【文档说明】安徽省六安第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题 含答案.docx，共(6)页，1.248 MB，由小赞的店铺上传

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六安一中2023届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z满足izi−=+131（i为虚数单位），z是z的共轭复数，则复数z在复

平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知空间中的两个不同的平面,，直线⊥m平面，则“⊥”是“//m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要

条件3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A．2B．42C．8D．824．如图，已知1111DCBAABCD−是正方体，以下结论

错误．．的是（）A．向量AC与向量DC1的夹角为60°B．011=BAACC．2112111113)(BABADAAA=++D．若CAPA1131=，则点P是11DAB的中心5．若不等式()0162−kkxx的解集为区间],[ba，且2=−ab，则=k（）A．33B

．2C．3D．26．过点()4,3−P作圆25:22=+yxC的切线l，直线04:=−yaxm与切线l平行，则切线l与直线m间的距离为（）A．5B．2C．4D．57．如图，已知平面⊥，l=，BA、是直线l上的两点，DC、是平面内的两点，且6,6,3,,===⊥⊥CB

ABADlCBlDA．P是平面上的一动点，且直线PCPD、与平面所成角相等，则四棱锥ABCDP−体积的最大值为（）A．18B．36C．24D．488．在正四棱台1111DCBAABCD−中，3,2111==AABAAB，当该正四棱台的体积最

大时，则其外接球的表面积为（）A．233B．33C．257D．57二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题表述

正确的是（）A．若直线l的斜率为3−，则直线l的倾斜角为3−B．三棱锥ABCP−中，FE、分别为PCPB、的中点，PAPG32=，则平面EFG将该三棱锥所分的两部分几何体的体积之比为1:5，即5:1:=−−ABCEFGEFGPV

VC．若直线l过点)1,2(−P且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程为03=−−yxD．在四面体ABCO−中，若ACOBBCOA⊥⊥,，则ABOC⊥10．在三棱锥ABCP−中，已知⊥PA底面ABC，FE

BCAB、,⊥分别是线段PCPB、上的动点．则下列说法正确的是（）A．当PBAE⊥时，PCAE⊥B．当PCAF⊥时，AEF一定为直角三角形C．当BCEF//时，平面⊥AEF平面PABD．当⊥PC平面AEF时，平面AEF与平面PAB不可能垂直11．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，

E为线段1AA的中点，APABAD=+，其中，0,1，则下列选项正确的是（）A．当21=时，三棱锥11PCDA−的体积为定值B．当43=时，1BPPD+的最小值为13C．当1+=时，直线1AP与平面11BD

E的交点轨迹长度为22D．当31,21==时，点1B到平面11DPC的距离为1313612．若实数yx,满足yxyx−=−2，则下列说法正确的是（）A．x的最小值是0B．x的最大值是5C．若关于y的方程有一解，则

x的取值范围为}5{)4,1[D．若关于y的方程有两解，则x的取值范围为)5,4(三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线021=−+−kykx与圆922=+yx分别交于M、N两点.则弦M

N长的最小值为.14．在四面体ABCD中，2==BDAC，且异面直线AC与BD所成的角为60，NM、分别是棱CDAB,的中点，则线段MN的长为．15．已知ABC的一条内角平分线所在的直线方程为xy=，两个顶点坐标分

别为()()2,31,1CB、−，则边AC所在的直线方程为．（结果用一般式表示）16．已知数列}{na满足：()())(131121+++=−+−Nnnaannnn，若121==aa，则数列}{na的前20项和=20S．四、解答题：本大题共

6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）如图，四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面，点P在圆柱OQ的底面圆周上，G是DP的中点，圆柱OQ的底面圆的半径2=OA，侧面积为

38，0120=AOP.（1）求证：BDAG⊥；（2）求直线PD与平面ABD所成角的正弦值．18、（本小题满分12分）如图，P为ABC内的一点，BAP记为，ABP记为，且、在ABP中的对边分别记为()=+3,0,,cos3sin2,

,nnmnm)3,0(,.（1）求APB；（2）若PCAPAPACBPAB⊥===，2,1,3，求线段AP和BC的长．19、（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆04:22=−+xyxC及

点)2,1()0,1(BA、−．（1）若直线l过点B，与圆C相交于NM、两点，且32=MN，求直线l的方程；（2）圆C上是否存在点P，使得12||||22=+PBPA成立？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知数列}{na的前n项和为nS，且22()=−

nnnSnNa．（1）求证：数列}2{nna是等差数列，并求出数列}{na的通项公式；（2）设3(2)nnnbna+=+，求证：1231nbbbb++++．21、（本小题满分12分）在①2=AE，②BDAC⊥，③EB

AEAB=，这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答．如图，在五面体ABCDE中，已知，ACEDBCAC//,⊥，且3,22=====DBDCEDBCAC．（1）设平面BDE与平面ABC的交线为l，证明：//l平面ACDE；（2）求证：平面⊥ABE平面ABC；（3）线段BC上是否存

在一点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于43435，若存在，求BCBF的值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分12分）已知函数()),(,sin)(Rbaxbxgxaexfx=−=．（1）求函

数()xfy=在()()00f，处的切线方程；（2）若()xfy=与()xgy=的图象有公共点．（i）当0=a时，求b的取值范围；（ii）求证：eba+22．六安一中2023届高三年级第四次月考数学参考答案一．选

择题123456789101112CBDACABDBDACDABDAB二．填空题13、414、1或315、0523=−−yx16、115−17、证明：（1）由题意可知AD=2238，解得32=AD................

............1分在AOP中，32120cos2222222=−+=AP所以APAD=，又因为G是DP的中点，所以DPAG⊥因为AB是圆O的直径，所以BPAP⊥，由已知得，⊥DA平面ABP所以BPDA⊥，所以⊥

BP平面DAP，............................3分BPAG⊥从而⊥AG平面DPB，证得BDAG⊥.............................5分（2）过P作ABPE⊥，则⊥PE面ABD...............

..............6分连接DE，则PDE就是直线PD与平面ABD所成的角............................7分62,3===PDPE，............................9分42623sin===PDPEPDE.....

.....................10分18、解：（1）由题知cossin3sinsinsin2cos3sin)2(2=+=+nnm)3sin(sinsin21cos23sin−=−

=，...........................4分3,0,−=3，323==+APB.............................6分（2）在APB中，由余弦定理得知：1cos2222=−+=A

PAPBBPAPBPAPAB..........................8分又PCAP⊥，且32==PCAPAC..........................9分又=150BPC，..........................10分

在BPC中，7cos2222=−+=BCBPCPCPBPCPBBC...........................12分19、解：（1）若l的斜率不存在时，1=xl：，此时32||=MN符合要求.........................2分当l的斜率存在时，设l的斜率为k

，则令)1(2:−=−xkyl4311|2|2−==++kkk，............................4分01143=−+yx............................5分所以直线l的方程为1=x或01143=−+yx.............

................6分（2）假设圆C上存在点P，设),(yxP，则4)2(22=+−yx，12)2()1()0()1(||||222222=−+−+−++=+yxyxPBPA，............................8分即0

3222=−−+yyx，即4)1(22=−+yx，............................9分22)10()02(|22|22+−+−−，............................10分4)2(22=+−

yx与4)1(22=−+yx相交，则点P有两个．............................12分20、（1）证明：令1=n，得21=a..............................1分所以2n时，nnnaS22−=①11122−−−−=nnnaS②①-

②得112222−−+−−=nnnnnaaa，即2,2211+=−−naannn.......................3分所以212211=−−−nnnnaa，2n，因为21=a，所以数列

}2{nna是以1为首项21为公差的等差数列．.......................5分所以2121)1(12+=−+=nnann，所以12)1(−+=nnna.................

........6分（2）由1212)2(12)1(12)1)(2(3−−−+−+=+++=nnnnnnnnnb.....................8分所以...)251241()241231()2311(

...21100321+−+−+−=++++nbbbb1122)2(11]2)2(12)1(1[−−−+−=+−++nnnnnn........................10分因为0

2)2(11+−nn，所以1...321++++nbbbb，得证.........................12分21、证明:（1）ACDE//，//DE平面ABC........................1分又DE平面BDE且平面BDE平面lABC=，lDE//..

.......................2分又DE平面ACDE，l平面ACDE，//l平面ACDE.........................3分（2）若选①，取AC中点G，BC中点ABO,中点H，连接OHDOEG,,，//EDAC，12CGACED==

，四边形EDCG为平行四边形，//EGCD，3EG=，又112AGAC==，2AE=，222AGEGAE+=，AGEG⊥，又//CDEG，ACCD⊥，又ACBC⊥，BCCDC=，,BCCD平面BCD，AC⊥

平面BCD，AC平面ABC，平面ABC⊥平面BCD，BDCD=，DOBC⊥，又DO平面BCD，平面BCD平面ABCBC=，DO⊥平面ABC，又//OHAC，ACBC⊥，OHBC⊥；........................5分若选②，BDAC⊥

，ACBC⊥，BCBDB=，,BCBD平面BCD，⊥AC平面BCD，AC平面ABC，平面ABC⊥平面BCD，取BC中点O，AB中点H，连接,DOOH，BDCD=，DOBC⊥，又DO平面BCD，平面BCD平面

ABCBC=，DO⊥平面ABC，又//OHAC，ACBC⊥，OHBC⊥；........................5分若选③，取BC中点O，AB中点H，连接,,ODOHEH，3DCBD==，DOBC⊥，又2BC=，2DO=；,OH分别

为,BCAB中点，1//2OHAC，又1//2EDAC，//OHED，四边形DEHO为平行四边形，2EHDO==；BCAC⊥，2ACBC==，22AB=，12EHAB=，AEBE⊥，EABEBA=，2==BEAE，222

BDDEBE+=，BDDE⊥，又//DEAC，ACBD⊥，又ACBC⊥，BCBDB=，,BCBD平面BCD，AC⊥平面BCD，AC平面ABC，平面ABC⊥平面BCD，又DOBC⊥，DO平面BCD，平面BCD平面ABCBC=，DO⊥平面ABC，又//OHAC，ACB

C⊥，OHBC⊥；........................5分综上所述：,,DOOHBC两两互相垂直.则以O为坐标原点，,,ODOHOB为,,xyz轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()2,1,0A−，()0,1,0B，()1,0,

2E，()2,2,0AB=−，()1,1,2BE=−，DO⊥平面ABC，平面ABC的一个法向量()0,0,1m=；........................6分设平面ABE的法向量()1111,,xnyz=，则

111111122020ABnxyBEnxyz=−+==−+=，令11x=，解得：11y=，10z=，()1=1,1,0n，........................7分10mn

=，即1mn⊥，平面ABE⊥与平面ABC.........................8分（3）设在线段BC上存在点()()0,,011Ftt−，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于54343，由（2）得：()1,,2EFt=−−，()1,1,2AE

=−，设平面AEF的法向量()2222,,nxyz=，则222222222020AEnxyzEFnxtyz=−++==−+−=，令42=y，则()()12,1222−=+=tztx，))1(2,4),1(2(2−+=ttn...........

.............9分∵面ABF的法向量为)1,0,0(1=n()12122212115432cos,43112128tnnnnnntt++===−+++43435)1(216)1(4)1(222=−+++−ttt，化简得0291742=++tt，02916172

−=∴方程无解........................11分线段以上不存在点F，使得平面AEF与平面ABF夹角的余弦值等于43435..............12分22、解：（1）()ecosxfxax=−，故(0)1fa=−

，........................1分而1)0(=f，曲线()fx在点(0,(0))f处的切线方程为()()101yax=−−+，.......................2分即()11yax=−+........................3分（2）（i）当0

a=时，因为曲线()yfx=和()ygx=有公共点，故exbx=有解，设tx=，故2xt=，故2etbt=在)0,+上有解，设()2e,0tstbtt=−，故()st在)0,+上有零点，.......................4分而(

)22e,0tsttbt=−，若0b=，则()2e0tst=恒成立，此时()st在)0,+上无零点，.......................5分若0b，则()0st在()0,+上恒成立，故(

)st在)0,+上为增函数，.......................6分而()010s=，()()01sts=，故()st在)0,+上无零点，故0b，设()22e,0tuttbt=−，则()()2224e0tutt=+，故()ut在()0,+上为增函数，而()00u

b=−，()()22e10bubb=−，故()ut在()0,+上存在唯一零点0t，且00tt时，()0ut；0tt时，()0ut；故00tt时，()0st；0tt时，()0st；所以()st在()0

0,t上为减函数，在()0,t+上为增函数，故()()0minstst=，......................7分因为()st在)0,+上有零点，故()00st，故200e0tbt−，而2002e0ttb−=，故220020e2e0ttt−即022t，设()22e,0tvt

tt=，则()()2224e0tvtt=+，故()vt在()0,+上为增函数，而2002etbt=，故122e2eb=.........................8分另解：)0(22==bxbexbexx令xbexgx22)(−=，所

以222)(bexgx−=，2ln210)(2bxxg==.当)2ln21,0(2bx时，()0xg，即()xg在)2ln21,0(2b上是单调递减的；当),2ln21(2+bx时，()0xg，即()xg在),2

ln21(2+b上是单调递增的；因为0)0(g，所以有ebbg20)2ln21(22，解得eb2.（ii）因为曲线()yfx=和()ygx=有公共点，所以esinxaxbx−=有解0x，其中00x，若00x

=，则100ab−=，该式不成立，故00x.故000sine0xaxbx+−=，考虑直线000sine0xaxbx+−=，22ab+表示原点与直线000sine0xaxbx+−=上的动点(),ab之间的距离，故022200esinxabxx++，所以0222200esinxa

bxx++，........................9分下证：对任意0x，总有sinxx，证明：当2x时，有sin12xx，故sinxx成立.当02x时，即证sinxx，设()sinpxxx=−，则()cos10pxx=−

（不恒为零），故()sinpxxx=−在)0,+上为减函数，故()()00pxp=即sinx成立.综上，sinxx成立.........................10分下证：当0x时，e1x

x+恒成立，()e1,0xqxxx=−−，则()e10xqx=−，故()qx在()0,+上为增函数，故()()00qxq=即e1xx+恒成立.........................11分下证：22e>esinxxx+在()0,+上恒成立，即证：212esinx

xx−+，即证：2211sinxxx−++，即证：2sinxx，而2sinsinxxx，故2sinxx成立.故0200eesinxxx+，即22eab+成立.........................12分第二问另证：方法一：柯西不等式：令交点横坐标为0x

，则00sin0xbxaex+=由柯西不等式：))(sin()sin(0022220020xxbaxbxaex+++=.即证：exxex+0022sin0，因为exxxexxxeexxexxexxxx=+++=

++)1()1(sin0000020020200220000，原命题得证.方法二：基本不等式：令交点横坐标为0x，则00sin0xbxaex+=，则由基本不等式)sin(2)sin(0202220020xbxaxbxaex++=，因此有：exebxxabax++022002222

2sin0，原命题得证.答案仅供参考，请各位老师按步骤给分！其它解法请酌情给分！