【文档说明】2021-2022高中数学人教版必修5作业：3.3.2 简单的线性规划问 （系列五）含解析.docx，共(18)页，483.850 KB，由小赞的店铺上传

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线性规划练习1.“截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)zaxbyabR=+的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1.【2012年高考·广东卷理5】已知变量,x

y满足约束条件241yxyxy+−，则3zxy=+的最大值为()()A12()B11()C()D−答案B2.(2012年高考·辽宁卷理8)设变量,xy满足-100+20015xyxyy

，则2+3xy的最大值为A．20B．35C．45D．55答案D3.(2012年高考·全国大纲卷理13)若,xy满足约束条件1030330xyxyxy−++−+−，则3zxy=−的最小值为。答案-14.【2012年高考·陕西卷理14】设函数ln,0()21,0

xxfxxx=−−，D是由x轴和曲线()yfx=及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2zxy=−在D上的最大值为．答案25.【2012年高考·江西卷理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植

面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A．50，0B．30，20C．20，30D．0

，50答案B6.(2012年高考·四川卷理9)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A

、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元答案C年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1

.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元7.(2012年高考·安徽卷理11)若,xy满足约束条件：02323xxyxy++；则xy−的取值范围为_____.答案[-3,0]8．(2012年高考·山东卷理5)的约束条件2441xyxy

+−−，则目标函数z=3x－y的取值范围是A．[32−，6]B．[32−，－1]C．[－1，6]D．[－6，32]答案A9．(2012年高考·新课标卷理14)设,xy满足约束条件：,013xyxyxy

−−+；则2zxy=−的取值范围为.答案[-3,3]2.“距离”型考题10.【2010年高考·福建卷理8】设不等式组x1x-2y+30yx所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关于直线

3490xy−−=对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B,||AB的最小值等于()A.285B.4C.125D.2答案B11.(2012年高考·北京卷理2)设不等式组20,20yx，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距

离大于2的概率是A4B22−C6D44−答案D3.“斜率”型考题12.【2008年高考·福建卷理8】若实数x、y满足10,0xyx−+则yx的取值范围是（）A.(0,1)B.(0,1C.(1,+)D.)1,+答

案C13.（2012年高考·江苏卷14）已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb−+−≤≤≥，，则ba的取值范围是．答案[e,7]4.“平面区域的面积”型考题14.【2012年高考·重庆卷理10】设平面点集221(,)()()

0,(,)(1)(1)1AxyyxyBxyxyx=−−=−+−，则AB所表示的平面图形的面积为A34B35C47D2答案D15.（2007年高考·江苏卷理10）在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{(,)|1,Axyxy=+且0,0}xy，则平面区域{(,)|(,

)}BxyxyxyA=+−的面积为（）A．2B．1C．12D．14答案B16.（2008年高考·安徽卷理15）若A为不等式组002xyyx−表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya+=扫过A中的那部分区域的面积为.

答案4717.（2009年高考·安徽卷理7）若不等式组03434xxyxy++所表示的平面区域被直线43ykx=+分为面积相等的两部分，则k的值是（A）73（B）37（C）43（D）34答案A18.

（2008年高考·浙江卷理17）若0,0ba，且当+1,0,0yxyx时，恒有1+byax，则以a,b为坐标点(,)Pab所形成的平面区域的面积等于__________.答案15.“求约束条件中的参数”型考题

规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.19.（2009年高考·福建卷文9）在平面直角坐标系中，若不等式组101010xyxaxy+

−−−+（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为A.－5B.1C.2D.3答案D20.【2012年高考·福建卷理9】若直线xy2=上存在点),(yx满足约束条件−−−+

mxyxyx03203，则实数m的最大值为（）A．21B．1C．23D．2答案B21.（2008年高考·山东卷理12）设二元一次不等式组2190802140xyxyxy+−−++−，，≥≥≤所表示的平面

区域为M，使函数(01)xyaaa=，的图象过区域M的a的取值范围是（）A．[1，3]B．[2，10]C．[2，9]D．[10，9]答案C22.（2010年高考·北京卷理7）设不等式组110330530xyxyx

y9+−−+−+表示的平面区域为D，若指数函数y=xa的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是A(1，3]B[2，3]C(1，2]D[3，+]答案A23.（2007年高考·浙江卷理17）设m为实数

，若{250(,)300xyxyxmxy−+−+}22{(,)|25}xyxy+，则m的取值范围是___________.答案[0,34]24.（2010年高考·浙江卷理7）若实数x，y满足不等式

组330,230,10,xyxyxmy+−−−−+且xy+的最大值为9，则实数m=（）A2−B1−C1D2答案C6.“求目标函数中的参数”型考题规律方法：目标函数中含有参数时，要根据问题的意义，转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论与研究.25.（2009

年高考·陕西卷理11）若x，y满足约束条件1122xyxyxy+−−−，目标函数2zaxy=+仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．（1−，2）B．（4−，2）C．(4,0]−D．(2,4)−答案B26.（2011年高考·湖南卷理7）设m>1，在约束条件下，

+1yxmxyxy目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为A．)21,1(+B．),21(++C．（1，3）D．),3(+答案A7.其它型考题27.（2009年高考·山东卷理12）设x，y满足约束条件+−

−−0,002063yxyxyx，若目标函数(0,0)zaxbyab=+的值是最大值为12，则23ab+的最小值为（）A.625B.38C.311D.4答案A28.（2010年高考·安徽卷理13）设,xy满足约束条件2208400,0xyxyxy−+−

−，若目标函数()0,0zabxyab=+的最大值为8，则ab+的最小值为________.答案4线性规划问题答案解析1.“截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)zaxbyabR=+的线性目标函

数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值.结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.1、选B【解析】约束条件对应ABC内的区域(含边界)，其中53(2,2),(3,2),(,)22ABC画出可行域，结合图形和z

的几何意义易得3[8,11]zxy=+2、选D；【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A时，2+3xy的最大值为55，故选D.3、答案：1−【解析】利用不等式组，作出可

行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1−.]4、答案2；【解析】当x>0时，()xxf1'=，()11'=f，∴曲线在点(1,0)处的切线为1

−=xy，则根据题意可画出可行域D如右图：目标函数zxy2121−=，∴当0=x，1−=y时，z取得最大值25、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭

菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元，则目标函数为(0.5541.2)(0.360.9)0.9zxxyyxy=−+−=+.线性约束条件为50,1.20.954,0,0.xyxyxy++即50,43180,0,0.xyxyxy++

作出不等式组表示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20,0,45ABC.平移直线0.9zxy=+，可知当直线0.9zxy=+，经过点()30,20B，即30,20xy==时z取得最大值，且max48z=（万元）.故

选B.点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．6、答案C【解

析]】设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得利润为Z元/天，则由已知，得Z=300X+400Y，且++00122122YXYXYX，画可行域如图所示，目标函数Z=300X+400Y可变形为Y=400zx43+−这是随Z变化

的一族平行直线，解方程组=+=+12y2x12yx2，==4y4x，即A（4,4）280016001200max=+=Z7、答案[3,0]−；【解析】约束条件对应ABC内的区域(含边界)，其中3(0,3),(0,),(1,1)2ABC，画出可行域

，结合图形和t的几何意义易得[3,0]txy=−−8、选A；【解析】作出可行域和直线l：03=−yx，将直线l平移至点)0,2(处有最大yxO-11值，点)3,21(处有最小值，即623−z.∴应选A.9、答案[－3，3]；【解析】约束条件对应区

域为四边形OABC内及边界，其中(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC，则2[3,3]zxy=−−2.“距离”型考题10、选B；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。【解析】由

题意知，所求的||AB的最小值，即为区域1中的点到直线3490xy−−=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3490xy−−=的距离最小，故||AB的最小值为|31419|245−−=，所以选B。评注：在线

性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.11、选D；【解析】题目中2020yx表示的区域

为正方形，如图所示，而动点M可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222−=−=P，故选D.3.“斜率”型考题12、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，yx表示平面区域内的动点(,)xy与原点(0,0)O之间连线的斜率，由图易知，yx

()1,+，选C.评注：在线性约束条件下，对于形如(,)ybzabRxa−=−的目标函数的取值问题，通常转化为求点(,)xy、(,)ab之间连线斜率的取值.结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点.在本题中，要合

理运用极限思想，判定yx的最小值无限趋近于1.13、答案7e，；【解析】条件4ln53lnbcaacccacb−+−≤≤≥，可化为：354acabccabccbec++.设==abxycc，，则题目转化为：已知xy，满

足35400xxyxyyex>y>++，，求yx的取值范围.作出（xy，）所在平面区域（如图），求出=xye的切线的斜率e，设过切点()00Pxy，的切线为()=0yexmm+，则00000==yexmmexxx++，要

使它最小，须=0m.∴yx的最小值在()00Pxy，处，为e.此时，点()00Pxy，在=xye上,AB之间.当（xy，）对应点C时，=45=205=7=7=534=2012yxyxyyxyxyxx−−

−−，∴yx的最大值在C处，最大值为7.∴yx的取值范围为7e，，即ba的取值范围是7e，ABOab1图54.“平面区域的面积”型考题14、选D；【解析】由对称性：221,,(1)(

1)1yxyxyx−+−围成的面积与221,,(1)(1)1yxyxyx−+−围成的面积相等，得：AB所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1yxxy−+−围成的面积既2122R=15、选B；【解析】令,axybxy=+=−，则11(),()22xabya

b=+=−，代入集合A，易得0,0,1ababa+−，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为21×2×1＝1，∴选B.评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域

B所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.16、答案74；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域A，其中：12:,:2,:1lxyalxylxy+=+=−+=.当a从－2连续变化到1时，动直线l扫过的平面区域即为1l与2l之间的平面区域，则动直线l扫过A中的那部

分平面区域的面积即为四边形BOCD的面积，由图易知，其面积为：74ABOADCSSS=−=.评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线xya+=在a从－2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，

准确画图是解题的关键.Dl图6l2CBAyxO11-2-22l117、选A；【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由3434xyxy+=+=得A（1，1），又B（0，4），C（0，43）∴S△ABC=144(4)1233−=，设ykx=与34xy+=的交

点为D，则由1223BCDSSABC==知12Dx=，∴52Dy=，∴5147,2233kk=+=，选A.18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，要使得恒有1+byax成立，只须平面区域顶点,,AOB的坐标都满足不等

式1+byax，易得01,01,ab所以(,)Pab所形成的平面区域的面积等于1.评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可.作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产

生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.5.“求约束条件中的参数”型考题19、选D；【解析】作出不等式组101010xyxaxy+−−−+所围成的平面区域.如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；∴|AC|=4，点C的坐

标为（1，4）代入10axy−+=得a=3，故选D.点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程10axy−+=中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确10axy−+=可变形为1yax−=的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题

中的其它条件，就可轻松获解.图7x+y=111OxyABAxDyCOy=kx+4364224105oACB）（3,0）（0,3），（23-0)3,(mm−xy2=20、选B；分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需

要画出可行域的图形，含参的直线要能画出大致图像.解答：可行域如图：所以，若直线xy2=上存在点),(yx满足约束条件−−−+mxyxyx03203，则mm23−，即1m。评注：题设不等式组对应的平面区域随参数m的变化而变化，先局部后整体是突破的关键.21、选C；【解析】

区域M是三条直线相交构成的三角形（如图）,其中(1,9),(3,8),(2,10)ABC，使函数(01)xyaaa=，的图象过区域M,由图易知1a，只须区域M的顶点,AB不位于函数xya=图象的同侧，即不等式3(9)(8)0aa−−(a＞0，a≠1)恒成立，即29.a评注：首先要准确

画出图形；其次要能结合图形对题意进行等价转化；最后要能正确使用“同侧同号、异侧异号”的规律.22、选A；【解析】这是一道略微灵活的线性规划问题，作出区域D的图象，联系指数函数xya=的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点（2，9）时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过

区域内的点.23、答案4[0,]3；【解析】如图10，直线:,lymx=−14:3lyx=−，由题意，要使得不等式组表示的区域包含在圆的内部，则直线l应位于直线1l与x轴之间（包括直线1l及x轴），即403m−−，

所以m的取y=ax2x+y-14=0x+2y-19=0BAyxO1x-y+8=0图12C3l5-5C图10l1yxOBAxyO33−1330xy+−=230xy−−=32123(,)77(4,5)Ayx=−10xmy−+=值范围是4[0,]3.评注：由集合之间的包含关系到对应平面区域之间的包含关系

是解决本题的第一突破口；另外，在直线l的旋转变化中，确定关键的两个特殊位置1l、x轴是解决本题第二突破口，这对考生的想象能力、数形结合能力都提出了非常高的要求.24、选C；【思路点拨】画出平面区域，利用xy+的最大值为9，确定区域的边界．【规范解答】选C．令zxy=+，则

yxz=−+，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距．当z最大值为9时，yxz=−+过点A，因此10xmy−+=过点A，所以1m=．6.“求目标函数中的参数”型考题25、选B；【解析】如图，阴影部分△ABC为题设约束条件所对应的可行域，其中A(1，0)，(

3,4)B，(0,1)C，法一：，目标函数2zaxy=+对应直线l，直线l的斜率为2a−，在y轴上的截距为2z.∵目标函数恰好在点(1，0)处取得最小值，∴直线l落在的直线x＋y=1按逆时针方向旋转到直线2x－y=2的位置所扫过的区域，根据直线倾斜角与直线斜率的关系，可得

－1<2a−<2，解得－4<a<2，选B.法二：根据题意，目标函数(,)2zxyaxy=+仅在点（1，0）处取得最小值，则有(0,1)(1,0),zz且(0,1)(3,4)zz，解之得a的取值范围是（4−，2），答案选B.评注：本题是以截距为背景，求满足题意的目标

函数中所含的未知参数，对于这类问题，图11(0,1)CB(3,4)A(1,0)oyx2x-y=2x-y=-1x+y=1图14CBAx-y+2=03x-y-6=0oyx关键是要抓住可行域的顶点就是取到最值的点.26、选A；【解析】在平面直角坐

标系中作出直线1+yxxy和，再作出直线ymx(m>1)，由图可知目标函数z=x+my在点（11m+，1mm+）处取得最大值2111maxmzmm=+++，由已知可解m.7.其它型考题27、选A；【解析】如图，阴影部分为约束条件表示的平面区域，其中(2,0

),(4,6),(0,2)ABC，显然，当直线axbyz+=过点(4,6)B时，目标函数(0,0)zaxbyab=+取得最大值12，即4612ab+=，23ab+=2323131325()()26666abbaabab++=+++=，选

A.评注：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并根据图形建立关于参数,ab的等式；求23ab+的最小值时，常先用乘积进行等价变形，进而用基本不等式解答.

28、答案4；【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是1(0,0),(0,2),(,0),(1,4)2，由图易知，目标函数在(1,4)取最大值8，所以844abab=+=，所以24abab+=，在2ab==时是等

号成立.所以ab+的最小值为4.综上可知，解决线性规划问题，首先要弄清题意；其次要准确画图、识图；最后是合理联想与转化，并充分挖掘方法和规律.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com