【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高三第一次高考模拟考试 数学 答案.docx，共(26)页，2.423 MB，由小赞的店铺上传

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2023年哈三中高三学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合202320231log01xMyyxNyyxx−====，，，，则MN=（）A.1020

23yyB.01yyC.112023yyD.【答案】D【解析】【分析】化简集合M，N，后由集合交集定义可得答案.【详解】集合M表示函数2023xy−=，在()1,x+上的值域，则102023

Myy=；集合N表示函数2023logyx=，在()0,1x上的值域，则0Nyy=.后由交集定义可知MN=.故选：D2.在ABC中，“0ABBC”是“ABC是钝角三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】【分析】由0ABBC得90B，充分性成立，ABC是钝角三角形，钝角不一定是角B，必要性不成立，即可得答案.【详解】解：设AB与BC的夹角为，因为0ABBC，即cos0ABBC，所以cos0，90，又为ABC内角B的补角

，所以90B，ABC是钝角三角形；当ABC为钝角三角形时，B不一定是钝角．所以“0ABBC”是“ABC是钝角三角形”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，考查向量数量积的概念，是基础题.3.定义在R

上的奇函数()fx满足()()11fxfx+=−．当0,1x时，()33fxxx=+，则()2023f=（）A.4−B.4C.14D.0【答案】A【解析】【分析】利用换元法与条件()()11fxfx+=−得到()()2fxfx+=−，再利用(

)fx的奇偶性求得()fx的周期为4，从而利用()fx的周期性即可得解.【详解】因为()()11fxfx+=−，令1tx−=+，则12xt−=+，所以()()2ftft−=+，即()()2fxfx+=−，因为()fx是定义在R上的奇函数，所以()()fxfx−

=−，所以()()2fxfx+=−，则(4)(2)()fxfxfx+=−+=，故()fx的周期是4，因为当0,1x时，()33fxxx=+，所以()()()()()2023505433114fffff=+==−=−=−.故选：A.4.苏轼是北宋著名的文学

家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平

行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（）A.秋千绳与墙面始终平行B.秋千绳与道路始终垂直C.秋千板与墙面始终垂直D.秋千板与道路始终垂直【答案】B【解析】【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位

置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化，而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：B.5.已知()1,

0A−，()10B,，若直线()2ykx=−上存在点P，使得90APB=，则实数k的取值范围为（）A.33,33−B.33,00,33−C.33,33−D.33,,33

−−+【答案】B【解析】【分析】根据题意分析可得直线()2ykx=−与圆O：221xy+=有公共点（公共点不能是A、B），结合直线与圆的位置关系分析运算.【详解】若90APB=，则点P在以()1,0A−，()10B,为直径的圆上（点P不能是A、B），∵以(

)1,0A−，()10B,为直径的圆的圆心为()0,0O，半径1r=，则圆O的方程为221xy+=，即直线()2ykx=−与圆O：221xy+=有公共点（公共点不能是A、B），当直线()2ykx=−与圆O：221xy+=有

公共点时，则()22211kk−+−，解得33,33k−；当直线()2ykx=−与圆O：221xy+=的公共点为A或B时，则直线()2ykx=−即为x轴，即0k=；综上所述：实数k的取值范围为33,00,33−.

故选：B.6.长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（）A.155B.355C.14D.13【答案】B【解析】【分析】利用均匀分组的原理，再结合古典概型的概率公式求解

即可.【详解】由已知条件得将12人任意分成3组，不同的分组方法有444238134CCCA种，3个种子选手分在同一组的方法有14948422CCCA种，故3个种子选手恰好被分在同一组的概率为1448422444

1284339CCCA3CCC55A=，故选：B.7.在边长为3的菱形ABCD中，60BAD=，将ABD△绕直线BD旋转到ABD，使得四面体ABCD外接球的表面积为18π，则此时二面角ABDC−−的余弦值为（）A.13−B.12−C.13D.33【答案】A

【解析】【分析】由已知条件，得出AEC是二面角ABDC−−的平面角，作BCD△的中心F，//FGHA，//AGHC，AGGFG=，知四面体ABCD外接球的球心O在GF上，根据勾股定理求出6AH=，32=HE，进而可得二面角ABDC−−的余弦值．【详解】由题意可知，A

BD△和BCD△均为正三角形，设E为BD中点，延长CE，作AHCE⊥交CE于点H，可得AEC是二面角ABDC−−的平面角，作BCD△的中心F，则F在CE上，且2FCEF=，作//FGHA，//AGHC，AGGFG=，可知四面体ABCD外接球的球心O在GF上，又24π18π

R=，322R=，在RtAGO和RtCFO中，由323323CF==，32EF=，22222RCFOFOGAG=+=+，222AEAHHE=+，解得6AH=，32=HE，312cos3332AEH==，二面角ABDC−−的余弦

值为13−故选：A8.已知ln1.21a=，0.21b=，0.2e1c=−，则（）A.abcB.cabC.cbaD.bca【答案】C【解析】【分析】构造函数()()ln1fxxx=+−，利用导数研究其单调性，从而得到ab；再直接计算51.212.5937=，从而得到5e

1.21，进而得到cb；由此得解.【详解】令()()ln1fxxx=+−，)0,1x，则()11011xfxxx−=−=++，故()fx在)0,1上单调递减，所以()()0.2100ff=，即()ln1.210.210−，即()ln1.210.21，

故ab；因为51.211.211.211.211.211.212.5937==，e2.718，所以5e1.21，故0.2e1.210.211=+，即0.2e10.21−，即cb；综上：cba.故选：C

.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中

，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知函数()πsin26fxx=−，则下列说法中正确的是（）A.()yfx=的最小正周期为πB.()yfx=的图象关于π3x=对称C.若()yfx=的图象向右平移（0）

个单位后关于原点对称，则的最小值为5π3D.()fx在ππ,62−上的值域为1,1−【答案】BD【解析】【分析】根据正弦型三角函数的图象变换、周期性、对称性、值域逐项判断即可得答案.【详解】对于A，函数()πsin26yfxx==−的图象可由函数()π

sin26fxx=−变换得到，作出πsin26yx=−的图象如图所示：又图象可知，函数()yfx=的最小正周期为π2，故A不正确；对于B，又ππππsin2sin13362f=−==，所以()

yfx=的图象关于π3x=对称，故B正确；对于C，()yfx=图象向右平移（0）个单位后得函数的()()ππsin2sin2266fxxx−=−−=−−关于原点对称

，则π2π6k−−=，Zk，解得ππ122k=−−，Zk，又0，所以的最小值为5π12，故C不正确；对于D，当ππ,62x−，则ππ5π2,626x−−，所以πsin21,

16x−−，函数的值域为1,1−，故D正确.故选：BD.10.已知圆锥SO（O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为3，底面半径为5．若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是（

）A.圆锥SO的侧面积为35πB.SPQ面积的最大值为25C.三棱锥O-SPQ体积的最大值为53D.圆锥SO的内切球的体积为4π3【答案】AC【解析】【分析】A选项，圆锥的侧面展开图为扇形，母线为扇形半径，底面圆周长为扇形

弧长，据此可得圆锥的侧面积；B选项，当sinPSQ最大时，SPQ面积最大；C选项，当OPQ△面积最大时，三棱锥O-SPQ体积最大；D选项，由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径.【详解】A选项，因底面半径为5，则底面圆周长为25π，则侧面展开扇形的圆心角为：25π3，则

侧面积为：12593523ππ=.故A正确；B选项，当sinPSQ最大，即2πPSQ=时，SPQ面积最大.则SPQ面积最大值为：1922SPSQ=，故B错误；C选项，13OSPQSOPQOPQVVSOS−−==，则当π2POQ=时，OPQS取最大值15552

2=，又222OSSQOQ=−=，则三棱锥O-SPQ体积的最大值为：1552323=.故C正确；D选项，如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径，设内切球半径为r，内切球球心为I，连接，IPIQ.则()1122ISPIPQISQSPQSSSSSPPQSQrPQSO++=++

=3552r−=.则内切球体积为：343554323ππ−.故D错误.故选：AC【点睛】11.已知抛物线2:4Cxy=，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中

正确的是（）A.若点()2,3A，则PAPF+的最小值为4B.过点()3,2B且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条C.若正三角形ODE的三个顶点都在抛物线上，则ODE的周长为83D.点H为抛物线C上的任意一点，()0,1G−，HGtHF=，当t取最大值时，GFH的面积为2【答

案】AD【解析】【分析】A选项，过P点做准线的垂线，垂足为1P.由抛物线定义，1PAPFPAPP+=+，据此可得最小值；B选项，过点B且与抛物线只有一个公共点的直线有两类，抛物线的切线与斜率不存在的直线；C选项，设()()1122,，,D

xyExy，由=ODOE及D，E两点在抛物线上可得12yy=，后可得ODE的周长；D选项，设()，Hxy，则()()22222141211xyytyyxy++==++++−，由基本不等式可得t取最大值时，1y=，后可得

GFH的面积.【详解】A选项，过P点做准线1y=−的垂线，垂足为1P.则由抛物线定义，有1PFPP=.则1PAPFPAPP+=+，则当1，，APP三点共线时，PAPF+有最小值4.故A正确；B选项，当过点B直线

斜率不存在时，直线方程为3x=，此时直线与抛物线只有一个交点；当过点B直线斜率存在时，设直线方程为：()32ykx=−+，将直线方程与抛物线方程联立，则241280xkxk−+−=.令216483201kkk=−+==或2k=，则直线1yx=−或24

yx=−为抛物线切线.综上，过点()3,2B且与抛物线只有一个公共点的直线有3条，故B错误；C选项，设()()1122,，,DxyExy，因三角形ODE为正三角形，则ODOE=22221122xyxy+=+，又22112244，xyxy==，则()()()22122121214

40yyyyyyyy−=−−++=.因120，yy，则21210yyxx=+=.又由图可得6πDOF=.则22222223433124xxyyxy====，则()()43124312,，,DE−.得OD

E的周长为243.故C错误；D选项，设()，Hxy，则()()22222141211xyytyyxy++==++++−4411211222yyyy=++=+++，当t取最大值时，1y=.取()21，H，则此时GFH

的面积为1122222GFGx==.故D正确故选：AD12.已知0,0ab且1b−，()()e1ln1aabb=−+，则下列说法中错误的是（）A.abB.若关于b的方程1bma+=有且仅有一个解，则em=C.若关于b的方程1bma

+=有两个解1b，2b，则122ebb+D.当0a时，11222abb++【答案】BC【解析】【分析】对于A，构造(),0e1xxfxx=−，然后得到其单调性即可判断；对于B，转化为eaya=与ym=的交点问题；对于C，结合前面结论得到221121eeebbbbbt

b−===，代入计算即可判断；对于D，转化为即11e122eaaa+−，即可判断.【详解】.因为()()e1ln1aabb=−+，化简可得()ln1e1abab+=−令(),0e1xxfxx=−，则()()(

)2e11e1xxxfx−−=−，令()()e11xhxx=−−，则()()()e1e1exxxhxxx=−+−=−，故0x时，()0hx，函数()hx在(),0−上递增；0x时，()0hx，函数()hx在()0,+上递减；所以()()00e10hxh=−=即()0fx，

所以函数()fx单调递减，所以()ln1ab=+，且令()()e1xgxx=−+，则()e1xgx=−，令()0gx，得0x，则()gx递增；令()0gx，得0x，则()gx递减；所以()()00gxg=，即e1xx+，

所以e1aba=−成立，故A正确；由1eabmaa+==转化为eaya=与ym=的交点问题，则()2e1aaya−=，如图所示，当(),0a−时，0y，则eaya=递减，当0a时，0y，当()1,a+时

，0y，则eaya=递增，当()0,1a时，0y，则eaya=递减，即当1a=时，函数有极小值e，所以只有一个解时em=或0m，故B错误；由1eabmaa+==，由图易知，不妨设12bb，则1201bb，则有1212eebbbb=所以221121e

eebbbbbtb−===，所以21btb=，代入可得11etbbt−=，()11ebtt−=取对数可得()11ln1ln1tbttbt−==−，即21ln,11ttbtbtt==−所以()()121ln2e11ttbbtt++=−−

是否成立，即()()1ln2e1ttt+−，令()()()1ln2e1,1mttttt=+−−，取et=时，()()ee12ee10m=+−−不成立，故C错误；因为()11221abb++，即11e122eaaa+−211e

1eaaa+−2ee1e1aaaa+−所以()()22ee1e1e1aaaaa+−=−令()2e12e,0aazaaa=−−，只需证明()0za成立即可，()()()22e21e2ee10aaaazaaa=−+=−−，所以

()()00zaz=成立故D正确；【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离

，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()41212xx−−的展开式中，常

数项为____________【答案】10−【解析】【分析】写出展开式通项，令x指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解.【详解】()412x−的展开式通项为()()144C2C2rrrrrrTxx+=−=−，其中0,1,2,3,4r，的因为()()()444112121

2212xxxxx−−=−−−，在()()1141C20,1,2,3,4rrrrTxrx−+=−=中，由10r−=，可得1r=，在()()1142C20,1,2,3,4kkkkTxk++−=−=中，得0k=，所以，展开式中，常数项为()10

44C22C10−−=−.故答案：10−.14.已知4xy+=，且0xy，则21xyy+−的最小值为______．【答案】2【解析】【分析】根据基本不等式凑项法和“1”的巧用即可求得最值.【详解】因为4xy+=，所以()24xyy

−+=，又0xy，所以0xy−则()212114141222422444yxyyxyxyyxyyxyyxyyxyy−−+=+−+=++++=−−−−，当且仅当4yxyxyy−=−且4x

y+=，即3,1xy==时，等号成立，所以21xyy+−的最小值为2.故答案：2.15.设nS是数列na的前n项和，23nnSan=+−，令4(log1)nnba=−，则12125125bbb+++=_

_____．【答案】31【解析】【分析】先利用na与nS的关系式，分类讨论1n=与1n两种情况，推得数列1na−是等比数列，进而得到1(1)2nbn=−，从而推得nb是等差数列，由此利用等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】已知nS是数列na的前n项和，23nnSan=+−，

为为当1n=时，11122aSa==−，所以12a=，当1n时，1124nnSan−−=+−，所以11221nnnnnaSSaa−−=−=−+，即121nnaa−=−，所以()1121nnaa−−=−，又111a−=，所以数列

1na−是以1为首项，2为公比的等比数列，故112nna−−=，则()14211log1log2(1)22nnnban−=−==−，故()()1111111222nnbbnn+−=+−−−=，10b=，所以数列nb是以0为首项，0.5为公差的等差数列，

则()1212511250125112311251252bbb+−+++==.故答案为：31.16.如图，椭圆()222210xyabab+=与双曲线()222210,0xymnmn−=有公共焦点(

)1,0Fc−，()2,0Fc()0c，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e，点P为两曲线的一个公共点，且1260FPF=，则221213ee+=______；I为12FPF△的内心，1,,F

IG三点共线，且0GPIP=，x轴上点,AB满足AIIP=，BGGP=，则22+的最小值为______．【答案】①.4②.312+【解析】【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，

求出12,PFPF，在利用余弦定理建立关于离心率的齐次方程解出即可；第二空：由I为12FPF△的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出1e=及2e=，代入22+中利用基本不等式求最值即可.【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为122FFc=，椭圆的长轴长为2

a，双曲线的实轴长为2m，不妨设点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PFPFm−=，由椭圆的定义：122PFPFa+=，可得：12,PFmaPFam=+=−，又1260FPF=，由余弦定理得：2222121224PFPFPFPFFFc+−==，即()()()()2224m

aammaamc++−−+−=，整理得：22234amc+=，所以：2222221231344amccee+=+=；②I为12FPF△的内心，所以2IF为12PFF的角平分线，则有11PFIPAFAI=，同理：22PFIPA

FAI=，所以1212PFPFIPAFAFAI==，所以12121212IPPFPFaAIAFAFce+===+，即1AIeIP=，因为AIIP=，所以AIIP=，故1e=，I为12FPF△的内心，1,,FIG三点共线，即1FG为1PFB的角平分线，则有2121GBBFBFPGP

FPF==，又21BFBF，所以1221222BGBFBFcePGPFPFm−===−，即2eBGGP=，因为BGGP=，所以BGGP=，故2e=，所以()222222121222121134eeeeee+=+=++22221212222221213311313421442

eeeeeeee=++++=+，当且仅当221221222133eeeeee==时，等号成立，所以22+的最小值为312+，故答案为：4，312+.【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，（1）直接法：由题意知道,ac利用公式

求解即可；（2）一般间接法：由题意知道,ab或,bc利用,,abc的关系式求出,ac，在利用公式计算即可；（3）齐次式方程法：建立关于离心率e的方程求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC外接圆的半径为R，且()2212coscosbcRBC=+．（1）求角A的大小；（2）若D为BC边上的点，2ADBD==，1CD=，求tanB．【答案】（1）π3A=（2）3tan3B=【解析】【分析】（1

）根据题意，由正弦定理可得24sinsinbcRBC=，再由三角恒等变换化简即可得到结果；（2）根据题意，可得2π3CB=−，再由正弦定理化简，即可得到结果.【小问1详解】由正弦定理可得，2sinsinbcRBC==，24sinsinbcRBC=2sinsin12coscosBCBC=+，

1cos()cos2BCA+=−=−1cos2A=，(0,π)A，所以π3A=【小问2详解】2CDAB=，2π3CB=−sinsinCDADDACC=，即2sinsin33CDADBB=−−3131cos

sin2cossin2222BBBB+=−33sincos22BB=3tan3B=18.已知递增等差数列na满足：26727aaa++=，1a，2a，5a成等比数列．（1）求数列na的通项公式；（2）若12122nannnnabaa+++=

，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）122233nnTn+=−+【解析】【分析】(1)由已知可得()()2111131227,4adaadad+=+=+，然后联立求解即可得na;(2)把na的通项公式代入12122nannnnabaa+++=，然后再利

用裂项相消法求和即可得nT.【小问1详解】设递增等差数列na的公差为d,d>026727aaa++=,1a，2a，5a成等比数列,,()()12111312274adaadad+=+=+，解1

12ad==；∴21nan=−【小问2详解】由（1）可得，12122nannnnabaa+++=1(21)222(21)(23)2321nnnnnnnn+−==−++++1232324211b2222222()(

)()()5375972321222332nnnnnTbbbnnn++=++++=−+−+−++−++=−+19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，PBBC⊥．（1）求点A到平面PBC的

距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为3010，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．【答案】（1）62（2）55【解析】【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，OPOBADOB⊥⊥，可得3OB=，6PB=.后由等体积法可求得点A到平面PBC的

距离；（2）由（1），如图建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为3010，可得232,,3333E−.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【小问1详解】

取AD中点O，连接OB，OP.∵PAD为等边三角形，∴OPAD⊥，OA=1，3OP=.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，OP平面PAD，∴OP⊥平面ABC.又∵OB平面ABC

D，∴OPOB⊥.∵PBBC⊥，∴//BCAD，∴PBAD⊥.又∵OPAD⊥，OP平面POB，PB平面POB，OPPBP=，∴AD⊥平面POB.又∵OB平面POB，∴ADOB⊥.∴3OB=，6PB=设点A到平

面PBC的距离为h，则--=APBCPABCVV即1133PBCABCShSOP=△△，∴62h=；【小问2详解】由（1），分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则(0,0,3)P，(2,3,0)C−，()1,0,0A，()1,0,0D−，()2

33,,PC=−−，()0,0,3OP=，()2,0,0AD=−.设()01PEPC=uuruuur，则(2,3,3)PE=−−，()2333,,OEOPPEλλλ=+=−−.得E()2333,,λλλ−−，则(21,3,33)AE=−−−.又OP⊥平面

ABC，则取平面ABCD的法向量1(0,0,1)n=.设AE与平面ABCD所成的角为，则()()12223330sincos,1021333AEn−===−−++−，解得13=.则232,,3333E−，5323333,,AE=−

.设平面ADE的法向量2(,,)nxyz=，则222053230333nADxnAExyz=−==−++=.令2y=，则取平面ADE的法向量2(0,2,1)n=−，又平面ABCD的法向量1(0,0,1)n=.故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为1215cos,

55nn==.20.在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回．（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次．①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；②记摸出的红球个数为X，求随机变量X的分

布列和数学期望．（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球．已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．【答案】（1）①1528；②

分布列见解析，3()4EX=（2）4449【解析】【分析】（1）①摸两个球的总情况数为28C，恰好有一个红球的情况数为1135CC，据此可得答案；②由题可得摸出红球个数的可能情况有3种，后由题目条件可得分布列及期望；（2）设事件B=“丁取到红球”，事件C=“甲

、乙、丙三人中至少有1人取出白球”，则所求概率为()PCB∣，后由题意及条件概率公式可得答案.【小问1详解】①设事件A=“摸出的两个球中恰好有一个红球”，113528CC15()C28PA==，②X可取0，1，2，则235

28CC()CkkPXk−==，其中0,1,2k=.023528CC,(0)4C51PX===11352815,CC()81C2PX===203528CC,(2)8C32PX===故X的分布列为X012P5141528328则1533()12282

84EX=+=；【小问2详解】设事件B=“丁取到红球”，事件C=“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.当甲，乙，丙三人取得1个白球，则丁取到红球概率为214438CC4C7；当甲，乙，丙三人取得2个白球，则丁取到红球概率为124438CC3

C7；当甲，乙，丙三人取得3个白球，则丁取到红球概率为3438C2C7；当甲，乙，丙三人取得3个红球，则丁取到红球概率为3438C5C7.则所求概率为211234444433388832112344444433

338888CCCCC432C7C7C7()44()CCCCCC5432()49C7C7C7C7PBCPCBPB++===+++∣.21.已知平面内动点M到定点F（0，1）的距离和到定直线y=4的距离的比为定值12．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设动点M的轨迹为曲

线C，过点()1,0的直线交曲线C于不同的两点A、B，过点A、B分别作直线x=t的垂线，垂足分别为1A、1B，判断是否存在常数t，使得四边形11AABB的对角线交于一定点?若存在，求出常数t的值和该定点坐标；

若不存在，说明理由．【答案】（1）22143yx+=（2）存在，t=3，定点为()2,0【解析】【分析】（1）设(),Mxy，由题有：()221142xyy+−=−，化简后可得轨迹方程；（2）设过()1,0直线方程为：1xmy=+，将其与曲

线C联立，由韦达定理可知1212yymyy+=.又由对称性可知，若定点存在，其一定在x轴上，并设定点为D.后利用向量11，ABAD共线可得定点坐标.【小问1详解】设(),Mxy，由题有()221124xyy+−=

−()()22222221341314443yxyxyyx−=+−+=+=.即动点M的轨迹方程为：22143yx+=；【小问2详解】由题过()1,0直线斜率不为0，设过()1,0直线方程为：1xmy=+，将其与椭圆方程联立，2

21431yxxmy+==+，消去x得，()2234880mymy++−=.由题其判别式大于0，设()11,Axy，()22,Bxy，则()11,Aty，()12,Bty.则由韦达定理有：122

843myym−+=+，122843yym−=+，得1212yymyy+=.若存在常数t，使得四边形11AABB的对角线交于一定点，由对称性知，该定点一定在x轴上，设该定点为(),0Ds，则1A，B，D共线.又

()1221,ABxtyy=−−，()11,ADsty=−−，则()()1221()yxtyyst−−=−−()()1221221222121211ymyytyxytyxytyyssyyyy−++−+−+=−==−−()1212121221212121(1)2yyytymyyytytyyyyy

yyy−+−+−−+−−===−−−.由s为定值，则11322，tts−===.同理，若A，1B，D共线，可得32，ts==.故存在常数t=3，使得四边形11AABB的对角线交于一定点，该定点为()

2,0【点睛】关键点点睛：本题涉及与椭圆有关的轨迹方程及椭圆中的定点定值，难度较大.本题求轨迹方程方法为直接法，即将题意转化为代数语言，化简即得轨迹方程；对于定点问题，常可由对称性确定定点所在位置，后由三点共线结合向量共线或斜率相等可得定点坐标.22.已

知函数()2ln1fxxaxx=−++．（1）当a=0时，求函数()()exgxxfx=−的最小值；（2）当()yfx=的图像在点()()1,1f处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当*nN时，()211ln112knknk=++−

．【答案】（1）0（2）a=1，证明见解析【解析】【分析】（1）当a=0时，()eln1xgxxxx=−−−．利用导数，可得在0xx=时，()gx有最小值，其中001xex=.据此可得答案；（2）由切线斜率为0，

可得a；利用导数研究()fx单调性，可得11ln11nnn++，从而可得11ln1knkk=+111123nn+++++.后利用当2，Nnn时，1121nnnn+−，可证得结论.【小问1详解】当a=

0时，()eln1xgxxxx=−−−．()gx定义域为(0,)+，()11()1e1(1)exxgxxxxx=+−−=+−令()()10e，,xhxxx=−+，则21()e0xhxx=+，故()hx在(0,)+上单调递增.因(1)e10h=−，1e202h=−

，则()hx在1,12上有唯一零点0x，即()0001e0xhxx=−=.则在()00,x上，()0hx，即()0gx，()gx在()00,x单调递减.在()0,x+上，()0hx，即()0gx，(

)gx在()0,x+上单调递增.故()0min0000()e1lnxgxgxxxx==−−−，又001exx=00lnxx=−，则()000110gxxx=+−−=.即函数()gx的最小值为0；【小问2详解】由题，1()21fxaxx=−+，()01f=，则a=1；即2()l

n1fxxxx=−++，则(21)(1)()xxfxx−+−=故()fx在()0,1上单调递增，在(1,)+上单调递递减，则max()(1)1fxf==.则当(1,)x+时，2ln11xxx−++，即ln(1)xxx−ln1

xxx−.取11xn=+，其中Nn，则1ln1111nnn++11ln11nnn++.则()1111ln1ln112ln1ln12knknkn=+=++++++

111123nn+++++.又注意到1111111123123nn++++++++222121321nn+++++++−()12(21)(32)21nn=+−+−+

+−−21n=−.故211ln121(1)2knknnnk=+−+=+−.【点睛】关键点点睛：本题涉及利用隐零点求函数最值及利用函数证明数列不等式，难度较大.本题最值点不能具体求出，但能证明其存在，后利用其满足等量关系可得最值；证明

数列不等式，关键为能利用题目函数找到合适的不等式，后通过改变不等式形式及不等式放缩可证明结论.