【文档说明】福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高三上学期11月期中联考 数学答案.docx，共(23)页，1.333 MB，由小赞的店铺上传

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2023~2024学年第一学期闽江口协作体期中联考高三数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5．本卷主要考查内容：集合，函数，三角

函数与解三角形，平面向量，复数，立体几何，数列.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合24,0xMxNxx==，则MN=（）A.(0,2B.(0,4

C.)2,+D.(),0−【答案】A【解析】【分析】先化简集合M，再由集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合|24|2,|0xMxxxNxx===，所以|02MNxx=，故选：A2.已知aR，复数2iza=+，则以下为实数的是（）A.24zz+B.24zz−

C.2zaz+D.2zaz−【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘方，计算即可求解.【详解】由题意知，222(2i)44i,484izaaaza=+=−+=+，所以222444i84i4Rzzaaaa−=−+−−=−−

.故选：C.3.函数()()()sinπ,π1cosxfxxx=−+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】首先判断函数的奇偶性，再由函数在()0,π上的取值情况判断即可.【分析】函数()

()()sinπ,π1cosxfxxx=−+则()()()()sinsin1cos1cosxxfxfxxx−−==−=−+−+，所以()sin1cosxfxx=+为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C、D；当()0,πx

时(sin0,1x，()11cos,x−，所以()1cos0,1x+，则()0fx，故排除B.故选：A4.如图，边长为2的正方形ABCD是用斜二测画法得到的四边形ABCD的直观图，则四边形ABCD

的面积为（）A.32B.62C.42D.82【答案】D【解析】【分析】由斜二测画法确定平行四边形ABCD相关边长及对应高，即可求面积.【详解】由直观图知：四边形ABCD中2AB=，且其对应高242hOD==，所以四边形ABCD的面积为

24282=.故选：D5.已知函数()221050xfxxx=−+，则（）A.()fx是偶函数B.()fx是奇函数C.()fx关于5x=轴对称D.()fx关于()5,1中心对称【答案】D【解析】【详解】首先判断函数的定义域，再根据奇偶性与对称性的定义判断即可.【分析】函数()()2

2221050525xxfxxxx==−+−+定义域为R，且()()22525xfxx−=++，所以()fx是非奇非偶函数，故A、B错误；因为()()()()221010525xfxfxx−−=−+，所以()fx不关于5x=对称，

故C错误；又()()()()()()()222222252510102525525525xxxfxfxxxx−+−−+=+==−+−+−+，所以()fx关于()5,1中心对称，故D正确；故选：D6.圆台12OO的内切球O的表面积与圆台的侧面积之比为89，则圆台母线与底面所

成角的正切值为（）A.33B.1C.3D.22【答案】D【解析】【分析】如图，作OEAD⊥，则E为切点，由三角形的全等可得母线的长为12rr+，进而212rrR=.由球的表面积和圆台的侧面积公式化简计算可得212212()r

rrr=−，即可求解.【详解】设内切球的半径为R，上底面的圆的半径为1r，下底面的圆的半径为2r，如图，作OEAD⊥，则E为切点，有12OEOOOOR===，2DFR=，所以1RtOEDRtOOD，2RtOEARtOOA，得1122,DEODrAEOAr====，故母线的长为12

AEDErr+=+，在RtDAF△中，222ADAFDF=+，即2221221()()(2)rrrrR+=−+，得212rrR=.又内切球的表面积与圆台的侧面积之比为89，所以()22124π89πRrr=

+，由()()221221124rrrrrr+=−+得212212()rrrr=−，设母线与底面的夹角为，则()221122121212222tan22rrrrDFRAFrrrrrr−=====−−−.故选：D.7.函数()()cosfxx

=+的两个零点分别为π5π,66−，且0，在π5π,66−上()fx仅有两条对称轴，则可以是（）A.5π3B.7π3C.8π3D.10π3【答案】A【解析】【分析】根据函数零点的概念和三角函数的图象与性质可得πT=，由2πT=且0

可得2=.由ππ2π,Z62kk−+=+可得5ππ,Z6kk=+，取56=即可求解.【详解】因为函数()fx的两个零点为π5π66−、，且在π5π,66−上仅有两条对称轴，所以5πππ66T=−−=，又2πT

=且0，得2=.由函数()fx的零点为π6−，得ππ2π,Z62kk−+=+，得5ππ,Z6kk=+，当0k=时，5π6=，此时5π3=.故选：A.8.正四棱柱1111ABCDABCD−中，2ABBC==，四面体11ACBD体积为83，则1AC与平面11

BCA所成角的正弦值为（）A.12B.14C.13D.16【答案】C【解析】【分析】设1AAa=，根据四面体11ACBD体积为83，由1184422323Vaa=−=，求得2a=，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.【详解】解：设1AAa=，因为四面

体11ACBD体积为83，所以1184422323Vaa=−=，解得2a=，建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()112,0,0,0,2,2,2,2,0,2,0,2ACBA，所以()()()1112,2,2,0,2,2,2,0,2ACBABC=−=−=−，设平面11B

CA的一个法向量为(),,mxyz=，则1100BAmBCm==，即220220yzxz−+=−+=，令1x=，则1,1zy==，所以()1,1,1m=，设1AC与平面11BCA所成的角为，所以11121sincos,3233ACmACm

ACm====，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知0abc，则（）A.bcabac−−B.aacababc++++C.2ab

bcbac++D.114abbcac+−−−【答案】ABD【解析】【分析】ABC选项，利用作差法比较大小，D选项，变形后，利用基本不等式证明出结论.【详解】A选项，因为0abc，所以0,0abac−−，0bc−，故()

()()()()0abcbcabbcacbcabacabacabac−−−+−==−−−−−−，所以bcabac−−，A正确；B选项，()()()()22aacaabacaacabbcbcababcababcababc+++−−−−−−==+++++++++，因为0abc

，所以()()0aacbcababcababc+−−=++++++，故aacababc++++，B正确；C选项，因为0abc，所以0,0abbc−−，故()()()()()()()220abbcbacabbbca

cbabcbaabbc+−+=−−=−+−=−+−，故2abbcbac++，C错误；D选项，因为0abc，所以0,0,0abbcac−−−，所以()()()()()()()()22224acabbcabbcabbc−=−+−−−=−−，当且仅当abbc−=−时，等

号成立，所以()()4acabbcac−−−−，即114abbcac+−−−，故D正确.故选：ABD10.已知()0,2π，且角的终边上有点()sin2,cos2，则（）A.5π22=−B.tantan2=C.2π4πcoscoscos033++++

=D.2π4πsinsinsin033++++=【答案】ACD【解析】【详解】利用三角函数定义结合诱导公式求解判断AB；利用和角的正余弦公式化简计算判断CD.【分析】由π2π

2，得sin20,cos20，则角为第四象限角，πcossin2cos(2)2==−，显然ππ0222−，因此2π25π22π(2)=−−=−，A正确；显然cos21tansin2tan2==，B错误；2π4π1313coscos()cos()cos(

cossin)(cossin)0332222++++=+−−+−+=，C正确；2π4π1313sinsin()sin()sin(sincos)(sincos)0332222++++=+−++−−=，D正确.故

选：ACD11.在三棱柱111ABCABC-中，D为1BB的中点，122AAABBC==，1AA⊥平面ABC，90ABC=，则下列结论错误的是（）A.平面1ABC⊥平面11ACCAB.平面1ABC⊥平面1CABC.1AD//平面1CABD.11

ADAC⊥【答案】ABC【解析】【详解】设122AA=，以点B为坐标原点，BA、BC、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【分析】在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，90ABC=，以点B为坐标原点

，BA、BC、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设122AA=，则2ABBC==，则()2,0,0A、()0,0,0B、()0,2,0C、()0,0,2D、()12,0,22A、()10,

0,22B、()10,2,22C，设平面1ABC的法向量为()111,,uxyz=，()0,2,0BC=uuur，()12,0,22BA=，则1111202220uBCyuBAxz===+=，取12x=，可得()

2,0,1u=−，设平面11AACC的法向量为()222,,mxyz=，()10,0,22AA=，()2,2,0AC=−，则1222220220mAAzmACxy===−+=，取21x=，可得()1,1,0m=ur，设平面1ABC的法向量为

()333,,nxyz=，()2,0,0BA=，()10,2,22BC=，则3133202220nBAxnBCyz===+=，取32y=，则()0,2,1n=−，对于A选项，因为02020mn=++=，所以，平面1ABC与平面11ACCA不垂直，A错；对于B选项，10un

=，所以，平面1ABC与平面1ABC不垂直，B错；对于C选项，()12,0,2AD=−−，因为120ADn=，则1AD与平面1ABC不平行，C错；对于D选项，()12,2,22AC=−，则11440ACAD=−=

，所以，11ACAD⊥，D对.故选：ABC.12.在ABC中，2CDDA=，E为AB中点，,BDCE交于点M，则（）A.2133BDBABC=+B.45CMCE=C.四边形AEMD的面积是ABC面积的25D.BMC△和CMD△的面积相等【答案】AB【

解析】【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；设CMCE=，求得(1)2BMBABC=+−，结合,,BMD三点共线，求得43,55==，可判定B正确；设ABC的面积为S，根据三角形的面积公式，求得四边形AEMD的面积为730AEMD

SS=，可判定C不正确；根据题意，得到25CMDBCDSS=，可判定D错误.【详解】对于A中，因为2CDDA=，即D为AC（靠近A点）的三等分点，所以1121()3333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+，所以A正确；对于B中，设CMCE

=，由点E为AB的中点，可得12CEBEBCBABC=−=−，可得1()(1)22BMBCCMBCCEBCBABCBABC=+=+=+−=+−，以为,,BMD三点共线，可得233BABCBMBD=+=，所以233(1)

2BBABACBC++−=，可得223=且13−=，解得43,55==，即45CMCE=，所以B正确；对于C中，设ABC的面积为S，因为2CDDA=，可得13ABDSS=，又因为E为AB中点，且35BMBD=，可得311010BMEABDSSS==，所以四边形

AEMD的面积为11731030AEMDABDBMESSSSSS=−=−=，所以C不正确；对于D中，由35BMBD=，可得35BMCBCDSS=，所以25CMDBCDSS=，所以BMC△和CMD△的面积不相等，所以D错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已

知向量a、b的夹角的余弦值为14，2a=，4b=，则()aba−=________．【答案】2−【解析】【详解】根据数量积的定义与运算律计算可得.【分析】因为向量a、b的夹角的余弦值为14，2a=，4b=，所以1cos,2

424ababab===，所以()22222abaaba−=−=−=−.故答案为：2−14.函数33e2e2xxy−=+的值域为________．【答案】()1,1−【解析】【详解】将函数变形为341e

2xy−=++，再结合指数函数与幂函数的性质计算可得.【分析】因为()3333322e4e241e2e2exxxxxy−−−===+++++，又3e0x，所以3e22x+，所以311022ex+，所以34202ex−−

+，所以31e4112x−−++，所以函数33e2e2xxy−=+值域为()1,1−.故答案为：()1,1−15.已知等差数列na的前n项和为nS，若82212aa+=，则11S=______.【答案】44【解析】【分析】利用通项

公式，进行基本量代换求出6a，再利用前n项和公式和性质求出11S.【详解】设公差为d，有()()112712adad+++=，可得()13512ad+=，有64a=，()1111161111114442aaSa+====.故答案为：44

【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．16.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面,3,2ABCDADAB==，则以P为球心，的以PB为半径的球，被底面ABCD截得的弧长为________；若1,PAQ=是PC上的动点，则QBQD+的

最小值为________．【答案】①.2π3##2π3②.1062+【解析】【分析】以P为球心，以PB为半径的球与底面ABCD的交线为以A为圆心，AB为半径的圆弧，求出圆心角即可求出弧长，将面PDC翻折到与平面PBC共面，连接

BD交PC于点Q，此时QBQD+取得最小值为BD，再在平面四边形BCDP中求出BD的长度，即可得解.【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，则以P为球心，以PB为半径的球与底面ABCD的交线为以A为圆心，AB为半径的圆弧，在C

D上取一点E，使得2AEAB==，连接AE，则BE的长度即为以P为球心，以PB为半径的球，被底面ABCD截得的弧长，由3AD=，2AB=，所以3cos2ADDAEAE==，则π6DAE=，所以π3BAE=，则BE的长度为π2π233=，即以P为球心，以PB为半

径的球，被底面ABCD截得的弧长为2π3，将面PDC翻折到与平面PBC共面，连接BD交PC于点Q，此时QBQD+取得最小值为BD（平面图形如下所示），因为3AD=，2AB=，1PA=，所以222PDADPA=+=，

2CDAB==，225PBABAP=+=，()22212322PC=++=，3BCAD==，所以2226cos24BCPCBPBCPBCPC+−==，又2222cos22DCPCDPDCPDCPC+−==，所以10sin4BCP=

，2sin2DCP=，所以()coscosBCDDCPBCP=+coscossinsinDCPBCPDCPBCP=−621024242=−，又2222cosBDBCDCBCDCBCD=+−()226210232232

4154242=+−−=+，所以1062BD+=（负值舍去），即QBQD+的最小值为1062+.故答案为：2π3；1062+【点睛】关键点睛：对于处理线段和最值问题，一般是化折为直，利用两点间线段最短

解决.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知数列na满足：122,4aa==，数列nan−为等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）求和：12nnSaaa=+++．【答案】（1）12

nn−+（2）2112122nnn++−【解析】【分析】（1）首先求出11a−，22a−，即可求出等比数列nan−的通项公式，从而求出na的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得.【小问1详解】因为12a=，24a=，数列nan−为等比数列，所以11

1a−=，222a−=，则21221aa−=−，即nan−是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nnan−−=，则12nnan−=+.【小问2详解】12nnSaaa=+++01211222322nn−=++++++++L()()01211232222nn−=++

+++++++()2112112121222nnnnnn+−=+=++−−.18.在锐角ABC中，11cos,7,514Aba===．（1）求sinC；（2）在ABC内有点M，使得,,120MAMCABMAMCCMA+==，求tanMAC．【答案】（1

）437.（2）3313【解析】【分析】（1）先求得c，然后利用正弦定理求得sinC.（2）先求得,MAMC，然后利用余弦定理、同角三角函数的基本关系式求得tanMAC.【小问1详解】依题意，11cos,7,514Aba===，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即2112

5492714cc=+−，()()380cc−−=，解得3c=或8c=，当3c=时，222259491cos022532acbBac+−+−===−，B钝角，不符合题意，所以8c=.由于11cos014A=，A是锐角，所以253sin1cos14AA=−=

，由正弦定理得5843,,sinsinsinsin75314acCACC===.【小问2详解】设,,MAxMCyxy==，则8,8xyyx+==−，则8800xxxx−−，则48x<<，在三角形AMC中，由余弦定理得()()2227828co

s120xxxx=+−−−，()()2815350xxxx−+=−−=，解得5x=或3x=（舍去）.所以5,3MAMC==，为在三角形AMC中，由余弦定理得254991325s7co14MAC+−==，由于MAC为锐角，所以2331cos14sinMACMAC=

−=，所以sin33tancos13MACMACMAC==.19.已知函数()()33xxfxkk−=−R是奇函数．（1）求实数k的值；（2）设关于x的不等式()()()2110faxfax++−+的解集为A．若集合A中的整数元素只有

两个，求实数a的取值范围．【答案】19.1k=2011,43【解析】【分析】（1）由题意可得(0)0f=，检验，即可求解；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式，可得2(1)10axax−++

，分类讨论当0a=、a<0、01a、1a=、1a时对应的解集，结合题意即可求解.【小问1详解】由题意知，()fx是定义域为R上的奇函数，则(0)0f=，即00330k−=，解得1k=，经检验，1k=符合题意，所以1k=；小问2详解】由（

1）知，1k=，则1()333()3xxxxfx−=−=−，又函数13,()3xxyy==−在R上单调递增，所以函数()fx在R上单调递增，由()()()()()()()2221101111faxfaxfaxfaxaxax++−+++++，得21(1)0axax+−+，即2(1)10

axax−++.当0a=时，10x−+，解得1x，此时集合A不满足题意；当0a时，2(1)10(1)(1)0axaxaxx−++−−，.【对于方程2121(1)10,1axaxxxa−++===，若a<0，则11a，不等式的解集为1(,)(

1,)a−+，此时集合A不满足题意；若01a，则11a，不等式的解集为1(1,)a，又集合A有2个整数元素，所以{2,3}A=，则134a，解得1143a；若1a=，则11a=，不等式的解集为，此时集合A不满足题意；若1a，则11a

，不等式的解集为1(,1)a，又集合A有2个整数元素，所以{1,0}A=−，则121a−−，无解.综上，实数a的取值范围为1[41,)3.20.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，2,4,ABBCE==为1CC中点，1AEBC⊥

．（1）求1AA；（2）求二面角ABED−−的正弦值．【答案】（1）42（2）277【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，令()10AAtt=，则()4,0,0A，()4,2,0B

，()0,2,0C，0,2,2tE，()14,2,Bt，所以4,2,2tAE=−，()14,0,CBt=，因为1AEBC⊥，所以211602tAECB=−+=，解得42=t（负值舍去），所以142AA=.【小问2详解】由（1）可

得()4,0,22BE=−，()4,2,0DB=，()0,2,0AB=，设平面DBE的法向量为(),,nxyz=，则4220420nBExznDBxy=−+==+=，取()1,2,2n=−，设平面ABE的法向量

为(),,mabc=，则422020mBEacmABb=−+===，取()1,0,2m=，设二面角ABED−−为，由图可知二面角ABED−−为锐二面角，所以3cos37mnmn==，）公众号：全元高考所以227sin1cos7

=−=，即二面角ABED−−的正弦值为277.21.若()fxab=，()4sin,1ax=−，πcos,1(0)6bx=+−，且()fx的对称中心到对称轴的距离的最小值为π8．（1）求()fx的单调区间；（2）求()fx在π0,

3上的值域．【答案】（1）单调递增区间为ππππ,62122kk−++，Zk，单调递减区间为ππππ,12232kk++，Zk.（2）22−,【解析】【分析】（1

）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据周期求出，即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；（2）由x的取值范围，求出π46x+的范围，再由正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】）公众号：全元高考

因为()4sin,1ax=−，πcos,16bx=+−，且()fxab=，所以()π4sincos16fxxx=++ππ4sincossinsin1cos66xxx=−+223sincos2sin1xxx=−+3si

n2cos2xx=+π2sin26x=+，又()fx的对称中心到对称轴的距离的最小值为π8且0，所以π48T=，即π2π22T==，解得2=，所以()π2sin46xxf=+，令πππ2π42π262k

xk−+++，Zk，解得ππππ62122kkx−++，Zk，即()fx的单调递增区间为ππππ,62122kk−++，Zk，令ππ3π2π42π262kxk+++，Zk，解得ππππ12232kkx++，Zk，即()fx的单调递减区间为ππππ,1

2232kk++，Zk.【小问2详解】因为π0,3x，则3ππ426π6,x+，所以1πsi4,n16x+−，所以()2,2fx−，则()fx在π0,3上的值域为22−,.22.已知函数()32lo

gfxax=−.（1）当1a=时，解关于x的不等式()0fx；（2）请判断函数()()()3log1gxfxaxa=−+−是否可能有两个零点，并说明理由；（3）设a<0，若对任意的1,14t，函数()fx在

区间,1tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a的取值范围.【答案】（1）()1,2（2）不可能，理由见解析（3）8,5−−【解析】【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式()0fx的解集.（2）由()0gx=，求得12x=−，21xa=，但推出

矛盾，由此判断()gx没有两个零点.（3）根据函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得a的取值范围.【小问1详解】当1a=时，不等式()0fx可化为32log10−x，有2011−x，有20

,10,xxxx−−解得12x，故不等式，()0fx的解集为()1,2.【小问2详解】令()0gx=，有()332loglog1aaxax−=+−，有210aaxax−=+−，()22122210,0axaxaaxxx−−−+−−

+==，()22120axaxx+−−=，()()210xaxx+−=，则()()20210axxaxx−+−=，）公众号：全元高考若函数()gx有两个零点，记为()1212,xxxx，必有12x=−，21xa=，且有20220aaa−−−

，此不等式组无解，故函数()gx不可能有两个零点【小问3详解】当a<0，1,14t，1txt+时，20−ax，函数()fx单调递减，有()()3max2logfxftat==−，()()3min21log1fxftat=+=−+有3322l

oglog11−−−+aatt，有3322loglog31−−+aatt.有2231−−+aatt，整理为311−+att，由311−+att对任

意的1,14t恒成立，必有31,231,11144aa−−+解得85−a，又由()()()254131801551tttttt+−−−−=++，可得31815−−+tt，获得更多资源请扫码加入享学

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