【文档说明】2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版） 第9章 第9讲　抛物线（一） 含解析【高考】.doc，共(21)页，475.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第9讲抛物线(一)1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的02焦点，直线l叫做抛物线的03准线.2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y

2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴04x轴05y轴焦点Fp2，0F06－p2，0F070，p2F080，－p2离

心率e＝091准线方程10x＝－p211x＝p212y＝－p213y＝p2范围14x≥0，y∈R15x≤0，y∈R16y≥0，x∈R17y≤0，x∈R开口方向向18右向19左向20上向21下抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x

0＋p2，也称为抛物线的焦半径．21．抛物线y＝2x2的准线方程为()A．y＝－18B．y＝－14C．y＝－12D．y＝－1答案A解析由y＝2x2，得x2＝12y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－18，故选A.2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A

到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A．2B．3C．6D．9答案C解析设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋p2＝12，即9＋p2＝12，解得p＝6.故选C.3．(多选)过点P(－2,3)的抛物线的标准方程可以是()A．y2

＝－92xB．y2＝92xC．x2＝－43yD．x2＝43y答案AD解析设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2,3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y，选AD.4．O为坐标原点，F

为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2B．22C．23D．43答案C解析利用|PF|＝xP＋2＝42，可得xP＝32，∴yP＝±26.∴S△POF＝12|OF|·|yP|＝23.故选C.5．(2022·河北邯郸月考)设P

是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1

B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.6．若点P到点F(0,2)的距离比点P到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为________.答案x2＝8y解析由题意可知，点P到点F(0

,2)和点P到直线y＝－2的距离相等，即动点P在以F(0，2)为焦点，以y＝－2为准线的抛物线上，从而p2＝2，即p＝4，∴点P的轨迹方程为x2＝8y.考向一抛物线的定义及标准方程例1(1)若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的

轨迹方程是()A．x＝－4B．x＝4C．y2＝8xD．y2＝16x答案D4解析∵点M到F(4,0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.(2)已知抛物线x2＝2py

(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为________.答案x2＝4y解析因为△FPM为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，设P

m，m22p，则点Mm，－p2.因为焦点F0，p2，△FPM是等边三角形，所以m22p＋p2＝4，p2＋p22＋m2＝4，解得m2＝12，p＝2，因此抛物线的方程为x2＝4y.(3)(2021·北京高考

)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.答案545解析因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)．因为|FM|＝6，所以xM＋p2＝6，解得xM＝5，故yM＝±2

5，所以S△FMN＝12×(5－1)×25＝45.抛物线标准方程的求法求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法．对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定，也就是

说，不必设为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，这样能减少计算量；同理，焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)．1.动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆

心的轨迹是()A．直线B．椭圆5C．双曲线D．抛物线答案D解析设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为

抛物线，故选D.2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8

xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x答案C解析抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Fp2，0，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋p2＝5，得x0＝5－p2，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为52，而圆的半径为52，于是得该圆与y轴相切于

点(0,2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即M5－p2，4，从而有42＝2p5－p2，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.多角度探究突破考向二与抛物线有关的最值问题角度到焦点与到定点(动点)距离之和最

小问题例2(1)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0)B．12，1C．(1，2)D．(2,2)答案D6解析过M点作准线的垂

线，垂足为N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2，2)．(2)(2021·邢台模拟)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA

|＋|MF|的最小值是________.答案5解析依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5)到直线y＝－1的距离再减去圆C的半径

，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.角度到定直线的距离最小问题例3已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.355B．2C．115D．3答案B解析由题意可知

l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，如图所示，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线

上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之7间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．3.在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P

的坐标是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．(－1,2)答案B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义，知|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|A

P|＋|PN|≥|AN1|，即当且仅当A，P，N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同，即为1，则可排除A，C，D，故选B.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值

是()A.3B．5C．2D．5－1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2

＋3|22＋(－1)2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.考向三抛物线的几何性质例4(1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)8交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(

)A.14，0B．12，0C．(1,0)D．(2,0)答案B解析因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝π4，所以D(2,2)，代入y2＝2px，得4＝4

p，解得p＝1，所以其焦点坐标为12，0.故选B.(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，

则C的准线方程为________.答案x＝－32解析解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Pp2，p，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－12.所以直线PQ的方程为y－p＝－12x－p2.令y＝0，得x＝52p.

所以|FQ|＝52p－p2＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－p2＝－32.解法二：由题易得|OF|＝p2，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝p2×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为

x＝－32.9(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思

想解题的直观性．5.A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是()A．x＝－1B．y＝－1C．x＝－2D．y＝－2答案A解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因

为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，所以|BF|＝|AF|＝4，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A.6．(2021·福州三模)如图，抛物线型太阳灶是利用

太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从

它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为23m，灶深CD为0.5m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为()A．3mB．1.5mC．1

mD．0.75m答案B解析由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合．设抛物线的方10程为y2＝2px(p>0)，由题意可得A12，3，将A点坐标代入抛物线的方程可得，3＝2p×12，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，

焦点坐标为32，0，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为32＝1.5m．故选B.一、单项选择题1．(2021·枣庄二模)已知点(1,1)在抛物线C：y2＝2px(p＞0)上，则C的焦点到其准线的距离为()A.14B．12C．1D．2答案

B解析由点(1,1)在抛物线上，易知1＝2p，p＝12，故焦点到其准线的距离为12.故选B.2．(2021·新高考Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为2，则p＝()A．1B．2C．22D．4答案B解

析抛物线的焦点坐标为p2，0，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝11p2－0＋11＋1＝2，解得p＝2(p＝－6舍去)．故选B.3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8答案A解

析由题意知抛物线的准线方程为x＝－14.因为|AF|＝54x0，根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.故选A.4．(2021·人大附中模拟)聚光式太阳灶(如图1)广泛应用于我国西部农村地区．其轴截面图(如图2)中，点F为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制

作工艺，抛物线的顶点A与焦点F关于其外沿所在的平面对称．已知A，F两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径(外沿所在圆的直径)大约为()A．1.2米B．1.4米C．1.6米D．1.8米答案B解析建立坐标系，使得抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物

线方程为y2＝2px(p>0)，由A，F两点间的距离为0.5米，得p2＝0.5，所以p＝1，所以y2＝2x.因为AF中点的横坐标为14，即x＝14，y2＝12，所以y＝±22，所以弦长|BC|＝2≈1.4(米)，最大口径就是B

C的长，故选B.125．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意可知，点F的坐标为12，0，又F为△ABC的重心

，故xA＋xB＋xC3＝12，即xA＋xB＋xC＝32.又由抛物线的定义可知|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝xA＋xB＋xC＋32＝32＋32＝3.故选C.6．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物

线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP答案B解析如图所示，因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.137．

(2021·重庆模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9,0)，则抛物线的方程为()A．y2＝4xB．y2＝2xC．y2＝36xD．y2＝4x或y2＝36x答案D解

析由抛物线的定义知，圆M经过焦点Fp2，0，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，∴5＝p2＋92，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x；当E，F重合时，p2＝9，∴p

＝18，∴抛物线C的方程为y2＝36x.故选D.8．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为()A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y

2＝15x2答案B解析设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p，所以y＝±3p，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43

，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.故选B.9．圆O：x2＋y2＝r2与抛物线Γ：y2＝4x交于A，B两点，与Γ的准线交于C，D两点，若四边形ABCD为矩形，则该矩形的面积为()A．2B．4C

．8D．16答案C解析因为CD在准线上，根据矩形的对称性可得AB过焦点F，则|AF|＝|DA|14且AF⊥x轴，所以A(1，±2)，故|AF|＝|DA|＝2，从而|AB|＝4，故矩形的面积为2×4＝8.故选C.10．已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A(1,2)，B(－1,2

)，M，N是曲线C上关于y轴对称的两点(A，B，M，N四点不共线，且点M在第一象限)，则四边形ABNM周长的最小值为()A．2＋17B．1＋17C．3D．4答案B解析设抛物线y2＝2x的焦点为F，则四边形ABNM的周长l＝|AB|＋2|AM|＋2xM＝2＋2|AM|＋2|MF|－1≥

1＋2|AF|＝1＋17，当A，M，F共线时取等号．故选B.二、多项选择题11．已知点A(－2,4)在抛物线y2＝－2px(p＞0)上，抛物线的焦点为F，延长AF与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是()A．抛物线的准线方程

为x＝2B．抛物线的焦点坐标为(－2,0)C．点B的坐标为(－2，－2)D．△OAB的面积为8答案ABD解析将A(－2,4)代入抛物线方程可得p＝4，因此抛物线方程为y2＝－8x，所以准线方程为x＝2，焦点坐标为(－2

,0)，故A，B正确；易知AF⊥x轴，所以B(－2，－4)，故C错误；又因为|AB|＝8，所以S△OAB＝12×8×2＝8，故D正确．故选ABD.12．(2022·湖南郴州高三检测)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长

线交y轴于点N.若M为FN的中点，则()A．C的准线方程为x＝－4B．点F的坐标为(0,4)15C．|FN|＝12D．△ONF的面积为162(O为坐标原点)答案ACD解析如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线

的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4,0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝|AN|＋|FF′|2＝6，由抛物线的定义有|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|

＝6＋6＝12，|ON|＝122－42＝82，S△ONF＝12×82×4＝162.故选ACD.三、填空题13．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________.答案72解析设点B(x，y)，则x＝y2≥0

，所以|AB|＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋x＝x2－3x＋4＝x－322＋74.所以当x＝32时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝72.14.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，

则ba＝________.答案1＋216解析依题知Ca2，－a，Fa2＋b，b，因为点C，F在抛物线上，所以a2＝pa，b2＝p(a＋2b)，两式相除得ba2－2×ba－1＝0，解得ba＝1＋2或b

a＝1－2(舍去)．15.如图，圆锥底面半径为2，体积为22π3，AB，CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以点E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于________.答案1解析由V＝13πr2h＝13π×(2)

2×PO＝22π3，得PO＝2，则PB＝2，OE＝1，OC＝OD＝2.以E为坐标原点，OE所在直线为x轴，过E点与CD平行的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(－1，2)．设抛物线的方程为y2＝－2p

x(p＞0)，∴(2)2＝－2p×(－1)，解得p＝1，故焦点到其准线的距离等于1.16．(2022·江苏淮安诊断考试)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值为________；当|PF||PA|取得最小值时，直线AP的方

程为________.答案22x＋y＋1＝0或x－y＋1＝017解析设点P的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋

1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，∴|PF||PA|2＝16t4＋8t2＋116t4＋24t2＋1＝1－16t216t4＋24t2＋1＝1－1616t2＋1t2＋24≥1－16216t2·1t2＋

24＝1－1632＝12，∵|PF||PA|>0，∴|PF||PA|的最小值为22，当且仅当16t2＝1t2，即t＝±12时，|PF||PA|取得最小值22，此时点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．∴直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋

1＝0.四、解答题17．(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝43|AB|.(

1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．解(1)∵F(c,0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，则直线AB的方程为x＝c，18联立x＝c，x2a2＋y2b2＝1，a2＝b2＋c2，解得x＝c，y＝±b2a

，则|AB|＝2b2a.抛物线C2的方程为y2＝4cx，把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，∴|CD|＝4c.∵|CD|＝43|AB|，即4c＝8b23a，∴2b2＝3ac.又b2＝a2－c2，∴2c2＋3ac－2a2＝0，即2e2＋3e－2＝0，解得e＝12或e＝－2，∵0＜e＜1，∴e

＝12，∴椭圆C1的离心率为12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，椭圆C1的方程为x24c2＋y23c2＝1，联立y2＝4cx，x24c2＋y23c2＝1，消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，解得x＝23c或x＝－6c(舍去)，由抛物线的定义可得|MF|＝23c＋c＝5

c3＝5，解得c＝3.∴曲线C1的标准方程为x236＋y227＝1，曲线C2的标准方程为y2＝12x.18．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)

求抛物线的方程；19(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意，得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，∴kFA＝43，∵MN⊥FA，∴kMN＝－

34，∴直线FA的方程为y＝43(x－1)，①直线MN的方程为y－2＝－34x，②联立①②，解得x＝85，y＝45，∴点N的坐标为85，45.19.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均

在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．因为点P(1,2)在抛物线上，所

以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.20则kPA＝y1－2x1－1(x1≠1)，kPB＝y2－2x2－

1(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y21＝4x1，y22＝4x2，①②所以y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，所以y1＋2＝－(y2＋2)．所以y1＋y2＝－4.由①－②得

，y21－y22＝4(x1－x2)，所以kAB＝y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝－1(x1≠x2)．20．(2022·湖北武汉入学考试)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，

R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程．解(1)证明：由题知F12，0.设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，B

b22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a

2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF21＝|a－b|2.由题设可得2×12|b－a|

x1－12＝|a－b|2，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以所求轨迹方程为

y2＝x－1.