【文档说明】新疆生产建设兵团第一师高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.498 MB，由管理员店铺上传

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2023届高三第二次月考理科数学一、单选题（每题5分，共60分）1.已知集合35Mxx=−，5Nxx=−或5x，则MN=（）A.5xx−或3x−B.55xx−C.35xx−D.3xx−或5x【答案】A【解析】【详解】由并集的定义可得5

MNxx=−或3x−.故选A.2.若复数z满足(1i)24iz+=−，则||z=（）A.10B.10C.20D.25【答案】B【解析】【分析】由复数的除法法则求得z，再求其共轭复数的模．【详解】由已知224i(24i)(1

i)22i4i4i13i1i(1i)(1i)2z−−−−−+====−−++−，所以2213i(1)310z=−+=−+=．故选：B．3.函数3()eexxfxx−=−−的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先证明()fx为奇函数可淘汰C，D选项，再利用x趋向于

正无穷时，可得到3()eexxfxx−=−−也趋向于正无穷，故淘汰A，即可得到答案【详解】解：由3()eexxfxx−=−−可得定义域为R，因为()()33e0()()eeexxxxfxfxxx−−+

−=−+−−−=−所以()fx为奇函数，故淘汰C,D选项，当x趋向于正无穷时，exy=趋向于正无穷，exy−=趋向于0，3yx=趋向于正无穷，而且指数函数exy=趋向于正无穷的增长速率远远超过3yx=趋向于正无穷的增长速率，所以当x趋向于正无穷时，3()eexxfxx−=−−趋向于正无穷

，故淘汰A，故选：B4.已知点2π(cos,1)3P是角终边上一点，则cos=（）A.55B.55−C.255D.32−【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的定义，结合特殊角的余弦值进行求解即可.【详解】依题意点P的坐标为1(,1)2−，22115521,cos.22552OP

−=−+===−故选：B.5.下列命题正确的是（）A.“2320xx−+”是“1x”的充分不必要条件B.若给定命题:pxR，使得210xx+−，则¬:pxR，均有210xx+−C.若pq为假命题，则p，q均为假命题D.命题“若2320xx−+=，则2x=”的否命题为

“若2320xx−+=，则2x”【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件，特称命题的否定，逻辑联结词，否命题的知识点对选项逐一判断【详解】对于A，因为2320xx−+，所以2x或1x，因此“23

20xx−+”是“1x”的必要不充分条件，故A错误；对于B，命题:pxR，使得21xx+−的否定为xR，均有210xx+−，故B正确；对于C，若pq为假命题p，q至少有一个则为假命题，故C错误；对于D，命题“若2320xx−+=，则

2x=”的否命题为“若2320xx−+，则2x”，故D错误；故选：B6.若tan2=−，则1sin2π2sinsin4−=−（）A.12B.12−C.32−D.32【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系

，弦切互化得含tan的式子再代入即可解出答案．【详解】()()()2212sincos1sin2sincos2sincosπsinsincossinsincos2sinsin4−−+−==−−−()()2sincossincos1

1sinsincossintan−−===−−，∵tan2=−，1131=1=tanθ22-+\，故选：D7.函数()2cosfxxx=+在0,π上的极小值点为（）A.π3B.6C.5π6D.2π3【答案】C【解析】【分析】分析函

数导数的符号变化，由此可得函数的单调性，由单调性得出结论即可.【详解】对于函数()2cosfxxx=+，()12sinfxx=−，因为0,πx，当π06x时，()0fx，当π5π66x时，()0fx，当5ππ6x时，()0fx，所以()fx在区间[0，

π6]上是增函数，在区间[π6，5π6]上是减函数，在[5π6，π]是增函数．因此，函数()2cosfxxx=+在0,π上的极小值点为56.故选：C.8.已知函数sin()0,||2yAx=

+的部分图象如图所示，则23f=（）A.3B.322C.32D.22【答案】C【解析】【分析】求出函数的周期，即可求出，通过五点作图法求出,A，可求出()fx，即可求出23f.【详解】由图象可知4T

=，从而12=，将3,0,0,32−在函数图象上，sin06,23sin2AA+==−可得：1,3,()3sin626Afxx=−==−，233sin362f==.故选：C.9.已知符号函数()

1,0sgn0,01,0xxxx==−，则函数()()sgnlnlnfxxx=−的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先求出()sgnlnx，再解方程即可.【详解】解：当ln0x=时1x=；当ln0x时1

x；当ln0x时01x．()1,1sgnln0,11,01xxxx==−．()()1ln,1sgnlnlnln,11ln,01xxfxxxxxxx−=−=−=−−．当1x时令()0f

x=，即1ln0x−=，解得e1x=成立；当1x=时令()0fx=，即ln0x−=，解得1x=成立；当01x时令()0fx=，即1ln0x−−=，解得()10,1ex=成立．综上可得解()0fx=得ex=或1x=或1ex=．所以函数()fx的零点个数为3．故选：C10.已知函数()f

x满足(2)()fxfx−=()Rx，且对任意()1212,[1,)xxxx+时，恒有()()12120fxfxxx−−成立，则当()()22225faafaa−+++时，实数a的取值范围是（）A.(1,3)B.(,1)(3,)−

−+的C.(1,3)−D.(,1)(3,)−+【答案】C【解析】【分析】由(2)()fxfx−=分析可得函数()fx的图象关于直线1x=对称，结合函数单调性的定义分析可得()fx在[1，)+上为增函数，结合对称性与单调性解不等式即可.【详解】根据题意，函数()fx满足(2)()fxfx

−=，则函数()fx的图象关于直线1x=对称，又由对任意1x，2[1x，12)()xx+的时，恒有()()12120fxfxxx−−成立，则()fx在[1，)+上为增函数，又由22115222()148aaa−+=−+，2215()1219

4aaa++=++，若()()22225faafaa−+++，则有22225aaaa−+++，解得13a−，即a的取值范围为(1,3)−故选：C．11.已知函数()yfx=的图像既关于点()1,

1中心对称，又关于直线0xy+=轴对称.当()0,1x时，()()2log1fxx=+，则()2log10f的值为（）.A.2log6B.175C.3D.145【答案】B【解析】【分析】设表示函数()yfx=的图像，()020log1yx=+，根据中心

对称性与轴对称性，可依次得()002,2xy−−，()002,2yx−−，()004,4yx−−，取035x=，可计算得024log10y−=，从而可计算得()()200317log1044455ffyx=−=−=−=.【详解】用表示函数()yfx=的

图像，对任意的()00,1x，令()020log1yx=+，则()00,xy，且()00,1y，利用的中心对称性与轴对称性，可依次推得()002,2xy−−，()002,2yx−−，()004,4yx−−，取

035x=，此时()020244log1log10yx−=−+=，因此()()200317log1044455ffyx=−=−=−=.故选：B【点睛】本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据

中心对称与轴对称特点表示出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算.12.设5215,ln,sin111111===abc，则（）A.c<a<bB.cbaC.abcD.b<c<a【答案】A【解析】【分析】构造函数()πsin(0)2fxxxx=−和1()ln(12

)02gxxxx=+−，利用导数求解单调性，即可判断.【详解】当π0,2x时，记()sinxxxf−=，则()1cos0fxx=−，故()fx在π0,2x单调递增，故()()00fxf=

，因此得当π0,2x时，sinxx，故55sin1111，即ac；21555lnln1211111111−=−=+−ba，设1()ln(12)02gxxxx=+−，则511bag−=，因为212()11212xgxxx−=−=++，当

102x时，()0gx．所以()gx在10,2上单调递增，所以5(0)011gg=，即ba，所以bac．故选：A二、填空题（每题5分，共20分）13.平面向量a与b的夹角为60，(3,4),||1==ab，则|2|ab+=_____________．

【答案】39【解析】【分析】首先求出a，再根据数量积的定义求出ab，最后根据()2|2|2abab+=+及数量积的运算律计算可得.【详解】解：因为(3,4)a=，所以22345a=+=，又向量a与b的夹角为60，且1=b，所以15cos605122abab

===，所以()222225|2|2445441392ababaabb+=+=++=++=；故答案为：3914.已知()(1)exfxx=+，则曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为__________.【答案】210xy−+=【解析】【分析】利用导函数求得()0f即

为切线斜率，由原函数求得()0f，由直线点斜式方程整理得到结果.【详解】因为()e(1)e(2)exxxfxxx=++=+，所以(0)2f=，又(0)1f=，故所求切线方程为12(0)yx−=−，即210xy−+=.故答案为：210xy−+=.15.若不等式13xmx

+−对任意3x恒成立，则实数m的最小值是______．【答案】5−【解析】【分析】因为不等式13xmx+−对任意3x恒成立，则13mxx−−，由均值不等式求出13xx−−的最大值即可得出答案.【详解】因为不等式13xmx+−对任意3

x恒成立，所以13xmx+−，则13mxx−−而()()111332335333xxxxxx−=−−+−−−−=−−−−，当且仅当133xx−=−，即=4x时等号成立．即13xx−−的最大值是5−，5m−．故答案：5−.16.已知实数,mn满足：

e(1)ln(1)(0)mmnntt=−−=，则ln(1)tmn−的最大值为___________.【答案】1e【解析】【分析】构造函数()e(0)xfxxx=，利用导数可得()fx在()0,+上单调递增，由题意可得()()()ln1,fmfn=−所以有()

ln1mn=−，由此可得()lnln1ttmnt=−，再构造函数()ln(0),tgttt=求导，利用导数的正负确定()gt单调区间，从而即可求得答案.详解】解：由已知得，()0,10,ln10mnn−−，令()e(0)xfxxx=，则()(

)'e10xfxx=+，()fx\在()0,+上单调递增，又因为e(1)ln(1)mmnn=−−，所以()()()ln1,fmfn=−()ln1mn=−，()()1(1)ln1,mnnnt−=−−=()lnln1ttmnt=−，令()ln(0),tgttt=

所以()'21lntgtt−=，则当(0,e)t时，'()0gt，()gt单调递增；当(e,)t+时，'()0gt，()gt单调递减；为【所以max1()(e)egtg==.故答案为：1e.【点睛】本题考查了转化思想、导数的综合运用，难

点在于两次构造函数，通过函数的单调性求得最值，属于难题.三、解答题（每题12分，共60分）17.已知ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinsinsinsinbBcCbaAA−=−（1）求C；（2）若AB边上的中线长为52，3c

=，求ABC的面积．【答案】（1）π3（2）23【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理得：222bcaba−=−，结合余弦定理可得cosC，从而求出C；（2）借助平面向量表示()12CDCACB=+uuuruuru

ur，由向量运算及中线长可得：2225abab=++，结合余弦定理可得8ab=，进而利用三角形面积公式计算得解．【小问1详解】由已知得：sinsinsinsinbBcCbAaA−=−，由正弦定理可化为：222bcaba−=−，即2221abcab+−=，由余弦定理知2221cos22abcCa

b+−==，又()0,πC，故3C=．【小问2详解】设AB边上的中线为CD，则()12CDCACB=+uuuruuruur所以()222124CDCACBCACB=++，即()22212cos4CDCAC

BCACBC=++，所以()2225144abab=++，即2225abab=++①又3c=，由余弦定理得2222coscababC=+−，即229abab=+−②由①②得8ab=，所以113sin823222ABCSabC===△．18.某校100名学生期中考

试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分与中位数（结果保留2位小数）；（3）若这100名学生语文成绩某些分

数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在)60,70之间的人数．分数段)50,60)60,70)70,80)80,90:xy1:12:13:44:5【答案】（1）0.005（2）平均分73；中位数71.6

7（3）20【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1，即可得出答案．（2）根据频率分布直方图中平均数及中位数的意义即可得出平均分及中位数；（3）由这100名学生的语文成绩在)60,70之间的人数与数学成绩相应分数段的人数之比，即可得到数学成绩在

)60,70之间的人数．【小问1详解】由频率分布直方图可得：()1020.020.030.041a+++=，解得0.005a=【小问2详解】由频率分布直方图可得平均分为：()550.005650.04750.03850.02950.0051073++++=（分）[50,70)的频

率为(0.0050.04)100.45+=，[70,80)的频率为0.03100.3=中位数为：0.50.45215701071.670.33−+=【小问3详解】数学成绩在)60,70的人数为11000.0410202

=（人）19.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱SB的中点．（1）求证：//AM平面SCD；（2）求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）

63【解析】【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，求值直线的方向向量与平面的法向量，根据向量关系，可得线面关系；（2）由（1），明确平面的法向量，根据向量夹角公式，可得答案.【小问1详解】侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD，所以以点A为坐标原点，AD，AB，AS的方向

分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A，()2,2,0C，()1,0,0D，()0,0,2S，()0,1,1M，所以()0,1,1AM=，()1,0,2SD=−，()1,2,0CD=

−−．设平面SCD的一个法向量为(),,nxyz=，则00SDnCDn==，即2020xzxy−=−−=，令z＝1，则x＝2，y＝－1，此时()2,1,1n=−．因为110AMn=−+=，所以AMn⊥，AM平面SCD.则//AM平面SCD．【小问2详解】易知平面S

AB的一个法向量为()11,0,0n=ur，11n=，由（1）知SCD的一个法向量为()2,1,1n=−，4116n=++=，则11126cos,361nnnnnn===，所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为63．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab

+=的离心率为22，点(2,2)在椭圆C上，点F是椭圆C的右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F直线l与椭圆C交于M，N两点，则在x轴上是否存在一点P，使得直线l绕点F无论怎样的转动都有0PMPNkk+=？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】

（1）22184xy+=；（2）存在，(4,0)P.【解析】【分析】（1）由题给条件列出关于a、b、c的方程组，解得a、b即可求得椭圆C的方程；（2）由题意可知在x轴上存在一点(,0)Pt，使0PMPNkk+=成立，据此结合根与系数的关系可求解.【小问1详解】由题意得2222

222421caabcab==++=，解得：22,2ab==．所以椭圆C的方程为22184xy+=．【小问2详解】由题意可知(2,0)F．若直线l斜率存在，设直线l的方程为()()1122(2),,,,ykxMxyNxy=−，联立得22184(2)xy

ykx+==−，整理得()2222128880kxkxk+−+−=．由题意可知0恒成立，所以22121222888,1212−+==++kkxxxxkk，假设在x轴上存在一点(,0)Pt，使得x轴平分MPN，则0P

MPNkk+=，所以12120yyxtxt+=−−，整理得()()12210yxtyxt−+−=，即()()()()1221220kxxtkxxt−−+−−=，整理得，()12122(2)40xxtxxt−+++=，则()()2222222884128(2)01

21212ktkktkkk−++−+=+++，即2164012tk−+=+，解之得4t=．若直线l斜率不存在时，则M，N两点关于x轴对称，当点P坐标为(4,0)时，x轴平分MPN．综上所述，在x轴上存在一点(4,0)P

，使得x轴平分MPN．21.已知函数()e(1),()xfxaxa=+−R.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：当1a时，对任意0x，恒有()ln1fxxa++.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分1a和1a两种情况讨论求解即可；（2）根据题

意，即证()eln11xxaxa+−++，再根据1,0ax()1112axaa−+++剟将问题转化为证明eln2xx+，进而构造函数()elnxhxx=−，求救函数最小值即可.小问1详解】解：函数()f

x的定义域为(),e1xfxa=+−R，①当10a−，即1a时，()0fx¢>在R上恒成立，所以()fx在R上单调递增；②当10a−，即1a时，由()0fx得()ln1xa−；由()0fx¢>得()ln1xa−；所以()

fx在()(),ln1a−−上单调递减，在()()ln1,a−+上单调递增.综上，当1a时，()fx在R上单调递增；当1a时，()fx在()(),ln1a−−上单调递减，在()()ln1,a−+上单调递增.【小问2详解】证明：要证()ln1fxxa++，即证()e1ln1xaxx

a+−++，即证()eln11xxaxa+−++，因为1,0ax，所以()1112axaa−+++剟，【所以只需证：eln2xx+.法一：令()elnxhxx=−，则()1exhxx=−，显然(

)hx在()0,+上单调递增，又()1e20,1e102hh=−=−，所以存在唯一实数01,12x，使得()00hx=，即001exx=，所以00lnxx=−.所以在()00,x上，()0hx，在()0,x+上

，()0hx，所以()hx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，所以()()000001eln2xhxhxxxx=−=+…，所以eln2xx+，故当1a„时，对任意0x，恒有()ln1fxxa++.法二：()()eln2eln2xx

xxxx+−+−.令()1e,0xfxxx=−…，则()1e1xfx=−.所以()01e10fx−=…，所以()1fx在)0,+上为增函数.所以当0x时，()()1101fxf=，即e1xx−.①令()2lnfxxx=−，则()'2111xfxxx

−=−=.当01x时，()'20fx；当1x时，()'20fx.所以()2fx在()0,1上为减函数，在()1,+上为增函数.所以当0x时，()()2211fxf=…，即ln1xx−….②①②两式相加，得(

)()eln2xxxx−+−.所以eln2xx+，故当1a„时，对任意0x，恒有()ln1fxxa++.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力

，分类讨论思想等，是难题.本题第二问解题的关键在于借助1,0ax()1112axaa−+++将不等式转化为证明eln2xx+，再构造函数求解即可.三．选做题（10分，从22、23题中任选一道作答）22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为13cos,513sinxy=

=+（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ππ,0,,π22=R．（1）求C的极坐标方程和l的直角坐标方程；（2）l与C交于A，B两点，若||2AB=

，求．【答案】（1）210sin120−+=，tanyx=（2）π4=或34．【解析】【分析】（1）由C的参数方程化为直角坐标方程，再根据公式cos,sinxy==转化为极坐标方程，根据极坐标意义直线l方程可化为直角坐标方程；（2）根据极径的

几何意义及根与系数的关系，由||2AB=可得极角.【小问1详解】将C的参数方程化为直角坐标方程得22(5)13xy+−=，即2210120xyy+−+=，∴C的极坐标方程为210sin120−+=．∵l的极坐标方程为ππ,0,,π22=

R，∴l的直角坐标方程为tanyx=．【小问2详解】将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得210sin120−+=．当2100sin480=−时，设A，B所对应的极径分别为12,，则121210sin,120+==，∴12||||||

||2ABOAOB=−=−=，∴2100sin482−=，∴2sin2=，满足Δ0，又ππ0,,π22，∴π4=或34．23.已知函数()11fxxx=+−−.（1）求不等式()1fx≤的解集；（2）若1a−，1b−，2ab+=，求121a

b+++的最大值.【答案】（1）1,2−（2）25【解析】【分析】（1）利用分类讨论思想，分1x−、11x−、1x，将问题转化为一次不等式进行求解；（2）利用柯西不等式进行求解.【小问1详解】当1x

−时，原不等式等价于111xx−−−+，即03成立，所以1x−；当11x−时，原不等式等价于111xx+−+，解得12x，又11x−，所以112x−；当1x时，原不等式等价于111xx++−，即21不成立，解得x

；综上所述，不等式()1fx≤的解集为1,2−；【小问2详解】由柯西不等式得()()2(121)14220abab++++++=，所以12125ab+++，当且仅当211ab+=+，即15a=−且115b=时等号成立，即121ab+++的最大值为25.获得更

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