【文档说明】广东省汕头市金山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案.doc，共(8)页，1.574 MB，由小赞的店铺上传

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2023级高二年级第一学期阶段考试数学科试卷命题：许可审题：张培光注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用

黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．考试结束后，请将答题卡上交．一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线310xy+−=的倾斜角为（）A

．60B．120C．150D．30−2．若复数z满足()()11i22iz−+=−，则z=（）A．5B．3C．5D．23．已知3sin24=−，则1tantan+=（）A．43B．12−C．83D．83−4．若()2,2,1A，()0,0,1B，()2,0,0

C，则点A到直线BC的距离为（）A．2305B．305C．255D．555．已知平面00PnPP==∣，其中点0(1,2,3)P，法向量(1,1,1)n=，则下列各点中不在平面内的是（）A．(3,2,1)B．(2,5,4)−C．(3,5,4)−D．(2,4,8)−6．设直

线1l，2l的斜率和倾斜角分别为1k，2k和1，2，则“12kk是“12”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且13,24

MNONAPAN==，设向量OPxOAyOBzOC=++，则xyz++=（）A．1112B．1C．34D．568．设0ab，若3322ababab++−，则实数的最大值为（）A．222+B．4C．22+D．22二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得3分．9．已知随机事件A、B发生的概率分别为()13PA=，()16PB=，则下列说法正确的是（）A．若A与B互斥，则()12PAB=B．

若A与B相互独立，则()49PAB=C．若()19PAB=，则事件A与B相互独立D．若BA，则()13PAB=10．下列命题中正确的是（）A．若,,,ABCD是空间任意四点，则有0ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuurrB．若直线l的方向向量与平面的法向量夹角

等于130，则直线l与平面所成的角等于50C．已知向量组,,abc是空间的一个基底，则,,abbcabc++++也是空间的一个基底D．对空间任意一点O与不共线的三点,,ABC，若OPxOAyOBzOC=++（其中,,xyzR），则,,,PABC四点共面11．如图，在多面体ABCD

ES中，SA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且//DESA，22SAABDE===，MN，分别是线段BCSB，的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点DC，），则下列说法正确的是（）A．存在点Q，使得N

QSB⊥B．存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为60oC．三棱锥QAMN−体积的最大值是23D．当点Q自D向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．已知π3sin65−=

，则πcos23−=．13．求经过()2,2且在两坐标轴上截距相等的直线方程为．14．已知四边形ABCD为平行四边形，4AB=，3AD=，π3BAD=，现将ABD△沿直线BD翻折，得到三棱锥ABCD−，若13AC=，则三棱锥ABCD−的内切球与外接球表面积的

比值为．四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．本小题满分13分如图，在空间四边形OABC中，2BDDC=，点E为AD的中点，设,,OAaOBbOCc===.（1）试用向量,,abc表示向量OE；（2）若3,OAOBOCAOCBOCAOB=

====60=，求OEBC的值.16．本小题满分15分为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组)

15,25，第2组)25,35，第3组)35,45，第4组)45,55，第5组)55,65，得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；（2）从第1,2组中用分层抽样

的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.17．本小题满分15分设ABCV三个内角,,ABC的对边分别为,,abc，且()22cossinsinsinbACcBCb+=+.（1）

求A的值；（2）设3,cABC=为锐角三角形，D是边AC的中点，求DBAC的取值范围.18．本小题满分17分如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥平面,,//ABCDABADAD⊥BC，3,2PABCABAD====，13.PBE=为PD中点，点F在PC上

，且3PCFC=.（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求二面角FAED−−的余弦值；（3）线段AC上是否存在点Q，使得//DQ平面FAE？说明理由.19．本小题满分17分已知函数()fx的定义域为D，若存在常数(0)kk，使得对D内的任意x，都有

()kfxfx=，则称()fx是“反比例对称函数”．设()()281616loglog,fxxgxaxmxax==+−．（1）判断函数()2816loglogfxxx=是否为“反比例对称函数”，并说明理由；（2）当1a=时，若函数()fx与()gx的图像恰有一个交点，求m的值；（3）

当1a时，设()()()hxfxgx=−，已知()hx在()0,+上有两个零点12,xx，证明：1216xx．2023级高二年级第一学期阶段考试参考答案一．选择题题号1234567891011答案CADABDCA

ABCACACD二．填空题12．257；13．xy=或4=+yx；14．575。三．解答题15．本小题满分13分【详解】（1）因为2BDDC=，所以()1133BDBCOCOB==−，所以()121333ODOBBDOBOCOBOBOC=+=+−

=+，因为点E为AD的中点，所以213311112222OOBOCEOAODOA=+=++111136611322OBOAaOCbc=+++=+.（2）因为BCOCOB=−，113612OOEOABOC=++，所以()111236OEBCOA

OBOCOCOB=++−221111126623OCOAOCOBOCOBOAOB=++−−=2211111111333333333.226262234++−−=−16．本小题满分15分【详解】（1）由频率分

布直方图性质知：()0.0100.0150.0300.010101a++++=，解得：0.035a=；()0.0100.015100.25+=，()0.0100.0150.035100.6++=，中位数位于)35,45，设中位数为m，则()0.2535

0.0350.5m+−=，解得：2957m=，即中位数为2957；平均数为()200.010300.015400.035500.030600.0101041.5++++=.（2）第1,2组的频率之比为0.010:0.0152:3=，抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为

,AB；第2组应抽取3人，记为,,CDE，则从5人中随机抽取2人，有,AB，,AC，,AD，,AE，,BC，,BD，,BE，,CD，,CE，,DE，共10个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有,AB，,CD，,CE，,DE，

共4个基本事件；两人恰好属于同一组别的概率42105p==.17．本小题满分15分【详解】（1）因为2(2cossin)sinsinbACcBCb+=+，所以利用正弦定理可得2sin(2cossin)sinsinsinsin

BACCBCB+=+，又B为三角形内角，sin0B，所以22cossinsinsin1ACCC+=+，可得1cos2A=，因为(0,π)A，所以π3A=；（2）3c=，π3A=；由正弦定理3sinsinsinabCAB==，则31π3cossin3sin22

3sin333sinsinsin2tan2CCCBbCCCC++====+，又ABCV为锐角三角形，则π022ππ032CBC=−，得ππ62C，则3tan3C，故333(2tan22bC=+,23),2

11π()||||cos223DBACCAABACACABAC=+=−+221313||2222ACACbb=−+=−+，即()21322fbbb=−+，二次函数的开口向下，对称轴为32b=，()fb在3(2，23)单调递减，故DBAC的取值范围((23)f,3())2f，

即3(3,)8−．18．本小题满分17分【详解】（1）在PAB中，22222232(13).PAABPB+=+==所以90PAB=，即ABPA⊥.又因为ABAD⊥，在平面PAD中，PAADA=，所以AB⊥平面PAD.（2）因为平面

PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,,ABCDABABADAD=⊥平面ABCD，所以AD⊥平面PAB，由PA平面PAB，得ADPA⊥.由（2）知ABPA⊥，且已知ABAD⊥，故以A为原点，建立如图空间直角坐标系Axyz−，则()2,0,0D，()()0,0,3,3,2,0PC

.所以()()()()0,0,3,2,0,0,3,2,0,3,2,3APADACCP====−−，因为E为PD中点，所以()131,0,22AEAPAD=+=.由3PCFC=知，()1243,2,0

1,,12,,1333AFACCFACCP=+=+=+−−=.设平面AEF的法向量为(),,nxyz=r，则0,0,nAEnAF==即3024203xzxyz+=++=令2z=，则3,3x

y=−=.于是()3,3,2n=−.由（1）知AB⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量为()0,2,0AB=.所以32322cos,222994nABnABnAB===++，由题知，二面角FAED−−为锐角

，所以其余弦值为32222；（3）设Q是线段AC上一点，则存在0,1使得AQAC=.因为()()3,2,0,2,0,0ACDA==−，所以()32,2,0DQDAAQDAAC=+=+=−.因为D

Q平面AEF，所以DQ//平面AEF，当且仅当0DQn=，即()()32,2,03,3,20−−=.即()()32323020−−++=.解得2=.因为20,1=，所以线段AC上不存在Q使得DQ//平面AEF.19．本小题

满分17分【详解】（1）()2816log?logfxxx=是“反比例对称函数”，理由如下：由题可知()282216116log?loglog?log3fxxxxx==，可知2216116log?lo

g3fxxx=，所以()16fxfx=，故()fx是“反比例对称函数”.（2）由题可知，0x，此时()16gxxmx=+−，因为函数()fx与()gx的图像恰有一个交点，即()()0fxgx−=有一个解，得2222116

1616116loglog0loglog33xxmmxxxxxx−−+==+−，令()2216116log?log3Hxxxxx=+−，得()mHx=仅有一个解，显然()221616116log?log3HxxHxxxx=+−=，因为()mHx=，

则有16mHx=，要使()mHx=仅有一个解，只需164xxx==，或4x=−（舍）所以()2043mH==.（3）不妨先设1a=，由题可知()2211616log?log3hxxxmxx=−−+，显然()221616116log?log3hxxmhxxxx=+−+=

，已知有两个零点12,xx，则两个零点满足1216xx=，此时1216xx=，即，函数()2816log?logfxxx=与函数()16gxxmx=+−，的两个交点横坐标满足1216xx=；可知()()228221641log?logloglog33fxxxxx==−利用复合函数单调性可知

，当()0,4x时，()fx单调递增；()4,x+时，()fx单调递减；由对勾函数性质可知()16gxxmx=+−，在()0,4x时，此时()gx单调递减；在()4,x+时，此时()gx单调递増，得两函数示意图如右图。当1a，此时()16gxaxmax=+−

，相当于函数()()1616gxxmgaxaxmxax=+−=+−，故所有的横坐标缩小为原来的1a倍，故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小如右图所示，故1216xx.