−+故C正确；对于D：设22221212i,i,,zxyzabzxyzab=+=+=+=+，则222212||||()()zzxyab=++，()()212iiiizzaxxbaybyaxbyxbay=+++=−++()()22222122()()

zyxyzaxbyxbaba=−=++++=12||||zz，故D错误.故选：BD.10.将函数()π2cos24fxx=−的图象向右平移π8个单位长度得到()ygx=的图象，则（）A.()yfx=在ππ,42上是减

函数B.ππ44fxfx−=+C.()ygx=是奇函数D.()1ygx=−在π,π−上有4个零点【答案】ACD【解析】【分析】A选项，代入检验，得到()yfx=在ππ,42上单调递减，A正确；B选项，计算出ππ2cos244fxx−=

−，ππ2cos244fxx+=+，两者不一定相等，C选项，根据函数平移变换求出()2sin2gxx=，故C正确；D选项，令()12sin210ygxx=−=−=，得到1sin22x=，求出π,π−上，π12x=或5π12或7π12−或11π12−，共4

个零点，D正确.【详解】ππ,42x时，ππ3π24,44x−，由于2cosyz=在π3π,44z上单调递减，故()yfx=在ππ,42上单调递减，A正确；ππππ2cos22cos24444fxx

x−=−−=−，ππππ2cos22cos24444fxxx+=+−=+，因为πππ2cos22cos22sin2444xxx−=−=+

，由于π2sin24x+与π2cos24x+不一定相等，故π4fx−与π4fx+不一定相等，B错误；()ππ2cos22n248sigxxx=−−

=，故()ygx=是奇函数，C正确；令()12sin210ygxx=−=−=，解得：1sin22x=，π,πx−，则22π,2πx−，则π26x=或5π6或7π6−或11π6−，解得：π12x=或5π12或7π12−

或11π12−，共4个零点，D正确.故选：ACD11.已知函数()2ln2fxxxmx=−，则下列说法正确的是（）A.当0m或12em=时，()fx有且仅有一个零点B.当0m或14m=时，()fx有且仅有一个极值

点C.若()fx为单调递减函数，则14mD.若()fx与x轴相切，则12em=.【答案】AD【解析】【分析】根据零点的定义可得()fx的零点即方程ln2=xmx的根，利用导数研究函数ln()2xhxx=的性质，结合图象可判断A，由导数的几何意义可判断D，根据导数与函数的单调性的关系求m的

范围，由此可判断C，结合单调性与极值的定义可判断B.【详解】0x，令()0fx=可得()ln20−=xxmx，化简可得ln2=xmx，设()()ln02=xhxxx，则()21ln2xhxx−=，当ex，()0hx，函数()hx在()e,+单调递减，当0ex，()0hx

，函数()hx在()0e，单调递增，又()10h=，()1e2e=h，由此可得函数ln()2xhxx=图象如下：所以当0m或12e=m时，ln2=xmx有且仅有一个零点所以当0m或12e=m时，()fx有且仅有一个零点，A对，函数()2ln2fxxxmx=−的定

义域为()0+，，()ln41xmxxf=−+，若()fx与x轴相切，设()fx与x轴相切与点0(,0)x，则()00fx=，()00fx=，所以00ln20−=xmx，00ln410−+=xmx，所以0e

x=，12e=m，故D正确；若()fx为单调递减函数，则()0fx在()0+，上恒成立，所以ln14+xmx在()0+，上恒成立，设()ln14+=xgxx，则2ln()4−=xgxx，当1x时，()0gx，函数ln1()4+=xgxx单调

递减，当01x时，()0gx，函数ln1()4+=xgxx单调递增，且1(1)4g=，10eg=，当1ex时，()0gx，由此可得函数ln1()4+=xgxx的图象如下：所以若()fx为单调递减函数，则14m，C错，所以当14m=时，函数()fx在()0+，

上没有极值点，B错，故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，利用函数的单调性和图象解决问题，本题为函数综合性问题，涉及函数的零点，导数的几何意义，根据函数的单调性求参数，函数的极值，考查的知识点较多，要求具有扎实的基础知识，较强的解题能力

.12.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线22221xyab+=（0ab）上点()00,Pxy处的曲率半径公式为3222220044xyRabab=+，则下列说法正确的是（）A.若曲线上某点处的曲率半径起大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B.若某焦点在x

轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c（半焦距）则该椭圆离心率为512−C.椭圆22221xyab+=（0ab）上一点处的曲率半径的最大值为2baD.若椭圆22221xyab+=（0ab）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为221

164xy+=【答案】ABD【解析】【分析】根据曲率半径可判断A；把2220021xyba=−代入R，根据0x的范围可得R的最小值，令其等于c化简求出e可判断B；由选项B可知3222221=a

Rabbb可判断C；根据332222222211abRabab，得出221,8==baab求出,ab可判断D.【详解】对于A，曲线上某点处的曲率半径变大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A正确；对于B，因2200221xyab+=，所以222002

1xyba=−，所以3222033222222222222220000444442211−−=+=+=+xbaxyxcRabababxabababb，因为0axa−

，所以2200xa，22024222111−+cxaabbb，若某焦点在x轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为c，可得322221=abca，解得512e−=，故B正确；对于C，由选项B可知，22024222111−+cxaabbb，所以322

2221=aRabbb，所以椭圆22221xyab+=（0ab）上一点处的曲率半径的最大值为2ab，故C错误；对于D，若椭圆22221xyab+=（0ab）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，由选项B可得33222222222211baabRabaa

bb==，所以2218baab==，解得24ba==，则椭圆方程为221164xy+=，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小鿒5分，共20分.13.已知向量()1,3a=，()2,bm=−，若//ab，则22bab−=__

____.【答案】100为【解析】【分析】先根据向量平行列出方程，求出6m=−，从而利用数量积公式求出答案.【详解】由题意得：60+=m，解得：6m=−，故()()()()22222261236100bab−=−+−−−+−=.故答案为：10014.用1,

2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则()()()()345331111nxxxxx+++++++++−的展开式中，2x的系数是______.（用数字作答）【答案】2023【解析】【分析】根据排列和组合计数公式求出20

n=，然后利用二项式定理进行求解即可．【详解】用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有3252CA20=个，即20n=，当20n=时，不妨设0x，则34533(1)(1)(1)(1)nxxxx

x+++++++++−345233(1)(1)(1)(1)xxxxx=++++++++−321324243333(1)[1(1)](1)(1)(1)(1)1(1)xxxxxxxxxxxxx+−++−+++=−=−=−

−−+−，所以2x的系数是33243CC202412023−=−=.故答案为：2023．15.已知正四面体ABCD的棱长为2，M在棱CD上，且3CMMD=，则二面角MABD−−的余弦值为______；平面MAB截此正四面体的外

接球所得截面的面积为______.【答案】①.539##539②.139##139【解析】【分析】根据给定条件，作出二面角MABD−−的平面角，再在三角形中利用余弦定理计算即可；利用等体积法及倍分关系求出球心到平面MAB的距离，再

利用球的截面小圆性质计算作答.【详解】在正四面体ABCD中，2ADBD==，1142DMCD==，60ADMBDM==，在,ADMBDM中，222111132cos4()222222AMBMBDDMBDDMBDM==+−=+

−=，取AB中点N，连接,MNDN，如图，,DNABMNAB⊥⊥，则MND是二面角MABD−−的平面角，而3DN=，222133()122MNAMAN=−=−=，在DMN中，2229135344cos329232MNDNDMMNDMNDN+−+−

===，所以二面角MABD−−的余弦值为539；令正BCD△的中心为1O，连接111,,AOBOMO，1BO的延长线交CD于点E，则E为CD中点，有12233BOBE==，122211113333232646BOMBEMBEDBCDSSSSBC=====，13

22ABMSABMN==，显然1AO⊥平面BCD，正四面体ABCD的外接球球心O在1AO上，连接BO，则BOAOR==，而222112264()33AOABBO=−=−=，在1RtBOO△中，222262()()

33RR=−+，解得62R=，且134AOAO=，令点1O到平面MAB的距离为h，由11OABMABOMVV−−=得：111133ABMBOMShSAO=，即3326263h=，解得229h=，因此球O的球心O到平面MAB的距离d有1d

AOhAO=，即3246dh==，平面MAB截球O所得截面小圆半径为r，则222226213()()269rRd=−=−=，所以平面MAB截此正四面体的外接球所得截面的面积2139Sr==.故答案为：539；139【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是

确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.16.已知双曲线22142xy−=右焦点为F，过双曲线上一点00(,)Pxy（00y）的直线00240xxyy−−=与直线6x=相交于点A，与直线263x=相交于点B，则AFBF=______.【答案】62【解析】【分析】根据给定条件，求出点,,

FAB的坐标，再利用两点间距离公式化简计算作答.【详解】因为00(,)Pxy在双曲线22142xy−=，即有2200024,||2yxx=−，又(6,0)F由006240xxxyy=−−=得0064(6,)2xAy−，由00263240xxxyy=−−=得00264

263(,)32xBy−，因此，22020(64)||4xAFy−=，2222202000022200026(4)8(2243)4(4)(2243)23||341212xyxxxBFyyy−+−−+−=+==，则2222000222

22000003(64)3(64)3(64)324(4)(2243)12166322(64)AFxxxxxxxxBF−−−====−+−−+−，的所以62AFBF=.故答案为：62【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再

证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．四、解答题：本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na中，12a=，当2n时

，()112nnnana−−=.（1）求数列na的通项公式；（2）设()29nnnnca−=，数列nc中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.【答案】（1）2nnan=；（2）最大项

6364c=，最小项172c=−.【解析】【分析】(1)由递推式证明数列nan为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列na的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值.【小问1详解】因为当2n时，()1

12nnnana−−=，所以121nnaann−=−，令nnabn=，则12nnbb−=，2n，又1121ab==，所以12nnbb−=，2n，所以数列nb为等比数列，公比为2，首项为2，所以2nnb=，所以2nnan=.【小问2详解】由（1）知()29292nnnn

nnca−−==，得11272nnnc++−=，11112729274181122222nnnnnnnnnnncc++++−−−−+−−=−==，当6n时，10nncc+−，1nncc+，即654321cccccc；当6n时，10nn

cc+−，1nncc+，即678ccc，所以数列nc是先增后减，最大项为6364c=，因为当14n时，0nc且数列nc是单调递增；当5n时0na，所以数列nc的最小项为

172c=−．18.从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记iA表示事件“第i次摸到红球”，1i=，2，…，6.（1）求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；（2）记()123PAAA表示1A，2A，3A同时发生的概率，()312PAAA表示已知1A与2A都

发生时3A发生的概率.（ⅰ）证明：()()()()123121312PAAAPAPAAPAAA=；（ⅱ）求()3PA.【答案】（1）35（2）（ⅰ）详见解析，（ⅱ）12【解析】【分析】（1）由条件概率得公式计算即可求得.（2）（ⅰ）有条件公式即可证明；

（ⅱ）根据条件概率公式逐项计算即可求解.【小问1详解】()()()1221133365356PAAPAAPA===，所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率35；【小问2详解】（ⅰ）因为()()()12312312PAAAPAAPAAA=，又因为()()()12

121PAAPAPAA=，所以()()()()()()12312312121312PAAAPAAPAAAPAPAAPAAA==，即()()()()123121312PAAAPAPAAPAAA=.（ⅱ）3123123123123()()()()

()PAPAAAPAAAPAAAPAAA=+++3121312113122()()(|)(|)()(|)(|)PAPAPAAPAAAPAPAAPAAA=++121312()(|)(|)PAPAAPAAA+121312()(

|)(|)PAPAAPAAA321332332323654654654654=+++6011202==19.请在这三个条件：①4sin5ABC=；②5AB=；③ABAC=，中任选一个条件补充在下面的橫线上，并加以解答.如图，锐角ABC中，24sin25BAC=，__

____，6BC=，D在边BC上，且2BDDC=，点E在边AC上，且BEAC⊥，BE交AD于点F.（1）求AC的长；（2）求cosDAC及AF的长.【答案】（1）5（2）1917cos85DAC=,71719AF=.【解析】【分析】

(1)利用正弦定理，结合①所给条件即可求解，利用正弦定理，结合②所给条件可求解，利用正弦定理，结合③所给条件可求解；(2)利用同角三角函数的关系结合两角和的余弦公式可求出cosC，再利用余弦定理求出AD，DAC△中利用余弦定理

即可求出cosDAC，进而在直角三角形AEF中可求解AF.【小问1详解】选择①4sin5ABC=，锐角ABC中，24sin25BAC=，6BC=，由正弦定理得sinsinACBCABCBAC=,在所以46sin552

4sin25ABCABCBACC===,选择②5AB=，因为24sin25BAC=，所以27cos1sin25BACBAC=−=，在ABC中，由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC=+−,所以21436255ACAC=+−，整理得2141105ACAC−

−=，解得5AC=或115AC=−（舍），选择③ABAC=，因为24sin25BAC=，所以27cos1sin25BACBAC=−=，在ABC中，由余弦定理得2222cosBCABACABACBAC=+−

,所以221436225ACAC=−，解得5AC=.【小问2详解】由（2）知，选择①，②，③所得结果一样，因此选择②，③也可得4sin5ABC=，所以2cos1s53inABCABC=−=，因为24sin25BAC=，所以27cos1sin25BACB

AC=−=，所以coscos()coscossinsinCBACABCBACABCBACABC=−+=−+7324432552555=−+=，因为BEAC⊥，所以318cos6,55CEBCC===7

5AEACCE=−=，在ACD中，5AC=，132,cos35CDBCC===，222cos2541217ADACDCACDCC=+−=+−=，222172541917cos2851017ADACCDDACADAC+−+−===，由BEA

C⊥，所以cosAFDACAE=，7717519191785AF==.20.在三棱柱111ABCABC-中，ABBC⊥，1ABAA⊥，12π3AAC=，点M为棱1CC的中点，点T是线段BM上的一动点，122AAACAB===.（1）求证：1CCAT⊥；（2）求平面11BBCC与

平面11AACC所成的二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）根据三棱柱中的垂直关系以及角度，可通过证明1CC⊥平面ABM，利用线面垂直的性质定理即可证明；（2）根据（1）可通过二面角的定义作出二面角的平面角，再利用线面垂直通过判断三角形形状

求得二面角的正弦值.【小问1详解】由题意可知，11//CCAA，又1ABAA⊥，所以1ABCC⊥，连接1,AMAC，如下图所示：由12π3AAC=，1AAAC=可知，1ACC△是正三角形，又点M为棱1CC的中点，所以1CCAM⊥，AB平面ABM，AM平面ABM，AMAB

A=，所以1CC⊥平面ABM，AT平面ABM所以1CCAT⊥.【小问2详解】由（1）知，11,CCBMCCAM⊥⊥，根据二面角定义可知，AMB即为所求二面角的平面角或其补角，在正三角形1ACC△中，

2AC=，所以3AM=，因为1ABAA⊥，11//BBAA，所以1ABBB⊥，又ABBC⊥，且1BBBCB=，所以AB⊥平面11BBCC，而BM平面11BBCC，所以ABBM⊥，在RtABM中，31AMAB==，，所以13sin33ABAMBAM===，于是平面11B

BCC与平面11AACC所成的二面角的正弦值为3321.已知抛物线C：24xy=的焦点为F，直线l交抛物线于,AB两点（,AB异于坐标原点O），交y轴于点()0,Qt（1t），且AFQF=，直线1ll∥，且与抛物线相切于点P.（1）求证：,,A

FP三点共线；（2）过点A作该抛物线的切线2l（点A为切点），2l交1l于点N.（ⅰ）试问，点N是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；（ⅱ）求ABNS的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）点N在定直

线1y=−上；（ⅱ）ABNS的最小值为16.【解析】【分析】（1）易知焦点(0,1)F，设出,AB两点坐标，根据AFQF=得到2124xt=+，再由1ll∥可知两直线斜率相等，可得P点坐标的表达式，再利用AFPFkk=即可证明,,AFP三点共线；（2）（ⅰ）分别写出直线1l，2l的方程

，求出两直线交点N的坐标表达式即可得出点N在定直线1y=−上；（ⅱ）联立直线l与抛物线方程，利用弦长公式求出AB的表达式，再求出点N到AB的距离写出面积表达式利用基本不等式即可求得ABNS的最小值.【小问1详解】由

题可知(0,1)F，设2212112(,),(,)44xxAxBx，又()0,,1Qtt>，由AFQF=得222211111144xxtx−=+−=+，所以2124xt=+，即2140,2Qx+，所以直线l的斜率为22111124420AQxxkxx−+=

=−−，设2(,)4ppxPx，由24xy=可得2xy=，所以直线1l的斜率为2ppxxxy==，又1ll∥，即122pxx=−，所以14pxx=−，得21144(,)Pxx−所以，2122221111111114114444,404440AFPFxxxxxkkxxxxx−−

−−−====−=−−−，即AFPFkk=，则,,AFP三点共线.【小问2详解】（ⅰ）点N在定直线1y=−上，理由如下：直线1l的斜率为122ppxxxyx===−，所以直线1l的方程为11211244:lxyxxx−=+

−即21114:2lxxxy−=−过点A的切线2l斜率为112xxxy==，所以直线2l的方程为()12211:42xlxxyx−=−即121242:xlxxy=−，2l交1l于点N，解得112,12Nxx−

−因此，点N在定直线1y=−上.（ⅱ）由（1）知直线l的斜率为12kx=−，方程为()12112:4lxyxxx−=−−，即2112:24xyxlx=−++，联立抛物线方程24xy=整理得1221880

xxxx−+−=，所以22211118443240xxxx=++=+>，所以22212121122111144441()41421ABkxxxxxxxxxx=++−=++=++又因为1ll∥，所以点N

到AB的距离等于点P到直线l的距离，而21144(,)Pxx−到直线2112:24xyxlx=−++的距离为2221112221111222111842422424444111xxxxxxxdxxx++

−+++===+++所以21231111121111121221444214122441ABNABPSxxxABdxxxxxxxxxS+===++=++=++而11114424

xxxx+=，当且仅当114xx=，即12x=时等号成立；所以331114141644ABNxxS=+=，即ABNS的最小值为16.【点睛】方法点睛：定点问题，通常根据已知条件假设直线方程，再与曲线

方程联立，借助韦达定理化简后代入分析.面积的最值问题通常转化为函数的最值问题，进一步直接求解函数的最值或利用基本不等式、函数求导来求解函数最值.22.已知函数()()()()21ln122xfxaxaxa=−+−−

．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若()()1fmf=且1m，证明：(1,xm，()1ln1axx−−．【答案】（1）单调递增区间为()0,1和()1,a−+；单调递减区间为()1,1−a；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，()()()1

1xxafxx−−+=，比较导数的零点，求解函数的单调区间；（2）利用二次导数，可转化为证明11lnmam−−恒成立，再利用()()1fmf=，可证明()()21121lnmamm−−=−−，只需证()()()211121lnlnmmmmmm−−−−，化简后，构造函数()

()21ln1xHxxx−=−+，证明不等式.【详解】解：（1）函数()fx的定义域为()0,+，()1afxxax−=−+()()11xxax−−+=∵2a，∴11a−∴由()0fx¢>得1xa−或01x由()0fx得11

xa−；∴()fx的单调递增区间为()0,1和()1,a−+；单调递减区间为()1,1−a．（2）欲证(1,xm，()1ln1axx−−，即证(1,xm，11lnxax−−，令()1lnxgxx−=，1xm，则()()21l

n1lnxxgxx−+=，令()1ln1xxx=−+，则()22111xxxxx−=−=，因为1x，所以()0x，所以()x在(1,m上单调递增，所以()()10x=，所以()0gx，所以(

)1lnxgxx−=在(1,m上单调递增，所以()()1lnmgxgmm−=，所以欲证(1,xm，11lnxax−−，只需证11lnmam−−，①因为()()1fmf=，所以()()2111ln22mamam−−+−=，即()

()()2111ln2mamm−=−−−，②令()1lnhxxx=−−，则()111xhxxx−=−=，当1x时，()0hx所以()hx在()1,+上单调递增，所以()()10hxh=，即1ln0xx−−，所

以1ln0mm−−，故②式可等价变形：()()21121lnmamm−−=−−所以，欲证①式成立，只需证()()()211121lnlnmmmmmm−−−−成立所以仅需证1ln21mmm−+，令()()21ln1xHxxx−=−+，（1x），则()()()

22101xHxxx−=+，∴()Hx在()1,+上单调递增，故()()10HxH=，即()21ln1xxx−+，∴结论得证．为【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式恒成立，本题的关键是利用()()1fmf=，变形，计算求得()()21121lnmamm−−=−−，从而转化为证明

()()()211121lnlnmmmmmm−−−−成立.