【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第31讲 平面向量的综合应用（讲） Word版含解析.docx，共(7)页，514.703 KB，由小赞的店铺上传

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第31讲平面向量的综合应用（讲）思维导图知识梳理向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹

角、轨迹、最值等问题题型归纳题型1平面向量与平面几何【例1-1】（2020春•雁塔区月考）平面内ABC及一点O满足,||||||||AOABAOACCOCACOCBABACCACB==，则点O是ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外

心【分析】利用表达式，转化推出O所在的位置，得到结果即可．【解答】解：平面内ABC及一点O满足||||AOABAOACABAC=，可得()0||||ABACAOABAC−=，所以O在CAB的平分线上，|||

|COCACOCBCACB=，可得：()0||||CACBCOCACB−=，所以O在ACB的平分线上，则点O是ABC的内心．故选：C．【例1-2】（2019秋•迎泽区校级月考）在ABC中，若1132ADABAC=+，记1A

BDSS=，2ACDSS=，3BCDSS=，则下列结论正确的是()A．3123SS=B．2312SS=C．2123SS=D．123163SSS+=【分析】可作出图形，然后作11,32AEABAFAC==，从而得出四边形AEDF

是平行四边形，并设ABD的边AB上的高为1h，ACD的边AC上的高为2h，从而可得出1211||||22AEhAFh=，进而得出121132SS=，从而可求出2123SS=，从而得出正确选项．【解答】解：如图，作11,32AEABAFAC==，则ADAEAF=+，四边形AEDF

是平行四边形，ADEADFSS=，设ABD的边AB上的高为1h，ACD的边AC上的高为2h，则：1211||||22AEhAFh=，121111(||)(||)3222ABhACh=，121132SS=，21123132SS

==．故选：C．【跟踪训练1-1】（2019•怀化一模）已知点G是ABC的重心，(,)AGABACR=+，若120A=，2ABAC=−，则||AG的最小值是()A．33B．22C．23D．34

【分析】由三角形重心的性质可得，21()33AGADABAC==+，设||,||ABxACy==，由向量数量积的定义可知||||cos1202ABACABAC==−，可得4xy=，然后根据向量数量积的性质可得221|||

43AGxy=+−，结合基本不等式可求【解答】解：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，21()33AGADABAC==+120A=，2ABAC=−，则根据向量的数量积的定义可得，||||cos1202ABACAB

AC==−设||,||ABxACy==||||4ABAC=即4xy=222221111||||()243333AGABACABACABACABACxy=+=+=++=+−2228xyxy+=…（当且

仅当xy=取等号）2||3AG…即||AG的最小值为23故选：C．【跟踪训练1-2】（2019秋•衢州期末）等腰三角形ABC中，ABAC=，点D在线段BC上，ABAD⊥，3BD=，1CD=，则ABC面积为，点M是ABC外接圆上任意一点，则ABAM最大值为．【分析】画出图形，利用已知条

件求出AB，然后求解三角形的面积；由平面向量的线性运算去分析转化求解ABAM最大值．【解答】解：等腰三角形ABC中，ABAC=，点D在线段BC上，ABAD⊥，3BD=，1CD=，可得：222ABBDAD=−，

2222cosACADDCADDCADC=+−2121ADADADBD=++，2225912113ADADADADADBD−=++=+，可得3AD=，则6ABAC==，A到BC的距离为：3623=，ABC面积为：142222=

．设ABC的外心即BC中点为O，外接圆的半径为：R，6232sin33ACRABC===，322R=，632cos3332BAO==．由平面向量的线性运算知，AMAOOM=+，所以()ABAMABAOOMABA

OABOM=+=+，由图可知：323||||cos6323ABAOABAOBAO===．当//OMAB时，32()6332maxABOM==，则ABAM最大值为333+．故答案为：22；333+．【名师指导】向量与平面几何综合问题的2种解法基向量法适

当选取一组基底，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题型2平面向量在解析几何中的应用【例2-1】（2019春•红塔区校级月考

）已知直线2xya+=与圆224xy+=交于A，B两点，O是坐标原点，向量OA，OB满足||||OAOBOAOB+=−，则实数a的值为()A．2B．2或2−C．1或1−D．6或6−【分析】根据||||OAOBOAOB+=−，得即OAOB⊥，如图所示故圆

心到直线的距离2d=，可求得1a=．【解答】解：||||OAOBOAOB+=−，两边平方，得0OAOB=，即OAOB⊥，如图所示故圆心(0,0)到直线20xya+−=的距离|2|22ad==，求得1a=．故选：C．【跟踪训练2-1】（2019•唐山二模）已知(8,0)A，(0,6)B，点P

是圆22:4Cxy+=上的一个动点，则PAPB的最大值为()A．16B．20C．24D．28【分析】设出P的坐标，求出向量，利用向量的数量积以及三角函数的最值转化求解即可．【解答】解：(8,0)A，(0,6)B，点P是圆22:4Cxy+=上的一个动点，设(2cos,2sin)P

，则(2cos8,2sin)PA=−，(2cos,2sin6)PB=−，则224cos16cos4sin12sinPAPB=−+−420cos()=−−，期中3tan4=．420cos()24−−„．则PAPB的最大值为24．故选：C．【名师指

导】向量在解析几何中的2个作用载体作用向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题工具作用利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔

a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法题型3平面向量的其他应用【例3-1】（2020•中卫二模）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如

图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：)kg约为()（参考数据：取重力加速度大小为210/gms=，31.732)A．63B．69C．75D．81【分析】由题意知1

2400FF==，夹角60=，计算12()GFF=−+的模长，再求出体重即可．【解答】解：由题意知，12400FF==，夹角60=，所以120GFF++=，即12()GFF=−+；所以2222212

()4002400400cos604003400GFF=+=++=；||4003()GN=，则该学生的体重（单位：)kg约为403401.73269()kg=，故选：B．【跟踪训练3-1】（2020•潍坊二模）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处

于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是1F，2F，且1F，2F与水平夹角均为45，12||||102FFN==，则物体的重力大小为．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可作出12FF+，进而求出12||FF+的值，从而得出物体重力的大小．【解答】解：如图，12||||102FFN=

=，12||102220FFNN+==，物体的重力大小为20．故答案为：20．【名师指导】利用向量的载体作用，运用数量积可以处理物力学上质点受力分析部分题目．由此可见数学物理联系性较大．