【文档说明】吉林省辽源市田家炳高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题答案.docx，共(17)页，1.371 MB，由小赞的店铺上传

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一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求。）1．直线1:l2430xy+−=与直线2:l2470xy++=之间的距离是（）A．255B．455C．5D．251．C【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．【详解】∵直线10(,AxByCAB

++=不同时为0)与直线20(,AxByCAB++=不同时为0,12)CC之间的距离1222CCdAB−=+，∴直线1l与直线2l之间的距离375416d−−==+．故选：C．2．已知直线1l：210a

xy+−=，和直线2l：()120axay+−+=垂直，则（）．A．1a=B．0a=C．0a=或1a=D．1a=−2．C【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得0a=或1.【详解】因为直线1l和直线2l垂直，故()120aaa+−=，解得0

a=或1，经检验，符合要求.故选：C3．经过点()3,2A，且与直线420xy+−=平行的直线方程是（）A．414yx=−+B．4280xy+−=C．2420xy−+=D．4140xy++=3．A【分析】根据题意，设所求直线方程为40xyC++=，将点代入求参数，即

得方程.【详解】令所求直线方程为40xyC++=，则122014CC++==−，所以，所求直线为414yx=−+（或4140xy+−=）.故选：A4．已知直线()1:120lxaya−++−=与2:6150laxy−+=平行，则

=a（）A．2B．3C．3−D．2或3−4．A【分析】由直线平行的条件求解即可.【详解】因为12ll∥，所以()16aa+=，解得2a=或3a=−．当3a=−时，1l与2l重合．故2a=．故选：A5．直线

30xya++=截圆22(1)(2)5xy++−=所得的弦长为25，则a的值为（）A．－1B．1C．3D．－35．B【分析】利用圆的性质计算即可.【详解】易知圆心为()1,2-，半径5r=，而直线30xya++=截圆22(1)(2)5xy++−=所得

的弦长为25等于直径，故直线30xya++=过圆心，所以有()31201aa−++==.故选：B6．过圆2240xy+−=与圆2244120xyxy+−+−=交点的直线方程为（）.A．30xy+−=B．30xy−+=C．20xy−+=D．40xy+−=6

．C【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.【详解】联立2222444120xyxyxy+=+−+−=，解得02xy==或20xy=−=，所以圆2240xy+−=与圆2244120xyxy+−+−=交点为()0,

2和()2,0−，所以过两圆交点的直线方程为200220yx−−=−−−，即20xy−+=.故选：C7．若椭圆22125xy+=上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一个焦点的距离为（）A．3B．4C．5D．67．A【分析】利用椭圆

的定义列式计算得解.【详解】椭圆22125xy+=的长轴长210a=，而点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以P到另一个焦点的距离为273a−=.故选：A8．已知椭圆22221(0)xyabab+=中，长轴长为10

，离心率为32，则焦距为（）A．53B．10C．55D．568．A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】210a=，所以5a=；又因为32cea==，得532c=，所以253c=.故选：A.多选9．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，

,EF分别为11AB,AD的中点，则（）A．BFCE⊥B．DF//平面1BCEC．BF⊥平面1BCED．直线DF与直线CE所成角的余弦值为25多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选

的得0分。）9．AD【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据0CEBF=得到A正确；B选项，求出平面1BCE的法向量，由10mDF=−得到B错误；C选项，根据10

BCBF，得到直线BF与直线1BC不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB=，则()()()()()()10,0,0,2,1,0,1,0,2,2,2,0,2,2,

2,0,2,0DEFBBC.()()()()12,1,0,1,2,2,1,0,2,2,0,2CEBFDFBC=−=−−==−−.A选项，因为220CEBF=−+=，所以BFCE⊥，A正确.B选项，设平面1BCE的法向量为

(),,mxyz=，则()()()()1,,2,0,2220,,2,1,020mBCxyzxzmCExyzxy=−−=−−==−=−=，令1x=得，2,1yz==−，故()1,2,1

m=−，因为()(),1,2,112101,02DmF−==−=−，所以DF与m不垂直，则直线DF与平面1BCE不平行，B错误.C选项，若BF⊥平面1BCE，则1BFBC⊥.因为10204BCBF=+−，所以直线BF与直线1BC不垂直，矛盾，C错

误.D选项，()()2,1,01,0,22cos,54114CEDFCEDFCEDF−===++，D正确.故选：AD10．关于椭圆22142xy+=，以下说法正确的是（）A．长轴长为4B．焦距为22C．离心率为22D．左顶点的坐标为

()2,0−10．ABC【分析】根据椭圆方程确定222,,abc，再根据椭圆的性质，即可求解.【详解】由条件可知，24a=，22b=，那么2222cab=−=，所以长轴长24a=，焦距222c=，离心率22cea==，左顶点()2,0−，故ABC正确，D错误.故选

：ABC11．已知圆的方程为22420xyx+−+=，下列结论正确的是（）A．该圆的面积为4πB．点()2,1在该圆内C．该圆与圆221xy+=相离D．直线40xy+−=与该圆相切11．BD【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点()

2,1代入22(2)xy−+，判断与2的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．【详解】222242(2)2xyxxy+−+=−+=，可知圆心为(2,0)，半径2r=；对于A：由圆的半径

2r=，得该圆的面积为2π2πr=，故A错误；对于B：因为22(22)17422−+=−，所以点()2,1在该圆内，故B正确；对于C：圆221xy+=的圆心为(0,0)，半径为1，因为两圆心距离为22(20)(00

)221−+−=+，且221−，所以两圆相交，故C错误；对于D：圆心(2,0)到直线40xy+−=的距离22204211dr+−===+，所以直线40xy+−=与该圆相切，故D正确，故选：BD．12．已知圆C：221xy+=，直线l：1yx=+，则（）A

．直线l在y轴上的截距为1B．直线l的倾斜角为π4C．直线l与圆C有2个交点D．圆C上的点到直线l的最大距离为212．ABC【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.【详解】A.当0x=时

，1y=，直线l在y轴上的截距为1，故A正确；B.直线l的斜率为1，设直线l的倾斜角为，tan1=，π4=，所以直线l的倾斜角为π4，故B正确；C.圆心到直线的距离12122d==，所以直线与圆相交，所以直线l与圆C有2个交点，故C正确；D.根据C

可知，圆C上的点到直线l的最大距离为212+，故D错误.故选：ABC二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．已知方程22153xykk+=+−表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．13．()1,

3−【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.【详解】根据题意，要使方程22153xykk+=+−表示焦点在x轴上的椭圆，则满足503053kkkk+−+−，解得13k−，即实数k的取值范围为()1,3−.故答案为：()1,3−14．若圆2224

40xyxy+−+−=与圆()()22242(0)xymm−+−=相外切，则m的值为14．2【分析】利用圆与圆的位置关系求解.【详解】圆222440xyxy+−+−=的标准方程为：()()22129xy−++=，则其圆心为()1,2-，半

径为13r=，因为圆222440xyxy+−+−=与圆()()22242(0)xymm−+−=相外切，所以()()2241223m−++=+，解得2m=，所以m的值为2，故答案为：215．如图，在棱长为1

的正方体1111ABCDABCD−中，,,EFG分别是11,,DDBDBB的中点．则EF与CG所成角的余弦值为．15．1515/11515【分析】建立空间直角坐标系，求得,ECGF，从而利用向量的夹角公式求解.【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()

()110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,DBCBD11110,0,,,,0,1,1,2222EFG，则1111,,,1,0,2222EFCG=−=，故1113

5,,24422GEECFGCF=−===，所以1154cos,153522CGCCEFFEFGEG===，即EF与CG所成的角的余弦值为1515.故答案为：1515.16．圆心在直线:230lxy−−=上，

且经过点3(2,)A−，(2,5)B−−的圆的方程为．16．()()221210xy+++=【分析】直线l和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点3(2,)A−和(2,5)B−−，12ABk=，AB中点为()0,4−

，所以线段AB的垂直平分线的方程是yx=−−24．联立方程组23024xyyx−−==−−，解得12xy=−=−．所以，圆心坐标为()1,2C−−，半径()()22213210rCA==++−+=，所以，此圆的标准方

程是()()221210xy+++=．故答案为：()()221210xy+++=三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率。(1)2

2936xy+=；(2)229545xy+=.17．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定a、b、c及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形.【详解】（1）将22936x

y+=化为标准方程为：221364xy+=，所以6a=，2b=，则2236442cab=−=−=，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4，焦距为82，顶点坐标为()6,0−、()6,0、()02,、()0,2−，焦点坐标为()42,0−和()42,0，离心率为223cea==，椭

圆图象如下：（2）将229545xy+=化为标准方程为：22159xy+=，因为95，所以椭圆的焦点落在y轴上，所以3a=，5b=，则22952cab=−=−=，所以椭圆的长轴长为6，短轴长为25，焦距为4，顶点坐标为()5,0−、()5,0、()0,3、()

0,3−，焦点坐标为()02,和()0,2−，离心率为23cea==，椭圆图象如下：18．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点．（1）求点D的坐标；（2）求直线BD的方程．（3）求△ABD的面积．18．(1

)点D的坐标为（0，1）;(2)2x+y–1=0;(3)12.【分析】（1）利用中点坐标公式求得D点的坐标.（2）利用点斜式求得直线BD的方程.（3）利用两点间的距离公式求得BD的长度，利用点到直线的距离公式求得A到直线BD的距离，再利用三角形的面积公式求得面积

.【详解】（1）设D（x，y），则()3302x+−==，()7512y+−==，∴点D的坐标为（0，1）．（2）∵直线BD的斜率为51220k−==−−−．∴直线BD的方程为：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0．（3）∵()()22

205125BD=−−+−=，∴A到直线BD的距离为222371125521d+−==+．∴△ABD的面积为111252512225ABDSBDd===．19．如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2PAAB==，4

BC=，E是PD的中点．(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角EACD−−的余弦值：(3)求B点到平面EAC的距离．19．(1)证明见解析(2)23(3)43【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算，得到CDAP⊥与CDAD⊥

；（2）分别求出平面EAC的法向量与平面ACD的法向量，利用空间向量中二面角的计算公式，求出二面角EACD−−的余弦值；（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案.【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，AB，AD平面ABCD

，所以PAAB⊥，PAAD⊥，由于四边形ABCD是矩形，所以ABAD⊥，由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，()2,0,0B，()2,4,0C，()0,4,0D，()0,

2,1E，()002P,,，所以()2,0,0AB=，()0,4,0AD=，()0,0,2AP=，()2,0,0CD=−，因为0CDAD=，所以CDAD⊥，由于0=CDAP，所以CDAP⊥，由于ADAPA=，AD，AP平面PAD，所以CD⊥平面PAD；（2）由（1）得，设平面ACE的法向

量(),,nxyz=，(0,2,1)AE=，(2,4,0)AC=，则00nAEnAC==，即20240yzxy+=+=，不妨令1x=，可得11,,12n=−，且()0,0,2AP=为平面ABC的一个法向量，于是2cos3nAPnAPnAP

==，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为23；（3）设B点到平面ACE的距离为d，由（2）可知平面ACE的法向量11,,12n=−，()2,0,0AB=，设B点到平面EAC的距离为d，则24332===nABdn，所以B点到平面EAC的距

离为43.20．已知圆2268210Cxyxy+−−+=：，直线l过点()1,0A.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程.20．(1)圆C的圆心坐标是()3,4，半径为2(2)1

x=或3430xy−−=【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案；（2）直线l的斜率不存在时可直接得答案；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()1ykx=−，利用点到直线的距离公式计算可得答案.【详解】（1）将圆C的方程化成标准式方程

得()()222342xy−+−=，圆C的圆心坐标是()3,4，半径为2；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是1x=，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()1ykx=−，即kxyk0−−=，由圆心()3,4到直线l的距离等于圆

C的半径，可得23421kkk−−=+，解得34k=，故直线l的方程是3430xy−−=.综上所述，直线l的方程是1x=或3430xy−−=.21．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ADBC，ADCD⊥

，且2,22,2ADCDBCPA====.(1)求证：ABPC⊥；(2)若点M为PD的中点，求直线BM与平面AMC所成角的正弦值．21．(1)证明见解析(2)4615【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明ABAC⊥，进一步由已知条件证明ABPA⊥，由线面垂直判定定理可证明

AB⊥平面PAC，进而即可得证ABPC⊥.（2）建立适当的空间直角坐标系，设平面AMC的法向量为(),,nxyz=，直线BM与平面AMC所成角为，先后分别求出,BMn后，由公式sincos,BMnBMnBMn==即可求解.【详解】（1）四边形ABCD是直角

梯形，2,22ADCDBC===，222,()2ACABBCADCD==−+=，又222ACABBC+=，ABC是直角三角形，即ABAC⊥；PA⊥平面,ABCDAB平面ABCD，ABPA⊥又,PAAC平面,PACPAA

CA=，AB⊥平面PAC，又PC平面PAC，ABPC⊥．（2）由（1）可知ABAC⊥，ABPA⊥，又PA⊥平面,ABCDACÌ平面ABCD，所以ACPA⊥，所以,,ABACAP两两互相垂直，故以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系．则由题中线段长度可知()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,2ABCDP−，∴11,,122M−，()5111,,1,0,2,0,,,1222

2BMACAM=−==−．设平面AMC的法向量为(),,nxyz=，则0,0,nACnAM==即2011022yxyz=−++=，令1z=，则解得2,0xy=

=，于是，取()2,0,1n=．设直线BM与平面AMC所成角为，则2222225120114622sincos,1551120122BMnBMnBMn−++====−++++

；故直线BM与平面AMC所成角的正弦值为4615．22．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点为()2,0F，且离心率为63.(1)求椭圆C的方程；(2)不过原点O的直线:lyxm=+与椭圆C交于,AB两

点，求ABO面积的最大值及此时直线l的方程.22．(1)22162xy+=(2)最大值为3，方程为2yx=【分析】（1）由焦点和离心率即可知,ac，从而可得椭圆方程；（2）设出直线l的方程，联立椭圆方

程，由点到直线的距离公式结合韦达定理，把ABO面积表示为函数，再用基本不等式即可求解.【详解】（1）由已知得2c=，由离心率63cea==，得226,2abac==−=，椭圆C的方程为22162xy+=.（2）设()()1

122,,,AxyBxy，联立22162xyyxm+==+可得，2246360xmxm++−=，直线:lyxm=+与椭圆E交于,AB两点，()22Δ3616360mm=−−，解得28m，由韦达定理可得21212336,24mmxxxx−+=−=，由弦长公式可得2223366248

242mmABm−=−−=−，点O到直线l的距离为2md=，()2222211263388832222442OABmmSdABmmmm+−==−=−=，当且仅当228mm=−，即2m=时取等号

，ABC面积的最大值为3，此时直线l的方程为2yx=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com