【文档说明】北京市第一六一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.182 MB，由小赞的店铺上传

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北京市第一六一中学2023—2024学年第二学期期中阶段练习高二数学本试卷共2页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答

案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．1.数列1，3，7，15，…的一个通项公式是（）A.21nna=−B.21nna=+C.21nan=−D.21nan=+【答案】A【解析】【分析】由前4项得到(

)1122nnnaan−−−=，再利用累加法求解即得．【详解】依题意得212aa−=，2322aa−=，3432aa-=，由此可得()1122nnnaan−−−=，所以23112132431)))((((1222)2nnnnaaaaaaaaaa−−=+−

+−+−++−=+++++122112nn−==−−．又11211a=−=也符合上式，所以符合题意的一个通项公式是21nna=−．故选：A2.已知()21fxx=+和()32gxx=+在区间,mn上的平均变化率分别为a和b

，则（）A.abB.abC.ab=D.a和b的大小随着m，n的改变而改变【答案】B【解析】【分析】根据函数平均变化率的定义求得a和b，再比较大小即得.【详解】依题意，()()()21212fnfmnmanmnm−+−+===−−，()()()32323

gngmnmbnmnm−+−+===−−，所以ab.故选：B3.数列na的前n项和为nS，且13a=，()*12nnaan+=N，则5S等于（）A.35B.48C.31D.93【答案】D【解析】【分析】根据题意，判断na为等比数列，再根据等比数列前n项和

公式，即可求得结果.【详解】根据题意，数列na是首项为3，公比为2的等比数列，故()593123319312S−===−.故选：D.4.函数()yfx=的导函数()yfx=的图象如图所示，则函数()yfx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】详解】原函数先减再增，再减再增

，且0x=位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x轴的交点为0x，且图象在0x两侧附近连续分布于x轴上下方，则0x为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()fx

的正负，得出原函数()fx的单调区间．【5.已知等差数列na的前n项和为nS，且满足32132SS−=，则数列na的公差是（）A.12B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】在题设条件32132SS−=的两边同时乘以6，然后借助前n项和公式进行求解．【详解】解：32

132SS−=，1132212(3)3(2)622adad+−+=，1166636adad+−−=，2d=．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前n项和公式的灵活运用，属于基础题．6.函数()()3221fxxa

xa=−+R在()0,+内有且只有一个零点，则=a（）A3B.1C.0D.13【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，并分类讨论函数的单调性，根据单调性结合已知可以求出a的值.详解】由函数()()3221fxxaxa=−+R，求导得()()()23,0

,fxxxax−+＝，①当0a时，在()0,+x上()()230fxxxa?＝＞，可得函数()fx()0,+x上单调递增，且()01f＝，函数()fx在()0,+x上没有零点；②当a＞0时，在()0,+x上()()230fxxxa?>＝的解

为3ax，因此函数()fx在0,3ax单调递减，在,3ax+单调递增，()fx在3ax=处取得极小值，又()fx只有一个零点，310327aaf=−+=，所以3a＝．故选：A7.设aR，若函数()2ex

fxax=+有大于零的极值点，则a的取值范围是（）.【在A.(),1−−B.()1,−+C.(),2−−D.()2,−+【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，由函数极值点的定义，结合函数与方程参变分离即可求解.【详解】由函数()2exfxax=

+，求导得()22exfxa=+，依题意，()0fx=有正根，即方程22exa=−有正根，而当0x时，()222e,x−−−，所以a的取值范围为(),2−−.故选：C8.设数列na是等比数列，则“21aa”是“na为递增数列”的（）A.充分不必要条件B

.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】当10,0aq时，可得210aaq=，但此时数列na不单调，根据数列的单调性，结合充分、必要条件的判定方法，即可得答案.【详解】

当10,0aq时，210aaq=，虽然有12aa，但是数列na为摆动数列，并不是递增数列，所以不充分；反之当数列na是递增数列时，则必有12aa，因此是必要条件，故选：B．【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，数

列的单调性，着重考查推理分析的能力，属基础题.9.若函数)()e(cosxfxax=+在ππ[,]22−上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(,1−B.)1,+C.(,2−−D.)2,−+【答案】C【解析】【分析】求出函数()fx的导数，利用单

调性可得sincosaxx−在ππ[,]22−上恒成立，再借助恒成立问题求解.【详解】由函数)()e(cosxfxax=+，求导得()e(sincos)xfxxxa=−++，由函数()fx在ππ[,]22−上单调递减，得()0fx在ππ[,]22−上恒成立，即sincos0xxa

−++在ππ[,]22−上恒成立，因此sincosaxx−在ππ[,]22−上恒成立，而πsincos2sin()4xxx−=−，当ππ[,]22x−时，π3ππ[,]444x−−，minπ[2sin()]24x−=−，则2a−，所以实数a的取值范围是(,2]−−.故选：C10.已知

0xy.将四个数22,,,xxyxyxy−+−按照一定顺序排列成一个数列，则A.当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等比数列B.当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等差数列C.当0

x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等比数列D.当0x时，存在满足已知条件的,xy，四个数构成等差数列【答案】D【解析】【分析】注意到5,4xy=−=时，符合题目的要求，由此得出正确选项.【详

解】注意到5,4xy=−=时，0xy，且22,,,xyxxyxy−+−的值为9,5,1,3−−−，构成公差为4的等差数列.由此判断出D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查等比数列、等差数列的定义，考查分析求解能力，属于基础题.二、填空题：本大题共5小题，共25分

．把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．．11.函数3223125yxxx=−−+在区间0,3上的最大值是______；最小值是______．【答案】①.5②.15−【解析】【分析】求出给定函数的导数，探讨在指定区间上的单调性，求出最大值、最小值.【详

解】由3223125yxxx=−−+，求导得266126(2)(1)yxxxx=−−=−+，而0,3x，则当02x时，0y，当23x时，0y，因此函数3223125yxxx=−−+在区间[0,2]内

单调递减，在区间[2,3]内单调递增，函数3223125yxxx=−−+在2x=处取到极小值15−，当0x=时，5y=，当3x=时，4y=−，则函数3223125yxxx=−−+在0x=处取到极大值5所以函数3223125yxxx=−−+在区间[0

,3]上的最大值是5，最小值是15−.故答案为：5；15−12.已知曲线2yx=的一条切线的倾斜角为3π4．则切点横坐标为______．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合已知条件，即可求得结果.【详解】根据题意

，设切点横坐标为0x，由2yx=，可得y2x=，故032tanπ14x==−，解得012x=−.故答案为：12−.13.等差数列na的前n项和为nS，33S=，624S=，则9S=______．【答案】63【解析】【分析】根据等差数列前n项和的性质，

结合已知条件，即可求得结果.【详解】根据等差数列前n项和的片段和性质可知：36396,,SSSSS−−也构成等差数列，也即93,21,24S−构成等差数列，则()932442S+−=，解得963S=.故答案为：63.1

4.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为O，在O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为1O，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次

裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为______．【答案】15154−【解析】【分析】记第i个内接正方形的边长为ia，其内切圆iO的半径为iR，找到它们之间的递推关系：12iiaR−=，2iiaR=，这样就可以直接列举并求出结果.【详解】第i次剪去正方形内多余

部分的面积记为iS；因为O的半径为2，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为22，即122a=，再作第一个内切圆1O，其直径为该正方形的边长，即12R=，所以第一次剪去部分的面积为()()22122282S=−=−，同理：2122aR==，2212aR==，222214S

=−=−，3222aR==，33222aR==，()22322222S=−=−，4321aR==，44122aR==，22411124S=−=−，所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：1234158242115244SSSS

+++=−+−+−+−=−，故答案为：15154−.15.对于函数：①()()cos1cosfxxx=+−，②()1lg10xfxx=−，③()145fxxx=+−，④()1exfxx−=−．判断如下两个命题的真假：命题甲：()fx

在区间()1,2上是增函数；命题乙：()fx在区间()0,+上恰有两个零点1x，2x，且121xx．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是______．（请写出所有满足条件的函数序号）【答案】②③【解析】【分析】分别分析四个函数

的性质，求出它们的单调区间，以及他们在区间()0,+上零点的个数，和题目中的两个条件进行比照，即可得到答案．【详解】函数①()()cos1cosfxxx=+−，令()()cos1cos0fxxx=+−=，可得()()cos1c

oscosxxx+==−，即12π,Zxkxk+=，解得1πZ2,xkk=−，故()fx在区间()0,+上有无数个零点，命题乙为假，函数①不满足条件；函数②()1lg10xfxx=−，在区间()1,2上，

函数lglgyxx==是增函数，函数110xy=−也是增函数，两者的和函数()1lg10xfxx=−也是增函数，命题甲为真；分别画出lgyx=与110xy=的图像如图所示，在()0,x+时恰

有两个不同的交点，即()fx在区间()0,+上恰有两个零点1x，2x，且1210,122xx，有121xx，命题乙为真，函数②满足条件；函数③()145fxxx=+−，()214fxx=−，在

区间()1,2上，()0fx，()fx在区间()1,2上是增函数，命题甲为真；在10,2上，()0fx，()fx单调递减；在1,2+上，()0fx，()fx单调递增，当12x=时，()fx取得最小值1102f=−，

又()10f=，令()1450fxxx=+−=，解得14x=或1x=，即为()fx的两个零点，∴()fx在区间()0,+上恰有两个零点1x，2x，且121xx，命题乙为真．函数③满足条件.函数④()1exfxx−

=−，()1e1xfx−=−，当1x时，()0fx，()fx单调递减；当1x时，()0fx，()fx单调递增，则有()()min10fxf==，故()fx在区间()0,+上只有一个零点，命题乙为假，函数④不满足条件；故答案为：②③.

三、解答题：本大题共6题，共85分．把答案填在答题纸中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．16.已知等差数列na的公差0d，且342aa+=，258aa=−，na的前n项和为nS．（1）求na的通项公式；（2）若mS，9a，1

5a成等比数列，求m的值．【答案】（1）26nan=−；（2）6m=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出25,aa，即可求得数列na的通项公式.（2）由（1）的结论，求出前n项和为nS，结合已知列出方程，即可求解.【小问1详解】等差数列na中，由342a

a+=，得252aa+=，又258aa=−，而0d，即52aa，解得252,4aa=−=，则52252aad−==−，于是2(2)22(2)26naandnn=+−=−+−=−所以数列na的通项公式为26n

an=−.【小问2详解】由（1）知26nan=−，则2(4265)2nSnnnn−+−=−=，912a=，1524a=，由mS，9a，15a成等比数列，得2915maSa=，即221224(5)mm=−，整理得2

560mm−−=，而Nm，解得6m=，所以6m=.17.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//ADBC，90BAD=，1ABAD==

，3BC=.（1）求证：AFCD⊥；（2）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）105【解析】【分析】（1）由AFAD⊥，平面ADEF⊥平面ABCD，利用面面垂直的性质定理可得AF⊥平面ABCD，再利用

线面垂直的性质定理即可证出.（2）取BC上的点G，使得1BG=，证明//GEBF且GEBF=，过G作GHCD⊥于H，则GH⊥平面CDE，连接EH，则GEH为直线BF与平面CDE所成角，求解三角形即可得出答案.【详解

】（1）证明：四边形ADEF正方形，AFAD⊥，平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD=，AF⊥平面ABCD，则AFCD⊥.（2）取BC上的点G，使得1BG=，则//BGAD且BGAD=，//

BGEF且BGEF=，则四边形BGEF为平行四边形，则//GEBF且GEBF=，由1ABAF==，90BAF=，可得2GEBF==，过G作GHCD⊥于H，则GH⊥平面CDE，连接EH，则GEH为直线BF与平面CDE所成角，为在RtDGC△中，求得25GH=，2105sin52GHGE

HGE===直线BF与平面CDE所成角的正弦值为105.【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18.已知函数()e21xfxax=−−．（1）当1a=时，求曲线()

yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）当0x时，若曲线()yfx=在直线yx=−的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）0xy+=（2）)1,+【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）依题意可得当0

x时，e21xaxx−−−恒成立，参变分离可得当0x时，1exxa+恒成立，令1()xxgxe+=，()0,x+，利用导数说明函数的单调性，即可求出()gx的范围，从而得解.【小问1详解】当1a=时，()e21xfxx=−−，则()e2xfx=−，所以切线斜率()00e2

1kf==−=−，又因为(0)0f=，所以曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为yx=−，即0xy+=；【小问2详解】由题意可知，当0x时，e21xaxx−−−恒成立，即当0x时，1exxa+恒成立，设1()xxgxe+=，()0,x+，则()0exxgx−=，所以()

gx在()0,+上单调递减，所以()(0)1gxg=，所以1a，即实数a的取值范围为)1,+．19.已知曲线：()()2254mxmym−+=R是焦点在x轴上的椭圆．（1）求实数m的取值范围；（2）若4m=，过点()0,1A−的直线与直线=2y−交于点M，与椭圆交于B，点B关于原

点的对称点为C，直线AC交直线=2y−交于点N，求MN的最小值．【答案】（1）5,52（2）4【解析】【分析】（1）由题意将椭圆方程化为标准式，根据焦点的位置及椭圆方程的特征列出不等式组，解得即可；（2）首先得到椭圆方程，设

出直线AM的方程，联立方程，求得点B，M的坐标，根据对称性得到点C的坐标，从而得到直线AC的方程，令=2y−，求出点N的坐标，得到MN的表达式，再根据均值不等式进行求解即可．【小问1详解】因为曲线()()2254mxmym−+=R是焦点在x轴上的

椭圆，即221445xymm+=−，所以40540445mmmm−−，解得552m，则实数m的取值范围为5,52；【小问2详解】易知直线AB的斜率存在且不为0，不妨设直线AB的方

程为1ykx=−()0k，联立12ykxy=−=−，解得12xky=−=−，即1,2Mk−−，当4m=时，椭圆方程为2214xy+=，联立22114ykxxy=−+=，消去y并整理得221408()kxkx−+=

，解得2814Bkxk=+，则2222841114141BBkkykkxk−−=++=−=，即222841,1414kkBkk−++，因为点B关于原点的对称点为C，所以222814,1414kkCkk−−++，此时2221411

148414ACkkkkkk−++==−−+，所以直线AC的方程为14xyk=−−，当=2y−时，解得4xk=，即()4,2Nk−，所以14MNkk=+，则2221168MNkk=++，因为0k，所

以2160k，210k，则222211162168kkkk+=，当且仅当22116kk=，即12k=时，等号成立，所以当12k=时，2MN取得最小值，最小值为16．故MN的最小值为4．【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题

目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等

式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.20.已知函数()ln1fxxax=−−(aR)，21()()22gxxfxxx=++．（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当1a=时，若函数()gx在区间(,1)()mmmZ+?内存在唯一的极值点

，求m的值．【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）0m=或3m=．【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出()gx的导数，根据函数的单调性得到导函数的零点，求出函数的极值点，求出m的值即可．【详解】（Ⅰ）由已知得0x，11()−=

−=axfxaxx．（ⅰ）当0a时，()0fx恒成立，则函数()fx在(0,)+为增函数；（ⅱ）当0a时，由()0fx，得10xa；由()0fx，得1xa；所以函数()fx的单调递增区间为1(0,)a，单调递减区间为1(,)a+．（Ⅱ）因为()2

22111()()2ln12ln222gxxfxxxxxxxxxxxx=++=−−++=−+，则()()ln11ln23gxxxxxfx=+−+=−+=+．由（Ⅰ）可知，函数()gx在(0,1)上单调递增，在

(1,)+上单调递减．又因为222111()220geee=−−+=−，(1)10g=，所以()gx在(0,1)上有且只有一个零点1x．又在1(0,)x上()0gx，()gx在1(0,)x上单调递减；在1(,1)x上()0

gx，()gx在1(,1)x上单调递增．所以1x为极值点，此时0m=．又(3)ln310g=−，(4)2ln220g=−，所以()gx在(3,4)上有且只有一个零点2x．又在2(3,)x上()0gx，()gx在2(3,)x上单调递增；在2(,4)x上()0gx，

()gx在2(,4)x上单调递减．所以2x为极值点，此时3m=．综上所述，0m=或3m=．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二

是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知数列na的首项1aa=，其中*aN，1,331,3nnnnnaaaaa+=+为的倍数不为的倍数，令集合|,1,2,3,nAxxan===．（1）若4a=，写出集合A中的所有的元素；（2）若2020a

，且数列na中恰好存在连续的7项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合；（3）求证：1A．【答案】（1）4，5，6，2，3，1；（2）{663,23,6631,231,−−6632,232−−}；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由4a=，利用递推关系依次求出a

2，a3，a4，a5，a6，a7，发现a6以后的值与前面项中的值重复出现，由此可知集合A中共有6个元素；（2）设出数列中的一项为ka，若ka是3的倍数，则有113kkaa+=；若ka是被3除余1，由递推关系得到3+213kkaa+=，若ka被3

除余2，由递推关系得到2+113kkaa+=．说明构成的连续7项成等比数列的公比为13，结合数列递推式得到ka符合的形式，再保证满足ka≤2020即能求出答案；（3）分ka被3除余1，ka被3除余2，ka被3除余0三种情况讨论，借助于给出的递推式得到数列{an}中必存在某一项ma≤3

，然后分别由1ma=，2ma=，3ma=进行推证，最终证得1∈A.【小问1详解】因为1=4aa=，21+1=5aa=，32+1=6aa=，34=23aa=，54+1=3aa=，56=13aa=，76+1=2aa=，，所以集合A的所有元素为：4，5，6，2，3，1.

【小问2详解】不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为ka，如果ka是3的倍数，则113kkaa+=；如果ka是被3除余1，则由递推关系可得22kkaa+=+，所以2ka+是3的倍数，所以3213kkaa++=；如

果ka被3除余2，则由递推关系可得11kkaa+=+，所以1ka+是3的倍数，所以2113kkaa++=.因此该7项的等比数列的公比为13.又因为*naN，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项）

，设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得63kap=因为67320203，所以63ka=或623ka=，由递推关系式可知，在该数列的前1k−项中，满足小于2020的各项只有：1ka−=631,−或6231−,

2ka−=632,−或6232−,所以首项a的所有可能取值的集合为{663,23,6631,231,−−6632,232−−}.【小问3详解】若ka被3除余1，则由已知可得11kkaa+=+,2312,(2)3kkkkaaaa++=+=

+；若ka被3除余2，则由已知可得11kkaa+=+,21(1)3kkaa+=+,31(1)13kkaa+++；若ka被3除余0，则由已知可得113kkaa+=,3123kkaa++；因此3123kkaa++，312(2)(3)33kkkkkaaaaa+−−+=−所以，对

于数列{}na中的任意一项ka，“若3ka，则3kkaa+”，因为*kaN，所以31kkaa+−.所以数列{}na中必存在某一项3ma（否则会与上述结论矛盾！）若1ma=,结论得证.若3ma=,则11

ma+=；若2ma=,则123,1mmaa++==,所以1A.【点睛】关键点点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.