【文档说明】浙江省浙北G2联盟2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题 含解析.docx，共(24)页，2.103 MB，由小赞的店铺上传

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浙北G2期中联考2022学年第二学期高一数学试题试卷命题：嘉兴一中审题：湖州中学考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；3.所有答案必修写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.一、单选题：本大

题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a与b均为实数，且3i4iba−=+，则|i|ab+=（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由复数相等确定参数值，进而求复数的模.【详解】因为3i4iba−=+，所以3

a=−，4b=，所以|i|9165ab+=+=.故选：C2.在ABC中，sin:sin:sin3:5:7ABC=，则cosC的值为（）A.12−B.0C.23D.12【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理

计算作答.【详解】在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，sin:sin:sin3:5:7ABC=，由正弦定理得::3:5:7abc=，令3,5,7,0akbkckk===，由余弦定理得：222

222(3)(5)(7)1cos22352abckkkCabkk+−+−===−.故选：A3.已知向量(1,1)a=−，(1,)bm=，若//()amab+，则m=（）A.13B.1C.13−D.1−【答案】D【解析】【分析】由向量线性运算坐标表示得(1,2)mabmm+=−，再

由向量平行的坐标表示列方程求参数即可.【详解】由题设(1,2)mabmm+=−，又//()amab+，则1211mm−=−，可得1m=−.故选：D4.已知m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面.下列说法中错误的是（）A.若//m，m，n=

，则//mnB.若//mn，//m，则//nC.若n=，⊥，⊥，则n⊥D.若m⊥，m⊥，//，则//【答案】B【解析】【分析】利用线面平行的性质定理判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用线面垂直的判定定理判断C，

利用面面平行的判定方法判断D．【详解】解：对于A：若//m，m，n=，根据线面平行的性质定理可得//mn，故A正确；对于B：若//mn，//m，则//n或n，即B错误；对于C：设、的法向量

分别为a、b，若n=，则na⊥，nb⊥，又⊥，⊥，则//a，//b，所以n⊥，即C正确；对于D：若m⊥，m⊥，则//，又//，则//，即D正确．故选：B5.如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠AD

C＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝23，CE＝2(单位：百米)，则A，B两点的距离为（）A.6B.22C.3D.23【答案】C【解析】【分析】

在RtADC中，求得ACDC=；在BCE中，利用正弦定理求得BC；再在ABC中，利用余弦定理即可求得结果.【详解】根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝23，则∠DAC＝180°

－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝23，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝2，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，则有sinCEEBC＝sinBCBEC，变形可得BC＝sinsinCEBECEBC＝32222＝3，在ABC中

，AC＝23，BC＝3，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3．故选：C.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.6.如图

，正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面11AADD内一点，若//EF平面11BDDB，且EF长度的最大值为b，最小值为2，则ab=（）A.7B.6C.5D.3【答案】B【解析】【分析】过点F作1//HGDD，交AD于点G，交11AD于点H，计算得出222EFAEA

F=+，计算出minEF、maxEF，根据已知条件可求得a、b的值，进而可求得ab的值.【详解】如图，过点F作1//HGDD，交AD于点G，交11AD于点H，则HG⊥底面ABCD.连接EG、AF，HG⊥平

面ABCD，EG平面ABCD，HGEG⊥，所以，22222222EFEGFGAEAGFGAEAF=+=++=+.1//HGDD，HG平面11BDDB，1DD平面11BDDB，HG//平面11BDDB，//EFQ平面11BDDB，//FG平面11BDDB，

EFFGF=，平面//EFG平面11BDDB，又GEÌ平面EFG，//GE平面11BDDB，平面ABCD平面11BDDBBD=，GEÌ平面ABCD，//GEBD.E为AB中点，G为AD中点，则H为1

1AD中点.F在线段GH上，min2aAFAG==，则22max522aaAFAHa==+=，22min22222=aaaEF+==，得2a=，则22max566222aabEFa==+==，所以，6ab=故

选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何体中线段长的最大值和最小值求参数，解题的关键在于推导出222EFAEAF=+，通过AF的最值求出EF的最值，进而列方程求解.7.在ABC中，点DE，满足2BDDCAEECBE==，，与AD交于点P，若APxAByAC

=+，则xy=（）A.25B.23C.425D.49【答案】C【解析】【分析】法一，根据向量共线可得APAD=，再得22APABAC=+，又BPBE=，再表示出AP，利用向量相等解出2255APABAC

=+，即可得解；法二，建立平面直角坐标系，利用坐标法求出即可.【详解】法一:因为P在AD上，故//APAD，所以存在唯一实数，使得APAD=，又BDDC=，故D为BC的中点，所以1122ADABAC

=+，所以22APABAC=+;同理存在，使得BPBE=，又()()213APABBPABBEABAEABABAC=+=+=+−=−+，.所以2123=−=，所以35=，所以2255AP

ABAC=+，所以25xy==，所以425xy=.故选：C.法二:不妨设ABC为等腰直角三角形，其中6ABACABAC⊥==，，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，()()()()()0060063304ABCDE

，，，，，，，，，，则直线BEAD，的方程分别为164xyyx+==，，联立解得121255P，，由APxAByAC=+，得()()1212600655xy=+，，，，解得25xy==，则425xy=

.故选：C.8.在平面中，已知单位向量1e、2e的夹角为60，向量12axeye=+，且214x，214y，设向量a与1e的夹角为，则cos的最大值为（）A.64B.63C.5714D.277【答案】C【解析

】【分析】利用平面向量数量积的运算可得出231cos141xxyy=−++，求出xy的取值范围，再利用平面向量数量的运算可得出cos的表达式，结合二次函数的基本性质可求得cos的最大值.【详解】因为单位向量1e、2e的夹角为60，由平面向量数量积的定义可得121

21cos602eeee==，()2112111212aexeyeexeyeexy=+=+=+，()22222221211222axeyexexyeeyexyxy=+=++=++，所以，122112cosxyaeaexyxy+==++，当co

s取最大值时，必有102xy+，则222221122cosxyxyxxyyxyxy++==++++22222222331411441yxxyyxxyyxxyyxxyy++==−=−++++++，因为214x，214y，则22144xy，所以，1

22xy或122xy−−，当122xy时，271,74xxyy++，此时2312757cos1,47141xxyy=−++；当122xy−−时，则219024xy+，所以

，221331,3244xxxyyy++=++，此时2313cos10,421xxyy=−++，综上所述，cos的最大值为5714.故选：C.【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的

方法：（1）定义法：利用向量数量积的定义得cos,ababab=，其中两向量,ab的取值范围是0,；（2）坐标法：若非零向量()11,axy=、()22,bxy=，则121222221122cos,xxyyabxyxy+=++.二、多选题：本题

共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设向量a，b满足1ab==，且25ba−=rr，则以下结论正确．．的

是（）A.ab⊥B.2ab−=C.25ba−=rrD.向量ab+与ab−夹角为90【答案】ABD【解析】【分析】根据数量积的运算律一一计算可得.【详解】因为1ab==，且25ba−=rr，所以()225ba−=rr，即222244445babababa+−=

+−=rrrrrrrr，所以0ba=rr，则ab⊥，故A正确；所以2222222abaabbaabb−=−+=−+=，故B正确；()222222244445babababababa−=−=+−=+−=rrrrrrrrrrrr，故C错误；因为

()()22220abababab+−=−=−=rrrrrrrr，所以向量ab+与ab−夹角为90，故D正确；故选：ABD10.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.下面四个结论正确的是（）A.若AB，则sinsinABB.2a=，30A=，则ABC的外接圆

半径是4C.若cossinabAB=，则45A=oD.若30A=，4a=，3b=，则ABC有两解【答案】AC【解析】【分析】由正弦定理可判断ABC；余弦定理可判断D.【详解】对于A，若AB，则ab，由正弦定理得2sin2sinRARB，即sinsinAB，故正确；对于B，

2a=，30A=，由正弦定理2sinaRA=可得222sin2sin30===aRA，则ABC的外接圆半径是2，故错误；对于C，若cossinabAB=，由正弦定理得cossinaaAA=，cossinAA=，因为0180A，所以45A=o，故正确；对于D，

若30A=，4a=，3b=，则由余弦定理可得222cos2bcaAbc+−=，即29163cos3062+−==cc，23370−−=cc，解得33552=c，因为335502−，所以23370−−=cc有一解，即ABC有一解，故错误.故选：AC.11.已知在正四面体ABCD中，E、F、G、

H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则（）A.//EF平面ACDB.ACBD⊥C.AB⊥平面FGHD.E、F、G、H四点共面【答案】ABD【解析】【分析】把正四面体ABCD放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明

对于B项，从正方体的角度上看易得对于D项，证明四边形EFGH是平行四边形可验证对于C项，反证法证明，矛盾点是AB与HE的夹角.【详解】把正四面体ABCD放到正方体里，画图为：对于A项，E、F分别为AB，BC的中点，//EFAC又AC平面AC

D且EF平面ACD//EF平面ACD，故A正确对于B项，从正方体的角度上看易得ACBD⊥，故B正确.对于D项，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点//EFAC且12EFAC=//GHAC且

12GHAC=所以//,EFGHEFGH=所以四边形EFGH平行四边形，故E、F、G、H四点共面，所以D正确.对于C项，若AB⊥平面FGH成立，即AB⊥平面EFGH又因为HE平面EFGH所以ABHE⊥又因为E、H分别为

AB，AD的中点，所以//EHBD所以ABBD⊥而ABD△为等边三角形，与ABBD⊥矛盾，所以C不正确.故选：ABD12.在ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22210abc++=，则下列四个选

项中哪些值可以作为三角形的面积（）A.33B.233C.3D.433【答案】AB【解析】【分析】由条件和余弦定理可得22cos102bcAa=−，然后结合面积公式可得()2222254bcaS=−+，然后利用基本不等

式可得()2222210542aaS−−+，然后求出S的范围即可.【详解】解：因为22210abc++=，2222cosabcbcA=+−，所以22cos102bcAa=−，即2cos5bcAa=−①，

因为1sin2SbcA=，即2sinSbcA=②，①②两式平方相加可得()2222254bcaS=−+，是由基本不等式可得22222221022bcabc+−=，所以()2222210542aaS−−+，所以()22222242210331

02525455244333aSaaaa−−−=−+=−−+，所以22512S，即536S，当且仅当222103abc===时等号成立.所以，四个选项中，AB选项的值可以作为三角形的面积.故选：AB三、填空题：本大题共4小题，每小题5分

，共20分.13.边长为2的正三角形直观图的面积为__________.【答案】64【解析】【分析】作出直观图，结合三角形的面积公式运算求解.【详解】如图，在直角坐标xOy中，ABC为等边三角形，取1,3OBOCOA===，按照斜二测画法可得：在坐标xO

y中，则345,1,2AOCOBOCOA====，故直观图的面积1132622sin2122224ABCAOCSSOCOAAOC====.故答案为：64.14.向量(1,1)a=−r，(3,5)c=r．则c在a方向上的投影

向量坐标为_________.【答案】()1,1−【解析】【分析】利用c在a方向上的投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量(1,1)a=−r，(3,5)c=r，所以()22213152,112aca=−=−=+−=，所以c在a方向上的投影向量坐标为(

)()221,11,12acaa−=−=−，故答案为：()1,1−.15.正三棱锥−PABC的侧棱长为2，M为AB的中点，且PMPC⊥，则三棱锥−PABC外接球的表面积为______．【答案】12π【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一性质和

线面垂直判定可知AB⊥平面PCM，从而得到ABPC⊥；由线面垂直判定可得PC⊥平面PAB，进而确定三棱锥−PABC为正方体的一角，通过求解正方体的外接球表面积即可得到结果.【详解】M为AB中点，PAPB=，CACB=，CMAB⊥，PMAB⊥，又CMPMM=，

,CMPM平面PCM，AB⊥平面PCM，PC平面PCM，ABPC⊥，又PMPC⊥，PMABM=，,PMAB平面PAB，PC⊥平面PAB，又三棱锥−PABC为正三棱锥，侧面为全等的等腰直角三角形，三棱锥−PABC为如图所示的棱长为2的正方体的

一角，该正方体的外接球即为三棱锥−PABC的外接球，正方体外接球半径222122232R=++=，所求外接球表面积24π12πSR==.故答案为：12π.16.如图，在平面中，圆O是半径为1的圆，2OA=，设B，C为圆上的任意2个点，则ACBC的取值范围是__

_______.【答案】[2,6]−【解析】【分析】若D为BC中点，令,OABC夹角为，由()ACBCOCOABC=−，将其化为关于||BC和的关系式，讨论cos1、cos1−结合||[0,2]BC求目标式的范围.【

详解】若D为BC中点，令,OABC夹角为，如下图示，()||||cos||||cosACBCOCOABCOCBCOABCOCBCOCBOABC=−=−=−21||2||cos2BCBC=−，又||[0,2]BC，由cos1，则222111||2||cos||2|

|(||2)2222BCBCBCBCBC−−=−−，此时，当||2BC=时ACBC最小值为2−；由cos1−，则222111||2||cos||2||(||2)2222BCBCBCBCBC−+=+−；此

时，当||2BC=时ACBC最大值为6；综上，ACBC的取值范围是[2,6]−.故答案为：[2,6]−四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图ABCD是直角梯形，以上底边CD为轴将梯形旋转一周，得到一个旋转体，求它的表面积和

体积．【答案】表面积()4592+，体积45【解析】【分析】由题意知，该几何体是一个底面半径为3，高为6AB=的圆柱，挖去一个同底，但高为3的圆锥，再求几何体的体积和表面积得解.【详解】解：由题意知，该几何体是一个底面半径为3，高为6AB

=的圆柱，挖去一个同底，但高为3的圆锥．所以221()3VVVrABrABCD=−=−−圆柱圆锥221363(63)453=−−=()2222SSSSrABrrrAD=−+=+−+表圆柱表圆锥侧上底()()

222362333324592=+−+=+．【点睛】方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）公式法（一般是规则的几何体）；（2）割补法（一般是不规则的几何体）；（3）转化法.18.已知复数112iz=−

，243iz=+．（i为虚数单位）（1）求12zz；（2）若||2z=，且复数z的虚部等于复数123zz−的实部，复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求复数z．【答案】（1）12105izz=−（2）3iz=−−【解析】【分析】（1）利用复数的乘法求12zz；（2）求

出复数123zz−，进而设i()zaa=−R，结合已知求参数a，即可得复数.小问1详解】复数112iz=−，243iz=+，则12(12i)(43i)105izz=−+=−；【小问2详解】由题设，12336i(43i)19izz−=−−+=−−，复数z的虚部等于复数123zz−的实

部，所以，可设i()zaa=−R，又||2z=，214a+=，解得3a=或3−，复数z在复平面内对应的点位于第三象限，<0a，即3a=−，故3iz=−−．19.如图，直三棱柱111ABCABC-中，1,2ACB

CACBCCC⊥===，,MN分别为11,ACBC的中点．（1）求证：MN∥平面11ABBA；（2）线段1CC上是否存在点Q，使1AB⊥平面MNQ？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）线段1CC上存在点

Q，使1AB⊥平面MNQ，理由见解析．【解析】【分析】（1）取AB中点D，连接1,DMDB，然后由三角形的中位线定理得到1,DMBNDMBN=，证得四边形1MDBN为平行四边形，进而得到1MNDB∥，即可得证.（2）连接1,,MQNQBC，可证1QNB

C⊥，11ACQN⊥，从而可证：1ABQN⊥，同理可得1ABMQ⊥，即可得证1AB⊥平面MNQ．【详解】（1）【取AB中点D，连接1,DMDB．在ABC中，因为M为AC中点，所以DMBC∥，12DMBC=．在矩形11BBCC中，因为N为11BC中点，所以1BNB

C，112BNBC=．所以1,DMBNDMBN=．所以四边形1MDBN为平行四边形，所以1MNDB∥．因为MN平面11ABBA，1DB平面11ABBA，所以MN∥平面11ABBA．（2）线段1CC上存在点Q，且Q为1CC中点时，有1AB⊥平面MNQ．证明如下：连接

1,,MQNQBC．在正方形11BBCC中，1QNBC⊥．又直三棱柱111ABCABC-可得111CCAC⊥，又1111ACBC⊥，111,CCBC平面11BBCC，1111CCBCC=，则11AC⊥平面11BBCC，又QN平面11BBCC，所以

11ACQN⊥，又111,ACBC平面11ABC，1111ACBCC?，从而NQ⊥平面11ABC，又1AB平面11ABC，所以1ABQN⊥．同理可得1ABMQ⊥，又,MQQN平面MNQ，MQQNQ=，所以1AB⊥平面MNQ．故线段1CC上存在点Q，使得1AB⊥平面

MNQ．20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，22sincoscos2cosAABCab+=，C为锐角．（1）求C；（2）若7c=，ab，△ABC的面积为332，求πcos23B−的值．【答案】（1）π3（2）12【解析】【分

析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒变换即可求解；（2）利用三角形面积公式及余弦定理求出三角形的三边长，再利用正弦定理求出角，最后利用三角恒等变换即可求解.【小问1详解】由正弦定理得22sincoscos2cossinsinAABCAB+=，2

2coscoscossinsin0CABAB+−=，即()22coscos0CAB++=∵πABC++=,∴()22coscosπ0CC+−=,即22coscos0CC−=,解得1cos2C=,或者cos0C=，又∵C为锐角

，∴π3C=.【小问2详解】1333sin242ABCSabCab===△,即6ab=，由余弦定理2222coscababC=+−得,()2227abababab+−=−+=，且ab，即1ab−=，解得3a=，2b=，由正弦定理sinsi

nbcBC=得，27sin32B=,解得21sin7B=，,∵ab,∴AB,∴角B为锐角，∴227cos1sin7BB=−=,∴23sin22sincos7BBB==,21cos212sin7BB=−=,∴πππ1cos2cos2cossin2s

in3332BBB−=+=.21.如图，某菜农有一块等腰三角形菜地，其中120BAC=，8ABAC==米．现将该三角形菜地分成三块，其中60DAE=o．（1）若15CAE=，求DE的长；（2）求ADEV面积最小值．【答案】（1）1243

−米（2）1633平方米【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出CE的长，分析可知ACD为等腰三角形，可得出CD的长，进而可求得DE的长；（2）用表示AD、AE的长，利用三角恒等变换化简ADEV面积的表达式，结合正弦型函

数的基本性质可求得ADEV面积的最小值.【小问1详解】解：在等腰ABC中，因为120BAC=，则30C=，在ACE△中，由题意可得8AC=米，15CAE=，135AEC=o．且()62sinsin4530sin45cos

30cos45sin304CAE−=−=−=，的由正弦定理可得sinsinACCEAECCAE=行，则()sin434sinACCAECEAEC==−米．因为30C=，156075CAD=+=，所以180307575ADCCAD=−−==，则8CDAC==米，故()()8434124

3DECDCE=−=−−=−米．【小问2详解】解：设CAE=，其中060，则150AEC=−，90ADC=−．在ACE△中，由正弦定理可得sinsinACAEAECC=，则()sin4sinsin150ACCAEAEC==−米．在ACD中，由正弦定理可

得sinsinACADADCC=，则()sinC44sincossin90ACADADC===−米．ADEV的面积()143sin2cossin150SADAEDAE==−．因为()21313

cossin150coscossincossincos2222y=−=+=+()31111sin2cos2sin23044424=++=++，060，则30230150+，所以当2

3090+=，即30=时，max34y=，故ADEV面积的最小值是1633平方米．22.如图，点,PQ分别是正方形ABCD的边DC、CB上两点，1AB=，PAQ=，记点O为APQ△的外心.（1）若DPDC=

，CQCB=，01≤≤，求APAQ的值；（2）若45=，求APAQ的取值范围；（3）若60=，若AOxAPyAQ=+，求36xy+的最大值.【答案】（1）1（2）222,1PAQA−（3）5363−【解析】【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求

得APAQ的值.（2）设π0,4QAB=，求得APAQ关于tan的表达式，进而求得APAQ的取值范围.（3）设APa=，AQb=，将36xy+表示为关于,ab的表达式，求得ba的取值范围，进而求得36xy+的最大值

.【小问1详解】以A点为坐标原点，AB为x轴，建立直角坐标系.(),1P，()1,1Q−，所以()(),11,11PAQA=−−−−+=.【小问2详解】设π0,4QAB=，0tan1,1tan12+，则(

)1,tanQ，πtan,14P−.()ππ1tantan,11,tantantantan441tanPAQA−=−−−−−=−+=++22tan1tan121tan1tan=+−=++−++，

由于tan11,2+，根据对勾函数的性质可知222,1PAQA−.【小问3详解】()2212AOAPAPxAPyAQAPxAPyAQAP==+=+；()2212AOAQAQxAPyA

QAQxAPAQyAQ==+=+.设APa=，AQb=，则这两个式子为222211,2211.22axayabbxabyb=+=+，化简得2,2.axaybbxayb=+=+解得2,32.3abxabay

b−=−=所以2223636633abbabaxyabab−−+=+=−+，设π0,6QAB=，3tan0,3，令131cossin31323cos22tan,1cos2223πcos6AQbtaAP

+=====+−，所以由对勾函数的性质得221135336666,663baxytabt+=−+=−+−−，所以当π6=时，即点P与D点重合时，36xy+取到最大值5363−.【点睛】求解平面向量数量积有关问

题，有两个求解思路，一个是利用平面向量的基本定理，通过转化的方法来求得数量积；另一个思路是根据图形的特征，通过建立平面直角坐标系，利用坐标法来进行求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

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