【文档说明】山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年高二上学期第二次质量检测数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.990 MB，由小赞的店铺上传

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新泰一中东校高二上学期第二次质量检测考试数学试卷考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共40分）1.抛物线28yx=的准线方程为（）A.2x=−B.2y=

−C.132x=−D.132y=−【答案】D【解析】试题分析：抛物线28yx=化为标准方程218xy=，则128=p，所以准线方程为132y=−，故答案为D．考点：抛物线的性质．2.已知向量(2,0,1)n=为平面的法向量，点(1,2,1)A−在内，则点(1,2,2)P到平面

的距离为（）A.55B.5C.25D.510【答案】B【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为(1,2,1)A−，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA=−−，因为平面的法向量(2,0,1)n=，所以点P到平面

的距离|||41|5||5PAndn−−===.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题3.若直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，则k，b的值分别为（）A.12k=−，4b=−B.12k=，4b=C.12k=，4b=−D.

4k=，3b=【答案】C【解析】【分析】由圆的对称性可得20xyb++=过圆的圆心且直线ykx=与直线20xyb++=垂直，从而可求出,kb.【详解】因为直线ykx=与圆()2221xy−+=的两个交点关于直线20xyb++=对称，故直线

ykx=与直线20xyb++=垂直，且直线20xyb++=过圆心()2,0，所以()21k−=−，2200b++=，所以12k=，4b=−.故选：C.【点睛】关键点睛：根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质是解题的关键.4.已知等差数列na

的前n项和为nS，且310179aaa++=，则19S=（）A.51B.57C.54D.72【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质求出103a=，再由求和公式得出答案.【详解】317102aaa+=1039a=，即103a=()119101919192

1935722aaaS+====故选：B5.经过点P(2，－2)且与双曲线C：2212xy−=有相同渐近线的双曲线方程是()A.22142xy−=B.22124yx−=C.22124xy−=D.22

142−=yx【答案】B【解析】【分析】设所求的双曲线方程是22x-y2=k，由点P（2，﹣2）在双曲线方程上，求出k值，即得所求的双曲线方程．【详解】由题意知，可设所求的双曲线方程是22x-y2=k，

∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，所以222--22（）=k，∴k=﹣2，故所求的双曲线方程是22124yx−=，故选B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，解题的关键是根据渐近线方程相同设所求的

双曲线方程是22x-y2=k，属于基础题．6.已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A.4B.－4C.±4D.不确定【答案】A【解析】【分析】根据等比中项的性质有216x=，而由等比通项公式知2xq=，即可求得x的值.【详解】由题意知：216x=，且若令公比为q时有20x

q=，∴4x=，故选：A7.如图所示，在直三棱柱111ABCABC−中，ACBC⊥，且3BC=，4AC=，13CC=，点P在棱1AA上，且三棱锥APBC−的体积为4，则直线1BC与平面PBC所成角的正弦值等于（）A.104B.64C.105D.155

【答案】C【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA=，然后以点C为坐标原点，CB、CA、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC与平面PBC所成角的正弦值.

【详解】由已知得1AA⊥底面ABC，且ACBC⊥，所以111344332APBCPABCABCVVSPAPA−−====△，解得2PA=.如图所示，以点C为坐标原点，CB、CA、1CC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则(

)0,0,0C、()0,4,2P、()3,0,0B、()10,0,3C，则()3,0,0CB=，()0,4,2CP=，()13,0,3BC=−.设平面BCP的法向量为(),,nxyz=，则由00nCBnCP==可得30420xyz=+=，即020xyz=+=，

得0x=，令1y=，得2z=−，所以()0,1,2n=−为平面BCP的一个法向量.设直线1BC与平面PBC所成的角为，则()()1122221610sincos,53312nBCnBCnBC−====−++−.故选：C.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法

：（1）定义法，①作，在直线上选取恰当的点向平面引垂线，确定垂足的位置是关键；②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知识求角；（2）向量法，sincos,ABnABnABn

==（其中AB为平面的斜线，n为平面的法向量，为斜线AB与平面所成的角）.8.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及

分数）.则下列埃及分数113，135，157，…，120192021的和是（）A.20202021B.10102021C.10092019D.20182019【答案】B【解析】【分析】根据裂项相消法即可求和.【详解】因为()1111222nnnn=−++

111113355720192021++++11111111123355720192021=−+−+−++−11122021=−10102021=，故选：B二、多选题（每个题目都有多个答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.

设几何体1111ABCDABCD−是棱长为a的正方体，1AC与1BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.211ABACa=B.212ABACa=C.21CDABa=−D.2112ABAOa=【答案】ACD【解

析】【分析】建立空间直角坐标系，找出各坐标，根据向量数量积的坐标求法逐项判断即可．【详解】如图，建立空间直角坐标系，则(,0,0)Aa，(,,0)Baa，(0,,0)Ca，(0,0,0)D，1(,0,)Aaa，1(,,)Baaa，,,222aaaO

，∴11(0,,0)ABa=，(,,0)ACaa=−，(0,,0)ABa=uuur，1(,,)ACaaa=−−，()0,,0CDa=−，1(0,,)ABaa=，1,,222aaaAO=−−．∴211ABACa=，A对；21ACABa=，B错；12CD

AaB=−，C对；2112ABAOa=，对．故选：ACD.【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知Sn是等差数列

na(n∈N*)的前n项和，且S5>S6>S4，以下有四个命题，其中正确的有（）A.数列na的公差d<0B.数列na中Sn的最大项为S10C.S10>0D.S11>0【答案】AC【解析】【分析】由564SSS，可得650,0aa，且650aa+，然后逐个分析判断即可得答案【详

解】解：因为564SSS，所以650,0aa，且650aa+，所以数列的公差0d，且数列na中Sn的最大项为S5，所以A正确，B错误，所以110105610()5()02aaSaa+==+，11111611()1102aaS

a+==，所以C正确，D错误，故选：AC11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为2240xyx+−=.若直线()1ykx=+上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取可以是()A.1B.2C.3D.4【答案】AB【解析】【分析】先得到P的轨迹方

程为圆，与直线()1ykx=+有交点，得到k的范围，得到答案.【详解】222240(2)4xyxxy+−=−+=P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆点C，两切点构成正方形22=PC即22(2)8xy−+=P在直线()1ykx=+上，圆心距220221kkdk−+=+计算得到2222k−

故答案选AB【点睛】本题考查了圆的切线问题，通过切线垂直得到P的轨迹方程是解题的关键.12.过点(03)P，的直线l与圆C：22(2)(3)4−+−=xy交于A、B两点，当30CAB=时，直线l的

斜率为（）A.3−B.33−C.33D.3【答案】BC【解析】【分析】由题意得圆心角120ACB=，得圆心(2,3)C到直线l的距离为1，直线l的斜率存在，设方程为3ykx=+，由圆心到直线的距离可求得k．【详解】由题意得120ACB=，则圆心(2,3

)C到直线l的距离为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为0x=，此时直线l与圆相切，不合题意，舍去，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3ykx=+，则22|233||2|111kkkk−+==++，解得33k=，故选：BC.第I

I卷（非选择题）三、填空题13.坐标平面内过点(2,1)A−，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为___________.【答案】12yx=−或1yx=−−.【解析】【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结

果.【详解】当直线l在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l的方程为12yx=−；当直线l在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l的方程为1xyaa+=，又直线l过点(2,1)A−，则211aa−+=，解得1a=−，所以直线l的方程为1yx=−−；所以直线l

的方程为12yx=−或1yx=−−.故答案为：12yx=−或1yx=−−.【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式1xyab+=，只适用于不过原点或不垂直于x轴、y轴的直线，表示与x轴、y轴相交，且x轴截距为a，y轴截距为b的直线，考查学生分类讨论思想，属于基

础题.14.记nS为数列{}na的前n项和，2(1)nnSa=+，则4a=_____．【答案】-16【解析】【分析】根据递推公式，求得12nnaa−=，再根据条件式子可求得1a，进而求得数列{}na的通项公式，即可得4a的值．【详解】由()21nnSa=+得()1121nnSa−−=+两式相减

得122nnnaaa−=−，化简可知12nnaa−=，即12nnaa−=由题意可知()1121aa=+，解得12a=−所以数列{}na的通项公式为122nna−=−所以342216a=−=−.【点睛】本题考查了递推公式的应用，等比数列通项公式的求法，特殊

项的求值，属于基础题．15.已知点F为抛物线28yx=−的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且||4AF=，则||||PAPO+的最小值为_______________【答案】213【解

析】【分析】首先确定准线方程，然后结合对称性求解PAPO+的最小值即可.【详解】()28,2,0yxF=−−，准线方程为2x=，设(),AAAxy，则24Ax−+=，即2Ax=−，代入28yx=−，得216y=，不妨取4Ay=，即()2,4

A−，设A关于准线2x=的对称点为()','Qxy，可得()6,4Q，故2264213PAPOOQ+=+=．即PAPO+的最小值为213.故答案为213．【点睛】本题主要考查抛物线中的最值问题，对称转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能

力.16.如图，1F、2F是椭圆221:14xCy+=与双曲线2C的公共焦点，A、B分别是1C、2C在第二、四象限的公共点．若四边形12AFBF为矩形，则2C的离心率是________．【答案】62【解析】【分析】先由椭圆方程，求出半焦距为3c=，根据题中条

件，由椭圆定义，求出2122AFAF−=，利用双曲线的定义，以及离心率计算公式，即可求出结果.【详解】由椭圆方程，可得半焦距为413c=−=，因为四边形12AFBF是矩形，所以22221(2)12AFAFc+==；由A在椭圆上，根据椭圆定义可得，214AFAF+=

，则()()22222212121221248AFAFAFAFAFAF−=+−+=−=，所以2122AFAF−=，设双曲线2C的实轴长为2m，则222m=，即2m=，所以其离心率为3622cem===．故答案为：62.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆定义，以

及题中条件，求出2122AFAF−=，根据双曲线的定义，求出其实轴长，再根据两曲线共焦点，即可求解.四、解答题17.已知平面内两点()1,2A−，()1,4B.（1）求过点()2,3P−且与直线AB平行

的直线l的方程；（2）一束光线从B点射向（1）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在的直线方程.【答案】（1）50xy−−=；（2）3570xy+−=.【解析】【分析】（1）本题首先可求出ABk，

然后根据直线l过点()2,3P−且与直线AB平行即可求出直线l的方程；（2）本题可求出()1,4B关于直线l的对称点B的坐标，然后求出BAk的值，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】（1）因为()1,2A−，()1,4B，所以()42111ABk-==

--，因为直线l过点()2,3P−且与直线AB平行，所以直线l方程为()312yx+=−，即50xy−−=.（2）设()1,4B关于直线l的对称点为(),Bmn，则411145022nmmn−=−−++−−=，解得94mn==−，()9,4B−，因为()1

,2A−，所以()423915BAk−−==−−−，则反射光线所在的直线方程为()3215yx−=−+，即3570xy+−=.【点睛】关键点点睛：本题考查根据两直线平行求直线方程以及求反射光线所在的直线方程，若两直线平行，则这两直线的斜率相等，考

查点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，是中档题.18.张先生2018年年底购买了一辆1.6L排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于

植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长

了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.13.7975，151.14.1772，161.14.5950）?【答案】（1）55

吨；（2）15年【解析】【分析】（1）分析出小轿车排出的二氧化碳的吨数构成等差数列，利用等差数列求和公式求和即可；（2）分析出林木吸收二氧化碳的吨数构成等比数列，根据题意利用等比数列求和公式列出不等式，再利用参考数据求出n的范围即可得解.【详解】（1）设第n年小轿车排出的二

氧化碳的吨数为()*nanN，则11200043000a==，2130001330003a==，3140001430003a==，…，显然其构成首项为14a=，公差为2113daa=−=的等差数列，记其前n项和为nS，则1010911045523S=+=，所以该轿车使用10年共

排放二氧化碳55吨.（2）记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为()*nbnN，则111.8b=，21(110%)1.8b=+，231(110%)1.8b=+，…，显然其构成首项为11.8b=，公比为1.1q=的等

比数列，记其前n项和为nT，由题意，有()()1.811.1181.115511.1nnnT−==−−，解得15n.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.

【点睛】本题考查数列的应用、等差数列求和公式、等比数列求和公式，属于基础题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，//ADBC，90ADC=，PAPD⊥，PAPD=.（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）若1BC=，2ADCD==，求二面角APCB−−的余弦值.【答

案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，从而得CDPA⊥，再由PAPD⊥即可得出PA⊥平面PCD，即得证；（2）取AD中点O，连接OP，OB，以OA，OB，OP为x

，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】（1）证明：在四棱锥PABCD−中，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，又因为CDAD⊥，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD.因为PA

平面PAD，所以CDPA⊥.因为PAPD⊥，CDPDD=，CD，PD平面PCD，所以PA⊥平面PCD.因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD.（2）解：取AD中点O，连接OP，OB，因为PAPD=，所以.POAD⊥因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD

AD=，因为PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以POOA⊥，POOB⊥.因为CDAD⊥，//BCAD，2ADBC=，所以//BCOD，BCOD=所以四边形OBCD是平行四边形，所以//OBCD，所以OBAD⊥.以OA，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系Oxyz−，则()0,0,0O，()1,0,0A，()0,2,0B，()1,2,0C−，()0,0,1P，所以()2,2,0AC=−，()1,0,1AP=−，()1,0,0BC=−uuur，()0,2,1BP=−设平面PAC的法向

量为(),,nxyz=，则00ACnAPn==，即2200xyxz−+=−+=，令1x=，则()1,1,1n=.设平面BPC的法向量为(),,mabc=，则00BCmBPm==，即0

20abc=−+=，令1b=，则()0,1,2m=.所以15cos,5||||mnmnmn==.易判断二面角APCB−−为锐角，所以二面角APCB−−的余弦值为155.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关

”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知数列na满足：1a=1，11(2)nnnaann++=+.（1）求证：数列1nan+是等比数列；（2）设nncan=+，求数列nc的前n项和

nT.【答案】（1）证明见解析；（2）1(1)22nnTn+=−+.【解析】【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列的定义，证明数列1nan+是等比数列；（2）由（1）可知2nnncann=+=，利用错位相减法求和.【详解】（1）设1nnabn=+，则1111n

nabn++=++，∴112112()1211nnnnnnnnaanbannnaabannn+++++++====+++∵1112ba=+=，∴数列nb是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列1nan+

是等比数列（2）由（1）得，1222nnnb−==，即12nnan+=∴2nnncann=+=.∴1231122232...(1)22nnnTnn−=++++−+∴23412122232...(1)22nnnTnn+=++++−+两式相减得231222..

.22nnnTn+−=++++−∴1(1)22nnTn+=−+.【点睛】方法点睛：本题考查已知数列求通项公式，和错位相减法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n项和公式求解；2.错位相

减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1nafnfn=+−，4.分组转化法求和，适用于nnncab=+；5.倒序相加法求和.21.已知直线20xy−+=和圆22:8120Cx

yx+−+=，过直线上的一点()00,Pxy作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点.（1）当P点坐标为()2,4时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；（2）设切线PA与PB的斜率分别为1k，2k，且127kk=−时，求点P的坐标.【答

案】（1）圆的方程为()()22325xy−+−=，直线AB的方程为220xy−−=；（2）()3,5或711,22.【解析】【分析】（1）求出圆心即PC中点坐标，和半径可得圆方程，与已知圆方程相减可得直线AB方程；（2）设

过P的直线l方程，整理得到：含k的方程，进而利用韦达定理，求出点P的坐标【详解】解：（1）圆22:8120Cxyx+−+=，可化为22(4)4xy−+=，PC中点为()3,2，25PC=，∴以PC为直径的圆的方程为圆()()

22:325Exy−+−=，∵PAAC⊥，PBBC⊥，∴P，A，B，C四点共圆E，∴直线AB的方程是两圆公共弦所在直线方程，两方程相减可得直线AB的方程为220xy−−=；（2）设过P的直线l方程为()00yykxx

−=−，由于C与直线l相切，得到002|4|21kykxdk+−==+，整理得到：()()2220000442440kxyxky−−+−+−=，∴20122047(4)4ykkx−==−−−002yx=+，代入，可得200213210xx−+=，∴03x=或72，∴点P坐标()3,5

或711,22.【点睛】关键点睛：设过P的直线l方程，由于C与直线l相切，得到002|4|21kykxdk+−==+，进而得到方程()()22200020442444kxyxkyk−−+−+=

+，最后利用韦达定理求出点P坐标，属于中档题22.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点F与椭圆22143xy+=的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B.（1）求抛物

线C的标准方程；（2）设直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，证明：12kk为定值；（3）求AB的最小值.【答案】（1）24yx=；（2）证明见解析；（3）4.【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由

题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；（2）可设M的坐标，设过点(1,)Mt−的直线方程为(1)ykxt=++，与抛物线方程24yx=联立，消去x得：24440kyykt−++=，利用判别式等于零可得结论；（3）设A，B的坐标，由（2

）可得参数t，k的关系，代入过M的切线方程与抛物线的方程中，可得A，B用参数1k，2k表示的坐标，代入弦长公式中求||AB的表达式，由参数的范围求出||AB的最小值．【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0)抛物线的焦点为(1,0)F，2

p=，所以抛物线的标准方程：24yx=．（2）抛物线C的准线方程为1x=−．设(1,)Mt−，设过点(1,)Mt−的直线方程为(1)ykxt=++，与抛物线方程24yx=联立，消去x得：24440kyykt−++=．其判别式△1616()kkt=−+，令△0=

，得：210kkt+−=．由韦达定理知12kkt+=−，121kk=−，故121kk=−（定值）．（3）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，由210kkt+−=，得21ktk−=，故2222214244444440k

kyyktkyykkyykykkk−−++=−++=−+=−=，所以2yk=，代入抛物线方程得21xk=，所以211(Ak，12)k，221(Bk，22)k，222212211122||()()ABkk

kk=−+−22222112222112()4()kkkkkkkk−−=+因为121kk=−，12kkt+=−，所以22222121212||()4()4||ABkkkktkk=−+−=+−2212124()4tkkkk=++−2244tt=++244t=+…，当且仅当0t=时取等号．当

且仅时取等号．故||AB的最小值为4．【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式2121lkxx=+−；（2）利用12211lyyk=+−；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.