【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第30讲 平面向量的数量积（讲） Word版含解析.docx，共(12)页，947.034 KB，由小赞的店铺上传

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第30讲平面向量的数量积（讲）思维导图知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(

3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos

_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(

a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b

的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型归纳题型1平面向量数量积的运算【例1-1】（2020春•南岗区校级期末）已知向量a，b满足||1a=，1ab=−，则(2)(aab−=)A．0B．2C．3D．4【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：2(2)

221(1)3aabaab−=−=−−=．故选：C．【例1-2】（2020春•临渭区期末）在ABC中，D为线段BC的中点，1AD=，3BC=，则(ABAC=)A．13−B．54−C．3D．4【分析】以D

B，DA为基底，分别表示AB，AC，即可求解．【解答】解：D为线段BC的中点，ABDBDA=−，()ACDCDADBDADBDA=−=−−=−+，又1AD=，3BC=，则21DA=，294DB=．2295()()()(1)44ABACDBDADBDADBD

A=−−+=−−=−−=−．故选：B．【跟踪训练1-1】（2020春•泉州期末）平行四边形ABCD中，4AB=，22AD=，34BAD=，E是线段CD的中点，则(AEAC=)A．0B．2C．4D．42【分析】根据条件即可得出12AEADAB=+，ACADAB=+

，从而得出1()()2AEACADABADAB=++，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据题意：12AEADAB=+，ACADAB=+，且4AB=，22AD=，34BAD=，22113132()()816422()4222222AEACA

DABADABADABABAD=++=++=++−=．故选：C．【跟踪训练1-2】（2020春•道里区校级期末）已知a，b满足||||2ab==，a，b的夹角为120，则ab=．【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可．【解答】解：a，b满

足||||2ab==，a，b的夹角为120，1||||cos12022()22abab==−=−．故答案为：2−．【名师指导】求非零向量a，b的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底法直接利用定义法求数量积不可

行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用

坐标法求数量积题型2平面向量数量积的应用【例2-1】（2020春•北海期末）已知向量a，b的夹角为60，32ab=，||3b=，则||(a=)A．1B．33C．3D．2【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得．【解答】解：

向量a，b的夹角为60，||3b=，33||||cos60||22abbaa====．则||1a=，故选：A．【例2-2】（2020春•广东期末）已知平面向量(3,0)a=，(2b=，6)，则a与b的夹角为()A．12B．6

C．4D．3【分析】根据条件可求出32ab=，||3,||22ab==，然后即可求出cos,ab的值，从而得出a与b的夹角．【解答】解：32ab=，||3,||22ab==，321cos,2||||322ababab=

==，且0,ab剟，,3ab=．故选：D．【例2-3】（2020•太原二模）已知,ab是两个非零向量，其夹角为，若()()abab+⊥−，且||2||abab+=−，则cos(=)A．12B．3

5C．12−D．32−【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得cos的值．【解答】解：,ab是两个非零向量，其夹角为，若()()abab+⊥−，则22()()0ababab+−=−=，||||ab=．||2||abab+=

−，222224(2)aabbaabb++=−+，2610aab=．则22335cos5||||aabaab===，故选：B．【跟踪训练2-1】（2020春•黔南州期末）已知向量a，b满足||3||ab=，6ab=，a，3b=，则||(a=)A．2B．3C．4D．6【分析】根

据平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：因为||||cosababa=，1||||cos633baa==，所以||6a=．故选：D．【跟踪训练2-2】（2020春•赤峰期末）已知1e，2e是单位向

量，若12|34|37ee−=，则1e与2e的夹角为()A．30B．60C．90D．120【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出1e与2e的夹角的余弦值，可得它的1e与2e的夹角．【解答】

解：已知1e，2e是单位向量，若12|34|37ee−=，设1e与2e的夹角为，2211229241637eeee−+=，即924cos1637−+=，求得1cos2=−，120=，故选：D．【跟踪训练2-3】（2020春•新

余期末）已知向量a、b满足||1a=，||2b==，向量a，b的夹角为3，则|2|ab−的值为()A．4B．3C．2D．3【分析】根据条件可求出1ab=，从而根据22|2|44abaabb−=−+即可求出答案．【解答】解：1ab=，且||1,||2ab==，22|2|444442abaabb−

=−+=−+=．故选：C．【跟踪训练2-4】（2020春•广州期末）已知(2,1)a=−，(1,)bt=，若(2)aba−⊥，则||b=．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出t的值，可得||b的值．【解答】解：已知(2,

1)a=−，(1,)bt=，若(2)aba−⊥，则2(2)225(2)0abaaabt−=−=−−=，8t=−，则2||165bt=+=，故答案为：65．【跟踪训练2-5】（2020春•金安区校级期末）已知向量(3,2)a=−，(1,)bm=，且

()aba+⊥，则(m=)A．8−B．6−C．6D．8【分析】利用平面向量坐标运算法则求出ab+，再由()aba+⊥，利用向量垂直的性质能求出m的值．【解答】解：向量(3,2)a=−，(1,)bm=，(4,2)abm+=−+，()aba+⊥，()122(2)

0abam+=−−+=，解得8m=．故选：D．【跟踪训练2-6】（2020•临汾模拟）已知向量1(2b=，3)2，向量a在向量b方向上的投影为2−．若()abb+⊥，则实数的值为()A．14B．14−C．12D．12−【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定

义，求得实数的值．【解答】解：向量1(2b=，3)2，向量a在向量b方向上的投影为2−，2||2abb=−=−，若()abb+⊥，则2()210abbabb+=+=−+=，12=，故选：C．【跟踪训练2-7】（2020春•咸阳期

末）已知向量(1,1)OA=，(3,)OBm=，若OAAB⊥，则实数m的值为()A．1−B．1C．2−D．2【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出AB，再由OAAB⊥，能求出实数m的值．【解答】解：向量(1,1)OA=，(3,)OBm=，(2,1)ABm=−，OAAB⊥，21

0OAABm=+−=，解得实数1m=−．故选：A．【跟踪训练2-8】（2020春•密云区期末）已知向量a与b的夹角为60，||1a=，||2b=，当(2)bab⊥−时，实数为()A．1B．2C．12D．12−【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值．【解答】解：

向量a与b的夹角为60，||1a=，||2b=，由(2)bab⊥−知，(2)0bab−=，220bab−=，2221cos6020−=，解得12=．故选：C．【跟踪训练2-9】（2020春•垫江县校级期末）已知||2a=，

||2b=，且()bab⊥−，则||ab+=．【分析】推导出22abb==，222||()2abababab+=+=++，由此能求出结果．【解答】解：||2a=，||2b=，且()bab⊥−，2()0bababb−=−=，

22abb==，222||()2422223abababab+=+=++=++=．故答案为：23．【跟踪训练2-10】（2020•徐州模拟）已知(2,3)AB=，(1,)ACm=−，若ABBC⊥，则实数m的值为．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】

解：已知(2,3)AB=，(1,)ACm=−，(3,3)BCACABm=−=−−．若ABBC⊥，(2ABBC=，3)(3−，3)63(3)0mm−=−+−=，则实数5m=，故答案为：5．【跟踪训练2-11】（2020•江苏模拟）在A

BC中，()(1)ABACBC−⊥，若角A的最大值为6，则实数的值是．【分析】由()ABACBC−⊥得出()()0ABACACAB−−=，设ABC三角所对的边分别为a、b、c，求出cosA，再利用角A的最大值得出方程求出的值．【解答】解：ABC

中，()(1)ABACBC−⊥，所以()0ABACBC−=，即()()0ABACACAB−−=，所以22(1)0ABACABAC+−−=，设ABC三角所对的边分别为a、b、c，则22(1)cos0cbAcb−−−=，所以2222cos(1)(1)1cbbcAbcb

c+==+++…，若角A的最大值为6，则3coscos62A=…，令2312=+，解得3=．故答案为：3．【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用

向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝a·b|a||b|求得坐

标法若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根

据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数

．题型3平面向量与三角函数的综合问题【例3-1】（2020春•辽阳期末）已知向量(cos()6ax=−，sin())6x−，向量(3b=，1)−，函数()fxab=．（1）求()fx的最大值；（2）若()f−，

5()2f−是关于x的方程225100xxt−+=的两根，且(0,)，求sintancostan11tan+−−及t的值．【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解

析式，结合三角函数的最值求解即可．（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可．【解答】解：（1）向量(cos()6ax=−，sin())6x−，向量(3b=，1)−，函数()3cos(

)sin()2cos()2cos6666fxabxxxx==−−−=−+=，所以函数()fx的最大值为2．（2）()f−，5()2f−是关于x的方程225100xxt−+=的两根，即2cos与2sin，(0,)，是关于x的方程225100xxt

−+=的两根，所以22cos2sin5+=，4cossin25t=，因为2(cossin)12cossin+=+，所以112550t=+，解得48t=−．所以22sintancos1si

ncostan11tansincossincos5sincos+=−=+=−−−−．【例3-2】（2020春•北海期末）已知向量(cos,3)ax=，(1,sin)bx=，函数()1

fxab=+．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若()(2)3gxfx=−，[3x−，]4时，求函数()gx的最值．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）通过x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解

即可．【解答】解：（1）()1cos3sin12sin()16fxabxxx=+=++=++．由22262kxk−++剟，kZ，可得22233kxk−+剟，kZ，单调递增区间为：2[23k−+

，2]()3kkZ+．（2）若()(2)2sin(2)136gxfxx=−=−+．当[3x−，]4时，52663x−−剟，即31sin(2)62x−−剟，则1()31gx−+剟，所以函数()gx的最

大值、最小值分别为：31+，1−．【跟踪训练3-1】（2020春•湛江期末）已知向量(1,2cos)ax=，(3sinbx=，3)((02x，))3．（1）若//ab，求tan2x的值；（2）若(

)fxab=，则函数()fx的值域．【分析】（1）根据平面向量平行的坐标运算以及二倍角公式进行求解即可；（2）先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数()fx化简为()6sin()4fxx=+，再结合正弦函数的图象与性质求解即

可．【解答】解：（1）//ab，12cos3sin32xx=，323sincos2xx=，即1sin22x=，(0,)3x，26x=，3tan23x=．（2）()3sin3cos6sin(

)4fxabxxx==+=+，(0,)3x，7(,)4412x+，2sin()(,1]42x+．函数()fx的值域为(3,6]．【跟踪训练3-2】（2020春•沈阳期末）已知|

|2m=，(cos,sin)n=．（1）若(23)(2)9mnmn−+=，求向量m在向量n方向的投影的数量．（2）若6=−，且mn⊥，求向量m的坐标．【分析】（1）先将等式(23)(2)9mnmn−+=的左边展开化简

运算可得1mn=，再根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）把6=−代入n的坐标中可得向量n，设(,)mxy=，根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列出关于x和y的方程组，解之即可．【解答】解：（1）22(23)(2

)44344439mnmnmmnnmn−+=−−=−−=，1mn=，向量m在向量n方向的投影的数量为1||cos,1||1mnmmnn===．（2）6=−，(cosn=，3sin)(2=，1)2−，

设(,)mxy=，则224xy+=①，mn⊥，31022xy−=②，由①②解得，13xy==或13xy=−=−．故向量m的坐标为(1,3)或(1,3)−−．【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的

综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方

法与技巧求解．(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．