【文档说明】重庆市荣昌永荣中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(13)页，488.250 KB，由小赞的店铺上传

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永荣中学校2021-2022学年度下高二数学期中考试卷数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知函数()fx的定义域为R，若()()011lim4xfxfx→

+−=，则()1f=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义可求得()1f的值.【详解】由导数的定义可得()()()0111lim4xfxffx→+−==.故选：D.2.有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选

择方法共有（）A.12种B.9种C.8种D.6种【答案】C【解析】【分析】根据分步计数原理可求.【详解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有328=（种）．故选：C．3.曲线()lnfxxx=在1x=处的切线的方

程为（）A.22yx=−B.1yx=−C.1yx=−+D.31yx=−【答案】B【解析】【分析】由导数的几何意义即可求解.【详解】解：由()lnfxxx=，得()ln1fxx=+，所以(1)0f=，(1)011f=+=，所以曲线()fx在1x=处的切线的方程为01(1)yx−=

−，即1yx=−．故选：B.4.()512x−的展开式中，3x的系数为（）A.40B.40−C.80D.80−【答案】D【解析】【分析】求出()512x−的展开式为()152rrrrTCx+=−，在令3r=，即可求出结果.【详解】因为()

512x−的展开式为()()5155122rrrrrrrTCxCx−+=−=−令3r=，所以3x的系数为()335280C−=−.故选：D.5.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足()()2elnfxxfx+=，则()ef=（）A.1eB.1−C

.1e−D.e−【答案】C【解析】【分析】求导，代入ex=即可求解.【详解】∵()()2elnfxxfx+=，∴()()12efxfx=+，∴()()1e2eeff=+，解得：()1eef=−.故选：C.6.已知事件

A，B相互独立，()0.8,()0.3PAPB==，则()PAB=（）A.0.24B.0.8C.0.3D.0.16【答案】B【解析】【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.【详解】因为事件A，B相互独立，所以()()()PABPAPB=，所以()()()0.80.3

0.80.3PABPABPB===故选：B7.函数()1fxxx=+的极大值点为（）A.1B.1−C.1D.不存在【答案】B【解析】【分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象

可解.详解】令221(1)(1)()10xxfxxx−+=−==，得1x=，因为1x−时，()0fx，10x−时，()0fx，所以=1x−时()fx有极大值；当01x时，()0fx，1x时，()0fx，所以1x=时()fx有极

小值.故选：B8.《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放

映这两部电影不同的安排方式共有（）A.30种B.54种C.60种D.64种【答案】B【解析】【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有2

236A=种，若白天一场，晚上一场，则有11264248CCA=种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.下列各式正确的是（）A.sincos33=B.()()1lnxx−=C.()222xxee=D.()12xx=−【答案】BC【【解析】【分析】根据初等函数导数公式和复合函数导数运算法则直接求解可得结果.【详解】对于A，3sin0cos323

==，A错误；对于B，()()()11lnxxxx−=−=−，B正确；对于C，()()22222xxxeexe==，C正确；对于D，()11221122xxxx−===

，D错误.故选：BC.10.如图是函数()yfx=的导函数()yfx=的图像，则以下说法正确的是（）A.-2是函数()yfx=的极值点；B.函数()yfx=在1x=处取最小值；C.函数()yfx=在0x=处切线的斜率小于零；D.函数()yfx=在区间(2,2)

−上单调递增.【答案】AD【解析】【分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断【详解】根据导函数()yfx=的图象可得，当(),2x−−上，()0fx，在()()2,11,x−+上，()0fx¢>，故函数在(),2x−−上函数()fx单调

递减；在()2,1−，()1,+函数()fx单调递增，所以2−是函数()yfx=的极小值点，所以A正确；其中1x=两侧函数的单调性不变，则在1x=处不是函数()yfx=的最小值，所以B不正确；由()yfx=图象得()00f，所以函数()yfx=在0x=处的切线的斜率大于

零，所以C不正确；由()yfx=图象可得，当()2,2x−时，()0fx，所以函数()yfx=在()2,2x−上单调递增，所以D是正确的，故选：AD11.（多选题）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有

（）A若A、B不相邻共有72种方法B.若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．C.若A在B左边有60种排法D.若A、B两人站在一起有24种方法【答案】ABC【解析】【分析】利用插空法，可判断A的正误；利用间接法，可判断B的正误；根据定序问题的求法，

可判断C的正误；利用捆绑法，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：若A、B不相邻共有323472AA=种方法，故A正确；对于B：若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有543543278AAA−+=种方法，故B正确；对于C：若A在B左边有

552260AA=种方法，故C正确；对于D：若A、B两人站在一起有424248AA=，故D不正确.故选：ABC12.已知函数()cossinfxxxx=−，下列结论正确的是（）A.()fx是以2为周期的函数B.()fx是区间,2上的增

函数C.()fx是R上的奇函数D.0是()fx的极值点【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数极值点的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，22482f=−，92

22482f+=−，.所以，244ff+，A错；对于B选项，()sinfxxx=−，当2x时，()0fx¢>，所以，函数()fx是区间,2上的

增函数，B对；对于C选项，函数()fx的定义域为R，()()()()cossincossinfxxxxxxxfx−=−−−−=−+=−，则()fx是R上的奇函数，C对；对于D选项，当02x−时，()sin0fxxx=−；当02x时，()sin0

fxxx=−.所以，0不是函数()fx的极值点，D错.故选：BC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.323xx−的展开式中第3项是___________.【答案】27【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答

案.【详解】323xx−的展开式的第3项为()()()32222212033C?33C27xxx−−−=−=.故答案为：2714.如图所示，直线l是曲线()yfx=在点()5,6处的切线，则()'5f=__________.【答案】45##0.8【解

析】【分析】利用直线l所过点求得直线l的斜率，从而求得()'5f.【详解】由图象可知直线l过()()5,6,0,2，所以直线l的斜率为624505−=−，所以()'455f=.故答案为：4515.从3名

男生和4名女生中选3人参加志愿者活动，则选到的志愿者中既有男生又有女生的不同选法共有__________种．（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】由题可得共有37C种不同选法，然后计算3人都是男生或都是女生的选法，即求.【详解】从3名男生和4名女生中选3人参加志愿者

活动，共有3735C=种不同选法，其中3人都是男生或都是女生的选法有3334145CC+=+=种，所以选到的志愿者中既有男生又有女生的不同选法共有35530−=种.故答案为：30.16.已知函数2()ln()fxxxaxa=−R，当1a=时，(

)fx的零点个数为___________；若()fx在定义域内有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为___________.【答案】①.0②.102a【解析】【分析】当1a=时，结合导数求得()fx的零点个数.由()'0fx

=分离常数a，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围.【详解】()fx的定义域为()0,+，当1a=时，()()2lnlnfxxxxxxx=−=−，构造函数()ln,0hxxxx=−，()'111xhxxx−=−=，所以()

hx在区间()0,1上()()'0,hxhx递增，在区间()1,+上()()'0,hxhx递减，()11h=−，所以()0hx，则()0fx，故()fx零点个数为0个.令()'1ln20fxxax=+−=，1ln2xax+=.构造函数()1ln,0xgxxx+=，()'2lnx

gxx−=，所以()gx在区间()0,1上()()'0,gxgx递增，在区间()1,+上()()'0,gxgx递减，()11g=，令()0gx=解得1=xe.当1xe时，()0gx，所以102102aa.故答案为：0；102a【点睛】分离常数

法是在求解导数问题时常用的解题方法.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.求下列函数的导数：（1）221()(31)yxx=−+；（2）cosxyex=；【答案】（1）y′＝18x2＋4x－3

；（2）y′＝ex(cosx－sinx).【解析】【分析】利用导数的运算法则求函数的导数即可.【详解】（1）2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843yxxxxxxxxx=−++−+=+

+−=+−，（2）()cos(cos)cossin(cossin)xxxxxyexexexexexx=+=−=−.18.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1212q−2q（1）求q的值

；（2）求())0,1PXPX（．【答案】（1）222q−=（2）()()110,1222PXPX==−【解析】【分析】（1）根据分布列的性质列方程求得q.（2）结合（1）求得()()0,1P

XPX.【小问1详解】依题意，得211212qq+−+=，解得222q−=或2212q+=（舍去），所以222q−=.【小问2详解】由（1）得()112PX=−=，()()01212221PXq==−=−−=−，所以()()1012PXPX==−=，()()(

)1111021222PXPXPX==−+==+−=−.19.已知函数()332fxxx=−+.（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求()fx在区间2,0−上的最值.【答案】（1）0y=（2）最小值为0，最大值为4【解析

】【分析】（1）利用导数求得切线方程.（2）结合导数求得()fx在区间2,0−上的最值.【小问1详解】()()()'2'11320,33,10ffxxf=−+==−=，所以曲线()yfx=在点()1,0处的切线方程为

0y=.小问2详解】()()()'233311fxxxx=−=+−，所以()fx在区间()()()'2,1,0,fxfx−−递增；在区间()()()'1,0,0,fxfx−递减，()()()28620,11324,02fff

−=−++=−=−++==，【所以()fx在区间2,0−上的最小值为0，最大值为4.20.某校足球队有高一学生6人，高二学生5人，高三学生8人．（1）若每个年级各选1名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？（2）

若选派2人外出参观学习，要求这2人来自不同年级，则有多少种不同的选法？【答案】（1）240（2）118【解析】【分析】（1）先从每个年级选一名召集人，然后再乘起来；（2）分成三类：高一高二各选一人，高一高三各选一人，高二高三各选一人，然后在相加即可．小问1详解】由

题意得共有111658240CCC=（种)不同选法．小问2详解】分成三类选派外出参观学习人员．第一类：高一高二各选一人有116530CC=种第二类：高三高二各选一人有115840CC=种第三类：高一高三各选一人有116848

CC=种所以共有304048118++=种不同选法．21.银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2

）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率．【答案】（1）15；（2）25﹒【解析】【分析】(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对有两种情况：“第一次对”和“第一次错，第二次对”；(2)最后1位是偶数，不超过2次就按对也有两种情况：“第一次对

”和“第一次错，第二次对”﹒【小问1详解】设=iA“第i次按对密码”(1i=，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为112AAAA=．【【事件1A与事件12AA互斥，由概率的加法公式及乘法公式，

得()()()()()11211211911()101095PAPAPAAPAPAPAA=+=+=+=∣．因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为15．【小问2详解】设B=“最后1位密码为偶数”，则()()112145|12(|)5|

54PABPABPAAB=+=+=．因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为25．22.已知函数()()1xfxex=+.（1）求函数()fx的极值；（2）若函数()()3xgxfxem=−−有两个零点，求实数m的取值范围.【答案】（1）()fx的极小值为()22fe−−

=−，无极大值；（2）0em−.【解析】【分析】（1）求导，判断()fx正负，得函数()fx的单调性即可求得极值；（2）利用曲线()(2)xuxex=−与直线ym=有两个交点，构造函数()(2)(1)xxxuxexeex=−+=−，求导判单调性，

利用数形结合及值域求解即可【详解】（1）则()(2)xfxex=+，所以当<2x−时，()0fx，()fx为减函数；当2x−时，()0fx，()fx为增函数；所以()fx的极小值为()22fe−−=−，无极大值；（2）()()3(

2)xxgxfxemexm=−−=−−，函数()(2)xgxexm=−−有两个零点，相当于曲线()(2)xuxex=−与直线ym=有两个交点.'()(2)(1)xxxuxexeex=−+=−，当(,1)x−时，()0()uxu

x在(,1)−单调递减，当(1,)x+时，()0()uxux在(1,)+单调递增，1x=时，()ux取得极小值(1)ue=−，又x→+时，()ux→+；2x时，()0ux，0em−.【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查函数零点问题，转化的应用，是中档题