【文档说明】【精准解析】江西省南昌市南昌县莲塘第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学（理）试题.doc，共(16)页，1.360 MB，由小赞的店铺上传

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莲塘一中2019-2020学年上学期高一期末检测理科数学试题一､填空题(本题共有12小题,四个选项中只有一个是正确的,每小题5分,共60分)1.下列各个角中与2020°终边相同的是()A.150−B.680°C.220°D.320°【答案】C【解析】【分析】将2020

写为360k+()kZ的形式,即可得到结果【详解】由题,20202205360=+,故选:C【点睛】本题考查终边相同的角,属于基础题2.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.12(0,0),(1,2)ee==B.12

(1,2),(5,7)ee=−=C.12(3,5),(6,10)ee==D.12(2,3),(6,9)ee=−=−【答案】B【解析】【分析】若一组向量作为基底,则该组向量不共线,由此为依据依次判断选项即可【详解】由题,作为基底

的向量不共线,当()11,axy=,()22,bxy=,若//ab,则12120yxxy−=,对于选项A,10e=,0与任意向量共线,故A错误；对于选项B,()2517170−−=,故1e与2e不共线,故B正确；对于选项

C,563100−=,故12//ee,故C错误；对于选项D,()36290−−−=,故12//ee,故D错误,故选:B【点睛】本题考查向量基底的判定,考查共线向量的坐标表示3.计算2sin2105°-1的结果等于（）A.

32−B.12−C.12D.32【答案】D【解析】232sin1051cos210cos302−=−==．选D．4.在四边形ABCD中，若ABDC=，且0ABAD=，则四边形ABCD是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形【答案】A【解析】【分析】根据向量相等可知四边形

ABCD为平行四边形；由数量积为零可知ABAD⊥，从而得到四边形为矩形.【详解】ABDC=uuuruuurQ，可知//ABCD且ABCD=四边形ABCD为平行四边形由0ABAD=uuuruuur可知：ABAD⊥四边形ABCD为矩形本题正确选项：A【点睛】本题考查相等向量、垂直

关系的向量表示，属于基础题.5.若sincos1sincos2+=−，则tan2等于（）A.34−B.34C.43−D.43【答案】B【解析】试题分析：sincostan11,tan3sincostan12++===−−−，22tan63tan21ta

n84−===−−.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．6.已知向量(1,3)am=−−,(,2)bm=,若ab⊥rr,则实数m=()A.2−B.3C.3−或2D.2−或3【答案】D【解析】【分析】若ab⊥rr,则0ab=,求解即可【详

解】若ab⊥rr,则()()1320abmm=−+−=,解得3m=或2m=−,故选:D【点睛】本题考查已知向量垂直求参数,考查数量积的坐标表示7.若偶函数()sin()cos()0,||2fxxx=

+++的最小正周期为,则()A.()fx在0,2单调递增B.()fx在0,2单调递减C.()fx在3,44单调递增D.()fx在3,44单调递减【答案】B

【解析】【分析】根据奇偶性和周期性可得()2cos2fxx=,先求得()fx的单调区间,进而判断选项即可【详解】由题,()2sin4fxx=++,因为最小正周期为,所以22==,又()fx是偶函数,所以()42kkZ+=+,即()4kkZ

=+,因为2,所以当0k=时,4=,所以()2cos2fxx=,则令222,−+kxkkZ,所以,2−+kxkkZ,即()fx在,2kk−+()kZ上单调递增；

令222,kxkkZ+,所以,2+kxkkZ,即()fx在,2kk+()kZ上单调递减；当0k=时,()fx在0,2上单调递减,在,02−上单调递增,故选:B【点睛】本题考查利用三角

函数的性质求解析式,考查余弦函数的单调区间8.已知a，b为单位向量，且2abab+=−，则a在ab+上的投影为（）A.13B.63C.263−D.223【答案】B【解析】a由，b为单位向量，又2abab+=−，则22|2|abab+=

−，可得13ab=，则263ab+=，1cos,3ab=．又()6cos,3aabaabaab++==+．则a在ab+上的投影为6cos,3aaab+=．故本题答案选B．9.若2sin63−=,则sin26+的值为

()A.59B.59−C.79D.79−【答案】A【解析】【分析】由题,22662+=−+,进而求解即可【详解】由题,2225sin2sin2cos212sin126626639+=−+=−=−−=−

=,故选:A【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查倍角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值10.如图，在ABC中，23ADAC=，13B

PBD=，若APABAC=+，则=()A.3−B.3C.2D.2−【答案】B【解析】∵21,33ADACBPBD==121()393ADABACAB−=−∴2239APABBPABAC=+=

+又APABAC=+，∴22,,339===故选B.11.已知1tan161tan16a+=−,cos330b=,1cos582c+=,则,,abc的大小关系为()A.cabB.cbaC.acbD.

bac【答案】C【解析】【分析】化简,,abc可得tan61a=,cos30b=,cos29c=,进而比较大小即可【详解】由题,因为tan451=,所以1tan16tan45tan16tan61tan4511tan161tan45tan16a++===

=−−；()cos330cos30360cos30b==−+=；221cos5812cos2912cos29cos29222c++−====；由cosyx=的单调性可知1cos29

cos30,所以tan45cos29cos30,即acb,故选:C【点睛】本题考查正切的和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查诱导公式的应用,考查三角函数值的比较大小问题12.已知函数()()2730323(0)xxfxxxx+=−++，()3

sincos4gxxx=++，若对任意3,3t−，总存在0,2s，使得()()(0)ftagsa+成立，则实数a的取值范围为()A.(0,1B.(0,2C.1,2D.2,9【答案】B【解析】【分析】分别求出()fxa+在

3,3−的值域，以及()gx在0,2的值域，令()fxa+在3,3−的最大值不小于()gx在0,2的最大值，得到a的关系式，解出即可.【详解】对于函数()fx，当0x时，()7

33fxx=+，由30x−，可得()4,3ft−，当0x时，()()222314fxxxx=−++=−−+，由03x，可得()0,4fx，对任意3,3t−，()4,4ft−，()4,4ftaaa+−+对于函数()3sincos42sin

46gxxxx=++=++，0,2x，2,663x+，()43,6gx+，对于0,2s，使得()43,6gs+，对任意3,3t−，总存在0,2s，使得()()(0)

ftagsa+成立，46a+，解得02a，实数a的取值范围为(0,2，故选B．【点睛】本题主要考查函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分

四种情况：（1）12,,xDxE()()12fxgx只需()()minmaxfxgx；（2）1,xD2xE()()12fxgx，只需()minfx()mingx；（3）1xD，2,xE()()12fxgx只需()max,fx()maxgx；

（4）12,xDxE，()()12fxgx，()maxfx()mingx.二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.计算:sin17sin223cos17cos43+=_________.【

答案】12【解析】【分析】利用诱导公式()sin223sin180sin43=+=−,进而利用和角公式求解即可【详解】由题,因为()sin223sin180sin43=+=−,所以,原式()1sin17

sin43cos17cos43cos4317cos602=−+=+==,故答案为:12【点睛】本题考查诱导公式的应用,考查余弦的和角公式的逆用14.若ABCD的三个顶点(1,2),(3,1),(0,2)ABC−−,则顶点D的坐标为________.【答案】()4,1−−【解析】

【分析】由ABCD可得ABDC=,进而求解即可【详解】由题,因为ABCD,所以ABDC=,设(),Dxy,所以()4,3AB=uuur,(),2DCxy=−−,所以423xy−=−=,即41xy=−=−,故答案

为:()4,1−−【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示15.若函数()cos,[0,2]fxxx=与()tangxx=的图象交于,MN两点,则OMON+=_______.【答案】【解析】【分析】画出()cosfxx

=与()tangxx=图像,可得M与N关于点,02对称,进而求解即可【详解】由题,画出()cosfxx=与()tangxx=的图像,如图所示,则M与N关于点,02对称,所以()

,0OMON+=,所以||OMON+=,故答案为:【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想16.设A是平面向量的集合,a是定向量,对xA，定义()()2f

xxaxa=−，现给出如下四个向量：()22221300442222aaaa====−①，；②，；③，；④，，那么对于任意xyA，，使()()fxfyxy=恒成立的向量a

的序号是________(写出满足条件的所有向量a的序号).【答案】①③④【解析】【分析】根据所给定义，结合选项逐个进行验证可得.【详解】对于①，当()00a=，时，()fxx=满足()()fxfyxy=；当0arr，因为()()2fxxaxa=−

，()()2fyyaya=−，所以()()24()()4()()fxfyxyayaxaxaya=−+若使得()()fxfyxy=恒成立，则只需21a=，结合所给向量可知③④符合条件；综

上可得答案为：①③④.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于新定义问题，准确的理解给出的新定义是求解的关键，建立()()fxfy的表达式是突破口，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题(本大题共6小题,满分10+12+12+12+12+12=70分)17

.已知向量(4,3)a=，(1,2)b=，（1）设a与b的夹角为，求cos的值；（2）若ab−与2ab+平行，求实数的值.【答案】(1)255;(2)12=−【解析】【分析】(1)根据向量的夹角公式求解即可.(2)根

据平行向量的坐标公式求解即可.【详解】(1)222241321025cos5554312abab+====++.(2)因为()()()4,31,24,32ab−=−=−−,()()()4,312,82,29ab++==.又ab−与2ab+平行即

()()4,32//9,8−−,所以()()84932032827180−−−=−−+=,解得12=−.【点睛】本题主要考查了利用向量坐标公式求解向量夹角与平行的问题,属于基础题型.18.已知,2，且1sin3=．（

1）求sin2的值；（2）若()3sin5+=−，0,2，求sin的值．【答案】(1)429−.(2)46215+.【解析】【详解】分析：（1）根据正弦的二倍角公式求解即可；（2）由()=+−，然后两边取正弦计算即可.详解：（

Ⅰ）2（，），且1sin3=，22cos3=−，-------2分于是42sin22sincos9==−；（Ⅱ）,2,02（，）,322（，）+,结合()3sin5

+=−得：()4cos5+=−，于是()()()sinsinsincoscossin=+−=+−+32241462535315+=−−−−=.点睛：考查二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()=+−的配凑是

解第二问的关键，属于中档题.19.已知函数()2sin(sincos)fxxxx=+.(1)求函数()fx的最小值以及取最小值时x的值;(2)求函数()fx在[0,]上的单调增区间.【答案】（1）当8xk=−+,kZ时,()min12fx=−；（2）30,8

和7,8【解析】【分析】（1）化简()2sin214fxx=−+,令2242xk−=−+,kZ,进而求解即可；（2）令222242kxk−+−+,kZ,结果与[0,]求交集即可【详解】（1）由题,()22sin2sinco

s1cos2sin22sin214fxxxxxxx=+=−+=−+,所以当2242xk−=−+,kZ,即8xk=−+,kZ时,()min12fx=−（2）由（1）,令222242kxk−+−+,kZ,则388kxk

−++,kZ,即()fx在()3,88kkkZ−++上单调递增,当0k=时,单调增区间为3,88−；当1k=时,单调增区间为711,88；所以在[0,]中()fx的单调增区间

为30,8和7,8【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,考查正弦型函数的单调区间20.如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上的中点,点F在边CD上(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,设EFABAD=+,求+的值(2)若3,2A

BBC==,当1AEBF=时,求DF的长【答案】(1)16;(2)233.【解析】【详解】（1）EFECCF=+,∵E是BC边的中点,点F是CD上靠近C的三等分点,∴1123EFBCCD=+，又∵BC

AD=,CDAB=−,∴1132EFABAD=−+，111326+=−+=；（2）设(0)DFmDCm=，则()1CFmDC=−，以AB，AD为基底，1122AEABBCABAD=+=+，()()11BFCFBCmDCBCmABAD=+=−+=−+，又0ABAD=，∴()()()

221111312122AEBFABADmABADmABADm=+−+=−+=−+=，解得23m=,故DF的长为233．21.已知(sin,3cos)axx=,(cos,cos)bxx=−,函数3()2fxa

b=+.(1)求函数()fx图象的对称轴方程;(2)若方程1()3fx=在(0,)上的解为12,xx,求()12cosxx−的值.【答案】（1）5122kx=+,kZ；（2）13【解析】【分析】（1）化简()sin23πfxx=−,令232xk−=+,kZ,

进而求解即可；（2）设12xx,由2063ff==可得12526123xx,且1256xx+=,则()1211155coscoscos266xxxxx−=−−=−,进而求解即可【详解】

（1）由题,()()2313313sincos3cossin21cos2sin2cos2222222fxxxxxxxx=−+=−++=−sin23x=−,令232xk−=+,kZ,则对称轴为:5122kx=+,kZ（2）由题,121sin2s

in20333xx−=−=,设12xx,因为2063ff==,所以12526123xx,易知()()11,xfx与()()22,xfx关于512x=对称,

所以1256xx+=,所以()1211111551coscoscos2cos2sin2663233xxxxxxx−=−−=−=−−=−=【点睛】本题考查平面向量的数量积,考查正弦型函

数的对称性的应用,考查诱导公式的应用22.已知函数()fx,若存在实数,(0)mkk,使得等式()()()mfxfxkfxk=++−对于定义域内的任意实数x均成立,则称函数()fx为“可平衡”函数,有序数对(,)mk称为函数()fx的“平衡”数对.(1)若3m=,判断()sinf

xx=是否为“可平衡”函数,并说明理由;(2)若12,mmR且1,2m,2,4m均为2()sinfxx=的“可平衡”数对,当03x时,方程12mma+=有两个不相等的实根,求实

数a的取值范围.【答案】（1）()sinfxx=是“可平衡”函数,理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）由“可平衡”函数可得()()3sinsinsinxxkxk=++−,整理可得3sin2sincosxxk=,即可

求解；（2）分别将“可平衡”数对代入可得2122cossinxmx=,221sinmx=,则122cos241cos2xmmax++==−,则可转化为4cos22axa−=+有两个解,进而求解即可【详解】（1）假设()sinfxx=是“可平衡”函数,则由题意应有:()()3sinsinsin

xxkxk=++−,所以3sinsincoscossinsincoscossinxxkxkxkxk=++−,即3sin2sincosxxk=,则3cos2k=,所以2,6knnZ=,所以存在,(0)m

kk,使得等式()()()mfxfxkfxk=++−对于定义域内的任意实数x均成立,所以()sinfxx=是“可平衡”函数（2）由题,22221sinsinsin2cos22mxxxx=++−=,所以2122cossinxmx=；又222222sinsins

insincos14444mxxxxx=++−=+++=,所以221sinmx=,所以()22122222cos12cos1cos222cos241sinsinsin1co

s21cos22xxxxmmaxxxxx++++=+====−−,所以4cos22axa−=+有两个解,因为03x,cos2yx=单调递减,故4cos22axa−=+不存在两个解,故a的解集为【点睛】本题考查

和角公式的应用,考查倍角公式的应用,考查新定义的理解,考查运算能力