【文档说明】广东省惠来县第一中学2021届高三下学期第六次阶段考试数学试题 版含答案.doc，共(15)页，1.645 MB，由小赞的店铺上传

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★启用前注意保密惠来一中2021届高三年级第六次阶段考(数学)本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。1.已知N是自然数集，集−=NxNxP109|，−=NxNxQ|109，则有()A．QP=B．=)(QCPNC．PQP=D．以上都不对2.下列说法中有错误的个数是()①．垂直于同一个平面的两条直线平行②．若

两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直③．一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行④．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直A.1个B.2个C.3个D.4个3.某高校大一新生中，来自东部地区的学

生有2400人，中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人．从中选取100人作样本调研饮食习惯．为保证调研结果相对准确，下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③

西部地区学生小刘被选中的概率为150；④东部地区学生小张被选中的概率比中部地区的学生小王被选中的概率大.A．①④B．①③C．①③④D．②③4.我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍约为2，纸张的形状不变．

已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面ABCD为一张A4纸，若点E为上底面圆上弧AB的中点，则异面直线DE与AB所成的角约为（）A．6B．4C．3D．235.已知数列na满足2122111,16,2nnnaaaaa+

+===则数列na的最大项为（）A．92B．102C．8182D．1126.古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘

物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金()A．大于10gB．

小于10gC．大于等于10gD．小于等于10g7.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x9

1则7个剩余分数的方差为()A.1169B.367C．36D.6778．若定义在R上的偶函数()fx在(0)+，上单调递增，且(π)0f−=，则下列取值范围中的每个x都能使不等式sin(π)0xfx+≥成立的是A．[2π0]−，B．[02π]，C．[ππ

]−，D．π{|}2kxxk=Z，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知平面向量()()2,2,1,abm==，且2a

bab−=+，则（）A．4ab=B．0ab=C．1m=−D．2b=10．已知函数()()sin3cos0fxxx=+的零点构成一个公差为2的等差数列，把函数()fx的图象沿x轴向右平移6个单位，得到函数()gx的图象，关于函数()gx，下列说正确的是（）

A．在,42上是减函数B．其函数图象关于直线2x=对称C．函数()gx是偶函数D．在2,63上的值域是3,2−11．设数列na的前n项和12nnSabnc+=++（,,abc为常数），则下列命题中正确的是

（）A．若0a，则na不是等差数列B．若0a=，0b≠，0c=，则na是等差数列C．若0a=，0b≠，0c=，则na是等比数列D．若1a=，0b=，1c=−，则na是等比数列12．已知函数()yfx=在R上可导且(0)1f=，其导函数()fx满足()2()01f

xfxx−−，设函数2()()xfxgxe=，下列结论正确的是（）A．函数()gx在(1,)+上为单调递增函数B．1x=是函数()gx的极大值点C．函数()fx至多有两个零点D．0x„时，不等式2()xfxe„恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.测量

珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为8848.86米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在

其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测第13题图量某建筑物高度，如图所示，已知该建筑物CP垂直于水平面，水平面上两点A，B的距离为200m，∠PAB＝60°，∠PBA＝45°

，∠PAC＝30°，则该建筑物CP的高度为（单位：m）．14.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）.15.已知椭圆()222210xyabab+=的

内接ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F，线段AB中点为K，且2CFFK=，则椭圆离心率的取值范围是___________.16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为cm4，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E、F、G、H为圆O上的点，ABE、BCF、CDG、DAH分

别是以AB、BC、CD、DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB、BC、CD、DA为折痕折起ABE、BCF、CDG、DAH，使得E、F、G、H重合，得到一个四棱锥，当正方形ABCD的边长为cm时，四棱锥体积最大。四、解答题：本大题共6小题

，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（10分）17.在①215=ACAB；②bcaCC+=+cossin3；③面积337=S这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题.问题：在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为

锐角，6=a，Bbsin34=，且，求ABC的周长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知数列na的前n项和为nS，满足1312nnSSnn+−=+，11a=．（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnnabSn=+，数列nb的前n项积为nT，若

对任意的*nN，4ntT恒成立，求实数t的最大值．19.如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段AB为圆锥底面O的直径，在底面内以线段AO为直径作M，点P为M上异于点A，O的动点.（1）证明：平面SAP⊥平面SOP；（2）当三棱锥SAPO−的体积最大时，求二面角A

SPB−−的余弦值20．（12分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶1A，2A，3A中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶1B，2B中的一个．（1）记事件nE：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐1A，2A，

3A玩偶；事件nF：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐1B，2B玩偶；求概率6()PE及5()PF；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为15，购买乙系

列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为nQ．①n

Q；②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利20元，卖出一个乙系列的盲盒可获利15元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天利润为多少元？．21.已知椭圆C

：22221xyab+=（0ab）过点21,2E，1A，2A为椭圆的左右顶点，且直线1AE，2AE的斜率的乘积为12−．（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N

两点，线段MN的垂直平分线交直线l于点P，交直线2x=−于点Q，求PQMN的最小值．22.已知函数()22111,()cos122=−−−=+−xfxexaxgxxx.（1）当1=a时，证明：0()0当

时，xfx；（2）若()()0+fxgx在)0,+上恒成立，求a的取值范围.惠来第一中学第六次阶段考参考答案一.单选题：1.选D【解析】化简集合QP、：因为x−10是9的约数，所以93110、、=−x，971、、=x，得}9,7,1{=P，同理971、、

=x时)(7}9,3,1{1,3,9109QCPQxN==−，即ABC错，选D2.【答案】B【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，①对；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平

面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，②对；一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面可能平行，相交，③错；一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面可能垂直，平行，相交，④错，故选B．3.【答案】B【

详解】由题意得，应该选择分层抽样，故②错误，若采用分层抽样，则抽样比为100124001600100050=++，则分别抽取东部地区学生124004850=人，中部地区学生116003250=人，西部地区学生110002050=人，故①正确；而采用分层抽样时，每个个

体别选到的概率一样都为150，故③正确，④错误．故选：B．4.A5.【答案】B【详解】解：由题意知：21112nnnnaaaa+++=．令1nnnaba+=，则112nnbb+=．21116aba==，数列{}nb是以16为首项，12

为公比的等比数列．111163222nnnb−==．11322nnnaa+=．1211322aa=，2321322aa=，111322nnnaa−−=．各项相乘，可

得：12111111(32)222nnnaa−−=．(1)2511()22nnn−−=2115(1)221122nnn−−−=21155221

2nnn−−+=21(1110)212nn−+=．令2()1110fnnn=−+，则，根据二次函数的知识，可知：当5n=或6n=时，()fn取得最小值．()2551151020f=−+

=−，()2661161020f=−+=−，()fn的最小值为20−．211(1110)(20)1022101112222nn−+−−===．数列{}na的最大项为102．故选：B

．6.【答案】A.解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设ba），先称得的黄金的实际质量为1m，后称得的黄金的实际质量为.2m由杠杆的平衡原理：51=abm,52=bam．得bam51=,abm52=，则.5521baabmm+=+下面比较21

mm+与10的大小：（作差比较法）因为ababbaabmm221)(5105510)(−=−+=−+，又因为ba=，所以，0)(52−abab，即+1m.102m这样可知称出的黄金质量大于10g.7.B8.C二.多选题：9．AD【分析】【详解】由2

abab−=+得224abaab==，所以224m+=，则1m=，从而2b=.故选：AD.10．AD【详解】()sin3cos2sin3fxxxx=+=+Q，由于函数()yfx=的零点构成一个公差为2的等差数列，则该函数的最小正周期为，0，则

22==，所以，()2sin23fxx=+，将函数()yfx=的图象沿x轴向右平移6个单位，得到函数()2sin22sin263gxxx=−+=的图象.

对于A选项，当,42x时，22x，则函数()ygx=在,42上是减函数，A选项正确；对于B选项，2sin022g==，所以，函数()ygx=的图象不关于直线2x=对称，B选项错误；对于

C选项，函数()ygx=的定义域为R，()()()2sin22sin2gxxxgx−=−=−=−，函数()ygx=为奇函数，C选项错误；对于D选项，当263x时，4233x，则3sin212x−，()32gx−.所以，函数()ygx=在区间2,6

3上的值域为3,2−，D选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查正弦型函数的单调性、对称性、奇偶性以及值域的判断，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.11．ABC【详解】对于A：数列na的前n项

和12nnSabnc+=++（,,abc为常数），而na是等差数列，则数列na的前n项和2nSAnBnC=++，不可能是12nnSabnc+=++，所以若0a，则na不是等差数列，故A正确；对于B：若0a=，0b≠，0c=，则nSbn=，所以1n=时，11aSb==；2n

时()11nnnaSSbnbnb−−−==−=，对1n=也成立，所以nab=，所以na是等差数列.故B正确；对于C：若0a=，0b≠，0c=，则nSbn=，所以1n=时，110aSb==；2n时()110nnnaSSbnbnb−==−=−−，对1n=也成立，所以0nab

=，所以na是等比数列.故C正确；对于D：若1a=，0b=，1c=−，则121nnS+=−，所以1n=时，113aS==；2n时11222nnnnnnaSS+−=−=−=，234,8,aa==所以

3212aaaa，所以na不可能等比数列.故D不正确；故选：ABC.12.【答案】BCD【详解】因为2()()xfxgxe=，所以2()2()()xfxfxgxe−=，又因为()2()01fxfxx−−，所以当1x时，()2()0fxfx−，()

0gx，则()gx递减；当1x时，()2()0fxfx−，()0gx，则()gx递增；所以当1x=时，()gx取得极大值，2(1)(1)fge=，函数()fx至多有两个零点；当0x„时，()()0(0)01xfgge

==，2()()1xfxgxe=，所以不等式2()xfxe„恒成立，故选：BCD三.填空题：13.【答案】1003100−【解析】根据正弦定理，PA200PA2003200sin45sin75==−，所以CP＝1003100−

．14.【答案】：35【解析】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272AAA=，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216AAAA=

，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144AA=，而所有的排法共有66720A=种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为722161

4437205++=，故答案为：35．15.【答案】30,3【解析】由题意可设()0,Bb，(),0Fc，线段AB中点为K，且2CFFK=，可得F为ABC的重心，设()11,Axy，()22,Cxy，由重心坐标公式可得，1203xxc++=，12

0yyb++=，即有AC的中点(),Mxy，可得12322xxcx+==，1222yyby+==−，由题意可得点M在椭圆内，可得2291144ca+，由cea=，可得213e，即有303e.故答案为：30,316.【答案】516【解析】连

接OG交CD于点M，则DCOG⊥，点M为CD的中点，连接OC，OCM为直角三角形，设正方形的边长为x2，则xOM=，由圆的半径为4，则xMG−=4，设E、F、G、H重合于点P，则xxMGPM−==4，则20x，高xxxPO8

16)4(22−=−−=，5422328816)2(31xxxxV−=−=，设542xxy−=，)58(58343xxxxy−=−=，当580x时0y，542xxy−=单调递增，当258x时0y，

542xxy−=单调递减，∴当58=x时，V取得最大值，此时5162=x，即答案为516。四、解答题参考答案：17.43sinsinabAB==，代入6a=，得3sin2A=，又A为锐角，故3A=.…（4分）若选①，15c

os2ABACbcA==，由1cos2A=，得15bc=.又2222cosabcbcA=+−，即2236bcbc+−=，2()336bcbc+−=，得9bc+=.∴ABC周长为15abc++=.……（10分）若选②，sinsin3sincossinacACCCbB+++==，即3s

insincossinsin()sinCBCBBCC+=++.化简得3sincos1BB=+，即2sin()16B−=，解得5()666B−=或舍.故3B=，此时ABC为等边三角形，周长为318a=.……（10分）若选③，731sin23SbcA==，得283bc=

.又2222cosabcbcA=+−，即2236bcbc+−=，2()336bcbc+−=，得8bc+=.∴ABC周长为14abc++=.……（10分）18.解：解：（1）由1312nnSSnn+−=+，得nSn是首项为1，公差为3

2的等差数列，3311(1)22nSnnn−=+−=，232nnnS−=．当2n时，132nnnaSSn−=−=−，11a=符合上式，所以32nan=−．（2）2(32)31nnnnanbSnn−==++，1232nnnTbbbb==14732247103131nnnn−

=++，11223(1)131nnnnTTnn++−=−+++2(32)0(31)(34)nnnn−=++，1nnTT+，()1min12nTT==．因为对任意的*nN，4ntT恒成立，所以142tT=，即2t．1

9.（1）证明：∵SO垂直于圆锥的底面，AP圆锥的底面，∴SOAP⊥，∵AO为M的直径，∴POAP⊥，∵,SOPO面SOP，SOPOO=，∴AP⊥平面SOP，∵AP平面SAP，∴平面SAP⊥平面SOP.

（2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，∴圆锥的侧面积122Srlrl==侧，底面积2Sr=底，∴依题意22rrl=，∴2lr=，∵2r=，∴4l=，则在ABS中，4ABASBS===，∴2223SOASAO=−=，如图，在底面作O的半径OC，使得OAOC⊥，∵

SOOA⊥，SOOC⊥，∴以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，()2,0,0A，()2,0,0B−，()0,0,23S，在三棱锥SAPO−中，∵23SO=，∴AOP面积最大时，三棱

锥SAPO−的体积最大，此时MPOA⊥，∵M的半径为1，∴()1,1,0P，()1,1,0AP=−，()3,1,0BP=，()1,1,23SP=−，设平面SAP的法向量(),,nabc=，则0230nAPabnSPabc=−+==+

−=，取1a=，得31,1,3n=，设平面SBP的法向量(),,mxyz=，则30230mBPxymSPxyz=+==+−=，取1x=−，得31,3,3m=−，设二面角ASPB−−的平面角为，由图得为钝角，∴1132173cos31731

33nmnm−++=−=−=−，∴二面角ASPB−−的余弦值21731−.20.20．解：（1）由题意22232134264263136266320()327CCCCCCACAPE++==，551115()1216PF+=−=，（2）①由题意可知：115Q=，当2n…时，111

1111(1)4224nnnnQQQQ−−−=+−=−，1212()545nnQQ−−=−−，12155Q−=−，所以2{}5nQ−是以15−为首项，14−为公比的等比数列，1211()554nnQ−=−−；②因为

每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n趋向无穷大，由样本估计总体可知：购买甲系列盲盒的概率近似于25，假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数，则2~(1000,)5B，所以2()

10004005E==，即购买甲系列盲盒的个数的期望为400，所以礼品店应卖出甲系列盲盒400个，乙系列盲盒600个．利润为：L40020+6001517000==（元）。21.解：（1）依题意有，221112ab+=①，因为()1,0Aa−

，()2,0Aa所以1221AEka=+，2221AEka=+，所以22122112aa=−+−②，由①②解得：22a=，21b=，故椭圆的方程为2212xy+=；（2）由题意知直线l的斜率不为0，设其方程为1xmy=+，设点()11,M

xy，()22,Nxy，联立方程()22221221021xymymyxmy+=++−==+，得到12222myym−+=+，12212yym−=+由弦长公式()()2222212122228811412222mmMNmyyyymmm++=++−

=+=++，又12222Pyymym+−==+，22221122Ppmxmymm=+=−+=++，2222261212PmPQmxmm+=+−−=++，2222641PQmMNm+=+，令21tm=+，1t，上式2224222222422tttt+==+

=，当2tt=，即1m=时，PQMN取得最小值2．22.解析：（1）当1=a时，()2112=−−−xfxexax，()'1=−−xfxex1分()''10=−xfxe恒成立，故())'0,+在fx上单调递增2分()()''00=fxf3分())'0,

+在fx上单调递增()()00=fxf，故原不等式得证。4分（2）()()cos2+=+−−xfxgxexax，令()cos2=+−−xhxexax要原不等式恒成立，即需()0hx，()'sin=−−xhxe

xa5分()''cos=−xhxex1,1cos1,−xex故()''0hx())'0,+在hx上单调递增6分()()''01=−hxha7分当10−a，即1a时，()'0hx，())0,+在hx上单调递增8分故()()00=hxh，此时原不等式成立，故

1a满足题意9分当10−a，即1a时，()'0hx，当→+x时，()'→+hx，故0(0,)+x，使得()'00=hx10分0(0,)xx时，()'0hx()()00,在hxx上单调递减，故()()00=hxh矛盾11分所以，综上所述，1a。12

分