【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第30讲 平面向量的数量积（讲） Word版含解析.docx，共(12)页，947.034 KB，由小赞的店铺上传

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第30讲平面向量的数量积（讲）思维导图知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180

°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方

向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c

.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b

＝0x1x2＋y1y2＝0题型归纳题型1平面向量数量积的运算【例1-1】（2020春•南岗区校级期末）已知向量a，b满足||1a=，1ab=−，则(2)(aab−=)A．0B．2C．3D．4【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：2(2)221(1)3aabaab

−=−=−−=．故选：C．【例1-2】（2020春•临渭区期末）在ABC中，D为线段BC的中点，1AD=，3BC=，则(ABAC=)A．13−B．54−C．3D．4【分析】以DB，DA为基底，分别表示AB

，AC，即可求解．【解答】解：D为线段BC的中点，ABDBDA=−，()ACDCDADBDADBDA=−=−−=−+，又1AD=，3BC=，则21DA=，294DB=．2295()()()(1)44ABACDBDADBDADB

DA=−−+=−−=−−=−．故选：B．【跟踪训练1-1】（2020春•泉州期末）平行四边形ABCD中，4AB=，22AD=，34BAD=，E是线段CD的中点，则(AEAC=)A．0B．2C．4D．42【分析】根据条件即可得出12AEADAB=+，ACADAB=+，从而

得出1()()2AEACADABADAB=++，然后进行数量积的运算即可．【解答】解：如图，根据题意：12AEADAB=+，ACADAB=+，且4AB=，22AD=，34BAD=，22113132()()816422()4222222

AEACADABADABADABABAD=++=++=++−=．故选：C．【跟踪训练1-2】（2020春•道里区校级期末）已知a，b满足||||2ab==，a，b的夹角为120，则ab=．【分析】直接利用向量的数量积公式化简求解即可．【解答】解：a，b满足|

|||2ab==，a，b的夹角为120，1||||cos12022()22abab==−=−．故答案为：2−．【名师指导】求非零向量a，b的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和夹角基底

法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积题型2平面向量数量积的

应用【例2-1】（2020春•北海期末）已知向量a，b的夹角为60，32ab=，||3b=，则||(a=)A．1B．33C．3D．2【分析】利用向量的数量积公式求将求出的值代入代数式即得．【解答】解：向量a，b的夹角为60，||3b=，33||||cos60||22abbaa====．

则||1a=，故选：A．【例2-2】（2020春•广东期末）已知平面向量(3,0)a=，(2b=，6)，则a与b的夹角为()A．12B．6C．4D．3【分析】根据条件可求出32ab=，||3,||22ab==，然后即可求出cos,ab的值，从而得

出a与b的夹角．【解答】解：32ab=，||3,||22ab==，321cos,2||||322ababab===，且0,ab剟，,3ab=．故选：D．【例2-3】（2020•太原二模）已知,a

b是两个非零向量，其夹角为，若()()abab+⊥−，且||2||abab+=−，则cos(=)A．12B．35C．12−D．32−【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得cos的值

．【解答】解：,ab是两个非零向量，其夹角为，若()()abab+⊥−，则22()()0ababab+−=−=，||||ab=．||2||abab+=−，222224(2)aabbaabb++=−+，2610aab=．则22335cos5||||aabaab===，故选：B

．【跟踪训练2-1】（2020春•黔南州期末）已知向量a，b满足||3||ab=，6ab=，a，3b=，则||(a=)A．2B．3C．4D．6【分析】根据平面向量数量积的运算法则即可得解．【解答】解：因为||||cosababa=，1||||cos633baa

==，所以||6a=．故选：D．【跟踪训练2-2】（2020春•赤峰期末）已知1e，2e是单位向量，若12|34|37ee−=，则1e与2e的夹角为()A．30B．60C．90D．120【分析】由题意利用两个向量数量积公式，求出1e与2e的夹角的余弦值，可得它的1e与2e的夹角

．【解答】解：已知1e，2e是单位向量，若12|34|37ee−=，设1e与2e的夹角为，2211229241637eeee−+=，即924cos1637−+=，求得1cos2=−，120=，故选：D．【跟踪训练2-3】（2020春•新余期

末）已知向量a、b满足||1a=，||2b==，向量a，b的夹角为3，则|2|ab−的值为()A．4B．3C．2D．3【分析】根据条件可求出1ab=，从而根据22|2|44abaabb−=−+即可求

出答案．【解答】解：1ab=，且||1,||2ab==，22|2|444442abaabb−=−+=−+=．故选：C．【跟踪训练2-4】（2020春•广州期末）已知(2,1)a=−，(1,)bt=，

若(2)aba−⊥，则||b=．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式求出t的值，可得||b的值．【解答】解：已知(2,1)a=−，(1,)bt=，若(2)aba−⊥，则2(2)225(2)0ab

aaabt−=−=−−=，8t=−，则2||165bt=+=，故答案为：65．【跟踪训练2-5】（2020春•金安区校级期末）已知向量(3,2)a=−，(1,)bm=，且()aba+⊥，则(m=)A．8−B．6−C．6D．8【分析】利用平面向量坐标运算法则求出ab+，再由()aba+⊥，

利用向量垂直的性质能求出m的值．【解答】解：向量(3,2)a=−，(1,)bm=，(4,2)abm+=−+，()aba+⊥，()122(2)0abam+=−−+=，解得8m=．故选：D．【跟踪训练2-6】

（2020•临汾模拟）已知向量1(2b=，3)2，向量a在向量b方向上的投影为2−．若()abb+⊥，则实数的值为()A．14B．14−C．12D．12−【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得实数的值．【解答】解：向量1

(2b=，3)2，向量a在向量b方向上的投影为2−，2||2abb=−=−，若()abb+⊥，则2()210abbabb+=+=−+=，12=，故选：C．【跟踪训练2-7】（2020春•咸阳期

末）已知向量(1,1)OA=，(3,)OBm=，若OAAB⊥，则实数m的值为()A．1−B．1C．2−D．2【分析】利用平面向量坐标运算法则，求出AB，再由OAAB⊥，能求出实数m的值．【解答】解：向量(1,1)OA=，(3,)OBm=，(2,1)ABm=−，OAAB⊥，210OA

ABm=+−=，解得实数1m=−．故选：A．【跟踪训练2-8】（2020春•密云区期末）已知向量a与b的夹角为60，||1a=，||2b=，当(2)bab⊥−时，实数为()A．1B．2C．12D．12−【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值．【解答】解：向量a与b的夹角为60

，||1a=，||2b=，由(2)bab⊥−知，(2)0bab−=，220bab−=，2221cos6020−=，解得12=．故选：C．【跟踪训练2-9】（2020春•垫江县校级期末）已知||2a=，||2b=，且()bab⊥−，则||ab+=．【分析】推导出

22abb==，222||()2abababab+=+=++，由此能求出结果．【解答】解：||2a=，||2b=，且()bab⊥−，2()0bababb−=−=，22abb==，222||()2422223ababa

bab+=+=++=++=．故答案为：23．【跟踪训练2-10】（2020•徐州模拟）已知(2,3)AB=，(1,)ACm=−，若ABBC⊥，则实数m的值为．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：已知(2,3)AB=，(

1,)ACm=−，(3,3)BCACABm=−=−−．若ABBC⊥，(2ABBC=，3)(3−，3)63(3)0mm−=−+−=，则实数5m=，故答案为：5．【跟踪训练2-11】（2020•江苏模拟）在ABC中，

()(1)ABACBC−⊥，若角A的最大值为6，则实数的值是．【分析】由()ABACBC−⊥得出()()0ABACACAB−−=，设ABC三角所对的边分别为a、b、c，求出cosA，再利用角A的最大值得出方程求出的值．【

解答】解：ABC中，()(1)ABACBC−⊥，所以()0ABACBC−=，即()()0ABACACAB−−=，所以22(1)0ABACABAC+−−=，设ABC三角所对的边分别为a、b、c，则

22(1)cos0cbAcb−−−=，所以2222cos(1)(1)1cbbcAbcbc+==+++…，若角A的最大值为6，则3coscos62A=…，令2312=+，解得3=．故答案为：3．【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法

利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ

时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cosθ＝a·b|a||b|求得坐标法若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22，〈a，b〉∈[

0，π]3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参

数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．题型3平面向量与三角函数的综合问题【例3-1】（2020春•辽阳期末）已知向量(cos()6ax=−，sin())6x−，向量(3b=，1)−，函数()fxab=．（1）求()fx的最大值；

（2）若()f−，5()2f−是关于x的方程225100xxt−+=的两根，且(0,)，求sintancostan11tan+−−及t的值．【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解

即可．（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可．【解答】解：（1）向量(cos()6ax=−，sin())6x−，向量(3b=，1)−，函数()3cos()sin()2cos()2cos6666fxabxxxx==−−−=−+=，所以函数()fx

的最大值为2．（2）()f−，5()2f−是关于x的方程225100xxt−+=的两根，即2cos与2sin，(0,)，是关于x的方程225100xxt−+=的两根，所以22cos2sin5+=，4cossin25t=，因为2(cossin)12cossin

+=+，所以112550t=+，解得48t=−．所以22sintancos1sincostan11tansincossincos5sincos+=−=+=−−−−．【例3-2】（2020春•北海期

末）已知向量(cos,3)ax=，(1,sin)bx=，函数()1fxab=+．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若()(2)3gxfx=−，[3x−，]4时，求函数()gx的最值．【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简

函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）通过x的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．【解答】解：（1）()1cos3sin12sin()16fxabxxx=+=++=++．由22262kxk−++剟，k

Z，可得22233kxk−+剟，kZ，单调递增区间为：2[23k−+，2]()3kkZ+．（2）若()(2)2sin(2)136gxfxx=−=−+．当[3x−，]4时，52663x−−剟，即31sin(2)62x−−剟，则1()31gx−+

剟，所以函数()gx的最大值、最小值分别为：31+，1−．【跟踪训练3-1】（2020春•湛江期末）已知向量(1,2cos)ax=，(3sinbx=，3)((02x，))3．（1）若//ab，求tan2x的值；（2）若()fxab=，则函数()fx

的值域．【分析】（1）根据平面向量平行的坐标运算以及二倍角公式进行求解即可；（2）先结合平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式将函数()fx化简为()6sin()4fxx=+，再结合正弦函数的图象与性质求解

即可．【解答】解：（1）//ab，12cos3sin32xx=，323sincos2xx=，即1sin22x=，(0,)3x，26x=，3tan23x=．（2）()3sin3cos6sin()4fxabxxx==+=+，(0,

)3x，7(,)4412x+，2sin()(,1]42x+．函数()fx的值域为(3,6]．【跟踪训练3-2】（2020春•沈阳期末）已知||2m=，(cos,sin)n=．（1）若(23)(2)9mnmn−+=，求向量m在向量n方向的投影的数量．（2）若

6=−，且mn⊥，求向量m的坐标．【分析】（1）先将等式(23)(2)9mnmn−+=的左边展开化简运算可得1mn=，再根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）把6=−代入n的坐标中可得向量n，设(,)m

xy=，根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列出关于x和y的方程组，解之即可．【解答】解：（1）22(23)(2)44344439mnmnmmnnmn−+=−−=−−=，1mn=，向量m在向量n方向的投影的数量为1||cos,1||1mnmmnn===．（2）6

=−，(cosn=，3sin)(2=，1)2−，设(,)mxy=，则224xy+=①，mn⊥，31022xy−=②，由①②解得，13xy==或13xy=−=−．故向量m的坐标为(1,3)

或(1,3)−−．【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．(2

)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．(3)注意向量夹角与三角形内角的区别与联系，避免出现将内角等同于向量夹角的错误．