【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（达标检测） Word版含解析.docx，共(12)页，52.278 KB，由小赞的店铺上传

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第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（达标检测）[A组]—应知应会1．（2020春•梅州期末）cos75°＝（）A．√6−√22B．√6+√22C．√6−√24D．√6+√24【分析】将75°看成30°与45°

的和，然后利用两角和的余弦公式求解．【解答】解：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°=√32×√22−12×√22=√6−√24．故选：C．2．（2020

春•成都期末）已知sinα=√1010，则cos2α＝（）A．45B．−45C．3√1010D．−3√1010【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sinα=√1010，∴cos2α

＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（√1010）2=45．故选：A．3．（2020春•辽宁期末）已知sinα=14，sin2α＜0，则tanα＝（）A．√15B．√1515C．−√15D．−√1515【分析】由已

知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而即可求解tanα的值．【解答】解：∵sinα=14＞0，sin2α＝2sinαcosα＜0，∴cosα＜0，可得cosα=−√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=−√1−116=−√154，∴tanα=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=

−√1515．故选：D．4．（2020春•泸州期末）已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan（α+β）＝（）A．13B．−12C．12D．−13【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用和和角公式的运用求出结果．【解答】解：tanα，tanβ是一元二次方程

x2+2x﹣5＝0的两实根，则：tanα+tanβ＝﹣2，tanα•tanβ＝﹣5，故𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽=−13．故选：D．5．（2020春•内江期末）设a＝sin18°cos44°+cos18°si

n44°，b＝2sin29°cos29°，c＝cos30°，则有（）A．c＜a＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c【分析】利用两角和差的正弦公式，倍角公式以及三角函数的单调性进行比较大小即可．【解答

】解：a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°＝sin（18°+44°）＝sin62°，b＝2sin29°cos29°＝sin58°，c＝cos30°＝sin60°，∵y＝sinx在[45°，90°]上为增函数，∴sin62°＞sin60°＞sin58°，即a＞c＞b，故选：B

．6．（2020春•沈阳期末）已知sin（α−𝜋6）=23，则sin（2α−5𝜋6）＝（）A．4√59B．−4√59C．19D．−19【分析】利用诱导公式化简已知可得cos（2𝜋3−α）=23，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵sin（α−𝜋6）

＝cos[𝜋2−（α−𝜋6）]＝cos（2𝜋3−α）=23，∴sin（2α−5𝜋6）＝cos[𝜋2−（2α−5𝜋6）]＝cos（4𝜋3−2α）＝2cos2（2𝜋3−α）﹣1＝2×（23）2﹣1=−19．故选：D．7．（202

0春•聊城期末）已知α为第二象限角，𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=15，则tan2α＝（）A．−247B．247C．2425D．43【分析】将已知等式平方可得2cosαsinα的值，从而可求得cosα﹣sinα，结合已知条件求得cosα，sinα的值，求得tanα的值，利用二倍角的正

切函数公式可求tan2α的值．【解答】解：∵𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=15，①∴平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=125，可得：1+2sinαcosα=125，可得2cosαsinα=−242

5，从而cosα﹣sinα=−√(𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼)2=−√1−2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−75，②∴①②联立解得：cosα=−35，sinα=45，可得tanα=−43，∴tan2α=2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡�

�𝑛2𝛼=2×(−43)1−(−43)2=247．故选：B．8．（2019秋•辽源期末）已知tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，则tan2a的值为（）A．−47B．47C．18D．−18【分析】由关系式2α＝（α+β）+（α﹣β）及两角和的正切公式代入已知即

可求值．【解答】解：∵tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，∴tan（2α）＝tan[（α+β）+（α﹣β）]=𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)+𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)1−𝑡𝑎𝑛(𝛼+𝛽)𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽)=3+51−3×5=−47，故选：A．9．（2020

•郑州二模）若α∈（𝜋2，π），则2cos2α＝sin（𝜋4−α），则sin2α的值为（）A．18B．−78C．1D．78【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin

2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（𝜋2，π），且2cos2α＝sin（𝜋4−α），∴2（cos2α﹣sin2α）=√22（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=−√24，或cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排

除）．∵cosα+sinα=−√24，则有1+sin2α=18，sin2α=−78；故选：B．法2：∵α∈（𝜋2，π），∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．10．（2020春•宣

城期末）已知tanαtanβ＝m，cos（α﹣β）＝n，则cos（α+β）＝（）A．2𝑛(1−𝑚)𝑚+1B．𝑛(1−𝑚)𝑚+1C．6𝑛(1−𝑚)𝑚+1D．𝑛(𝑚−1)𝑚+1【分析】根据同角的

三角函数关系，结合两角和差的余弦公式建立方程，求出sinαsinβ，cosαcosβ的值即可．【解答】解：∵tanαtanβ＝m，∴𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽=m，即sinαsinβ

＝mcosαcosβ，∵cos（α﹣β）＝n，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝n，得cosαcosβ+mcosαcosβ＝n，得cosαcosβ=𝑛1+𝑚，sinαsinβ=𝑚𝑛1+𝑚，则cos（α+β）＝

cosαcosβ﹣sinαsinβ=𝑛1+𝑚−𝑚𝑛1+𝑚=𝑛(1−𝑚)1+𝑚，故选：B．11．（多选）（2020春•南京期末）下列四个等式其中正确的是（）A．tan25°+tan35°+√3tan25°tan

35°=√3B．𝑡𝑎𝑛22.5°1−𝑡𝑎𝑛222.5°=1C．cos2𝜋8−sin2𝜋8=12D．1𝑠𝑖𝑛10°−√3𝑐𝑜𝑠10°=4【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：对①：tan60°＝tan（25°

+35°）=𝑡𝑎𝑛25°+𝑡𝑎𝑛35°1−𝑡𝑎𝑛25°𝑡𝑎𝑛35°=√3，故tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3，故正确；对②：𝑡𝑎𝑛22.5°1−𝑡𝑎𝑛222.5°=12tan45°＝1，故𝑡𝑎𝑛22.5

°1−𝑡𝑎𝑛222.5°=12，故错误；对③：cos2𝜋8−sin2𝜋8=cos𝜋4=√22，故错误；对④：1𝑠𝑖𝑛10°−√3𝑐𝑜𝑠10°=𝑐𝑜𝑠10°−√3𝑠𝑖𝑛10°𝑠𝑖�

�10°𝑐𝑜𝑠10°=2𝑐𝑜𝑠(60°+10°)12𝑠𝑖𝑛20°=2𝑠𝑖𝑛20°12𝑠𝑖𝑛20°=4，故正确．故选：AD．12．（多选）（2020春•徐州月考）下列各式中，值为√32的是（）A．2sin15°cos15°B．1+𝑡𝑎𝑛15

°2(1−𝑡𝑎𝑛15°)C．1﹣2sin215°D．3𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛215°【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案．【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30°=12；1+𝑡𝑎𝑛

15°2(1−𝑡𝑎𝑛15°)=𝑡𝑎𝑛45°+𝑡𝑎𝑛15°2(1−𝑡𝑎𝑛45°𝑡𝑎𝑛15°)=12𝑡𝑎𝑛(45°+15°)=12𝑡𝑎𝑛60°=√32；1﹣2sin2

15°＝cos30°=√32；3𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛215°=32⋅2𝑡𝑎𝑛15°1−𝑡𝑎𝑛215°=32⋅𝑡𝑎𝑛30°=√32．∴值为√32的是BCD．故选：BCD．13．（2020春•泸州期末）已知sin（𝜋2−α

）=13，则cos2α＝．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα=13，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sin（𝜋2−α）＝cosα=13，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（13）2﹣1=−79．故答案为：−79．14．（2020春•安徽期末

）已知α为锐角，sin（𝜋3−α）=√33，则cosα＝．【分析】先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可．【解答】解：∵α为锐角，∴0＜α＜𝜋2，则−𝜋2＜−α＜0，−𝜋6＜𝜋3−α＜𝜋3

，∵sin（𝜋3−α）=√33，∴cos（𝜋3−α）=√1−(√33)2=√69=√63，则cosα＝cos（﹣α）＝cos[（𝜋3−α）−𝜋3]＝cos（𝜋3−α）cos𝜋3+sin（𝜋3−α）sin𝜋3=√6

3×12+√33×√32=12+√66，故答案为：12+√6615．（2020春•静安区期末）已知𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=15，且𝜋2≤𝛼≤3𝜋4，则cos2α＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．【解答】解：∵已知𝑠𝑖𝑛�

�+𝑐𝑜𝑠𝛼=15，且𝜋2≤𝛼≤3𝜋4，∴1+sin2α=125，且π＜2α＜3𝜋2，∴sin2α=−2425则cos2α=−√1−𝑠𝑖𝑛22𝛼=−725，故答案为：−725．16．（2020春•镇江期末）已知α∈（𝜋2，π），tan2α=34

，则sin2α+cos2α＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，先求出tanα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知α∈（𝜋2，π），tan2α=34，∴2α∈（π，

3𝜋2），∴α∈（𝜋2，3𝜋4），且2𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛2𝛼=34，∴tanα＝﹣3，或tanα=13（不合题意，舍去）．则sin2α+cos2α=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛

2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼+1𝑡𝑎𝑛2𝛼+1=−12，故答案为：−12．17．（2020春•海安市校级期末）已知sinαsin（𝜋2−β）﹣sin（𝜋2+α）sinβ＝1，则tan𝛼−𝛽2=．【分析】由已知

利用诱导公式，两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）＝1，可求𝛼−𝛽2=kπ+𝜋4，k∈Z，利用诱导公式即可求解tan𝛼−𝛽2的值．【解答】解：∵sinαsin（𝜋2−β）﹣sin（𝜋2+α）sinβ＝1，∴sinαcos

β﹣cosαsinβ＝sin（α﹣β）＝1，∴α﹣β＝2kπ+𝜋2，k∈Z，可得𝛼−𝛽2=kπ+𝜋4，k∈Z，∴tan𝛼−𝛽2=tan（kπ+𝜋4）＝tan𝜋4=1．故答案为：1．18．（2020春•宣城期末）已知锐角θ满足cos（θ+𝜋6）=−√23，则sin（θ+5

𝜋12）＝．【分析】根据同角三角函数关系，以及诱导公式，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．【解答】解：∵锐角θ满足cos（θ+𝜋6）=−√23，∴𝜋6＜θ+𝜋6＜2𝜋3，则sin（θ+𝜋6）

=√1−(−√23)2=√73，∵θ+5𝜋12−（θ+𝜋6）=𝜋4，∴θ+5𝜋12=（θ+𝜋6）+𝜋4，则sin（θ+5𝜋12）＝sin[（θ+𝜋6）+𝜋4]＝sin（θ+𝜋6）cos𝜋4+cos（θ+𝜋6）sin𝜋4=√

73×√22−√23×√22=√14−26，故答案为：√14−2619．（2020春•包头期末）已知sinα=45，α∈（𝜋2，π），cosβ=−√53，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）直接利用三角函数的

定义和和角公式的运用求出结果．（2）利用切化弦思想和差角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sinα=45，α∈（𝜋2，π），所以𝑐𝑜𝑠𝛼=−35，由于cosβ=−√53，β是第三象限角．所以𝑠𝑖𝑛𝛽=−23．故：cos（α+β）=𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽

−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽=35×√53+45×23=8+3√515．（2）由于𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−43，𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽=2√5，故𝑡𝑎𝑛(𝛼−𝛽

)=𝑡𝑎𝑛𝛼−𝑡𝑎𝑛𝛽1+𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽=14√5−12920．（2020春•上饶期末）已知α为锐角，求下列各式的值：（1）𝑠𝑖𝑛𝛼=35，求𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋6)的值；（2）𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝜋3)=13，求si

nα的值．【分析】（1）由α为锐角及α的正弦值可得α的余弦值，将𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋6)按两角和的正弦公式展开，即可求出其值；（2）由α为锐角及𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝜋3)=13＞0，可得α+𝜋3∈（𝜋3

，𝜋2），进而求出𝛼+𝜋3的正弦值，由sinα＝sin[（α+𝜋3）−𝜋3]将其按两角差的正弦公式展开可得其值．【解答】解：（1）因为α为锐角，𝑠𝑖𝑛𝛼=35，所以cosα═√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=45，所以𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋6)=sinαcos𝜋6+c

osαsin𝜋6=35⋅√32+45⋅12=3√3+410；（2）因为α为锐角，𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝜋3)=13＞0，α+𝜋3∈（𝜋3，𝜋2），可得sin（α+𝜋3）=√1−𝑐𝑜𝑠2(𝛼+𝜋3)=2√23，所以sinα＝sin[（α

+𝜋3）−𝜋3]＝sin（𝛼+𝜋3）cos𝜋3−cos（𝛼+𝜋3）sin𝜋3=2√23⋅12−13⋅√32=2√2−√36．21．（2020春•徐州期末）已知0＜𝛼＜𝜋2，𝑐𝑜𝑠(𝜋4+𝛼)=13．（1）求cosα的值；（2）

求sin2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得cosα的值．（2）由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得结果．【解答】解：（1）因为0＜𝛼＜𝜋2，所以，𝜋4＜𝜋4+𝛼＜3𝜋4，所以，𝑠𝑖𝑛(𝜋4+𝛼)＞0．由𝑐𝑜𝑠(𝜋

4+𝛼)=13，所以，𝑠𝑖𝑛(𝜋4+𝛼)=√1−𝑐𝑜𝑠2(𝜋4+𝛼)=2√23，所以𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑐𝑜𝑠[(𝜋4+𝛼)−𝜋4]=𝑐𝑜𝑠(𝜋4+𝛼)𝑐𝑜𝑠𝜋4+𝑠�

�𝑛(𝜋4+𝛼)𝑠𝑖𝑛𝜋4=13×√22+2√23×√22=4+√26．（2）𝑠𝑖𝑛2𝛼=−𝑐𝑜𝑠(𝜋2+2𝛼)=−𝑐𝑜𝑠[2(𝜋4+𝛼)]=1−2𝑐𝑜𝑠2(𝜋4+𝛼)=1−29=79．22．（2020春•利通区校级期末）已知sin

（π﹣α）=4√37，cos（α﹣β）=1314，0＜β＜α＜𝜋2．（1）求sin（α+𝜋3）的值；（2）求角β的大小．【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．（2）利用三角函数的角的变

换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sin（π﹣α）＝sinα=4√37，由于0＜α＜𝜋2．所以𝑐𝑜𝑠𝛼=√1−𝑠𝑖𝑛2𝛼=17，故𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋3)=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝜋3+𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑠𝑖𝑛𝜋3=4√37×12+17×√32=5√314．（2）0＜β＜α＜𝜋2．所以0＜𝛼−𝛽＜𝜋2，由于cos（α﹣β）=1314，所以𝑠𝑖𝑛(𝛼−𝛽)=3√314，故：cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosβcos（α﹣β）+s

inβsin（α﹣β）=17×1314+4√37×3√314=12．由于0＜β＜𝜋2．所以𝛽=𝜋3．23．（2020春•金凤区校级期末）已知tanα＝2，其中α∈（0，𝜋2）．（1）求2𝑠𝑖𝑛2𝛼1+𝑐𝑜𝑠2𝛼的值；（2）求

cos（α+𝜋4）的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式化简化简求解．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos（α+𝜋4）．【解答】解：（

1）由于tanα＝2，其中α∈（0，𝜋2），所以：2𝑠𝑖𝑛2𝛼1+𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑠𝑖𝑛2𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑠𝑖𝑛2𝛼=2𝑡𝑎𝑛2𝛼2+𝑡𝑎𝑛2𝛼=2×222+22=86=43；（2）由于tan

α＝2，其中α∈（0，𝜋2），可得：cosα=√11+𝑡𝑎𝑛2𝛼=√11+22=√55，sinα=√1−𝑐𝑜𝑠2𝛼=2√55，cos（α+𝜋4）=√22cosα−√22sinα=√22×√55−√22×2

√55=−√1010．[B组]—强基必备1．（2020•福州模拟）已知α，β是函数f（x）＝sinx+cosx−13在[0，2π）上的两个零点，则cos（α﹣β）＝（）A．﹣1B．−89C．−√22D．0【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的

三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解：解法一：依题意，f（α）＝f（β）＝0，故𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=13，由{𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=13𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1，得9sin2α﹣3sinα﹣4＝0，9cos2α﹣3

cosα﹣4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2﹣3x﹣4＝0（*）的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程（*）的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0，2π），则α＝β，这与已知相悖

，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程（*）的两个异根，故𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽=−49．同理可求𝑐𝑜𝑠𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽=−49，所以cos（α﹣β）＝cosαcosα+𝑠𝑖�

�𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽=−89．解法二：令f（x）＝0，得𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=13．令g（x）＝sinx+cosx，即𝑔(𝑥)=√2𝑠𝑖𝑛(𝑥+𝜋4)，则α，β即为g（x）与直线𝑦=13在[0，2π）上交点的横坐标，由图象可知，𝛼+𝛽2=5𝜋4，故𝛽

=5𝜋2−𝛼，又√2𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋4)=13，所以cos（α﹣β）=𝑐𝑜𝑠(2𝛼−5𝜋2)=𝑐𝑜𝑠[2(𝛼+𝜋4)−3𝜋]=−𝑐𝑜𝑠2(𝛼+𝜋4)=−1+2𝑠𝑖𝑛2(𝛼+𝜋4)=−89．

解法三：依题意，不妨设0≤β＜α＜2π，则点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）为直线𝑥+𝑦−13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB中点为H，则OH⊥AB，记∠AOH＝θ．则α﹣β＝2π﹣2θ，所以，cos（α﹣β）＝cos

（2π﹣2θ）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1．另一方面，𝑂𝐻=|0+0−13|√12+12=√26，OA＝1，故𝑐𝑜𝑠𝜃=√26，从而𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽)=2×(√26)2−1=−89．故选：B．2．（2020•榆林模拟）已知s

inα﹣2cosα＝1，α∈（π，3𝜋2），则1−𝑡𝑎𝑛𝛼21+𝑡𝑎𝑛𝛼2=（）A．−12B．﹣2C．12D．2【分析】推导出𝛼2∈（𝜋2，3𝜋4），tan𝛼2∈（﹣1，0），1−𝑡�

�𝑛𝛼21+𝑡𝑎𝑛𝛼2=1−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼，由此利用sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3𝜋2），能求出1−𝑡𝑎𝑛𝛼21+𝑡𝑎𝑛𝛼2的值．【解答】解：∵α∈（π，3𝜋2），∴𝛼2∈（𝜋2，3𝜋4），

∴tan𝛼2∈（﹣1，0），∴1−𝑡𝑎𝑛𝛼21+𝑡𝑎𝑛𝛼2=(1−𝑡𝑎𝑛𝛼2)2(1+𝑡𝑎𝑛𝛼2)(1−𝑡𝑎𝑛𝛼2)=1+𝑡𝑎𝑛2𝛼2−2𝑡𝑎𝑛𝛼21−𝑡𝑎𝑛2𝛼2=𝑐𝑜𝑠2𝛼2+𝑠𝑖𝑛2𝛼2−2𝑠𝑖𝑛𝛼2

𝑐𝑜𝑠𝛼2𝑐𝑜𝑠2𝛼2−𝑠𝑖𝑛2𝛼2=1−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼，∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3𝜋2），∴1−𝑡𝑎𝑛𝛼21+𝑡𝑎𝑛𝛼2=1−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜�

�𝛼=−2．故选：B．3．（2019秋•福建月考）已知α，β∈（0，𝜋2），tanα=𝑐𝑜𝑠2𝛽1−𝑠𝑖𝑛2𝛽，则α﹣β＝（）A．𝜋2B．𝜋4C．3𝜋4D．π【分析】利用三角

函数的和数关系与商数关系，可以将tanα=𝑐𝑜𝑠2𝛽1−𝑠𝑖𝑛2𝛽化简为tan（β+𝜋4），即可求解．【解答】解：由tanα=𝑐𝑜𝑠2𝛽1−𝑠𝑖𝑛2𝛽=𝑐𝑜𝑠2𝛽−𝑠𝑖𝑛2𝛽𝑐𝑜𝑠2𝛽−2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠�

�𝑛2𝛽=(𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛽)(𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑖𝑛𝛽)(𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛽)2=𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽−𝑠𝑖𝑛𝛽=1+𝑡

𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝛽=𝑡𝑎𝑛𝜋4+𝑡𝑎𝑛𝛽1−𝑡𝑎𝑛𝜋4𝑡𝑎𝑛𝛽=tan（β+𝜋4），∵α，β∈（0，𝜋2），∴𝛼=𝛽+𝜋4；∴𝛼−𝛽=𝜋4．故选：B．4．（2020春•冷水滩区校级月考）已知2𝑠𝑖𝑛2𝛼+2𝑠𝑖𝑛𝛼�

�𝑜𝑠𝛼1+𝑡𝑎𝑛𝛼=k（0＜α＜𝜋2）．试用k表示sinα﹣cosα的值．【分析】利用倍角公式及切化弦可把原式化为2sinαcosα＝k．分0＜α＜𝜋4，𝜋4≤α＜𝜋2两种情况通过求（sinα﹣c

osα）2可得答案．【解答】解：2𝑠𝑖𝑛2𝛼+2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼1+𝑡𝑎𝑛𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼)1+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼(𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑠𝑖�

�𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼＝2sinαcosα＝k．当0＜α＜𝜋4时，sinα＜cosα，此时sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=−√(𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑐𝑜𝑠𝛼)2=−√1−2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=

−√1−𝑘．当𝜋4≤α＜𝜋2时，sinα≥cosα，此时sinα﹣cosα≥0，