【文档说明】安徽省六安市新安中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案.docx，共(18)页，728.084 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2020-2021学年度高一数学期末考试卷第I卷（选择题）一、单选题1．若复数2zi=−，则z=（）A．3B．3C．5D．52．已知向量()sin,1a=，()2sin,1b=−，且ab⊥，则cos2=（）A．0B．12C．22D．1−3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1

D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（）A．2条B．4条C．6条D．8条4．如图，已知3ABBP=，用OA，OB表示OP，则OP等于（）A．1433OAOB−B．1433OAOB+C．1433OAOB−+D．1433OAOB−−5．函数()sincos33xxfx=

+的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和26．在ABC中，“coscosAB”是“sinsinAB”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．非充分非必要7．m个

数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这m个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据，则下列关于这组新数据的说法正确的是（）A．平均数为aB．中位数为2bC．标准差为2cD．方差为2c8．若1cos63−=，则2cos23+=（）A．29B．29−C．79D．79

−9．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A．18B．20C．223D．2610．以下说法正确的是（）A．空间异面

直线的夹角取值范围是0,2B．直线与平面的夹角的取值范围是0,2C．二面角的取值范围是[0,]D．向量与向量夹角的取值范围是[0,)11．如图.AB是圆的直径，PAAC⊥，PABC⊥，C是圆上一点(不同于A，B)，且PAAC=，则二面角

PBCA−−的平面角为（）A．PACB．CPAC．PCAD．CAB12．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，

连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0B．1

C．2D．3第II卷（非选择题）二、填空题13．高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性别分层抽取一个容量为10人的样本，参加一个与兄弟班级的知识竞赛，抽取到的女生的数量是___________.14．长方体1111ABCDABCD−的长宽高分别为2，3，4，且长方体的八

个顶点都在球O的球面上，则球O的半径为_________．15．线段AB在平面的一侧，,AB到平面的距离分别为3和5，则AB的中点到的距离为_______.16．在ABC中，90A=，2AB=，M是

BC中点，则AMAB=__________．三、解答题17．已知2a=，4b=，a与b的夹角为60.（1）计算()aab+的值；（2）若()0aakb−=，求实数k的值.18．已知函数2()3sin22cosfxxx=+.（1）求函数()fx的值域；（2）求

函数()fx单调递增区间.19．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知coscos2cosaCcAbB+=.（1）求B；（2）若23b=，ABC的面积为23，求ABC的周长.20．如图所示，在四棱锥PABCD

−中，//BC平面PAD，12BCAD=，E是PD的中点．（1）求证：//BCAD；（2）线段AD上是否存在点N，使平面//CEN平面PAB，若不存在请说明理由：若存在给出证明．21．某中学现有学生1500人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测频率试，得分分布在[50,100]之间，

按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，得到的频率分布直方图如图所示，且已知32mn=.（1）求m，n的值；（2）估计该中学数学测试的平均分(同组数据以这组数据的中间值作代表)；（3）估计该中学数学分数在[50

,70)的人数.22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，120BCD=，侧面PAB⊥底面ABCD，22PB=，2.ABACPA===（1）求证：BD⊥平面PAC（2）过AC的平面交PD于点M，若——12PACPAC

DMVV=，求三棱锥PAMC−的体积．参考答案1．C【分析】根据复数模的运算求得正确选项.【详解】()22215z=+−=.故选：C2．A【分析】根据ab⊥建立等式化简即可得到答案.【详解】由ab⊥有22sin1

0−=，化简有cos20=.故选：A.3．D【分析】根据线线之间的垂直关系判断即可.【详解】在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故选：D.4．C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.【详

解】解：3ABBP=，()11413333OPOBBPOBABOBOBOAOBOA=+=+=+−=−，故选：C.5．C【分析】利用辅助角公式化简()fx，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题

，()2sin34xfx=+，所以()fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．6．C【分析】根据三角形内角的性质知：sinsinAB、coscosAB都有AB，由等价法知条件“coscosAB”、“sinsinAB”之间的充分、必要关系.【详

解】∵ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，∴当sinsinAB必有ab，根据三角形中大边对大角知：AB；当coscosAB时，在三角形中由0AB+，有02AB或02AB成立，即AB；∴“coscosAB”是“sinsinAB”的

充要条件.故选：C7．B【分析】m个12,,,nxxx数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这m个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据122,2,,2nxxx，根据平均数、中位数、方差、标准差的定义进行判断即可.【详解】m个12,,,nxxx数据的平均数为a，中位数为b，方差为c．若将这m

个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据122,2,,2nxxx，则由于平均数为所有数之和除以m，故平均数变为2a，故A错；中位数为这组数从小到大排列后中间的那个数或中间两数和的平均数，由于每个数都变为原来2倍，所以中位数也变为原来的2倍

，即2b，故B对；方差描述的是这组数的波动情况，12,,,nxxx的方差为c，则122,2,,2nxxx的方差为224cc=，标准差为222cc=，故C,D错；故选：B【点睛】熟悉平均数、中位数、方差、标准差的概念，特别是一组数据扩大某个倍数或增加某个数值的情况下，平均数、中位数、方差、标准差的

变化.8．C【分析】先根据诱导公式计算出sin3+的值，然后根据二倍角的余弦公式求解出2cos23+的值.【详解】∵1cos63−=.∴1cossinsin62633

−=−−=+=，∴2227cos212sin13399+=−+=−=，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于诱导公式以及二倍角公式的熟练使用，要具备一定的转化技巧；本例还可以通过直接将2cos2

3+变形进行求解：2cos2cos2cos212cos3366−+=−−=−−=−−.9．A【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加

上圆的面积即可【详解】解：由题意得，球的半径2R=，圆柱的底面半径1r=，高3h=，则该几何体的表面积为2222SRRrh=++8421318=++=故选：A.10．C【分析】空间异面直线的夹角取值范围是0,2，所以选项A错误；直线与平面的夹

角的取值范围是0,2，所以选项B错误；二面角的取值范围是[0,]，所以选项C正确；向量与向量夹角的取值范围是[0,]，所以选项D错误.【详解】A选项：空间异面直线的夹角取值范围是0,2，所以选项A错误；B选项：直线与平面的夹角的取值范围是0,2

，所以选项B错误；C选项：二面角的取值范围是[0,]，所以选项C正确；D选项：向量与向量夹角的取值范围是[0,]，所以选项D错误.故选：C【点睛】本题主要考查空间的角的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C【分析】由圆的性质知：ACBC⊥，根据线面垂直

的判定得到BC⊥面PAC，即BCPC⊥，结合二面角定义可确定二面角PBCA−−的平面角.【详解】∵C是圆上一点(不同于A，B)，AB是圆的直径，∴ACBC⊥，PABC⊥，ACPAA=，即BC⊥面PAC，而PC面PAC，∴BC

PC⊥，又面ABC面PBCBC=，PCACC=，∴由二面角的定义：PCA为二面角PBCA−−的平面角.故选：C12．C【分析】根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行判断，即可得出答案．【详解】对①，在图②中，连接,ACBD交于点O，取BE

中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中

，由平面几何知识易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，BCEG四点共面．过F

作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的

直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．13．4【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】解：由题意可得，抽取到的女生的数量为201043020=+，故答案为：414．292【分析】利用球O的直径即为长方体的体对角线可求球O的半径.【详解】因为长方体的

八个顶点都在球O的球面上，故球O的直径即为长方体的体对角线，而体对角线的长为491629++=，故球O的半径为292，故答案为：292.15．4【分析】根据线面垂直的性质定理，即可直接得出结果.【详解】由直线与平面垂直的性质定理，可知A

B的中点到的距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长，即3542+=.故答案为4【点睛】本题主要考查空间距离的问题，熟记线面垂直的性质即可，属于常考题型.16．2【分析】分别以点A为坐标原点，A

B为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，分别求出AM和AB的坐标，然后计算求值即可.【详解】分别以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，如下图：所以()2,0B，设()0,Cy，所以200,22yM++

，即1,2yM，所以1,2AMy=，()2,0AB=uuur，所以12022yAMAB=+=.故答案为：2.【点睛】方法点睛：解决向量数量积的问题，通常有两种思路，第一种思路是用定义，第二种是用坐标法，把向量用坐标

去表示，使问题简单化.17．（1）8；（2）1.【分析】利用平面向量的数量积直接计算即可.【详解】（1）()2424cos608aabaab+=+=+=，（2）()0aakb−=，即2424cos60440akabkk−=−=−=，1k=

.【点晴】此题考平面向量的数量积的计算，属于简单题.18．(1)[1,3]−,(2)(),36kkkZ−+【分析】（1）先对函数化简为()fx2sin(2)16x=++，然后利用正弦函数的取值范围可求出()fx的值域；（2）

由222262kxk−++解出x的范围就是所要求的递增区间.【详解】解：2()3sin22cos3sin2cos21fxxxxx=+=++312(sin2cos2)122xx=++2sin

(2)16x=++（1）因为1sin(2)16x−+，所以12sin(2)136x−++所以()fx的值域为[1,3]−；（2）由222,262kxkkZ−++，得,36kxkkZ−+，所以()fx单调递增区间为(),36kkkZ−+

【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.19．（1）3B=；（2）623+【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出1cos2B=，进而求出B；（2）根据余弦定理可得到()2312abab+−=，再根据三角形面积公式得到8

ab=，即可求出6ab+=，进而求出ABC的周长.【详解】解：（1）coscos2cosaCcAbB+=，由正弦定理得：sincossincos2sincosACCABB+=，整理得：()sin2sincossinACBBB+==，∵在

ABC中，0B，∴sin0B，即2cos1B=，∴1cos2B=，即3B=；（2）由余弦定理得：()22212322acac=+−，∴()2312acac+−=，∵13sin2324SacBac=

==，∴8ac=，∴()22412ac+−=，∴6ac+=，∴ABC的周长为623+.20．（1）证明见解析；（2）存在，当点N是AD的中点时满足题意.证明见解析解.【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点N是AD的中点时，平面//CEN平面PAB.分别证得//EN平面PAB和

//CN平面PAB，由面面平行判定定理可证得结论.【详解】（1）因为//BC平面PAD，BC平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，所以//BCAD；（2）存在，且当点N是AD的中点时，平面//CEN平面PAB.下面给出证明：因为E、N分别是PD

、AD的中点，所以//ENPA，又EN平面PAB，PA平面PAB，所以//EN平面PAB.由（1）知，//BCAN，又N是AD的中点，12BCAD=，所以BCAN=，所以四边形ABCN是平行四边形，从而//CNBA，

又CN平面PAB，BA平面PAB，所以//CN平面PAB.又因为CNENN=，所以，平面//CEN平面PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明//CN平面PAB.21．（1）0.0150.01mn==；（

2）76.5；（3）375.【分析】（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案；（2）由频率分布直方图，直接求平均分；（3）分别求出该中学数学分数在[50,60)和[60,70)的频率和人数进一步求出答案.【详解】（1）由频率分布直方图可得(0.030.03

5)10123mnnmn++++==，解得0.0150.01mn==.（2）由频率分布直方图可得，估计该中学数学测试的平均分为(550.01650.015750.035+++850.03950.01)1076.5+=.（3）因为该中学数学

分数在[50,60)的频率是0.01100.1=，所以估计该中学数学分数在[50,60)的人数是15000.1150=；同理，因为该中学数学分数在[60,70)的频率是0.015100.15=，所以估计该中学数学分数在[60,70)的人数是15000

.15225=.所以估计该中学数学分数在[50,70)的人数为150225375+=.22．（1）证明见解析；（2）33【分析】（1）由菱形的性质有BDAC⊥，勾股定理知PAAB⊥，结合面面垂直的推论可得PABD⊥，根据线面垂直的判定证垂

直即可；（2）由PA⊥面ABCD即可计算PACDV−，结合已知条件可求三棱锥PAMC−的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD是菱形，且2.ABAC==∴BDAC⊥，又在△PAB中2ABPA==，22PB=，即90PAB=，

∴PAAB⊥，又面PAB⊥面ABCD，面PAB面ABCDAB=，PA面PAB，∴PA⊥面ABCD，而BD面ABCD，有：PABD⊥，PAACA=，∴BD⊥平面PAC；（2）由（1）知：PA⊥面ABCD，有1123||222sin60363PACDACDVPA

S−===，而——MPACPAMCVV=，且——12PACPACDMVV=，∴—33PAMCV=【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三

棱锥的体积.