【文档说明】江苏省南通二模（苏北七市）2022-2023学年高三下学期第二次调研测试数学PDF含答案.pdf，共(19)页，2.087 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷第1页（共6页）2023本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴

处”。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉

原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。1．若M，N是U的非空子集，M∩NM，则A．MNB．NMC．UMND．UNM2．若iz(12i)2，则zA．43iB．43iC．43iD．43i

3．已知(x322x)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A．60B．80C．D．4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点

A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC100m，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）A．49.25mB

．50.76mC．56.74mD．58.60m数学试卷第2页（共6页）5．在▱ABCD中，12BEBC，13AFAE．若ABmDFnAE，则mnA．12B．34C．56D．

436．记函数f(x)sin(ωxπ4)(ω>0)的最小正周期为T．若ππ2T，且f(x)≤|f(π3)|，则ωA．34B．94C．154D．2747．已知函数f(x)的定义域为R，yf(x)ex是偶函数，yf(x)

ex是奇函数，则f(x)的最小值为A．eB．22C．23D．e8．已知F1，F2分别是双曲线C：22221(00)yxabab，的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，圆O：22229()4xyab，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N

两点．若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为A．54B．85C．52D．2105二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm

2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大于乙种的样本

方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数10．已知数列{an}的前n项和为Sn，an762131(3)16.nnnn≤≤，，，若Sk，则k可能为A．4B．8C．9D．12

数学试卷第3页（共6页）PABCD11．如图，正三棱锥A-PBC和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为2，BC2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点AP，处，且A，B，C，D四点共面，点A，D分别位于BC两侧，则A．AD⊥CPB．PP//平面

ABDCC．多面体PAPBDC的外接球的表面积为6πD．点A，P旋转运动的轨迹长相等12．已知a>0，ealnb1，则A．alnb<0B．eab>2C．lnaeb<0D．ab>1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P在抛物线C：y22px

(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF60°，点P的横坐标为1，则p_______．14．过点(1，0)作曲线yx3x的切线，写出一条切线的方程__

_____．15．已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m，下边长为1m，且下边距地面1m．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5m2，则窗户与地面影子之间光线

所形成的几何体的体积为_______m3．16．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数()n：*nN，()n为n的所有正因数之和，如(6)123612，则(20)

_______；(6)n_______．（第一空2分，第二空3分）数学试卷第4页（共6页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC3sin

AsinB．（1）若Aπ3，求cosB；（2）若c6，求△ABC的面积．18．（本题12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a11，2218nnSSn，n∈N*．（1）求Sn；（2）在数列{an}的每相邻两项ak，ak1之间依次插入

a1，a2，…，ak，得到数列{bn}：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，……，求{bn}的前100项和．19．（本题12分）如图，在圆台OO1中，A1B1，AB分别为上、下底面直径，且A1B1//AB，ABA1B1

，CC1为异于AA1，BB1的一条母线．（1）若M为AC的中点，证明：C1M//平面11ABBA；（2）若OO13，AB，∠ABC°，求二面角A-C1C-O的正弦值．OABCMA1B1C1O1数学试卷第5页（共6页）20．（本题12

分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.

387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xiyi|0.050.080.20

.570.420.030.090.110.020.26并计算得1010102222111353.6361.7357.333.6234.4234.02.iiiiiiixyxyxyxy，，，，，（1）求该地区汛

期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；（2）规定：数组(xi，yi)满足|xiyi|<0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xiyi|<0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xiyi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进

一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．附：相关系数ii122ii1i=1()()()()nin

nixxyyrxxyy304.517.4.，21．（本题12分）已知椭圆E：22221(0)yxabab的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A，B两

点，与直线x2相交于点M．（1）若M(2，1)，求证：|MA|·|BF||MB|·|AF|；（2）过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x2相交于点N．求1111||||||||MAMBNCND的最大值．22．（本题12分

）已知函数f(x)axlnxax．（1）若x>1，f(x)>0，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：|f(x1)f(x2)|214aa．2023届高三第二次调研测试数学参考答

案与讲评建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若M，N是U的非空子集，M∩N=M，则A．MNB．NMC．UðM=ND．UðN=M【答

案】A2．若iz=(1−2i)2，则z=A．4+3iB．4−3iC．−4+3iD．−4−3i【答案】C3．已知(x3+22x)n的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为A．60B．80C．D．【答案】B4．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学

提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为（cos10°≈0.985）

A．49.25mB．50.76mC．56.74mD．58.60m【答案】B5．在▱ABCD中，12BEBC=uuuruuur，13AFAE=uuuruuur．若ABmDFnAE=+uuuruuuruuur，则

m+n=A．12B．34C．56D．43【答案】D6．记函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为T．若ππ2T，且f(x)≤|f(π3)|，则ω=A．34B．94C．154D．274【

答案】C7．已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)−ex是奇函数，则f(x)的最小值为A．eB．22C．23D．e【答案】B8．已知F1，F2分别是双曲线C：22221(0

0)yxabab−=，的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1⊥PF2，圆O：22229()4xyab+=+，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为A．

54B．85C．52D．2105【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知甲种杂交水稻近五年的产量

（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则A．甲种的样本极差小于乙种的样本极差B．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C．甲种的样本方差大

于乙种的样本方差D．甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数【答案】ABD10．已知数列{an}的前n项和为Sn，an=762131(3)16.nnnn−−−−≤≤，，，若Sk=−，则k可能为A．4B．8C．9D．12【答案】ACPABCD11．如图，正三棱锥A-PBC

和正三棱锥D-PBC的侧棱长均为2，BC=2．若将正三棱锥A-PBC绕BC旋转，使得点A，P分别旋转至点AP，处，且A，B，C，D四点共面，点A，D分别位于BC两侧，则A．AD⊥CPB．PP//平面A

BDCC．多面体PAPBDC的外接球的表面积为6πD．点A，P旋转运动的轨迹长相等【答案】BC12．已知a>0，ea+lnb=1，则A．a+lnb<0B．ea+b>2C．lna+eb<0D．a+b>1【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF=60°，点P的横坐标为1，则p=_______．【答案】2314．过点(−1，0)作曲线y=x3−x的切线，写出一条切线的方程__

_____．【答案】2x−y+2=，答案不唯一，x+4y+1=0也正确15．已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m，下边长为1m，且下边距地面1m．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5m2，则窗户与地面影子之间光线

所形成的几何体的体积为_______m3．【答案】21816．“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数()n：*nN，()n为n的所有正因数之和，如(6)123612=+++=，则(20)=_______；(6)n=______

_．（第一空2分，第二空3分）【答案】42；111(21)(31)2nn++−−四、解答题：本题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本题10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC=3si

nAsinB．（1）若A=π3，求cosB；（2）若c=6，求△ABC的面积．解：（1）（方法1）因为在△ABC中，A=π3，所以2ππ()3CABB=−+=−．因为sinC=3sinAsinB，所以2πsin()3B−

=32sinB，所以31cossin22BB+=32sinB，即3sincos2BB=（*）．……3分又22sincos1BB+=．所以()23cos2B+2cos1B=，即24cos7B=，又因为()0πB，，所以sin0B，由（

*）知，cos0B，所以27cos7B=．……6分（方法2）因为在△ABC中，π3A=，所以3sin3sinsinsin2CABB==，所以由正弦定理，得32cb=．……2分由余弦定理，得2222cosabcbcA=+−()2233π2cos223bbbb=+−274b=，因为0a，

0b，所以72ab=．……4分由余弦定理，得()()222222732227cos2773222bbbacbBacbb+−+−===．……6分（2）因为sin3sinsinCAB=，由正弦定理，得3sincaB=．又因为c=6，所以sin2aB=．……8分所以△ABC的面积为11sin623

22ScaB===．……10分18．（本题12分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2218nnSSn+−=，n∈N*．（1）求Sn；（2）在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间依次插入a1，a2，…，ak，得

到数列{bn}：a1，a1，a2，a1，a2，a3，a1，a2，a3，a4，……，求{bn}的前100项和．解：（1）因为2218nnSSn+−=，当2n≥时，()()2222221211nnnSSSSSS−=−++−+L()81811n=−++

+L……2分()812311n=++++−+L(1)812nn−=+()221n=−，……4分因为0na，所以0nS，所以21nSn=−．当1n=时，111Sa==适合上式，所以21nSn=−，nN．……6分（2）（方法1）因为21nSn=−，nN，所

以当2n≥时，()()121232nnnaSSnn−=−=−−−=．所以1122.nnan==，，，≥……8分所以数列{bn}：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，设(1)121002nn

n++++=L≤，则22000nn+−≤，因为*nN，所以13n≤．……10分所以{bn}的前100项是由14个1与86个2组成．所以100141862186T=+=．……12分（方法2）设(1)121002nnn++++=L≤，则

22000nn+−≤，因为nN，所以13n≤．……8分根据数列{bn}的定义，知()()()()1001121231213129Taaaaaaaaaaaa=++++++++++++++LLL123139SSSSS=++++L……10分()1352517=++++L13(12

5)172+=+186=．……12分19．（本题12分）如图，在圆台OO1中，A1B1，AB分别为上、下底面直径，且A1B1//AB，AB=A1B1，CC1为异于AA1，BB1的一条母线．（1）若M为AC的中点，证明：C1M//平面11ABBA；（2）若OO1=3，AB=

，∠ABC=°，求二面角A-C1C-O的正弦值．证明：（1）如图，连接11AC．因为在圆台1OO中，上、下底面直径分别为11ABAB，，且11ABAB∥，所以111AABBCC，，为圆台母线且交于一点P．所以11AACC，，，四点共面．……2分因为在圆台1OO中，平面

111ABCABC∥平面，平面11AACCABCAC=I平面，平面1111111AACCABCAC=I平面，所以11ACAC∥．……4分又因为11112ABABABAB=∥，，所以11112PAABPAAB==，所以1112PC

PAPCPA==，即1C为PC中点．在△PAC中，又M为AC的中点，所以11CMAA∥．OABCMA1B1C1O1因为1AA平面11ABBA，1CM平面11ABBA，所以1CM∥平面11ABBA．……6分（2）

以O为坐标原点，1OBOO，分别为yz，轴，过O且垂直于平面11ABBA的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−．因为30ABC=o，所以60AOC=o．则1(020)(310)(003)ACO−−，，，，，，，，．因为(310

)OC=−uuur，，，所以11311(0)222OCOC==−，，uuuuruuur．所以()131322C−，，，所以()131322CC=−−uuuur，，．设平面1OCC的法向量为1111()xyz=，，n，所以1OCCC⊥⊥11，，uuu

ruuuurnn所以1111130313022xyxyz−=−−=，，所以平面1OCC的一个法向量为1(130)=，，n．……8分又(310)AC=uuur，，，设平面1ACC的法向量为2222()xyz=，，n，所以221ACC

C⊥⊥uuuruuuur，，nn所以2222230313022xyxyz+=−−=，，所以平面1ACC的一个法向量为()23133=−，，n．……10分所以()12121231133039

3cos13113133+−+===−+++，nnnnnn．设二面角1MCCO−−的大小为，所以22130sin1cos13=−=1，nn．所以二面角1MCCO−−的正弦值为13013．……12分OABCMC1xyzP20．（本题12分）我

国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：dm）与遥测雨量y（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量xi5.387.996.376.717.535

.534.184.046.024.23遥测雨量yi5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49|xi−yi|0.050.080.20.570.420.030.090

.110.020.26并计算得1010102222111353.6361.7357.333.6234.4234.02.iiiiiiixyxyxyxy======，，，，，（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系

；（2）规定：数组(xi，yi)满足|xi−yi|<0.1为“Ⅰ类误差”；满足0.1≤|xi−yi|<0.3为“Ⅱ类误差”；满足|xi−yi|≥0.3为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记

抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望．附：相关系数ii122ii1i=1()()()()ninnixxyyrxxyy==−−=−−304.517.4.，解：（1）因为10101010

iii1122ii1i=11010222211(10)(10)()()10()()iiiiiiiixxyyxxyrxyxxyxyyy======−−−−=−−−，……2分代入已知数据，得357.31034.0217.10.98(353.61033

.62)(361.71034.42)304.5r−=−−=．所以汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系．……4分（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组．若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，

抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0123，，，．……6分则3338C1(0)56CPX===，125338CC15(1)56CPX===，215338CC3015(2)5628CPX====，305338CC105(3)5628CPX====．……10

分所以X的概率分布为X0123P15615561528528所以X的数学期望1515515()1235628288EX=++=．……12分另解：因为~(358)XH，，，所以3515()88EX==．……12分21．（本题12分）已

知椭圆E：22221(0)yxabab+=的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A，B两点，与直线x=−2相交于点M．（1）若M(−2，−1)，求证：|MA|·|BF|=|MB|·|AF|；（2

）过点F作直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x=−2相交于点N．求1111||||||||MAMBNCND+++的最大值．解：（1）设12(0)(0)FcFc−，，，，因为焦距为2，所以2c=2，解得c=1．又因为离心率22cea==，所以2a=，所以222211bac=−=−=，

所以椭圆E：2212xy+=．……2分因为直线l经过()(21)10MF−−−，，，，所以直线l方程为1yx=+，设1122()()AxyBxy，，，，联立22112yxxy=++=，，得2340xx+=．（方法1）由2340xx+=，得143x=−，20x=．……4分所以22

221122(2)(1)(1)(0)MABFxyxy=+++++−1244221220133xx=++=−++=，同理，得MBAF2144221202133xx=++=+−+=．所以|MA|·|BF|=|MB|·|AF

|．……6分（方法2）由2340xx+=，得1212430.xxxx+=−=，……4分因为12122242222122222233MABFxxxxxx=++=++=−++=+，同理，得()21222422

22222233MBAFxxxxx=++=+−−+=+，所以|MA|·|BF|=|MB|·|AF|．……6分（2）由题设知，直线l的斜率存在,且不为0．设直线l方程为(1)ykx=+，直线m方程为1(1)yxk=−+，其中0k．联立22(1)12ykxxy=++=，，得2222(12

)4220kxkxk+++−=，设1122()()AxyBxy，，，，所以422221222122164(21)(22)8804122212kkkkkxxkkxxk=−+−=++=−+−=+

，，.因为()2Mk−−，，所以22121111.1212MAMBkxkx+=+++++因为1222xx−−，，所以()12221212124111111222()411xxxxxxxxMAMBkk+++=+=+++++++．……8分所以2222222222

2441111441222822111412122kkkMAMBkkkkkkkk−++++===−−++++++++……10分同理，得2222||111(11||||)kNCkkND+==++−．所

以2222(1||)12||2111111||||||||MAMBNCDkkkkkN+++++==+++2222(1)221kk=++≤(当且仅当||1k=，即1k=时，取“=”)．所以1111||||||||MAMBNCND+++的最大值为22．……12分22．（

本题12分）已知函数f(x)=ax−lnx−ax．（1）若x>1，f(x)>0，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，证明：|f(x1)−f(x2)|214aa−．解：依题意，

2221()(0)aaxxafxaxxxx−+=−+=．……1分（1）①当0a≤时，x>1，()0fx，所以()fx在()1+，上单调递减，所以()(1)0fxf=，所以0a≤不符合题设．……2分②当102a时，令()0fx=，得20axxa−+=，解得()21

114012axa−−=，，()2211412axa+−=+，，所以当()21xx，时，()0fx，所以()fx在()21x，上单调递减，所以()(1)0fxf=，所以102a不符合题设．……4分③当12a≥时，判别式2140a=−≤V，所以()0fx≥，所以

()fx在()1+，上单调递增，所以()(1)0fxf=.综上，实数a的取值范围是)12+，．……6分（2）由（1）知，当102a时，()fx在()10x，上单调递增，在()12xx，上单调递减，在()2x+，上单调递增，所以1x是()fx的极大值点，2x是()fx的

极小值点.由（1）知，121xx=，121xxa+=，22114axxa−−=.所以要证()()21214afxfxa−−，只要证()()1221fxfxxx−−.……8分因为()()()()2212112211121lnxxxxxfxfxaxxaxxx−−−+=+−−+()(

)()212212212111211222lnlnxxxxxxaxxxxxxxxxx−−=−+−−=+−+()212122121121ln1xxxxxxxxxx−=+−−+，设211xtx=，()211()ln1tgttttt−=+−−+．……1

0分所以()()()222141114()022211tgttttttttt−=++−=+++，所以()gt在()1+，上单调递增，所以()()10gtg=.所以()()21120xxfxfx−−+，即得()()1221fxfxxx−−成立．所以原不等式成立.……12

分