【文档说明】甘肃省永昌县第一高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.186 MB，由小赞的店铺上传

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甘肃省永昌县第一高级中学2022-2023学年第二学期第一次月考试卷高二数学一.单项选择题(每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.抛物线214yx=焦点到准线的距

离为（）A.18B.14C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.【详解】由214yx=242xyp==，焦点到准线的距离是2p=，故选：D.2.下列式子错误的是（）A.2577C=CB.323

544C=C+CC.333553A=CAD.4356A=4A【答案】D【解析】【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.【详解】对于A，B，由组合数公式：()1*1,,,,mnmmmmnnnnnCCCCCmnmnN−−+==+知，2577C=C，323544C=C+C，所以A、B正确；对于

C，因为mmnnmmACA=得mmnnmmACA=，所以333553A=CA，所以C正确.对于D，455432120A==，36654120A=创=，4356A4A，所以D不正确.故选：D.3.若231,,,4a

a成等差数列；2341,,,,4bbb成等比数列，则233aab−等于（）A.12B.12−C.12D.14【答案】B的【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出321aa−=，32b=，求出233aab−.【详解】由题意得：324113a

a−−==，设2341,,,,4bbb的公比为q，则230bq=，23144b==，解得：32b=，2331122aab−−==−.故选：B4.开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣

传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（）A.6种B.12种C.15种D.18种【答案】B【解析】【分析】由题意被安排到A中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.【详解】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3

名防疫专家分成两组到,BC两个中学，共有：2232CA6=种方式，②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：13C3=种方式，则剩下的2名防疫专家分到到,BC两个中学，有：22A2=种方式，由分步乘法原理有：1232CA6=种方式，又由分类加

法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：6612+=种方式，故选：B.5.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函

数()fx在(),ab上的导函数为()fx，()fx在(),ab上的导函数为()fx，在(),ab上()0fx恒成立，则称函数()fx在(),ab上为“凹函数”.则下列函数在()0,2上是“凹函数”的是（）A.()sinfxxx=−B.2()sinfx

xx=+C.()lnfxxx=+D.()lnxfxexx=−【答案】B【解析】【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．【详解】对A，()()1cos,sinfxxfxx=−=，当(),2x时，()0

fx，所以A错误；对B，()2cosfxxx=+，()2sin0fxx=−在()0,2上恒成立，所以B正确；对C，()11fxx=+，()210fxx=−，所以C错误；对D，()ln1xfxex=−−，()1xfxex=−，因为110efeee=−

，所以D错误．故选：B．6.函数()()22exfxxx=−的图像大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数()fx有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数()fx的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0fx=得，0x=或2x=，选项A，C不满足，即可排除A，C由

()()22exfxxx=−求导得()()22exxxf=−，当2x−或2x时，()0fx¢>，当22x−时，()0fx，于是得()fx在(),2−−和()2,+上都单调递增，在()2,2−上单调递减，所以()fx在2x=−处取极大值，在2x=处取极小

值，D不满足，B满足．故选：B7.抛物线()220xpyp=的焦点为F，其准线与双曲线22133yx−=相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则p=（）A.3B.6C.4D.8【答案】B【解析】【分析】表达出B点坐标，代入双曲线方程，即可求

解【详解】由题意得：FDp=，2pOD=，因为△ABF为等边三角形，所以33BDp=，所以3,32ppB−，将3,32ppB−代入方程22133yx−=得：6p=.故选：B8.已知函数()()12lnf

xmxxmRx=−−，()mgxx=−，若至少存在一个01,xe，使得()()00fxgx成立，则实数m的取值范围是（）A.2,e−B.2,e−C.(,0−D.(),0−【答案】B【解析】【

分析】至少存在一个0[1]xe，，使得()()00fxgx成立，即2ln0mxx−在[1]e，上有解，满足max2ln()xmx即可，构造函数2ln()xhxx=，求导判断出单调性，代入最值可得实数m的范围．【详解】由题意知至少存在一个0[1]xe，，使得

()()00fxgx成立，即2ln0mxx−在[1]e，上有解，满足max2ln()xmx即可，设2ln()xhxx=，22(2ln)2ln()2(1ln)()()xxxxxhxxx−=−=，∵[1]xe，，∴()0hx，∴

()hx在[1]e，上恒为增函数，∴2()()hxhee=，∴2me，故选：B.二.多项选择题(每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.函数()yfx=的导函数()'y

fx=的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（）A.3−是函数()yfx=的极值点B.1−是函数()yfx=的最小值点C.()yfx=在区间()31−，上单调递增D.()yfx=在0x=处切线的斜率小于零【答案】AC【解析】【分析】根据导函数()'fx

的图象判断出()fx的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，()'0fx，在()3,x−+时，()'0fx，∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）

上单调递减，在()3,−+上单调递增，故C正确；则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；∵在()3,−+上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AC10.下列说法正

确的有（）A.直线210xmy++=过定点1,02−B.过点()2,0作圆()2214xy+−=的切线l，则l的方程为240xy−−=C.若圆221:230Oxyy+−−=与圆222:6100Oxyxym+−−+=有唯一公切线，则25m=D.圆()2214xy+−=上存在两个点

到直线20xy+−=的距离为2【答案】AD【解析】【分析】根据当0y=时，12x=−，得到直线过定点1,02−，即可判断A选项；过点()2,0作圆的切线，考虑斜率存在和不存在两种情况，当斜率不

存在时切线方程为2x=，即可判断B选项；根据圆1O和圆2O有唯一公切线得到两圆内切，然后根据内切列方程求解m即可判断C选项；根据圆心到直线的距离得到直线与圆的位置关系，再结合圆上点到直线距离的最大值和最小值即可判断圆上有几个点到直线的距离为2，即可判断D选项.【详解】直线210x

my++=，当0y=时，12x=−，所以直线过定点1,02−，故A正确；当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线方程为2x=，圆()2214xy+−=的圆心坐标为()0,1，半径为2，圆心到直线2x=的距离为2，所以2x=时圆()2214xy+

−=的切线，故B错；因为圆1O和圆2O有唯一公切线，所以圆1O和圆2O内切，圆1O：()2214xy+−=，圆2O：()()223534xym−+−=−，所以1212OOrr=−，即()()220315234m−+−=−−，解得15m=−，故C错；圆()2214xy+−=上的圆心到直线2

0xy+−=的距离0122211d+−==+，所以圆上点到直线的距离的最大值为222+，最小值为222−，则直线与圆的位置关系如下图，又因为2222+，2222−，所以圆()2214xy+−=上存在两个点到直线20xy+−=的距离为2，故D正确.

故选AD11.若()102100121021xaaxaxax−=++++，xR，则（）A.12101aaa+++=B.10012103aaaa++++=C.2160a=D.31012231012222aaaa++++=−【答案】BD【解析】【分析】利用赋值法和

二项式项的系数性质依次判断选项即可.【详解】对选项A，()102100121021xaaxaxax−=++++，令0x=，得01a=，令1x=，得012101aaaa++++=，所以12100aaa+++=，故A错误.对选B

，因为()102100121021xaaxaxax−=++++，所以01210aaaa++++表示()1021x+的各项系数之和，令1x=，则10012103aaaa++++=，故B正确.对选项C，()()28222

210C21180axxx=−=，所以2180a=，故C错误.对选项D，因为()102100121021xaaxaxax−=++++，01a=，令12x=，则103101223101211022222aaaa−=+++++

=，.则31012231012222aaaa++++=−，故D正确.故选：BD12.设函数()lnfxxx=，()()fxgxx=，则下列说法正确的有（）A.不等式()0gx的解集为1,e+；B.函数()gx在()0,e单调递增，在()e

,+单调递减；C.当1,1ex时，总有()()fxgx恒成立；D.若函数()()2Fxfxax=−有两个极值点，则实数10,2a【答案】ACD【解析】【分析】A选项，解不等式

即可；B选项，求导，利用导函数研究其单调性；C选项，构造函数，二次求导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D选项，转化为ln12xax+=在(0,)+有两个根，求导后结合单调性，极值等求出a的取值范围.【详解】由题意得()ln1fxx=+，则ln1()(0)xgxxx+=对于A：由ln1

()0xgxx+=，可得ln1x−，解得1ex，所以解集为1,e+，故A正确；对于B：221(ln1)ln()xxxxgxxx−+−==，令()0gx=，解得x=1，所以当(0,1)x时，()0gx，函数()gx为增函数，当(1,)x+时，()0g

x，函数()gx为减函数，故B错误；对于C：当1,1ex时，若()()fxgx，则()()0fxgx−，所以ln1ln0xxxx+−，即2lnln10xxx−−，令21,()lnl11en,hxxxxx=−−，则2111()2ln2lnhxxxx

xxxxxx=+−=+−，22111()2ln212ln3hxxxxxxx=+++=++，当1,1ex时，()0hx，函数()hx为增函数，又(1)0110h=+−=，所以()0hx在1,1

ex是恒成立，所以21,()lnl11en,hxxxxx=−−为减函数，又max211()0eehxh==−，所以2()lnln10hxxxx=−−在1,1ex是恒成立，所以当1,1ex

时，总有()()fxgx恒成立，故C正确；对于D：若函数()()22lnFxfxaxxaxx==−−有两个极值点，则()ln120Fxxax+−==有两个根，即ln12xax+=在(0,)+有两个根，令ln1()xmxx+=，则2ln()xmxx

−=，所以当(0,1)x时，()0mx，函数()mx为增函数，当(1,)x+时，()0mx，函数()mx减函数，又当0x→时，()mx→−，当x→+时，()0mx→，(1)1m=，所以2(0,1)a，解得

10,2a，故D正确.故选：ACD【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.三.填空题(每小题5分

，共20分)13.江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行_____

次试验．【答案】12为【解析】【详解】分析：先考虑2种南海蛇毒，在考虑3种藏红花可得到结果．详解：先考虑2种南海蛇毒22A,再将3种藏红花插空33A故总共要进行232312AA=次试验．故答案为12点睛：本题主要考查排列组合的实际应用，不相邻问题用插空法，属于基础题．14.已知在数列n

a中，11a=，11112nnaa+=+，则10a等于____________．【答案】211【解析】【分析】根据题意可得数列1na是以1为首项，12为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即

可得解．【详解】解：因为11112nnaa+=+，所以11112nnaa+−=，则数列1na是以111a=为首项，12为公差的等差数列，则()1111111222nnnaa=+−=+，故101111110222a=

+=，所以10211a=．故答案为：211．15.设椭圆C：22221(0)xyabab+=的左､右焦点分别为1F，2F，P是C上的点，112PFFF⊥，2145PFF=，则C的离心率为___________.【答案】21−##12−+【解

析】【分析】根据等腰直角三角形性质及勾股定理，得出1PF、2PF、12FF，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.【详解】在21RtPFF中，设122FFc=，因为1245PFF=，所以12PFc=，222PFc=，所以122222ccPFPaF=++=故12222222ccecca+===−

.故答案为：21−.16.若函数()324132xafxxx=−++在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.【答案】(4，5)【解析】【分析】由已知得()'240fxxax=−+=在(1,4)上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性

后可得实数a的取值范围.【详解】解：函数()324132xafxxx=−++，'2()4fxxax=−+，若函数()fx在区间(1,4)上不单调，则()'240fxxax=−+=在(1,4)上存在变号零点，由240xax−+=得4axx=+，令4()gxxx=+，

(1,4)x，'2(2)(2)()xxgxx+−=，()gx在()1,2递减，在()2,4递增，而()422+42g==，()411+51g==，()444+54g==，所以45a.故答案为：()45，.四.解答题(17题10分

，其余每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17.已知2naxx+（nN）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29．（1）求n的值；（2）若展开式中x的一次项的系数为

56，求实数a的值．【答案】（1）7n=；（2）8a=.【解析】【分析】（1）由题设有01229nnnCCC++=，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含x的项，结合其系数列方程求a的值．【小问1详解】由题设，01229nnnCC

C++=，整理得2560nn+−=，解得8n=−（舍）或7n=；【小问2详解】由（1）知：二项式展开式通项为()51472722177kkkkkkkTCaxxaCx−+−−−+==，当6k=时为含x的项，故7

56a=，解得8a=.18.已知数列na为等差数列，13a=，2418aa+=，数列nb满足3nnnban=，（1）求证：数列nb为等比数列；（2）求数列nnab+的前n项的和nT．【答案】（1）证明见解析；（2）()22133932nnTnn+=+−+

.【解析】【分析】（1）设数列na的公差为d，根据等差数列通项公式化简条件求d，由此可求数列na的通项公式，再由等比数列定义证明数列nb为等比数列；（2）利用组合求和法求数列nnab+的前n项的和nT.【小问1详解】设数列na的公差为d，因为13a

=，2418aa+=，所以11318adad+++=，所以3d=，所以()3313nann=+−=，所以1333nnnbnn+==，所以211333nnnnbb+++==，所以数列nb为等比数列；小问2详解】由(1)133nnnabn++=+，所以112233nnnTab

ababab=++++++++，234133639333nnTn+=++++++++，234136933333nnTn+=+++++++++，()()91333213nnnnT−+=+−，()22133932nnTn

n+=+−+19.已知函数()3223129fxxxx=−−+.（1）求曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程；（2）求()fx在3,3−上的最值.【答案】（1）1280xy+−=（2）最小值为36−，最大值为16.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求得切

线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程；（2）求出函数()fx在3,3−上的所有极值和()()3,3ff−，通过比较即可得最值.【小问1详解】因为()3223129fxxxx=−−+，所以()26612fxxx=−−.因为()112f=−，()14f=−，所以所求切线

方程为()4121yx+=−−，即1280xy+−=.【小问2详解】()()()26612621fxxxxx=−−=−+，令()0fx=，得=1x−或2x=.当)3,1x−−时，()0fx¢>，()fx单调递

增；当()1,2x−时，()0fx，()fx单调递减；【当(2,3x时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以，当=1x−时，()fx取极大值()116f−=；当2x=时，()fx取极小值()211f=−，又因为()336f−=−，()3

0f=，所以()fx在3,3−上的最小值为36−，最大值为16.20.已知圆心为C的圆经过()1,1A，()2,2B−两点，且圆心C在直线:10lxy−+=上.（1）求圆C的标准方程；（2）设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.【答案】（1）22(3)(2)

25xy+++=；（2）22325(1)24xy+++=.【解析】【分析】（1）设圆心C的坐标为(),ab，可得10ab−+=，结合条件可得330ab−−=，进而求得圆心的坐标，半径，即得；（2）设(),

Mxy，()00,Pxy，进而可得()2,2Pxy，然后代入圆C的方程，化简求得M点的轨迹方程.【小问1详解】设圆心C的坐标为(),ab，半径为r，∵圆心C在直线:10lxy−+=上，∴10ab−+=，∵圆C经过()1,1A，()2,2B−两点，∴CACB=，即2222(1)(1)(2)(2)ab

ab−+−=−++，化简得：330ab−−=，又10ab−+=，所以32ab=−=−，，∴圆心C坐标为()3,2−−，22(13)(12)5rAC+==++=，所以圆C的标准方程为：22(3)(2)25xy+++=；的【小问2详解】设(),Mxy，()00,Pxy，∵M为OP的中

点，∴0000022202xxxxyyyy+===+=，∴()2,2Pxy，∵P在圆C上，∴22(23)(22)25xy+++=，即22325(1)24xy+++=，∴OP的中点M的轨迹方程为22325(1)24xy+++=.21.已知双

曲线C的渐近线为3yx=，且过点()1,2M．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线1yax=+与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长AB．【答案】（1）2231xy−=（2）1a=，10AB=

【解析】【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为223xy−=，代入()1,2M可求得，整理可得结果；（2）联立直线与双曲线的方程，设()11,Axy，()22,Bxy，故可得12223axxa+=−，12223xxa−=−，利用OAOB⊥列等式可求得1a=

，然后利用弦长公式求AB即可【小问1详解】由双曲线渐近线方程为3yx=，可设双曲线方程为：223xy−=，又双曲线过点()1,2M，321=−=双曲线的方程为：2231xy−=【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，联立22131yaxxy=+−=

，化为()223220axax−−−=()230a−．∵直线1yax=+与双曲线C相交于A，B两点，∴()224830aa=+−，化为26a．∴12223axxa+=−，12223xxa−=−（*）∵OAOB⊥，∴0OAOB=．∴12120xxyy+=，又1

11yax=+，221yax=+，∴()()21212110axxaxx++++=，把（*）代入上式得()22222121033aaaa−+++=−−，化为21a=．满足0．∴1a=．由弦长公式可得()2212

12142510ABaxxxx=++-=?22.已知函数()ln2fxxax=−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2e+【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分0a与0a两种情况，求解单调性；（2）

参变分离，得到ln2xax，构造ln()xgxx=，求导，得到其单调性，求出最大值，得到12ea.【小问1详解】()1122(0)axfxaxxx−=−=.当0a时，()120axfxx−=，所以()fx在()0,

+上单调递增；当0a时，令()120axfxx−==，解得12xa=，当10,2xa时，()120axfxx−=；当1,2xa+时，()120axfxx−=；所以()fx在10

,2a上单调递增，在1,2a+上单调递减；【小问2详解】()fx的定义域为(0,)+，若()0fx恒成立，则ln20xax−恒成立，即ln2xax恒成立，令ln()xgxx

=，只需max2()agx，又22(ln)ln1ln()xxxxxgxxx−−==，令()0gx=得ex=，(0,e)x时，()0gx，则ln()xgxx=单调递增；(e,)x+时，()0gx，则ln()xgxx=单调递减；故ln(

)xgxx=在ex=时取得极大值，也时最大值.所以max12()(e)eagxg==，解得：12ea，故a的取值范围是1,2e+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com