【文档说明】湖北省重点高中智学联盟2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(12)页，795.616 KB，由管理员店铺上传

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湖北省重点高中智学联盟2024年春季高二年级5月联考数学试题命题学校：鄂南高级中学命题人：范裕龙张文瑜审题人：昜红艳张俊勇一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．()55xy

−的展开式中23xy的系数为（）A．50B．100C．50−D．100−2．若集合288A6AnnAn+=N，23CCnnBn==N，则AB=（）A．B．5C．5,6D．5,6,

7,8,93．若函数()fxx=在0,4上的平均变化率与它在0xx=处的瞬时变化率相等，则0x=（）A．1B．2C．3D．44．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数．．．，其中能被5整除的数共有（）个A．48B．36C．3

2D．245．已知数列na的前n项和为nS，且满足12a=，111nnSSnn+−=+，则数列18nnnaaa++的最大项为（）A．136B．130C．388D．1156．已知直线ykxb=+是曲线()exfx=与()2024e202

4xhx+=−的公切线，则k=（）A．20232024B．1C．20242025D．27．高二年级举行“诵读中国”经典诵读大赛，高二（1）班至高二（4）班每班有1名男生和1名女生参选，现从这8名同学中随机选出2名，下列结果错误的是（

）A．“选出的同学都是男生”的选法有6种B．“选出的同学不是同班同学”的选法有24种C．“正好选出了一个男生和一个女生”的选法有16种D．“选出了一个男生和一个女生，且两人不是同班同学”的选法有10种8．已知函数()fx满足()()22fxfx+

=−，且()1fx+为偶函数，当1,3x时，()lnxfxx=，若关于x的不等式()()20fxtfx−在1,99−上有且只有26个整数解，则实数t的取值范围是（）A．ln20,2B．ln2ln3,23C．ln3,1

3D．()10,e−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．高二年级早读时间是7时10分，甲

同学每天早上上学有三种方式：步行，骑自行车或乘出租车，概率分别为0.2，0.5，0.3；并且知道他步行，骑自行车或乘出租车时，迟到的概率分别为13，14，112，那么以下正确的是（）A．甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学

是互斥事件B．甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学相互独立C．甲同学迟到的概率是730D．若已经知道他今早迟到了，则他今早是步行上学的概率为41310．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，

我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，3，第1次“和扩充”后得到数列1，4，3；第2次“和扩充”后得到数列1，5，4，7，3；依次扩充，记第()*nnN次“和扩充”后所得数列的项数．．记为nP，所有项．的和记为na，数列na

的前n项为nS，则（）A．121nnP+=−B．满足2024nP的n的最小值为11C．131nna+=−D．1323nnSn+=+−11．定义在)0,+上的函数()esinaxfxx=，其中0a，记nx为()fx的从小到大的第()*Nnn个极值点，则以下正确的是（）A．当1a

=时，()fx在πx=处的切线方程为()πeπyx=−B．121sin1xa=+C．()fx在区间π,π2存在唯一极大值点D．()nfx为等比数列三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．等比数列na的前n项和为nS，且数列555nnSS+−的公

比为32，则20252022aa=______．13．设随机变量()21,XN，若()325PX=，则()12PX=______．14．如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格．已知某质点从A出发，只能

沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为102pp，向上走的概率为12p−，向左走的概率为14，向下走的概率为14，且每一步之间相互独立．设按最短路径从A到达B的概率记为()fp

，则当()fp取得最大值的时候p的取值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列na的前n项和为31nnS=−，其中n为正整数．

（1）求数列na的通项公式；（2）若23331loglog22nnnbaa++=，求数列nb的前n项和nT．16．（15分）一个盒子里有大小相同的5个小球，其中2个白球和3个红球．（1）一次性从盒子中抽3个小球，抽出来的是1个白球和2

个红球的概率；（2）有放回地抽3次小球，每次抽1个，求抽出白球次数X的分布列和均值．17．（15分）已知二项式()201212nnnxaaxaxax+=++++，且其二项式系数之和为64．（1）求n和3a；（2）求012naaaa++++；（3）求122naana+++

．18．（17分）已知双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线上一点与右焦点()2,0F的最短距离为2．（1）求双曲线的方程；（2）O为坐标原点，直线2xty=+与双曲线的右支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的

下方．（ⅰ）求实数t的取值范围．（ⅱ）设1S、2S分别为AOC△的面积和BOD△的面积，求12SS+的最大值．19．（17分）已知函数()322133fxxaxax=+−，aR（1）讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，以()()00,0Af为切点，作直线1

l交()fx的图像于异于0A的点()()111,Axfx，再以1A为切点，作直线2l交()fx的图像于异于1A的点()()222,Axfx，…，依此类推，以()(),nnnAxfx为切点，作直线1nl+交()fx的图像于异

于nA的点()()111,nnnAxfx+++，其中nN+．求nx的通项公式．（3）在（2）的条件下，证明：12311111111e1111nxxxx++++++++湖北省重点高中智

学联盟2024年春季高二年级5月联考数学参考答案一、选择题：题号12345678答案CAABCBDB1．【详解】()()233235C550xyxy−=−，故选：C．2．【详解】由288A6AnnAn+=N，则()()288876nnnn+

−−，解得56n，所以6A=，由23CCnnBn==N，解得5n=，所以5B=，所以AB=．故选：A．3．【详解】()fxx=在0,4上的平均变化率为12，令()12001122fxx−==；则01x

=；故选：A．4．【详解】分成两类：①个位是0，有25A20=；②个位是5，先填百位再填个位，有4416=种，故一共有36种；故选：B．5．【详解】因为111nnSSnn+−=+，所以nSn是以1为公差的等差数列，又1121Sa

==，所以()211nSnnn=+−=+，2nan=则()()()2181821829829nnnannaannnnnn++===++++++，因为88929942nnnn+++=+，当且仅当22n=时等号成立，所以当2n=时，

2310130aaa=，当3n=时，3411388aaa=，故数列18nnnaaa++的最大项为388．6．【详解】设直线ykxb=+与曲线()fx相切于点()111,Pxy，与曲线()hx相切于点()222,Pxy，由

于()exfx=，()2024e2024xhx+=−，所以()exfx=，()2024exgx+=，11exy=，220242e2024xy+=−，所以由点()111,Pxy在切线上，得切线方程为()111eexxyxx−=−，由点()222,

Pxy在切线上，得切线方程为()22202420242e2024exxyxx++−+=−，故()()12122024202412eee1e12024xxxxxx++=−=−−解得()121e2024xxx−=−，1e1x=．1e1xk==．故选：B．7．【详解】“选

出了一个男生和一个女生，且两人不是同班同学”的选法有1143CC12=种，故选：D．8．【详解】函数()fx是以4为周期的周期函数，当1,3x时，()lnxfxx=，所以()21lnxfxx−=，当1ex时，()0fx，函数()fx递增；当e3x时，()0fx

，函数()fx递减；当ex=时，函数()fx取得极大值()1efx=，作出函数()fx在(1,3−上的图象，因为()ln222f=，()ln333f=，所以()()32ff，因为不等式()()20fxtfx−在1,99−上有且只有2

6个整数解，所以不等式()()20fxtfx−在(1,3−上有且只有1个整数解，当()0fx=时，不符合题意，故不等式()fxt在(1,3−上有且只有1个整数解为3，又因为1,99−共有25个周期

，整数解个数为25126+=个，则()()23ftf；故选：B．二、选择题：题号91011答案ADBDBCD9．【详解】由互斥的定义知，A项正确，由事件相互独立的定义知，B项错误；设A=“甲同学迟到”；1B=“步行”；2B=“骑自行车”；3B=“乘出租车”，则()115PB=，()113PAB

=，()212PB=，()214PAB=，()3310PB=，()3112PAB=由全概率公式得：()()()()()()()112233PAPBPABPBPABPBPAB=++111131135324101260=++=．C项错误；由题意可知所求概率为()1

PBA，由贝叶斯公式得：()()()()()()111111453131360PBPABPABPBAPAPA====；D项正确．10．【详解】数列1，3第n次拓展后的项数为nP，则13P=，25P=，根据拓展

规则可知，121nnPP+=−，即()1121nnPP+−=−，数列1nP−是等比数列，首项为2，公比为2，12nnP−=，即21nnP=+；故A项错误；由212024nnP=+，即22023n，解得11n

，故B项正确；根据拓展规则可知，()12434nnnnaaaa+=+−=−，()1232nnaa+−=−，又126a−=，数列2na−是等比数列，首项为6，公比为3，126323nnna−−==，所以()231nna=+；故C项错误；()23112323332323n

nnnSaaaann+=++++=++++=+−，故D项正确．11．【详解】()()()2esincose1sinaxexfxaxxax=+=++，其中21sin1a=+，2cos1aa=+，π02；当1a=时，()fx在πx=处的切

线斜率为()ππef=−，故A项错误；令()0fx=，由0x得πxk+=，*Nk当()2π21πmxm−+−，*Nm，()0fx；当()()21π22πmxm+−+−，*Nm，()0fx

；因此，当πxk+=，*Nk时，()fx取得极值，所以πnxn=−，*Nn1πx=−，121sinsin1xa==+，故B项正确；当π,π2x，π,π2x+++，则()sinyx=+在π,π2单调递减，唯一0

π,π2x，使()0sin0x+=；0π,2xx，()0fx；()0,πxx，()0fx；故()fx在区间π,π2存在唯一极大值点0x；故C项正确；()()()πesinesinπnanaxnnfxxn−==−；()0nfx()

()()()()()11πesin1πeesinπanxnaxannnfxfxn+−+−+−==−−是常数；故D项正确．三、填空题：12．【详解】设na的公比为q，则555nnSS+−的公比为532q=，则na的公比为2，则3202520228aqa=

=．13．【详解】()()()111212210PXPX=−−=．14．【详解】设()34471C2fppp=−，则()()322434443777111C4C3C27222fpppppppp=−−−=−−当20,7p

时，()0fp，()fp单调递增；当21,72p时，()0fp，()fp单调递减．故当27p=时，()fp取得最大值．四、解答题：15．解：（1）当2n时，1113323nnnnnnaSS−−−=−=−=

，而当1n=时，112aS==满足．故123nna−=，Nn+．（2）()()1111212nbnnnn==−++++．1234nnTbbbbb=+++++()()111233412nn=+++++111111233412nn=−+−++−++

1122n=−+故1122nTn=−+．16．解：（1）设抽出来的是1个白球和2个红球的事件为A，则总体事件数为：35C10=，满足条件的为：1223CC6=，()63105PA==．（2）每一次抽出白球的概率为25．X的所有可能取值为0，1，2，3，则23

,5XB，X的分布列为：X0123P2712554125361258125故()26355EX==．17．解：（1）二项式系数之和264n=，则6n=，()612x+展开式的通项()6166C12C2rrrrrrrTxx−+=

=，其中3a为3x前面的系数，令3r=，则33362160aC==．（2）1x=，则6012363729aaaaa+++++==．（3）对二项式两边求导，()52512362612236xaaxaxax+=+++．令1x=，则51236263236aaaa=

+++，故12362362916aaaa+++=．18．解：（1）设双曲线22221xyab−=的焦距为2c，且2c=，因为()2,0F到直线0bxay−=的距离为2222bba=+，故2b=，则222acb=−=．故双曲线的方程为：22122xy−=．（2）（ⅰ）设()11,Axy，

()22,Bxy，联立直线与双曲线的方程2222xtyxy=+−=，则()221420tyty−++=2212212210Δ884121tttyytyyt−=+−+=−=−因为直线与双曲线右支交于两点，故122201yyt=−，

则11t−，故t的取值范围为()1,1−．（3）（ⅱ）由（ⅰ）知，()2222212121221881141ttABtyytyyyyt++=+−=++−=−原点O到直线AB的距离221dt=+设()33,Cxy，()44,Dxy，联立2220xtyxy=+−=，则()2

21440tyty−++=，34241tyyt−+=−，34241yyt=−，160=，则()222234343421161141tCDtyytyyyyt+=+−=++−=−，而21221422221CODAOBtSS

SSCDABdt−++=−=−=−△△，令)2222,2mt=+，则12224284444222422212mmSSmmm−−+====−−−++−，当2m=即0t=时取到等号．综上所述，12SS+的最大值为422−．19．解：（

1）()()()22233fxxaxaxaxa=+−=+−①若0a，当()(),3,xaa−−+时，()0fx；当(),3xaa−时，()0fx故()fx在(),a−上单调递增，在(

),3aa−上单调递减，在()3,a−+上单调递增②若0a=，则()20fxx=，则()fx在R上单调递增③若0a，当()(),3,xaa−−+时，()0fx；当()3,xaa−时，()0fx故()fx在(),3a−−上单调递增，在()3,aa−上单调递减，在(),a+

上单调递增综上所述：①当0a时，()fx在(),a−上单调递增，在(),3aa−上单调递减，在()3,a−+上单调递增；②当0a=时，则()fx在R上单调递增；③当0a时，()fx在(),3a−−上单调递增，在()3,aa−上单调递减，在(),a+上单调递增．（2）当

1a=时，()32133fxxxx=+−，()223fxxx=+−，切点321,33nnnnnAxxxx+−切线斜率：223nnxx+−，故切线方程为：()()23212333nnnnnnyxxxxxxx=+−

−++−联立得：()()2323211233333nnnnnnxxxxxxxxxx+−−++−=+−化简得：()32232336230nnnnxxxxxxx+−+++=因式分解得：()()2230nnxxxx−++=．故123nnxx+=−−上式亦满足由0A作切线而得到的1A的横坐标1

x，故13x=−()1121nnxx++=−+，则1nx+是以2−为首项，以2−为公比的等比数列故()12nnx+=−，故()21nnx=−−（3）构造()()ln1gxxx=+−，()0x()11011xgxxx−=−=++

，故()gx在()0,+上单调递减，故()()00gxg=故当0x时，()ln1xx+故()1111ln11122nnnnxx+==++−则1111ln112x++，2211ln112x+

+，……，11ln112nnx++将上式累加，得111111111111ln1ln1ln111112222nnxxx+++++++++=−+++

故12111ln1111111nxxx++++++故12311111111e1111nxxxx++++

++++