【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第31讲 平面向量的综合应用（讲） Word版含解析.docx，共(7)页，514.703 KB，由小赞的店铺上传

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第31讲平面向量的综合应用（讲）思维导图知识梳理向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题题

型归纳题型1平面向量与平面几何【例1-1】（2020春•雁塔区月考）平面内ABC及一点O满足,||||||||AOABAOACCOCACOCBABACCACB==，则点O是ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外

心【分析】利用表达式，转化推出O所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内ABC及一点O满足||||AOABAOACABAC=，可得()0||||ABACAOABAC−=，所以O在CAB的平分线上，||||COCACOCBCACB=，可得：()0||||CACBCOCACB−=，所以O

在ACB的平分线上，则点O是ABC的内心．故选：C．【例1-2】（2019秋•迎泽区校级月考）在ABC中，若1132ADABAC=+，记1ABDSS=，2ACDSS=，3BCDSS=，则下列结论正确的是()A．3123SS=B．2

312SS=C．2123SS=D．123163SSS+=【分析】可作出图形，然后作11,32AEABAFAC==，从而得出四边形AEDF是平行四边形，并设ABD的边AB上的高为1h，ACD的边AC上的高为2h

，从而可得出1211||||22AEhAFh=，进而得出121132SS=，从而可求出2123SS=，从而得出正确选项．【解答】解：如图，作11,32AEABAFAC==，则ADAEAF=+，四边形AEDF是平行四边形，ADEADFSS=，设ABD的边AB

上的高为1h，ACD的边AC上的高为2h，则：1211||||22AEhAFh=，121111(||)(||)3222ABhACh=，121132SS=，21123132SS==．故选：C．【跟踪训练1-1】（2019•怀

化一模）已知点G是ABC的重心，(,)AGABACR=+，若120A=，2ABAC=−，则||AG的最小值是()A．33B．22C．23D．34【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AGADABAC==+，设||,||ABxACy==，由向量数量积的定义可知||||cos12

02ABACABAC==−，可得4xy=，然后根据向量数量积的性质可得221|||43AGxy=+−，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AGADABAC==+120A=，2ABAC=−，则根据向量的数

量积的定义可得，||||cos1202ABACABAC==−设||,||ABxACy==||||4ABAC=即4xy=222221111||||()243333AGABACABACABACABACxy=+=+=++=

+−2228xyxy+=…（当且仅当xy=取等号）2||3AG…即||AG的最小值为23故选：C．【跟踪训练1-2】（2019秋•衢州期末）等腰三角形ABC中，ABAC=，点D在线段BC上，ABAD⊥，3BD=，1CD=，则ABC面积为，点M是ABC外接圆上任意一点，则AB

AM最大值为．【分析】画出图形，利用已知条件求出AB，然后求解三角形的面积；由平面向量的线性运算去分析转化求解ABAM最大值．【解答】解：等腰三角形ABC中，ABAC=，点D在线段BC上，ABAD⊥，3BD=，1CD=，可得：222ABBDAD=−，2222cosAC

ADDCADDCADC=+−2121ADADADBD=++，2225912113ADADADADADBD−=++=+，可得3AD=，则6ABAC==，A到BC的距离为：3623=，ABC面积为：142222=．

设ABC的外心即BC中点为O，外接圆的半径为：R，6232sin33ACRABC===，322R=，632cos3332BAO==．由平面向量的线性运算知，AMAOOM=+，所以()ABAMABAOOMABAOABOM=+=+，由图可知：323||

||cos6323ABAOABAOBAO===．当//OMAB时，32()6332maxABOM==，则ABAM最大值为333+．故答案为：22；333+．【名师指导】向量与平面几何综合问题的2种解法基向量法适当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题型2平面向量在解析几何中的应用【例2-1】（2019春•红塔区校级月考）已知直线2xya+=与圆224xy+=交于A，B两点，O是坐标原点，向量OA，OB满足||

||OAOBOAOB+=−，则实数a的值为()A．2B．2或2−C．1或1−D．6或6−【分析】根据||||OAOBOAOB+=−，得即OAOB⊥，如图所示故圆心到直线的距离2d=，可求得1a=．【解答】解：||||OAOBOAOB+=−，两边平方，得0OAOB=，即OAOB⊥，如图所示故圆心

(0,0)到直线20xya+−=的距离|2|22ad==，求得1a=．故选：C．【跟踪训练2-1】（2019•唐山二模）已知(8,0)A，(0,6)B，点P是圆22:4Cxy+=上的一个动点，则PAPB的最大值为()A．16B．20C．24D．28【分析】设出P的坐标，求出向量，利用向量的

数量积以及三角函数的最值转化求解即可．【解答】解：(8,0)A，(0,6)B，点P是圆22:4Cxy+=上的一个动点，设(2cos,2sin)P，则(2cos8,2sin)PA=−，(2cos,2si

n6)PB=−，则224cos16cos4sin12sinPAPB=−+−420cos()=−−，期中3tan4=．420cos()24−−„．则PAPB的最大值为24．故选：C．【

名师指导】向量在解析几何中的2个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具

作用利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法题型3平面向量的其他应用【例3-1】（20

20•中卫二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：)kg约为()（参考数据：取重力加速度大小为210/gms=，31.732)A．6

3B．69C．75D．81【分析】由题意知12400FF==，夹角60=，计算12()GFF=−+的模长，再求出体重即可．【解答】解：由题意知，12400FF==，夹角60=，所以120GFF++=，即12()GFF=−+；所以2222212()4002400400cos60

4003400GFF=+=++=；||4003()GN=，则该学生的体重（单位：)kg约为403401.73269()kg=，故选：B．【跟踪训练3-1】（2020•潍坊二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F，2F，且1F，2

F与水平夹角均为45，12||||102FFN==，则物体的重力大小为．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可作出12FF+，进而求出12||FF+的值，从而得出物体重力的大小．【解答】解：如图，12||||102FFN==，12||102220FFNN+==，物体的重力大小为

20．故答案为：20．【名师指导】利用向量的载体作用，运用数量积可以处理物力学上质点受力分析部分题目．由此可见数学物理联系性较大．