【文档说明】安徽省淮北市第一中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷 含答案.docx，共(20)页，1.396 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023淮北一中高二上学期期末考试数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，长轴长8，

焦距为4，过点1F的直线交椭圆于A，B两点，则2ABF△的周长为（）A.4B.8C.16D.32【答案】C【解析】【详解】由题知，2a＝8，2ABF△的周长为2211222216ABAFBFAFBFAFBFaa++=+++=+=．故选：C．2.设等差数

列na的前n项和为nS，若511a=，880S=，则10a=（）A.21B.20C.18D.16【答案】A【解析】【详解】设数列na的公差为d，因为511a=，880S=所以11411878802adad+=+

=，解得13a=，2d=，故101931821aad=+=+=.故选：A.3.已知等比数列na的前3项和为168，2542aa−=，则6a=（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【详解】解：设等比数列na的公比为,0qq，若1q=，则250aa−=，与题意矛盾，所以1

q，则()31123425111168142aqaaaqaaaqaq−++==−−=−=，解得19612aq==，所以5613aaq==.故选：D.4.若Rk，则3k−是方程22133xykk+=−+表示双曲线的（

）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】解：因为方程22133xykk+=−+表示双曲线，所以()()330kk−+，解得33k−，因为()3,3−()3,−+，

所以3k−是方程22133xykk+=−+表示双曲线的必要不充分条件，故选：B5.已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为（）A.4B.42πC.82D.8【答案】D【详解】

如图，圆锥与内切球的轴截面图，点O为球心，内切球的半径为r，,DE为切点，设ODOEr==，即2BEBD==由条件可知，()224226AB=+=，ADO△中，222AOADDO=+，即()()2224262rr−=−+，解得：2r=，所以

圆锥内切球的表面积24π8πSr==.故选：D6.已知两点(1,0)M−，(1,0)N，若直线340xym−+=上存在点P满足0PMPN=，则实数m的取值范围是A.(),55,−−+B.(),2525,−−+C.5,5−D.25,25−【答案】C【详解】设()

,Pxy，则()()1,,1,,PMxyPNxy=−−−=−−由PMPN⊥得221xy+=，因P在直线340xym−+=上，故圆心到直线的距离22134md=+，故5,5m−，故选C.7.已知等差数列na中，538a=，设函数()24

cos2sincos222xfxxx=−++，记()nnyfa=，则数列ny的前9项和为（）A.0B.10C.16D.18【答案】D【详解】()24cos2sincos222cossincos22sin2cos222xfxxxxxxxx=−++=++=++

2sin224=++x，由()2Z4xkk+=，可得()Z28kxk=−，当1k=时，38x=，故函数()fx的图象关于点3,28对称，由等差中项的性质可得1928374652aaaaaaaaa+=+=+=+=，所以，数列ny的

前9项和为()()()()12954418fafafafa+++=+=.故选：D.8.已知()3,0A，若点P是抛物线28yx=上任意一点，点Q是圆22(2)1xy−+=上任意一点，则2||PAPQ的最小值为(

)A.3B.434−C.22D.4【答案】B【详解】设(),Pxy，由抛物线28yx=方程可得：抛物线的焦点坐标为()2,0F，由抛物线定义得：2PFx=+又1PQPFQFPF+=+,所以2||PAPQ()22238||29133xxPAxxPF

xx−+++==+++，当且仅当,,PQF三点共线时（F点在PQ中间），等号成立，令()33xtt+=，2293xxx+++可化为：()()232391212424434ttyttttt−+−+==+−−=−，当且仅当23t=，

即：233x=−时，等号成立．故选B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知三个数1,,9a成等比数列，则圆锥曲线2212xya+=的离心率为A.5B.33C.102D.3【

答案】BC【详解】由三个数1,,9a成等比数列，得29a=，即3a=；当3a=，圆锥曲线为22132xy+=，曲线为椭圆，则1333e==；当3a=−时，曲线为22123yx−=，曲线为双曲线，51022e==，

则离心率为：33或102故选BC10.已知()12,Axy，()22,Bxy是抛物线()220ypxp=上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为.则下列命题正确的是（）A.2124pxx=B.1

222sinpABxxp=++=C.112AFBFp+=D.12122yyxx=−【答案】ABC【详解】对于选项A，设直线AB的方程为2pxmy=+，代入22ypx=，可得2220ypmyp−−=，所以212yyp=−，222121224yypxxp==，选

项A正确；对于选项B，因为AB是过抛物线22ypx=的焦点的弦，所以由抛物线定义可得121222ppABAFBFxxxxp=+=+++=++，由选项A知，212yyp=−，122yypm+=，所以()222222121212242yyyyyypmp+=+−=+.即()22222121

2242yypxxpmp+=+=+，解得2122xxpmp+=+，当90=时，0m=，所以2ABp=，当90时，1tanm=，所以2221221tantanpABpp=+=+222cos221sinsinpp

=+=，当90=时，sin1=也适合上式，所以1222sinpABxxp=++=，选项B正确；对于选项C，不妨设π0,2，点A在x轴上方，设A，B是A，B在准线上的射影，cosAFAACKpCFpAF===+

=+，所以1cospAF=−，同理可得1cospBF=+，所以112AFBFp+=，同理可证π[,π)2时，等式也成立，选项C正确；对于选项D，由上可知：212yyp=−，222121224yypxxp==，所以12124yyxx=−，选项D不正确，故选

：ABC.11.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的

焦点()0,2F，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（）A.椭圆的长轴长为42B.线段AB长度的取值范围是4,222+C.ABF△面积的最小值是4D.AFG

的周长为442+【答案】ABD【详解】由题知，椭圆中的几何量2bc==，得22a=，则242a=，A正确；2ABOBOAOA=+=+，由椭圆性质可知222OA，所以4222AB+，B正确；记AOF=，则11sinsin()22ABFAOFOBFSS

SOAOFOBOF=+=+−sin2sin(2)sinOAOA=+=+取6=，则111122422ABFSOA=++，C错误；由椭圆定义知，242AFAGa+==，所以AFG的周长42442LFG=+=+，D正确.故选：ABD12.如

图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FBED，2ABEDFB==，记三棱锥EACD−，FABC−，FACE−的体积分别为1V，2V，3V，则（）A.322VV=B.312VV=C.312VVV=+D.3123VV=【答案】CD【详解】如图连接BD交AC于O，连接OEOF、.设

22ABFB==，则2ABBCCDAD====.由ED⊥平面ABCD，FBED，所以FB⊥平面ABCD，所以111143323EACDACDVVSEDADCDED−====，211123323FABCABCVVSFBABBCFB−====.由ED⊥平面ABCD，AC平面A

BCD，所以EDAC⊥.又ACBD⊥，且EDBDD=，EDBD、平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF，所以ACOF⊥.易知2222,2,6BDOBOEODED===+=，223OFOBBF=+=22()3EFBDEDFB=+−=，所以222EFOFOE+=，所以OFOE⊥,而OEACO=，

OEAC、平面ACE，所以OF⊥平面ACE.又22ACAECE===，231132334FACEACEVVSOFACOF−====，所以有32313123122=+2=3VVVVVVVVV，，，，所以选项A

B不正确，CD正确.故选：CD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量()()3,1,1,0,abcakb===+．若ac⊥，则k=________．【答案】103−.【详解】()()()3,1,1,0,3,1abcakbk===+=+,

(),33110acack⊥=++=，解得103k=−,故答案为：103−.14.已知双曲线22221xyab−=(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】3yx=【详解】因为双曲线22221xyab−=的离心率为

2，则221ba=+，解得3ba=，故双曲线的渐近线方程为3yx=.故答案为：3yx=.15.正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别是11,BBCC的中点，则,AEBF所成的角的余弦值是__________．【答案】15【详解】取1DD的中点G，由//GABF且

GABF=可得GAE为,AEBF所成的角，设正方体棱长为1，GAD中利用勾股定理可得15142AEAG==+=，又2EG=，由余弦定理可得5555122cos,cos44225EAGEAG=+−=，故答案为15．16.对给定的数

列()0nnaa，记1nnnaba+=，则称数列nb为数列na的一阶商数列；记1nnnbcb+=，则称数列nc为数列na的二阶商数列；以此类推，可得数列na的P阶商数列()PN，已知数列na的二阶

商数列的各项均为e，且121,1aa==，则10a=___________．【答案】36e【详解】解：由数列na的二阶商数列的各项均为e，可知1ennnbcb+==，而2111aba==，故数列nb是以1为首项，e为公比的等比数列，即1ennb−=，即11e,nnnan

a−+=N，即283102412391,e,e,,eaaaaaaaa====．所以()18828128363102421011239··11ee?·ee=e=eaaaaaaaaaa++++=

==，故3610ea=．故答案为：36e四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.记△ABC得内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinA=3sinB，C=3，c=7.（1）求a；（2）求sinA.【答案】（1）3a=（2）32114

【小问1详解】因为sinA=3sinB，所以3ab=，由余弦定理2222coscababC=+−可得222793,1bbbb=+−=，所以3a=【小问2详解】由sinsinacAC=可得，33sin3212sin147aCAc===18.已知数列na

的前n项和为nS,12a=，12nnaS+=+．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足221lognnnbaa−=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）2nna=；（2）1222++−nn【详解】（1）1

2nnaS+=+…………….①12(2)nnaSn−=+………………..②①-②得1nnnaaa+−=，即12(2)nnana+=又12a=,221124,2aaSa=+==12()nnanNa+={}na是以2为首项，2为公比

的等比数列1222nnna−==（2）由（Ⅰ）得2nna=2122log2221nnnnbn−=+=+−123...nnTbbbb=++++123(21)(23)(25)...(221)nn=++++++++−123(222...2)[135...(21)]nn=+++++++++

−2(12)[1(21)]122nnn−+−=+−1222nn+=+−19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，143AAAB=，ABC是等边三角形，D，E，F分别是棱11BC，AC，BC的中点.（1）证明：AD∥平面1C

EF.（2）求平面ADE与平面1CEF夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）18【详解】（1）证明：连接BD.因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以EFAB∥.因为EF平面1CEF，AB平面1CEF，所以AB∥平面1CEF.因为D，F分别是棱11BC

，BC的中点，所以1BFCD∥，1BFCD=，所以四边形1BDCF是平行四边形，则1BDCF∥.因为1CF平面1CEF，BD平面1CEF，所以BD∥平面1CEF.因为,ABBD平面ABD，且AB

BDB=，所以平面ABD∥平面1CEF.因为AD平面ABD，所以AD∥平面1CEF.（2）解：取11AC的中点O，连接1OB，OE，易证1OB，1OC，OE两两垂直，则以O为原点，分别以1OB，1OC，O

E的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设4AB=，则()0,2,3A−，()10,2,0C，()3,1,0D，()0,0,3E，()3,1,3F，从而()3,3,3AD=−，()0,2,0AE=，()10,2,3CE=−，()3,1

,0EF=.设平面ADE的法向量为()111,,xnyz=，则11113330,20,nADxyznAEy=+−===令13x=，得()3,0,1n=，设平面1CEF的法向量为()222,,mxyz=，则12222230,30,m

CEyzmEFxy=−+==+=令23x=，得()3,3,2m=−−.设平面ADE与平面1CEF的夹角为，则321coscos,82394nmnmnm−====++.20.已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的长轴

长为4，C的两个顶点和一个焦点围成等边三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线2(0)=+ykxk与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为45，求k的值．【答案】（1）2214xy+=（2）192k=或1k=【小问1详解】由题知，24a=，得2a=，要满足两个顶点和一个

焦点围成等边三角形．两顶点只能在短轴上，则22ab==，1b=，故椭圆C的标准方程为2214xy+=；【小问2详解】设()11,Axy，()22,Bxy，将椭圆方程与直线方程联立22142xyykx+==+，化

简得()221416120kxkx+++=，其中()22(16)48140kk=−+，即234k，且1221614kxxk+=−+，1221214xxk=+，22222212222216484431()41()1141414xkkABkxxxxkkkkk−=++−=+

−−=++++．原点到直线的距离221dk=+，22144342145AOBkSABdk−===+．化简得42423190kk−+=，解得2194k=或21k=，又0k且234k，192k=或1k=．21.已知公差为正数的等差数列na的前n项和为1,1nSa=，_______

_．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①248SSS、、成等比数列，②251072aaa−=．（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）21nan

=−（2）21nnTn=+【小问1详解】由题意，设等差数列{}na的公差为(0)dd，方案一：选择条件①41121816,43442822,8SadaSadddSa+=+==+=+，根据248SSS、、成等比数列得2428SSS=,代入得()()(

)1121462828addaad+=++，又11a=，化简整理，可得220dd−=，由于0d，所以2d=，12(1)21nann=+−=−，*nN．方案二：选择条件②由251072aaa−=，可

得()()211149(6)2adadad++−+=，又11a=，解得2d=，12(1)21nann=+−=−，*nN【小问2详解】由（1）可得111111(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+，则12nnTbbb=++

+1111111112323522121nn=−+−++−−+111111123352121nn=−+−++−−+111221n=−+21nn=+．22.已知点F为抛物线：22ypx=（0p）的焦点

，点(1,)Pt在抛物线上且在x轴上方，2PF=.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线:1lxmy=+与曲线交于A，B两点（点A，B与点P不重合），直线PA与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线PB与

x轴､y轴分别交于M、N两点，当四边形CDMN的面积最小时，求直线l的方程.【答案】（1）24yx=；（2）1yx=−或1yx=−+.【小问1详解】抛物线的准线：2px=−，由抛物线定义得122pPF=+=，

解得2p=，所以抛物线的方程为24yx=.【小问2详解】因为点(1,)Pt在2:4yx=上，且0t，则2t=，即(1,2)P，依题意，0m，设11(,)Axy，22(,)Bxy，由241yxxmy==+消去x并整理得2440ymy−−=，则有1

24yym+=，124yy=−，直线PA的斜率是1121112241214PAyykyxy−−===−+−，方程为()14212yxy−=−+，令0y=，则12yx=−，令0x=，则1122yyy=+，即点C1(,0)2y−，点

D112(0,)2yy+，同理点M2(,0)2y−，点N222(0,)2yy+，则122yyCM−=，()()1212)4(22yyDNyy−=++，四边形CDMN的面积S有：()()1212124(1122222)yyyySCMDNyy−−==++()()()()()22121212

12121242224yyyyyyyyyyyy−+−==+++++221616222248mmmmmm++===+，当且仅当22mm=，即1m=时取“=”，所以当1m=时四边形CDMN的面积最小值为4，直线l的方程为1yx=−或1y

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