【文档说明】四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题 含解析 .docx，共(19)页，3.980 MB，由小赞的店铺上传

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2022年5月绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）试题命题人：幸济蒸审题人：蔡晓军本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满

分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中

，只有一个是符合题目要求的．1.命题“xR,若20x,则0x”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“xR,若0x,则20x”为真命题，故其否命题为真命题.故选C.考点

：四种命题及真假性判断．2.设复数1i1iza+=+（i为虚数单位）为纯虚数，则实数=a（）A.1B.－1C.2D.－2【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再结合纯虚数的意义求解作答.【详解】222(1i)(1i)1(1)i11i(1i)(1i)111aaaaazaaaa

a+−++−+−===++−+++，因复数z为纯虚数，则2101aa+=+，解得1a=−，所以实数1a=−.故选：B3.已知O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则一定有（）A.OA，OB，OC共线B.O，A，B，C中至少有

三点共线C.OAOB+与OC共线D.O，A，B，C四点共面【答案】D【解析】【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA，OB，OC不能构成空间的一个基底知OA，OB，OC共面，所以O，A，B，C四点共面故选

：D4.一个关于自然数n的命题，已经验证知1n=时命题成立，并在假设nk=（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2nk=+时命题成立，那么综上可知，该命题对于（）A.一切自然数成立B.一切正整数成立C.一切正奇数成立D.一切正偶数成立【答案】C【解析】【分析】依据数学归纳法

规则去判断即可解决【详解】已经验证知1n=时命题成立，并在假设nk=（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2nk=+时命题成立，那么综上可知，命题对13579n=，，，，，成立即该命题对于一切正奇数成立故选：C5.4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最

终获奖结果种数为（）A.34AB.34CC.34D.43【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法，由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为34444=.故选：C6.

如图，OABC是四面体，G是ABC的重心，1G是OG上一点，且13OGOG=，则（）的A.1OGOAOBOC=++B.1111333OGOAOBOC=++C.1111444OGOAOBOC=++D.1111999OGOAOBOC=++【答案】D【解析】【分析】利用向量加法减法的

几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，由G是ABC的重心，可得23AGAN=，()12ONOBOC=+则()()2221112=3332333AGANONOAOB

OCOAOBOCOA=−=+−=+−则()1111112111333333999OGOGOAAGOAOBOCOAOAOBOC==+=++−=++故选：D7.0ab是11abba++的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】A【解析】【分析】先化简不等式11abba++，再判断二者间的逻辑关系【详解】()111abababababbaabab−++−+=−+=−当0ab时，0ab−，0ab，10ab+，则有()

10ababab+−成立，即11abba++成立；当21ab=−=−，时，11113231122abba+=−+=−+=−+=−−−，，即11abba++成立，但此时0ab不成立.综上可知，0ab是11abba++的充分不必要条件故选：A

8.若函数()sincosfxaxx=+在[,]34−为增函数，则实数a的取值范围是A.[1,)+B.(,3]−−C.[3,1]−D.(,3][1,)−−+【答案】A【解析】【分析】利用函数的导函数在区间,34−恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a的取值范围.【详解

】依题意，()'cossin0fxaxx=−在区间,34−上恒成立，即cossinaxx，当ππ,34x−时，cos0x，故sintancosxaxx=，tanyx=在ππ,34x−时为递增函数，其最大值为πtan14=，故1

a.所以选A.【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.9.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验

舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.8种B.14种C.20种D.116种【答案】B【解析】【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.【详解】按照甲是否在天和核心舱划分

，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6CA种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=

24=8CC种可能；根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B.10.已知a，b是异面直线，A，B是a上的点，C，D是b上的点，2AB=，1CD=，且ACb⊥，BDb⊥，则a与b所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.90

°【答案】C【解析】【分析】先计算出ABCD,再根据cosθ=ABCDABCD计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设,θABCD=2()1ABCDACCDDBCDCD=++==1cosθ=2ABCDABCD=又θ[0,180]，θ=60故选：C

11.已知t和3t+是函数()32fxxaxbxc=+++的零点，且3t+也是函数()fx的极小值点，则()fx的极大值为（）A.1B.4C.43D.49【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)fxxtxt=−−−，再借助导数

求出极大值作答.【详解】因函数()fx在3t+处取得极小值0，又t是函数()fx的另一零点，因此函数()fx只有两个零点，从而有2()()(3)fxxtxt=−−−，求导得：()3(1)(3)fxxtxt=−−−

−，当1xt+或3xt+时，()0fx，当13txt++时，()0fx，于是，()fx在3xt=+处取得极小值，在1xt=+处取得极大值(1)4ft+=，所以()fx的极大值为4.故选：B12.设10099a=，0.01eb=，1.02c=，则（）A.abcB.acbC.b

acD.cab【答案】A【解析】【分析】构造函数()()e1xfxx=−+利用导数说明函数的单调性，即可得到e1xx+，即可判断；【详解】解：令()()e1xfxx=−+，则()e1xfx=−，所以当0x时

()0fx，当0x时()0fx¢>，所以()fx在()0,+上单调递增，在(),0−上单调递减，所以()()00fxf=，即()e10xx−+恒成立，即e1xx+（当0x=时取等号），所以0.020.01e

10.02e1.02+，∴bc，又e1xx−−（当0x=时取等号），所以当1x且0x时，有111ee1xxxx−−，∴0.011100e10.0199=−，∴ab．故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意

事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上．13.已知函数()()2223fxxfx=++，则()2f的值为______．【答案】4−【解析】【分析】将(2)f作为常量对()fx求导，得到导函数，再将()2f作为未

知量求解即可.【详解】由解析式知：()22(2)fxxf=+，∴(2)222(2)ff=+，解得()24f=−.故答案：4−.14某单位拟从A，B，C，D，E，F六名员工中选派三人外出学习，要求：（1）A，C二人中至少选一人；（2）B

，E二人中至少选一人；（3）B，C二人中至多选一人；（4）A，D二人中至多选一人．由于E因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______．【答案】A，B，F【解析】【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决【详解】由于E因病无法外出，依据条件（2）B，E二人中至少选一人

，可知一定选派B，依据条件（3）B，C二人中至多选一人，可知一定不选派C，为.又依据条件（1）A，C二人中至少选一人，可知一定选派A，又依据条件（4）A，D二人中至多选一人，可知一定不选派D，则一定选派B，A二人，一定不派出C，D，E三人.又共需选派3人，则一定选派F综上，

该单位最终选派的三位员工为：A，B，F故答案为：A，B，F15.将A，B，C，D四份不同的文件放入编号依次为15−的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A，B必须放入相邻的抽屉，文件C，D不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共

有______种．【答案】24【解析】【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决【详解】文件A，B放入1、2号抽屉时，文件C，D只能放入3、5号抽屉；文件A，B放入2、3号抽屉时，文件C，D只能放入1、4号或1

、5号抽屉；文件A，B放入3、4号抽屉时，文件C，D只能放入1、5号或2、5号抽屉；文件A，B放入4、5号抽屉时，文件C，D只能放入1、3号抽屉.则满足要求的放置方法共有()()22222222222222222222AAAAAAAAAA24+++++=

故答案为：2416.双曲正弦函数()eesinh2xxx−−=和双曲余弦函数()eecosh2xxx−+=在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线xm=与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C的图象分别相交于点A、B，曲线1C在A处的切线与曲线2C在B处

切线相交于点P，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①()()()sinhcoshxx=，()()()coshsinhxx=；②()()22sinhcosh1xx+=；③点P必在

曲线exy=上；④PAB的面积随m的增大而减小．【答案】①④【解析】【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线PA、PB的坐标，联立两切线方程可得出点P的坐标，可判断③的正误；求出PAB的面积关于m的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误.【详解】对于①，()()()eeee

sinhcosh22xxxxxx−−−===+，()()()eeeecoshsinh22xxxxxx−−−==+=，①对；对于②，()()222222eeeeeesinhcosh22

2xxxxxxxx−−−−+++=+=不恒为1，②错；对于③，ee,2mmAm−+、e2,emmBm−−，所以，切线PA的方程为()eeee22mmmmxmy

−−+−=−−，切线PB的方程为()eeee22mmmmxmy−−−+=−−，联立()()eeee22eeee22mmmmmmmmyxmyxm−−−−+−−=−−+−=−，解得1emxmy=+=，即点()1,emPm+，所以，点P不在曲线e

xy=上，③错；对于④，emAB−=，点P到直线AB的距离为1，则1e2mPABS−=△，所以，PAB的面积随m的增大而减小，④对.故答案：①④.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．17.（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）pq()pq()pq真真真______真假______真假真______假为假假真______（2）给定命题p：对任意实数x都有210axax++成立；命题q：关于x的方程2=0xxa−+有实根．已知命题()p

q和命题()pq都是真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）)10,4,4+．【解析】【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决；（2）先判断出题给条件对命题p，q真假的要求，再去求实数a的取值

范围．【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；（2）若命题p为真命题，则0a=或0Δ0a，解得)0,4a，若命题q为真命题，由0，解得14a，要使()pq和()pq都是真命题，则需p，q同真同假，若p，q同真，则有10,4a

，若p，q同假，则有4a，综上可知，a的取值范围为)10,4,4+．18.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，90ABC=，2CA=，1CB=，M是1CC的中点，1AMBA⊥.（

1）求1AA的长；（2）求直线1AC与平面11ABBA所成角的正弦值.【答案】（1）6；（2）1010.【解析】【分析】（1）证明1BAAN⊥，再利用相似三角形求解；（2）证明11CAB为直线1AC与平面11ABBA所成角，再解三角形求解.【小问1

详解】解：取1BB中点N，连接MN，AN，则//BCMN，∵1BB⊥平面ABC，∴1BBBC⊥，又BCBA⊥，,,ABBCBABBC=平面11ABBA，∴BC⊥平面11ABBA，故MN⊥平面11ABBA，AN即为AM在平

面11ABBA内的射影，又1AMBA⊥，∴1BAAN⊥，故1RtABNRtAAB△△∽，∴1BNABABAA=，而413AB=−=，∴126AAAB==；【小问2详解】解：连接1AB，由（1）知11BC⊥平面11ABBA，故11CAB为直线1AC与平面11ABBA所成角，1641

0AC=+=，111BC=，∴111sin10CAB=，即所求角的正弦值为1010.19.某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为()0kk．现已知相距10km的A，B两家化工厂（污染源），A

化工厂的污染强度未知，暂记为()0aa，B化工厂的污染强度为4，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和，设()kmACx=．（1）试将y表示为关于x，k，a的等式；（2）调研表明y在2x=处取得最小值，据此请推断出A化工厂的污染强度．【答案】（1）41

0aykxx=+−，()0,10x（2）14【解析】【分析】（1）根据题意去将y表示为关于x，k，a的等式；（2）利用导数去求A化工厂的污染强度．【小问1详解】410aykxx=+−，()0,10x；【小问2详解】()()()22222241041

010xaxaykkxxxx−−=−=−−，由题意，,210166404xyaa==−==，经检验知，当14a=时，y在()0,2上单减，在()2,10上单增，满足题意．所以，A化工厂的污染强度为14．20.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧

棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”PABCD−中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PDCD=，棱PC的中点为E，3PFFB=，连接DE，DF，EF．（1）若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为π3，求C

BCD的值．（2）设棱PA与平面DEF相交于点G，且PGPA=，求的值；【答案】（1）2（2）13【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2CD=，CBm=，先利用向量求得m的值，再去求CBCD的值；

（2）利用1DGn⊥，由向量列出关于的方程，再去求的值.【小问1详解】以D为坐标原点，DA，DC，DP方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz−，并设2CD=，CBm=，则()0,0,0D，(),0,0Am，(),2,0Bm，()

0,2,0C，()002P,,，于是()0,1,1E，()0,0,2DP=，(),2,0DBm=，()0,1,1DE=又31344PFFBDFDPDB==+，所以13,,422mDF=，设平面DEF的一个法向量()1,,nxyz=．则1304220mxyzyz++=+=，

令4x=−，则ym=−，zm=则平面DEF的一个法向量()14,,nmm=−−．易知平面ABCD的一个法向量()20,0,1n=uur，∴122cos,216mnnm=+，由题意知，212216mm=

+，由此解得22m=，∴22CBmCD==；【小问2详解】由(0,0,2)DP=，(,0,2)PAm=−，(,0,2)PGPAm==−可得(),0,22DGDPPAm=+=−，由题意，G平面DEF上一点，则1DGn⊥，则()4220mm−+−=，由此

解得：13=．21.已知函数()()()2ln0fxxaxa=−．（1）若()fx恰有一个零点，求a的值；（2）若0x是()fx的零点，且2yx=在点()200,xx处的切线恰与lnyx=相切，求a的值．【答案】（1）2ea=；（2）2ea=.【解析】【分析】（

1）由题可得函数()22fxf，进而可得202f=，即得；（2）利用导数的几何意义可得2yx=在()200,xx处切线l：()20002yxxxx=−+，结合条件可得()2

001ln2xx=+，()200lnxax=，即得.【小问1详解】是∵()21212,0xfxxxxx−=−=，由()0fx=可得22x=，∴当20,2x时，()0fx，当2,2x+时，()0fx¢>，∴()f

x在20,2单调递减，在2,2+单调递增，所以()22fxf，当0x→时，()fx→+，当x→+时，()fx→+，∴由题意可知，22x=是()fx的唯一零点，由2222ln0222af=−=，解得：2ea

=；【小问2详解】由2yx=可得2yx=，∴2yx=在()200,xx处切线l：()20002yxxxx=−+，整理得：l：2002yxxx=−，设该切线与lnyx=相切于(),lntt，又1yx=，则l：()1lnyxttt=−+，整理

得：l：1ln1yxtt=+−，∴()002012lnln21lnxtxtxt==−=−，∴()2001ln2xx=+，又由题知：()200lnxax=，∴()()()000ln1ln2ln2eaxxx=+=，∴2ea=即为所求．22.已知函数()()

ln1Rfxxaxa=++，()fx为()fx的导函数．（1）讨论()fx的单调性；（2）若210xx，证明：对任意Ra，存在唯一的()012,xxx，使得()()()12012fxfxfxxx−=−成立．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析

】【分析】（1）先求得()'fx，然后对a进行分类讨论，由此求得()fx的单调区间.（2）构造函数()()()()1212fxfxFxfxxx−=−−，然后结合导数以及零点存在性定理证得结论成立.【小问1详解】()

()110axfxaxxx+=+=，①当0a时，()0fx¢>，∴()fx在()0,+单调递增；②当a<0时，在10,a−，()0fx¢>，在1,a−+，()0fx，∴()fx在10,a−单调递增，在1,a

−+单调递减.【小问2详解】依题意，210xx，设()()()()()()121212121fxfxfxfxFxfxaxxxxx−−=−=+−−−，()12,xxx，()Fx在定义域内单

调递减，()()()1211121fxfxFxaxxx−=+−−()1122112ln1ln11xaxxaxaxxx++−++=+−−()1122112ln1xaxxxaxxx+−=+−−()112122

11211212lnln1xxxxxxaaxxxxxxxx−=+−−=−−−−12112121lnxxxxxxx−=+−21121211lnxxxxxx=−−−，令()120,1xtx=，()11lnGttt=−−，则()()()112FxxxG

t=−，∵()21tGtt−=，∴在()0,1，()()0GtGt在()0,1单调递增，∴()()10GtG=，故()()11210FxGtxx=−.同理可得：()112122211lnxxFxxxxx=

−−−，令()120,1xtx=，()1lnHttt=−−，则()()2121FxHtxx=−，∵()11Htt=−，∴在()0,1，()()0HtHt在()0,1单调递减，∴()()10HtH=，故()()21210FxHtxx=−

，综上可知，()Fx在()12,xx单调递减，且()10Fx，()20Fx，∴()Fx在()12,xx存在唯一零点0x，使得()()()12012fxfxfxxx−=−，命题得证．【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函

数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com