【文档说明】2024年高考数学考前信息必刷卷02（新高考新题型专用） 含解析.docx，共(18)页，1.253 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）随着九省联考的结束，全国陆续有多个省份宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式

相比变化较大，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分

，总分15分，解答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。多年不变的集合题从单选题的第1题变为填空题，且以往压轴的函数与导数试题在测试卷中安排在解答题的

第1题，难度大幅度降低；概率与统计试题也降低了难度，安排在解答题的第2题；在压轴题安排了新情境试题。这些变化对于打破学生机械应试的套路模式，对促使学生全面掌握主干知识、提升基本能力具有积极的导向作用。九省联考新模式的变化，不仅仅体现在题目个数与分值的变

化上，其最大的变换在于命题方向与理念的变化，与以往的试题比较，试题的数学味更浓了，试卷没有太多的废话，也没有强加所谓的情景，体现了数学的简洁美，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力

和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。试卷的命制体现“多想少算”的理念，从重考查知识回忆向重考查思维过程转变，试卷题目的设置层次递进有序，难度结构合理，中低难度的题目平和

清新，重点突出；高难度的题目不偏不怪，中规中矩，体现了良好的区分性，可有效的引导考生在学习过程中从小处着手，掌握基本概念和常规计算；从大处着眼，建构高中数学的知识体系。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．6(1)ax−的展开式

中3x的系数为160，则=a（）A.4−B.2C.4D.2−【答案】D【解析】二项式6(1)ax−展开式的通项为()16CrrraxT+=−（其中06r且Nr），令3r=可得()()33443466CCTaxax−−==，所以()346C160a−=

，解得2a=−.故选：D2．设nS是等比数列na的前n项和，若34564,8Saaa=++=，则96SS=（）A．2B．73C．53D．37【答案】B【解析】由题意得638SS−=，3684812SS++===，因为36396

,,SSSSS−−成等比数列，故()()263396SSSSS−=−，即()298412S=−，解得928S=，故96287123SS==.故选：B3．某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：s）分别为：13.09，13.15，12.90,13.

16，12.96，13.11，x，13.24，则下列说法错误的是（）A．若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x=B．若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x=C．若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24

xD．若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x=【答案】A【解析】对A,因为875%6=，当13x=,八名选手成绩从小到大排序12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15

,13.16,13.24,，故该八名选手成绩的第75%百分位数为13.1513.1613.1552+=，但1313.15x=，故A错误；对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确；对C,当12.9x，极差为13.240.34x−，不符合题意舍去；当

12.9013.24x，极差为13.2412.90.34−=，符合题意当13.24x，极差为12.90.34x−不符合题意舍去，综上，12.9013.24x，C正确；对D,平均数为12.9012.9613.0913.11

13.1513.1613.2413.095,8x+++++++=解得13.15x=，故D正确.故选：A4.在ABC中，π3C=，13AB=，5ACBC+=，则ABC的面积为（）A．43B．23C．33D．3【答案】D【解析】在ABC中，π3C=，13ABc==，5ACBCba+=+=，由余弦

定理可得()2222π2cos23cababababab=+-=+--，解得4ab=，所以1π13sin432322ABCSab==创=，故选：D5．已知π170,sinsin,coscos21010

==，则cos2=（）A．0B．725C．2425D．1【答案】A【解析】已知17sinsin,coscos1010==，则714cos()coscossinsin10105

−=+=+=，713cos()coscossinsin10105+=−=−=，π02，π0,0π2−+，则2sin()1cos(3)5−=−−=，24sin()

1cos()5+=−+=，则cos2cos[()()]cos()cos()sin()sin()=++−=+−−+−344305555=−=.故选：A.6．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5

名大学生将前往3个场馆,,ABC开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆B仅有2名志愿者的概率为（）A．35B．2150C．611D．34【答案】B【解析】不考虑甲是否去场馆A，所有志愿者分配方案

总数为2233535322CCCA150A+=，甲去场馆,,ABC的概率相等，所以甲去场馆B或C的总数为21501003=，甲不去场馆A，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B，场馆B有两名志愿者共有11243

224CCA=种；情形二，甲去场馆C，场馆B场馆C均有两人共有1243CC12=种，场馆B场馆A均有两人共有24C6=种，所以甲不去场馆A时，场馆B仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B．7．在平行四边形ABCD

中，24ABAD==，π3BAD=，E，H分别为AB，CD的中点，将ADEV沿直线DE折起，构成如图所示的四棱锥ABCDE−，F为AC的中点，则下列说法不正确的是（）A．平面//BFH平面ADEB．四棱锥ABCDE−体积的最大值为3C．无论如何折叠都无法满足'ADBC⊥D．三

棱锥ADEH−表面积的最大值为234+【答案】C【解析】选项A，平行四边形ABCD,所以//BEDH，又24ABAD==,,EH分别为,ABCD中点，所以BEDH=,即四边形BEDH为平行四边，所以//BHDE,又BH平面ADE¢,DE

平面ADE¢,所以//BH平面ADE¢，又F是AC中点，所以//FHAD,又FH平面ADE¢,AD平面ADE¢,所以//FH平面ADE¢,又FHBHH=,,FHBH平面BHF,所以平面//BHF平面

ADE¢，故A正确；选项B，当平面ADE⊥平面BCDE,四棱锥ABCDE−的体积最大，因为π3BAD=，所以最大值为()24313332V+==,故B正确；选项C，根据题意可得BCDB⊥,只要BCAB⊥,ABDBB=,ABBD,平面ADB,所以BC⊥平面ADB，即

BCAD⊥,故C错误；选项D，当EHAE⊥,根据对称性可得DHAD⊥,此时,AEHADH的面积最大，因此三棱锥ADEH−表面积最大，最大值为1123222223422ADEADHDEHAEHSS

SSS=+++=+=+,选项D正确.故选：C8．曲线C是平面内与三个定点()11,0F−，()21,0F和()30,1F的距离的和等于22的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C关于x轴、y轴均对称；②曲线C上存在点P，使得3223PF=；③若点P在曲线C上，则1

2FPF△的面积最大值是1；④曲线C上存在点P，使得12FPF为钝角.其中所有正确结论的序号是（）A．②③④B．②③C．③④D．①②③④【答案】C【解析】设曲线C上任意一点(),Pxy，由题意可知C的方程为()()()22222211122xyxyxy+++−+++−=.①错误，在此方程中

用x−取代x，方程不变，可知C关于y轴对称；同理用y−取代y，方程改变，可知C不关于x轴对称，故①错误.②错误，若3223PF=，则12124223PFPFFF+==，曲线C不存在，故②错误.③正确，1212322PFPFPFPFPF+++=，P应该在椭圆D：221

2xy+=内（含边界），曲线C与椭圆D有唯一的公共点()30,1F，此时122FF=，31OF=，当点P为3F点时，12FPF△的面积最大，最大值是1，故③正确；④正确，由③可知，取曲线C上点()30,1F，此时13290FFF=

，下面在曲线C上再寻找一个特殊点()0,Py，01y，则221122yy++−=，把221221yy+=−+两边平方，整理得23(242)4250yy+−+−=，解得422(842)6y−−=，即1y=或4253−

.因为425013−，则取点4250,3P−，此时1290FPF.故④正确．故答案为：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得0分．9．已知函数()44cos23sincossinfxxxxx=+−，则下列说法正确的是（）A．最小正周期为B．函数()fx在区间()π,π−内有6个零点C．()fx的图象关于点π,012对称D．将()fx的图象向左平移π4个单位，得到函数()g

x的图象，若()gx在0,t上的最大值为()0g，则t的最大值为5π6【答案】AD【解析】()44cos23sincossinfxxxxx=+−()()2222cossincossin23sincosxxxxxx=−++cos23sin2xx=+π2sin26x=+

，对于A：2ππ2T==，A正确；对于B：当ππx−时，11ππ13π2666x−+，则π26x+分别取π,0,π,2π−时对于的x的值为函数()fx在区间()π,π−上的零点，只有4个，B错误；对于C：ππππ2sin22sin30121263f=+

==，故点π,012不是()fx的对称中心，C错误；对于D：由已知()6πππ2sin22cos264gxxx=++=+，当0xt时，πππ22,0666xtt++，因为()gx在0,t上的最大值为(

)π02cos6g=，所以π11π266t+，解得5π06t，D正确.故选：AD.10．已知直线()():2110laxay+−+−=与圆22:4Cxy+=交于点,AB，点()1,1,PAB中点为Q，则（）A.AB的最小值为22B.AB的最大值为4C.PAPB为定值D.存

在定点M，使得MQ为定值【答案】ACD【解析】直线()():2110laxay+−+−=，即()210axyxy−+−−=，故直线过定点()1,1P,且圆22:4Cxy+=的圆心为()0,0，半径为2,22114+，故()1,1P在圆C内，对于A，当CP和直线l垂

直时，圆心到直线的距离最大，距离2dCP==，此时AB最小，2=24=22ABd−，故A正确；对于B，当=4AB时，AB为圆的直径，此时直线过圆心，()()201010aa+−+−=方程无解，故直线不可能过圆心

，故B错误；对于C，设()()1122,,,AxyBxy，则()()()()()()121212121212=11112PAPBxxyyxxxxyyyy−−+−−=−++−++，当直线l斜率不存在时，:1lx=，联立圆22:4Cxy+=得，3y=，此时1322=2PAPB=−−+−

当直线l斜率存在时，设直线()11ykx−=−，联立圆22:4Cxy+=，得()22114xkx+−+=，即()()2222122230kxkkxkk++−+−−=，21222122221231kkxxkkkxxk−+=−+−−=+，()121

2=22yykxxk+++−，()()()()()222121212121111=1yykxkxkxxkkxxk=−+−++−++−,()()()()()222121212121212=2=111PAPBxxxxyy

yykxxkxxk−++−+++−++++,带入得：222=232212kkkPAPBkk−−+−−++=，故PAPB为定值2−，故C正确；对于D，AB中点Q，故CQAB⊥,且()1,1P在AB上，所以CQPQ⊥,故PQC△是直角三角形，当M为PC

中点11,22时，12=22MQPC=为定值，故D正确.故选：ACD11．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，若()fx是奇函数，()()210ff=−，且对任意为,Rxy，

()()()()()fxyfxfyfxfy+=+，则（）A．()112f=−B．()60f=C．20241()1kfk==D．20241()1kfk==−【答案】ABD【解析】因为()()()()()fxyfxfyfxfy+=+，令1xy==得：()()()2

211fff=，又因为()()210ff=−，所以()112f=−，故A正确；因为()fx是定义域为R的奇函数，所以()00f=，且()fx为偶函数.令1y=，可得：()()()()()111fxfxffxf=++①再用x−代替x可得：()()()()(

)()()()()11111fxfxffxffxffxf−=−+−=−+()()()()()111fxfxffxf=−−②①+②得：()()()()1121fxfxfxf++−=()()()11fxfxfx+=−−−所以：()()()21fxfxfx+=−+−

，()()()321fxfxfx+=−+−+()()()11fxfxfx=++−+()fx=所以()fx是周期为3的周期函数，所以：()()()6300fff===，故B正确.因为：()00f=，()()21ff=

−()()120ff+=，所以：()()()1230fff++=，所以：()()()()()()20241674123120kfkfffff==++++=，故C错误；又因为()fx亦为周期为3的周期函数，且为

偶函数，所以()()()12122fff−==−=令1x=，0y=可得：()()()()()11010fffff=+()()013ff==，所以()()()1230fff++=.所以：()()()()

()()20241674123121kfkfffff==++++=−.故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若复数2023i12iz=−，则zz=【答案】15【解析】20232023ii2i55ii(12i)12i1

2i12i(12i)(12i)zz−−+=====−−−−−+，∴∵，则2i5z+=，15zz=.13．已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是．【答案】【解析】当0c时满足：23bac+„且2bca=，223aacc+„，即22230

aacc−−，进而2()230aacc−−„，解得13ac−剟．所以13ca或1ca−，222222()accccaccfaaaab−−==−=，令(1,,13ctta=+−−

，()22112248ftttt=−+=−−+，由于(1,13t+−−所以()ft在(1t−−，单调递增，在13t,+单调递减，当13t=时，11=39f，当1t

=−时，()13f−=−，所以()19ft故答案为：19−，．14．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面

积的最小值为【答案】48π【解析】如图：0c23bac+2bca=2acb−1,9−设O为正四面体−PABC的外接球球心，1O为111ABC△的中心,H为ABC的中心,M为BC的中点，因为正四面体−PABC棱长为8，易得PH⊥平面A

BC，易得383833AH==，PH⊥平面ABC，AH平面BCD，则228386,(38)3PHAHPH⊥=−=，由正四面体外接球球心为O，则O在PH，则OPOAR==为外接球半径，由222AHOHBO+=得2228386()()33R

R+−=，解得26R=，即26PO=,在正四面体111PABC−中，易得22112232133AO=−=，2212326233PO=−=，所以11463OOPOPO=−=，则该八面体的外接球半径22111123AOOOAO=

+=,所以该球形容器表面积的最小值为()24π2348π=.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数421()2ln24gxxaxxxx=−−+．(1)当1a=时，求()gx的图象在点(1,

(1))g处的切线方程；(2)若()0gx，求实数a的取值范围．【解析】（1）当1a=时，421()2ln24gxxxxxx=−−+，求导得3()22lngxxxx=−−，则(1)1g=−，而5(1)4g=，于是5(1)4yx−=−−，即904xy+−=，所以()gx的图象在点(1,(

1))g处的切线方程是904xy+−=.（2）函数421()2ln24gxxaxxxx=−−+定义域为(0,)+，求导得3()22lngxxaxx=−−，由()0gx，得22ln2xaxx−，

令22ln(),0xfxxxx=−，求导得32222ln22ln2()2xxxfxxxx−+−=−=，令函数322ln2,0()hxxxx+=−，显然函数()hx在(0,)+上单调递增，而(1)0h=，则当01x时，()0hx，()0fx，当1x时，()0hx，()0f

x，函数()fx在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，min()(1)1fxf==，因此21a，解得12a，所以实数a的取值范围是12a.16．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点2F与抛物线24yx=的焦点重合，且其离心率

为12.(1)求椭圆C的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，线段MN的中点为P，求证：MNOPkk（O为坐标原点）为定值.【解析】（1）∵抛物线24yx=的焦点为()1,0，∴椭圆C的半焦距为1c=，又1

2cea==，得2a=，223bac=−=.∴椭圆C的方程为22143xy+=（2）证明：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为()0ykxmk=+，联立22143ykxmxy=++=，得()22234

84120kxkmxm+++−=.Δ0，即2243mk+，设()11,Mxy，()22,Nxy，则122834kmxxk+=−+，()121226234myykxxmk+=++=+，∴2243,343

4kmmPkk−++，∴2233344434OPmkkkmkk+==−−+.∴34MNOPkk=−为定值17．（15分）如图，在正四棱台1111ABCDABCD−中，1124ABAB==.(1)

求证：平面ABCD⊥平面11ACCA；(2)若直线1BC与平面11ACCA所成角的正切值为36，求二面角1BCCA−−的正弦值.【解析】（1）延长1111,,,AABBCCDD交于一点P，连接BD交AC于O；由正

四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥PABCD−为正四棱锥，即PAPBPCPD===，又点O分别为,ACBD的中点，故,POACPOBD⊥⊥，而ACBDO=，,ACBD平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，又

PO平面11ACCA，故平面11ACCA⊥平面ABCD，即平面ABCD⊥平面11ACCA；（2）由（1）知,,OAOBOP两两垂直，故分别以,,OAOBOP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设棱台的高为h，则()()()()112

2,0,0,0,2,,0,22,0,2,0,CBhBCh−−，又平面11ACCA的法向量可取为()0,1,0m=，而()122,2,BCh=−−−，由题意知直线1BC与平面11ACCA所成角的正切值为36，则其正弦值为223113(3)(6)=+，则121||21sin||||1310mChBCm

B===+，解得4h=，所以()()122,22,0,0,2,4BCBB=−−=−，设平面11BCCB的法向量为(),,nxyz=r，则122220240BCnxyBBnyz=−−==−+=，令1z=，则()22,22,1n=−，故22cos,

17mnmnmn==，而二面角范围为[0π],，故二面角1BCCA−−的正弦值为2223171()1717−=.18.（17分）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．（1）现在对学生性

别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据0.100=的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？性别就餐区域合计南区北区男331043女38745合计711788（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙

餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12．（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；（ⅱ）求第()*nnN天他去甲餐厅用餐

的概率np．附：()()()()22(),nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++；0.1000.0500.0250.010x2.7063.8415.0246.635【解析】（1）依据表中数据

，220.188(3371038)0.8372.70643457117x−==，依据0.100=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有．．关联．（2）设=iA“第i天去甲餐厅用餐”，iB=“第i天去乙餐厅用餐”，iC=

“第i天去丙餐厅用餐”，则iiiABC、、两两独立，1,2,,in=．根据题意得()()()()()()11111111111,,,,42232iiiiiiPAPBPCPAAPABPAC+++======，()

()()111112,,223iiiiiiPBAPBCPCB+++===．（ⅰ）由22121BBABC=+，结合全概率公式，得()()()()()()221211211211111342228PBPBABCP

APBAPCPBC=+=+=+=，因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为38．（ⅱ）记第()*nnN天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为,,nnnpqr，则11111,42pqr===，由全概率公式，得()nnpPA=()111nnnnnnPAAABAC−−−=++()()()111nnn

nnnPAAPABPAC−−−=++()()()()()()111111nnnnnnnnnPAPAAPBPABPCPAC−−−−−−=++故()1111112232nnnnppqrn−−−=++①同理()1111222nnnqprn−−=+②()1223nnrqn−=③1nnnpqr+

+=④由①②，113nnnpqq−=+，由④，1111nnnpqr−−−=−−，代入②，得：11122nnqq−=−，即1111323nnqq−−=−−，故13nq−是首项为112−，公比为12−的等比数列，

即11113122nnq−−=−−，所以111132nnq+=−−于是，当2n时113nnnpqq−=+11111113292nn+=−−+−−

1411992n+=−−综上所述：()()11,14411,2992nnnpn+==−−19．（17分）已知定义域为R的函数()hx满足：对于任意的xR，都有()()()2π2πhxhx

h=++，则称函数()hx具有性质P.（1）判断函数()()2,cosfxxgxx==是否具有性质P；（直接写出结论）（2）已知函数()()35πsin,222fxx=+，判断是否存在,，使函数()fx具有性质P？若存在，求出,

的值；若不存在，说明理由；（3）设函数()fx具有性质P，且在区间0,2π上的值域为()()π0,2ff.函数()()()singxfx=，满足()()2πgxgx+=，且在区间()0,2π上有且只有一个零点.求证：()2π

2πf=.【解析】（1）因为()2fxx=，则()2π2(2π)24πfxxx+=+=+，又()2π4πf=，所以()2π()(2π)fxfxf+=+，故函数()2fxx=具有性质P；因为()cosgxx=，则

()2πcos(2π)cosgxxx+=+=，又()2πcos2π1g==，()(2π)cos1(2π)gxgxgx+=++，故()cosgxx=不具有性质P.（2）若函数()fx具有性质P，则()02π(0

)(2π)fff+=+，即(0)sin0f==，因为π2，所以0=，所以()sin()fxx=；若(2π)0f，不妨设(2π)0f，由()2π()(2π)fxfxf+=+，得()2π(0)(2π)(2π)(Z)fkfkfkfk=+=（*），

只要k充分大时，(2π)kf将大于1，而()fx的值域为[1,1]−，故等式（*）不可能成立，所以必有(2π)0f=成立，即sin(2π)0=，因为3522，所以3π2π5π，所以2π4π=，则2=，此时()sin2fxx=，则()2πsin2(2π)s

in2fxxx+=+=，而()(2π)sin2sin4πsin2fxfxx+=+=，即有()2π()(2π)fxfxf+=+成立，所以存在2=，0=使函数()fx具有性质P.（3）证明：由函数()fx具有性质P及（2）可知，(0)0f=，由()()2πgxgx+=可知

函数()gx是以2π为周期的周期函数，则()2π(0)gg=，即sin((2π))sin((0))0ff==，所以(2π)πfk=，Zk；由(0)0f=，(2π)πfk=以及题设可知，函数()fx在0,2π的值域为0,π

k，所以Zk且0k；当2k，()πfx=及()2πfx=时，均有()()()sin0gxfx==，这与()gx在区间()0,2π上有且只有一个零点矛盾，因此1k=或2k=；当1k=时，(2π)πf=，函数()fx在0,2π的值域为0,π，此时函数()gx的值域为0,1，

而()2π()πfxfx+=+，于是函数()fx在2π,4π的值域为π,2π，此时函数()gx的值域为1,0−，函数()()()singxfx=在当0,2πx时和2π,4πx时

的取值范围不同，与函数()gx是以2π为周期的周期函数矛盾，