【文档说明】江苏省南京市第十二中学2020-2021学年高二上学期第一次学情调研测试数学试题 含答案.docx，共(9)页，118.343 KB，由小赞的店铺上传

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南京市第十二中学2020-2021学年第一学期高二年级第一次学情调研测试高二数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知直线l的一个方向向量𝑚⃗⃗⃗=(2,−1,3)，且直线l过(0,,3)Ay和(1,2,)Bz−两点，则𝑦−𝑧=()A.0B.1C.3

2D.32.平面𝛼的一个法向量是𝑚⃗⃗⃗=(4,1，−13)，平面𝛽的一个法向量是𝑛⃗⃗=(12,−1,3)，则平面𝛼与平面𝛽的位置关系是()A.垂直B.平行C.既不平行也不垂直D.不确定3.设直线l的方向向量为𝑎⃗⃗，平面a的法向量为𝑛⃗⃗，则使𝑙⊥𝑎成立的

是()A.𝑎⃗⃗=(1,−1,2)，𝑛⃗⃗=(−1,1，1)B.𝑎⃗⃗=(1,−1,2)，𝑛⃗⃗=(−1,1，−2)C.𝑎⃗⃗=(1,−1,2)，𝑛⃗⃗=(1,−1,−1)D.𝑎⃗⃗=(2,−1,−1)，𝑛⃗⃗=(1,1，1)4.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷—𝐴1𝐵1

𝐶1𝐷1中，若E为𝐴1𝐶1的中点，则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.𝐴1𝐷D.𝐴1𝐴5.离心率为√32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是()A.𝑥24+𝑦2=1B.𝑥24+𝑦2=1或𝑥2+𝑦24=1C.𝑥2+4𝑦2=1D.𝑥24+𝑦2=

1或𝑥24+𝑦216=16.焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是()A.𝑦2=12𝑥B.𝑦2=3𝑥C.𝑥2=6𝑦D.𝑦2=6𝑥7.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1，(𝑎>0,𝑏>0)的左

，右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点P在双曲线的右支上，且|𝑃𝐹1|=5|𝑃𝐹2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A.43B.32C.2D.538.已知𝑃(𝑥0,𝑦0)是椭圆C：𝑥24+𝑦2=1上的一点，𝐹1，𝐹2分别是椭圆C的左、右焦点，若𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅�

�𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0，则𝑥0的取值范围是()A.(−2√63,2√63)B.(−2√33,2√33)C.(−√33,√33)D.(−√63,√63)二、多项选择题（每题5分，共20分，多选不给分，漏选

得3分）9.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2，1)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,5，3)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.(13,−23,23)B.(−13,23,−23)C.(12,−1,1)D.(−12,1,−1)10.已知𝑣⃗⃗为直线l的方向向量，𝑛1⃗⃗⃗⃗，

𝑛2⃗⃗⃗⃗分别为平面𝛼，𝛽的法向量(𝛼,𝛽不重合)，那么下列选项中，正确的是()A.𝑛1⃗⃗⃗⃗//𝑛2⃗⃗⃗⃗⇔𝛼//𝛽B.𝑛1⃗⃗⃗⃗⊥𝑛2⃗⃗⃗⃗⇔𝛼⊥𝛽C.𝑣⃗⃗//𝑛1⃗⃗⃗⃗⇔𝑙//𝛼D.�

�⃗⃗⊥𝑛1⃗⃗⃗⃗⇔𝑙//𝛼11.下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为()A.设A、B为两个定点，K为非零常数，若|𝑃𝐴|−|𝑃𝐵|=𝐾，则动点P的轨迹是双曲线B.方程2𝑥2−5𝑥+2=0的两根可分别作为椭

圆和双曲线的离心率C.双曲线𝑥227−𝑦29=1与椭圆𝑥235+𝑦2=1有相同的焦点D.已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切12．已知点(1,0)M，,AB是椭圆2214xy+=上的动点，当M

ABA取下列哪些值时，可以使0MAMB=（）A．3B.6C.9D.12三、填空题（每题5分，共20分）13．双曲线𝑦216−𝑥29=1上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是______．14．过抛物线𝑥2=−4𝑦的焦点的直线l交抛

物线于𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)两点，若𝑦1+𝑦2=−6，则|𝑃𝑄|=________．15．设有公共焦点𝐹1，𝐹2的椭圆和双曲线的离心率分别为𝑒1，𝑒2，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠𝐹1𝐴𝐹2=90°，则1𝑒12+1�

�22的值为________．16．已知直线𝑦=𝑘𝑥+2与抛物线𝑦2=8𝑥有且只有一个公共点，则k的值为________．四、解答题（共6大题，共70分）17．（5+5）已知空间三点(0,2,3

),(2,1,6),(1,1,5)ABC−−．（1）求以,ABAC为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量a分别与,ABAC垂直，且3a=，求a的坐标．18．（4+6）在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，底面△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐴𝐴1=2，D为侧棱𝐴

𝐴1的中点．(1)求异面直线𝐷𝐶1，𝐵1𝐶所成角的余弦值；(2)求二面角𝐵1−𝐷𝐶−𝐶1的平面角的余弦值．19．（4+6）已知双曲线C的中心为直角坐标系xoy的原点，它的右焦点为(2,0)，虚轴长为2．(1)求双曲线

C渐近线方程；(2)若直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+√2与C的右支有两个不同的交点，求k的取值范围．20．（5+7）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，其长轴长是焦距的2倍，且经过点3(1,)2M，F为椭圆的左焦点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过左焦点F的直线l与椭圆交于,AB两点

，且247AB=，求直线l的方程．21．（4+8）已知抛物线C的焦点是椭圆𝑥29+𝑦28=1的右焦点，准线方程为𝑥=−1．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)若点P，Q是抛物线C上异于坐标原点O的任意两点，且满足𝑂𝑃⊥𝑂𝑄，求证：直线PQ过定点．22．（4+6+6）已知椭圆C的中心在原点

，离心率等于12，它的一个短轴端点恰好是抛物线𝑥2=8√3𝑦的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知𝑃(2,3)，𝑄(2,−3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜

率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠𝐴𝑃𝑄=∠𝐵𝑃𝑄，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．南京市第十二中学2020-2021学年第一学期高二年级第一次学情调研测试高二数学答案一、单选题（

每题5分，共40分）1．D2．A3．B4．B5．D6．D7．B8．A二、多项选择题（每题5分，共20分，多选不给分，漏选得3分）9．AB10．AB11．BD12．ABC三、填空题（每题5分，共20分）13．2或1814．715．216．0或1四、解答题（共70

分）17．（5+5）（1）73（2）(1,1,1)或(1,1,1)−−−．18．（5+5）解：(1)如图所示，以C为原点，CA、CB、𝐶𝐶1为坐标轴，建立空间直角坐标系𝐶−𝑥𝑦𝑧，则𝐶(0,0，0)，𝐴(2,0，0)，𝐵(0,2，0)，

𝐶1(0,0，2)，𝐵1(0,2，2)，𝐷(2,0，1)．所以𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0，1)，𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,−2).所以cos<𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝐷𝐶1⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐵1𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐷𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−2√5×√8=−√1010．即异面直线𝐷𝐶1与𝐵1𝐶所成角的余弦值为√1010；(2)因为𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2，0)，𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，0)，𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=(0,0，2)，所以𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗为平面𝐴𝐶𝐶1𝐴1的一个法向量，因为𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,−2)，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0，1)，设平面𝐵1𝐷𝐶

的一个法向量为n，𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，由{𝑛⋅𝐵1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0，得{−2𝑦−2𝑧=02𝑥+𝑧=0，令𝑥=1，则𝑦=2，𝑧=−2，𝑛⃗⃗=(1

,2，−2)，所以cos<𝑛⃗⃗，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>=𝑛⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛|⋅|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=43×2=23．所以二面角𝐵1−𝐷𝐶−𝐶1的余弦值为23．19．（4+6）（1）2213xy−=，渐近线方程为：𝑦=±√33𝑥．（2）设直

线l与曲线C与右支的两交点为A，B且𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立{𝑦=𝑘𝑥+√2𝑥23−𝑦2=1消𝑦:(1−3𝑘2)𝑥2−6√2𝑘𝑥−9=0．由题意可得：{1−3𝑘2≠0𝛥=36(1−𝑘2)>0𝑥1+𝑥2=6√2

𝑘1−3𝑘2>0𝑥1⋅𝑥2=−91−3𝑘2>0，解得：−1<𝑘<−√33．∴当A，B为直线l与C右支的两个交点时𝑘∈(−1,−√33)．20．（5+7）（1）22143xy+=（2）l的斜率一定存在，设l的方程：(

1)ykx=+，设1122(,),(,)AxyBxy．联立22(1)3412ykxxy=++=，消去y得2222(34)84120kxkxk+++−=，21222122834,41234kxxkkxxk+=−

+−=+2212212(1)241347kABkxxk+=+−==+，1k=直线方程为(1)yx=+21．（4+8）解：(Ⅰ)抛物线C的方程𝑦2=4𝑥；(Ⅱ)证明：设直线PQ的方程为𝑚𝑦=𝑥+𝑛(𝑚≠0)，𝑃(𝑦124,𝑦1)，𝑄(𝑦2

24,𝑦2)；∵𝑂𝑃⊥𝑂𝑄，∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=116𝑦12𝑦22+𝑦1𝑦2=0，又𝑦1𝑦2≠0，解得𝑦1𝑦2=−16；联立{𝑚𝑦=𝑥+𝑛𝑦2=

4𝑥，化为𝑦2−4𝑚𝑦+4𝑛=0，∴𝑦1𝑦2=4𝑛，∴4𝑛=−16，解得𝑛=−4；∴直线PQ过定点(4,0)．22．（4+6+6）解：(1)设椭圆C的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，∵抛物线的焦点为(0,2√3).∴𝑏=2√3．由�

�𝑎=12，𝑎2=𝑐2+𝑏2，得𝑎=4，∴椭圆C的方程为𝑥216+𝑦212=1．(2)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2).①设直线AB的方程为𝑦=12𝑥+𝑡，代入𝑥216+𝑦212=1，得𝑥2+𝑡𝑥+𝑡2−

12=0，由𝛥>0，解得−4<𝑡<4，∴𝑥1+𝑥2=−𝑡，𝑥1𝑥2=𝑡2−12，∴|𝑥1−𝑥2|=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√𝑡2−4(𝑡2−12)=√48−3𝑡2．∴四边形APB

Q的面积𝑆=12×6×|𝑥1−𝑥2|=3√48−3𝑡2．∴当𝑡=0时，S取得最大值，且𝑆𝑚𝑎𝑥=12√3．②若∠𝐴𝑃𝑄=∠𝐵𝑃𝑄，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为−�

�，直线PA的方程为𝑦−3=𝑘(𝑥−2)，由{𝑦−3=𝑘(𝑥−2),𝑥216+𝑦212=1消去y，得(3+4𝑘2)𝑥2+8𝑘(3−2𝑘)𝑥+4(3−2𝑘)2−48=0，∴𝑥1+2=8𝑘(2𝑘−3)3+4𝑘2，将k

换成−𝑘可得𝑥2+2=−8𝑘(−2𝑘−3)3+4𝑘2=8𝑘(2𝑘+3)3+4𝑘2，∴𝑥1+𝑥2=16𝑘2−123+4𝑘2，𝑥1−𝑥2=−48𝑘3+4𝑘2，∴𝑘𝐴𝐵=𝑦1−𝑦2𝑥1−

𝑥2=𝑘(𝑥1−2)+3+𝑘(𝑥2−2)−3𝑥1−𝑥2=𝑘(𝑥1+𝑥2)−4𝑘𝑥1−𝑥2=12，∴直线AB的斜率为定值12．