【文档说明】浙江省杭州市源清中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.570 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期源清中学高一期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1}Axx=∣，240Bxx=−∣，则AB=（）A.(

2,1)−−B.(1,)+C.(2,)+D.(1,2)【答案】D【解析】【分析】解出不等式240x−，然后根据交集的定义可得答案.【详解】因为22Bxx=−∣，所以12ABxx=∣.故选：D2.已知3log4a=，0.7lo

g2b=，0.15c−=，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.acbC.cbaD.cab【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟0,1比较即可判断.【详解】因为33log43log1a==，0.70.7l

og2log10b==，0.105510c−==，所以acb.故选：B3.下列各式中，值为12的是（）A.()1cos15sin152−B.22cossin1212−C.2tan22.51tan22.5−D.sin15c

os15【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A，1222(cos15sin15)cos(4515)cos602224−=+==，A不符合；对于B，22πππ3cossincos12

1262−==，B不符合；对于C，22tan22.512tan22.511tan451tan22.521tan22.522==−−=，C符合；对于D，11sin15cos15sin3024==，D不符合.故选：C4.已知ABC是边长为2正三

角形，P为线段AB上一点（包含端点），则PBPC的取值范围为（）A.1,24−B.1,44−C.0,2D.0,4【答案】A【解析】【分析】以AB中点O为坐标原点建立平面直角

坐标系，设()(),011Pmm−，利用平面向量坐标运算可得21124PBPCm=−−，利用二次函数值域的求法可求得结果.【详解】以AB中点O为坐标原点，,OBOC正方向为,xy轴可建立如图所示平面直角坐标系，则()1,0A−，()10B,，()0

,3C，设()(),011Pmm−，()1,0PBm=−，(),3PCm=−，221124PBPCmmm=−=−−，则当12m=时，()min14PBPC=−；当1m=−时，()max2PBPC=；PBPC的取值范围为1,2

4−.故选：A.5.衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中ABC为等腰直角三角形，四边形B

CDE为等腰梯形，且2BCDE=，ABAC=，34CDE=，则CE→=（）A123CACD→→+B.133CACD→→+C.122CACD→→+D.132CACD→→+【答案】C【解析】【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：

如图，延长CD和BE交于点F，由题得90AFFCAFBA====,所以四边形ABFC为矩形，又ABAC=,所以四边形ABFC为正方形，又2BCDE=，所以,DE分别是,CFBF中点，所以122CECFFECACD→→→→→=+=+．故选：C.6.函数

()sincos2xxfxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合2x=时函数的符号即可得答案.【详解】解：由题知函数的定义域为R，关于原点对称，()()()()sinsincos2cos2xxxxfxxxfx−−===−+

+−，所以函数为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除B，D，当2x=时，sin22024cos22f==+，故排除C，得A为正确选项.故选：A7.已知函数()()log8afxax=−满足1a，若()1fx在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.()4

,+B.8,43C.81,3D.()81,4,3+【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，依题意()21f恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为()()log8afxax=−且1a，又8yax=−单调递减

，logayx=在定义域上单调递增，所以()()log8afxax=−在定义域上单调递减，因为()1fx在区间1,2上恒成立，所以()()2log821logaafaa=−=恒成立，所以821aaa−

，解得813a，即81,3a；故选：C8.函数()sin(2)2sincos()(0,R)fxxx=+−+在3,2上单调递减，则的取值范围是（）A.10,2B.(0,1]C.1,12

D.[1,2]【答案】C【解析】【分析】先根据三角恒等变换化简()fx的解析式，再结合()sinfxx=单调区间即可求出的取值范围.【详解】由题意可得()sin(2)2sincos()sinfxxxx=+−+=，因为22T…，所以02

„，令322()22kxkk++Z剟，由此可得232()22kkxk++Z剟，因为()fx在3,2上单调递减，所以23322，，„…

由此解得1,12.故选：C.【点睛】已知三角函数的单调区间求参数，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若

向量,ab满足||||2,||23abab==+=，则（）A.2ab=−B.a与b的夹角为π3C.(2)aab⊥−D.ab−在b上的投影向量为12br【答案】BC【解析】【分析】由模与数量积的关系求得2ab?，再根据数量积的性质确定a与b的夹角，

判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为||||2==rrab，所以()22228223ababaabbab+=+=++=+=，则2ab?，故A不正确；又21cos,222ababab===，0,πab

，所以π,3ab=，即a与b的夹角为π3，故B正确；又2(2)24220aabaab−=−=−=，所以(2)aab⊥−，故C正确；又ab−在b上的投影向量为()221cos,2abbbbabbababbabbbbabbbb−−−−=−==−−，故D不正确.故选：

BC.10.已知函数()sin()fxAx=+（Rx，0A，0，||2）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.()fx的图像关于点1,06−对称B.()fx的图像关于直线43x=对称C.()fx在11,23−

上为增函数D.把()fx的图像向右平移23个单位长度，得到一个奇函数的图像【答案】ABC【解析】【分析】根据函数图像求出函数解析式()π2sinπ6fxx=+，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.【详解】由已知2A=，514263T=−=，2

ππ2==，π2sin23+=，ππ2π32k+=+，kZ，又π2，π6=，()π2sinπ6fxx=+，对于A，1ππ2sin0666f−=−+=，故A正确；对于B

，令ππππ62xk+=+，kZ，得13xk=+，kZ，1k=时，43x=，故B正确；对于C，11,23x−时，令ππππ,632tx=+−，sinyt=在ππ,32−

上递增，故C正确；对于D，把()fx的图像向右平移23个单位长度，得函数表达式为()2ππ2sinπ2sinπ2cosπ362gxxxx=−+=−=−，它是偶函

数，故D错误.故选：ABC.11.设0a，0b，且22ab+=，则（）A.ab的最大值为12B.ab+的最小值为1C.22ab+的最小值为45D.2abab−+的最小值为92【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出b

的取值范围，可得出ab+的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得212ababab−+=+，将12ab+与()122ab+相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选项，由基本不等式可得2222

abab=+，可得12ab，当且仅当21ab==时，等号成立，A对；对于B选项，由22ab+=可得022b，解得01b，所以，()21,2abb+=−，B错；对于C选项，由22ab+=可得22ab=−，则()222222444225845555abbbbbb+

=−+=−+=−+，当且仅当45b=时，等号成立，故22ab+的最小值为45，C对；对于D选项，()22212abababababababab−++−++===+，因为()12112559222222babaabababab

ab+=++=+++=，当且仅当23ab==时，等号成立，故2abab−+的最小值为92，D对.故选：ACD.12.已知函数()fx的定义域为(),1fx−R为奇函数，()1fx+为偶函数，当()1,1x−时，()21fxx=

−，则下列结论正确的是（）A.()fx为周期函数且最小正周期为8B.7324f=C.()fx在()6,8上为增函数D.方程()lg0fxx+=有且仅有7个实数解【答案】ABD【解析】【分析】由条件得函数的对称性，进而得到函

数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得.【详解】因为()1fx−为奇函数，所以()()11fxfx−−=−−，即()fx关于点()1,0−对称；因为()1fx+为偶函数，所以()()11fxfx−+=+，即()fx关于直线1x

=对称；则()()()()()()()112314fxfxfxfxfx=−+=−+=−−−=−−，所以()()8fxfx=−，故()fx的周期为8，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A正确；275511113111112

2222224ffffff=+=−+=−−=−−=−−=−−−=，B正确；由于()fx在()1,0−上单调递减，且()fx关于点()1

,0−对称，故()fx在()2,0−上单调递减，又()fx的周期为8，则()fx在()6,8上也为减函数，C错误；作出函数()fx的图象和函数lgyx=−的大致图象，函数()yfx=的图象与函数lgyx=−的图象恰有7个交点，故D正确

.故选：ABD.【点睛】通过函数()fx图象具有中心对称性和轴对称性，推断函数的周期性，由()1,1x−上的解析式，可得函数的大致图象进而可得其他区间上函数的性质.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.223ln2338log27e227−−++=

________．【答案】5【解析】【分析】根据指数运算和对数运算的性质即可求解.【详解】223ln2338log27e227−−++=223ln232244log3e3253399−++=−+

+=.故答案为：514.如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：lg30.4771）【

答案】22【解析】【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.【详解】设光线的强度为x，至少重叠玻璃的快数为n，则()110%0.1nxx−，整理可得0.99910101lg1011log0.1loglog1021.8910lg9lg

102lg31lg10n==−=−=−=−−−.故答案为：22.15.若5sin25=，()10sin10−=，且π,π4，3π,π2，则+的值是________.【答案】74【解析】【分

析】依题意,可求得ππ,42，进一步可知π5,π24−，于是可求得()cos−与cos2的值，再利用两角和的余弦公式及角+的范围即可求得答案.【详解】因为π,π4，所以π2,2π2，因为5sin25=，所以π2,

π2，即ππ,42所以22525cos2=1sin21=55−−=−−−.的因为ππ,42，3π,π2，所以π5,π24−，因为()10sin10−=，所以()()221

0310cos1sin1=1010−=−−−=−−−.所以()()coscos2+=−+()()=coscos2sinsin2−−−31025105=105105−−−

2=2.因为ππ,42，3π,π2，所以5π,24+，所以7=4+.故答案为：74.16.已知ABC的外接圆圆心为O，H为ABC的重心且4,6ABAC==则()BOHCAH+=_

________【答案】263−【解析】【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取BC中点D，过O作,OEABOFAC⊥⊥，则EF、是ABAC、的中点.∵H为ABC的重心，∴(

)21233HBHCHDADABAC+===+，21cos2OAABABOAOABAB?-鬃?-uuuruuuruuuruuuruuur,同理212OAACAC?-uuuruuuruuur，故()()()221152263663OHBHCAOBACABAACA+=+=−+=−=−故答案为

：263−【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即()123AOABACOD=+=uuuruuuruuuruuur；（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：222111222AOABAB,

BOBCBC,COCACA???uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量()2,1a=−r，()1,3b→=−．（1）若()()

2abab−⊥+，求的值；（2）若()1,c=，向量a与c的夹角为钝角，求的取值范围．【答案】（1）53（2）2且12−【解析】【分析】（1）首先求出2ab−rr，ab+的坐标，依题意()()20abab−+=，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；（2）依题

意可得0acrr且a与c不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范围；【小问1详解】解：因为()2,1a=−r，()1,3b=−，所以()()()22,121,34,7ab−=−−−=−rr，()()()2,11,321,

3ab+=−+−=−+−rr，因为()()2abab−⊥+，所以()()()()2421730abab−+=−−++−=，解得53=；【小问2详解】解：因为()2,1a=−r，()1,c=且a与c的夹角为钝角

，所以0acrr且a与c不反向，由20ac=−+rr，解得2，当211−=即12=−时a与c反向，故12−，综上可得2且12−18.在①2sinsin1sinsinABcBAab++=；②(2)coscos0abCcA++

=；③3sinsin2ABacA+=，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若4c=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）2π3C=（2）(8,834+【解析】【分析】（1）

若选择①，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；若选择②，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；如选择③，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的

取值范围.【小问1详解】选择条件①：由2sinsin1sinsinABcBAab++=及正弦定理，得：21abcbaab++=，即222abcab+−=−，由余弦定理，得2221cos222abcabCabab

+−−===−，因为0πC，所以2π3C=；选择条件②：由(2)coscos0abCcA++=及正弦定理，得：(sin2sin)cossincos0ABCCA++=，即sincoscossin2sincosACACBC+=−.即sin()2s

incosACBC+=−.在ABC中，πABC++=，所以sin()sin(π)sinACBB+=−=，即sin2cossinBCB=−，因为0πB，所以sin0B，所以1cos2C=−，因为0πC，所以2π3C=；选择条件③：由3sinsin2ABacA+=及正弦定理，得：3sinsi

nsinsin2ABACA+=，因为0πA，sin0A，所以3sinsin2ABC+=.在ABC中，πABC++=，则sincos22ABC+=，故3cos2sincos222CCC=.因为0πC

，所以cos02C，则3sin22C=，故2π3C=；小问2详解】在ABC中应用余弦定理得：2222coscababC=+−，所以2216abab=++，因为()2222ababab+=+−，所以()21

6abab+=+.因为2()4abab+，所以()()22164abab+++，解得：()2192ab+，又因为abc+，所以8834abc+++，当且仅当ab=时取等号.所以周长的取值范围是：(8,834+【19.已知指数函数()()01xfxaaa=,过点()1

,2，函数()()()11fxgxxfx−=+.（1）求()1g，()1g-的值；（2）判断函数()gx在R上的奇偶性，并给出证明；（3）已知()gx在)0,+上是单调函数，由此判断函数()ygx=，xR的单调性（不需证明），并解不等式()1213gx+.【答案】（1）()()111

3gg−==；（2）()gx为偶函数，证明见解析；（3）()gx增区间为()0,+，减区间为(),0−；不等式解集为()(),10,−−+.【解析】【分析】（1）由指数函数过点求参数a，即可得()gx的解析式，进而求()1g，()1g-的

值；（2）利用奇偶性定义判断()gx奇偶性；（3）由题设及（1）（2）结论即可判断()ygx=的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解集.【小问1详解】由题设，()12fa==，则()2121xxgxx−=+，所以()1121111213

g−−−−=−=+，()21111213g−==+.【小问2详解】()2121xxgxx−=+，xR，定义域关于原点对称.又()()()()21122121xxxxgxxxgx−−−−−=−=−=++，故()gx为偶函数；【小问3详解】的由

()00g=且()()01gg，()gx在)0,+上单调，所以()0,+为()gx单调增区间，而()gx为偶函数，则()gx单调减区间为(),0−由()1213gx+可得：()()211gxg+，即211x+

，解得()(),10,x−−+.20.设平面向量213sin,cos2axx=−，(cos,1)bx=−，函数()fxab=．（1）求()fx的单调增区间；（2）当π0,2x时，求函数()fx的值域；（3）若锐角满足124f=，求2πco

s23+的值．【答案】（1）πππ,π,Z63kkk−+（2）1,12−（3）78−【解析】【分析】（1）化简得到()πsin26fxx=−，取πππ2π22π262kxk−−+，

解得答案.（2）π0,2x，则ππ5π2,666x−−，得到值域.（3）代入数据得到π1sin264f=−=，化简得到22ππcos22sin136+=−−，计算得到答案.【小问1详解】()2131c

os213sincoscossin22222xxxxfxabx+=−+=−=+31πsin2cos2sin2226xxx=−=−，取πππ2π22π262kxk−−+，Zk，解得ππππ63kxk−+，Zk，故()fx的单调增区间为πππ,π,Z63kkk−+

，【小问2详解】π0,2x，则ππ5π2,666x−−，故()1,12fx−【小问3详解】π1sin264f=−=，22ππππ7cos2cos2πcos22sin13666

8+=−+=−−=−−=−.21.在梯形ABCD中，,2,1,120,,ABCDABBCCDBCDPQ====∥分别为线段BC，CD上的动点.（1）求BCAB；（2）若14BPBC=，求AP；（

3）若1,6BPBCDQDC==，求APBQuuuruuur的最小值；【答案】（1）2−（2）132（3）43−【解析】【分析】（1）根据题意得60ABC=，所以cosBCABBCABBCAB=，求解计算即可；（2）根

据题意得14APABBC=+，所以214BPCAAB=+；（3）根据题意得125536APBQ=+−uuuruuur，且116，再分析单调性求解即可.【小问1详解】因为,2,120ABCDABBCBCD===∥，所以60ABC=，所以,180120BC

ABABC=−=，所以cos22cos1202BCABBCABBCAB===−.小问2详解】由（1）知，2BCAB=−，因为14BPBC=，所以14APABBPABBC=+=+，所以()222222111111322221146264APABABABBCBCBC

=+=++=+−+=，所以132AP=.【小问3详解】因为BPBC=，16DQDC=，则()()()616APBQABBPBCCQABBCBCCD−=++=++uuuruuuruuu

ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2611666ABBCABCDBCCBCD−−=+++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur261161125221221566236

−−=−−++−=+−，因为011016，解得116，设()125536f=+−，116，根据对勾函数的单调性可知，()f在1,16单调递增，所以当16=时，()f取得最小值：525426631

6f=+−=−.22.设函数2()2(,)fxaxxbabR=−+.（1）当0b=时，若不等式()2fxx在[0,2]x上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若a为常数，且函数()fx在区间[0,2]上存在零点，求实数b的取值范围.【

【答案】（1）0,2；（2）见解析【解析】【分析】（1）当0x=时，不等式恒成立，当02x„，由条件可得22xa−−剟在(0，2]上恒成立，进一步得到222aa−−−„…，求出a的范围即可；（2）函数()fx在[0，2]上存在

零点，即方程||2xaxb−=−在[0，2]上有解，设22,(),xaxxahxxaxxa−=−+，然后分0a„和0a两种情况求出b的范围．【详解】（1）当0b=时，若不等式||2xaxx−„在[0x，2]上恒成立；当0x=时

，不等式恒成立，则aR；当02x„，则||2ax−„在(0，2]上恒成立，即22xa−−剟在(0，2]上恒成立，因为yxa=−在(0，2]上单调增，2maxya=−，minya−，则222aa−−−„…，解得，02a剟；则实数a的取值范围为[0，2]；（2）函数()f

x在[0，2]上存在零点，即方程||2xaxb−=−在[0，2]上有解；设22,(),xaxxahxxaxxa−=−+当0a„时，则2()hxxax=−，[0x，2]，且()hx在[0，2]上单调递增，所以()(0)0minhxh==，()maxh

xh=（2）42a=−，则当0242ba−−剟时，原方程有解，则20ab−剟；当0a时，22,(),xaxxahxxaxxa−=−+，则()hx在[0，]2a上单调增，在[,]2aa上单调减，在[a，)+上单调增；①当22a…，即4a…时，()m

axhxh=（2）24a=−，()(0)0minhxh==，则当0224ba−−剟时，原方程有解，则20ab−剟；②当22aa„，即24a„时，2()()24maxaahxh==，()(0)0minhxh==，则当2024ab−剟时，

原方程有解，则208ab−剟；③当02a时，2(){(),(2)}{,42}24maxaahxmaxhhmaxa==−，()(0)0minhxh==，当2424aa−…，即4422a−+„时，2()4maxahx=，则当2024ab−剟时，原方程有解，则20

8ab−剟；当2424aa−，即0442a−+时，()42maxhxa=−，则当0242ba−−剟时，原方程有解，则20ab−剟；综上，当442a−+时，实数b的取值范围为[2a−，0]；当442

4a−+„时，实数b的取值范围为2[,0]8a−；当4a…时，实数b的取值范围为[2a−，0]．【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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