【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第30讲 平面向量的数量积（讲）（原卷版）.docx，共(6)页，371.216 KB，由小赞的店铺上传

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第30讲平面向量的数量积（讲）思维导图知识梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若

θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|co

s_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·

a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型归纳题型1平面向量数量积的运算【例1-1】（2020春•南岗区校级期末）已知向量a，b满足||1a=，1ab=−，则(2)(aab−

=)A．0B．2C．3D．4【例1-2】（2020春•临渭区期末）在ABC中，D为线段BC的中点，1AD=，3BC=，则(ABAC=)A．13−B．54−C．3D．4【跟踪训练1-1】（2020春•泉州期末）平行四边形ABCD中，4AB=，22AD=，34BAD=，E是线

段CD的中点，则(AEAC=)A．0B．2C．4D．42【跟踪训练1-2】（2020春•道里区校级期末）已知a，b满足||||2ab==，a，b的夹角为120，则ab=．【名师指导】求非零向量a，b的数量积的3种方法方法适用范围定义法已知或可求两个向量的模和

夹角基底法直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解坐标法①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有(或隐含)正交基

底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积题型2平面向量数量积的应用【例2-1】（2020春•北海期末）已知向量a，b的夹角为60，32ab=，||3b=，则||(a=)A．1B．33C．3D．2【例2-2】（2020春•广东期

末）已知平面向量(3,0)a=，(2b=，6)，则a与b的夹角为()A．12B．6C．4D．3【例2-3】（2020•太原二模）已知,ab是两个非零向量，其夹角为，若()()abab+⊥−，且||2||abab+=−，则cos(=)

A．12B．35C．12−D．32−【跟踪训练2-1】（2020春•黔南州期末）已知向量a，b满足||3||ab=，6ab=，a，3b=，则||(a=)A．2B．3C．4D．6【跟踪训练2-2】（2020春•赤峰期末）已知1e，2e是单位向量，若1

2|34|37ee−=，则1e与2e的夹角为()A．30B．60C．90D．120【跟踪训练2-3】（2020春•新余期末）已知向量a、b满足||1a=，||2b==，向量a，b的夹角为3，则|2|a

b−的值为()A．4B．3C．2D．3【跟踪训练2-4】（2020春•广州期末）已知(2,1)a=−，(1,)bt=，若(2)aba−⊥，则||b=．【跟踪训练2-5】（2020春•金安区校级期末）已知向量(3,2)a=−，(1,)bm=，且()aba

+⊥，则(m=)A．8−B．6−C．6D．8【跟踪训练2-6】（2020•临汾模拟）已知向量1(2b=，3)2，向量a在向量b方向上的投影为2−．若()abb+⊥，则实数的值为()A．14B．14−C．

12D．12−【跟踪训练2-7】（2020春•咸阳期末）已知向量(1,1)OA=，(3,)OBm=，若OAAB⊥，则实数m的值为()A．1−B．1C．2−D．2【跟踪训练2-8】（2020春•密云区期末）已知向量a与b的夹角为60，||1a=，||2b=，当(2)bab⊥−时，实数为

()A．1B．2C．12D．12−【跟踪训练2-9】（2020春•垫江县校级期末）已知||2a=，||2b=，且()bab⊥−，则||ab+=．【跟踪训练2-10】（2020•徐州模拟）已知(2,3)AB=，(1,)ACm=−，若ABBC⊥，则实数m的值为．【跟踪训练2-11】（2020•江苏模

拟）在ABC中，()(1)ABACBC−⊥，若角A的最大值为6，则实数的值是．【名师指导】1.求平面向量模的2种方法公式法利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算几何法利用向量

的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解2.求平面向量夹角的2种方法定义法当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得

出它们之间的关系，由cosθ＝a·b|a||b|求得坐标法若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22，〈a，b〉∈[0，π]3．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量

垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．4．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．题型3平面向量与三角

函数的综合问题【例3-1】（2020春•辽阳期末）已知向量(cos()6ax=−，sin())6x−，向量(3b=，1)−，函数()fxab=．（1）求()fx的最大值；（2）若()f−，5()2f−是关于x的方程225100xxt−+=的两根，且(

0,)，求sintancostan11tan+−−及t的值．【例3-2】（2020春•北海期末）已知向量(cos,3)ax=，(1,sin)bx=，函数()1fxab=+．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若()(2)3gxf

x=−，[3x−，]4时，求函数()gx的最值．【跟踪训练3-1】（2020春•湛江期末）已知向量(1,2cos)ax=，(3sinbx=，3)((02x，))3．（1）若//ab，求tan2x的值；（2）若()fxab=，则函数()fx的值域．【跟踪训练3-

2】（2020春•沈阳期末）已知||2m=，(cos,sin)n=．（1）若(23)(2)9mnmn−+=，求向量m在向量n方向的投影的数量．（2）若6=−，且mn⊥，求向量m的坐标．【名师指导】向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题

目，通过向量的坐标运算构建出三角函数，然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题，有时还加入参数，考查分类讨论的思想方法．(2)向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，实现三角函数问题，所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解．